Úton az egyenletek használata felé

Január a középiskolai írásbeli felvételik ideje. Gyermekünk, unokánk, távolabbi rokonunk vagy ismerőseink egyike-másika felvételizik. Hallunk azokról a feladatokról, amelyek kihívást jelentettek számukra.

Előfordulhat, hogy megkérnek, segítsünk a vizsgára való felkészülésben. Az első, hogy megismerkedjünk az elmúlt évek felvételi követelményeivel. Szerencsére 2001 óta a feladatsorok elérhetőek az Oktatási Hivatal honlapján:

https://www.oktatas.hu/kozneveles/kozepfokufelvetelieljaras/kozpontifeladatsorok

Az Érintő 2021. márciusi számában olvashatunk a tavalyi nyolcosztályos, hatosztályos és négyosztályos gimnáziumi felvételik általános értékeléséről.

A hatosztályos gimnáziumok felvételi anyagait tanulmányozva láthatjuk, hogy minden évben előfordulnak olyan szöveges feladatok, amelyeket felnőttként ösztönösen egyenlettel oldanánk meg. Milyen eszközei vannak a hatodik osztályos gyerekeknek ilyen problémák megoldására? A korábbi években a betűs kifejezések használata, nyitott mondatok, egyszerű egyenletek megoldása a hatodik évfolyam második felében szerepelt, tehát már akkor is a felvételi időszak után. Az új NAT bevezetésével ezek a módszerek későbbi évfolyamokra kerültek. Tehát ma az egyenletmegoldás nem a 12 éves diákoktól elvárt rutin. Ők vajon hogyan birkóznak meg a szöveges feladatokkal, mennyire tudnak betűket használni az összefüggések leírására? Logikai következtetéseket használnak? Esetleg egyenletmegoldási módszerekhez hasonlót alkalmaznak? Megfogalmazva a fő kérdést: Tanítsuk meg nekik az egyenletek megoldásának néhány szokásos módszerét a felvételire készülve?

A Kempelen Farkas Gimnázium hatodikos diákjainak feladtunk 8 olyan példát, amelyek az előző 10 év valamelyikében felvételi feladatok voltak. Bizonyos feladatokat órán, másokat otthon oldottak meg szorgalmi feladatként. Az órán egyénileg dolgoztak, otthon több idejük volt a megoldásra, esetleg szülői segítséget is kaphattak. Azt kértük tőlük, hogy megoldásaikat indokolják is, ellentétben a központi írásbeli feladatok követelményeivel, ahol csak a végeredményt kell megadniuk, a javítási útmutató általában ezt értékeli.

Az alábbiakban bemutatunk néhány megoldást a diákok munkáiból. Elemezzük gondolkodásmódjuk sajátosságait, értékeit. Javaslatokat teszünk arra, hogy a felvételi rendszerétől függetlenül a mindennapi tanítási gyakorlatban milyen módszerek megismertetését ajánljuk ebben az életkorban.

Ezeket a feladatokat tanárszakos hallgatók is megoldották, – természetesen egyenlettel – de kérésre adtak más típusú megoldásokat is. Erről is beszámolunk a cikk végén.

A tankönyvek is változatos módszereket kínálnak a szöveges feladatok megoldására, ezekre a tankönyvekre is utalunk a befejezésben.

A feladatokra a kitűzés dátumával és a feladatsorban elfoglalt sorszámukkal fogunk hivatkozni. A megoldásokat nem szó szerint idézzük. A 12 éves gyerek megoldásában sokszor meg kell érezni a mögötte lévő gondolatot, amit esetleg még nem tud korrekt módon szavakba önteni. A cikk olvasója számára érthető formára hoztuk, eközben figyeltünk arra, hogy ne hamisítsuk meg a benne lévő eredeti gondolatot – több feladat esetében a diákmunka fotóját is megadtuk. Többféle megoldás született mindegyik feladat, feladatrész esetében. Megadtuk a feladat megoldását egyenlet alkalmazása nélkül és egyenlet használatával is.

1. (2022. január 22. – 9. feladat)

Anna és Berci lemérte egy téglalap alakú kert három szomszédos oldala hosszának összegét. Az Anna által lemért oldalak hosszának összege 72 méter, a Berci által lemért oldalak hosszának összege 75 méter.

a) Hány méterrel hosszabb a kert hosszabb oldala a rövidebbnél?

b) Hány méter a kert rövidebb oldalának hossza?

c) Hány méter a kert kerülete?

d) Hány négyzetméter a kert területe?

Egy megoldás következtetéssel:

Ebből a leírásból ez a gondolatmenet olvasható ki:

A téglalap két oldala $a$ és $b$ :

$\displaystyle 75-a=72-b$

a) Ebből látható, hogy az $a$ oldal $3$ méterrel nagyobb $b$ -nél.

b) Ezért $72-3=69$ a rövidebb oldal háromszorosa, azaz $b=69:3=23$ (m).

c) A hosszabb oldal $a=23+3=26$ . A kerület $k=2\cdot(a+b)=98$ (m)

d) A terület $t=26\cdot 23=598~($ m $^2)$

Sokan használtak betűket az összefüggések leírására. Néhányan eljutottak az egyenletrendszer megoldásáig is.

$\displaystyle 2a+b=72$

$\displaystyle 2b+a=75$

Összeadva:

$\displaystyle 3a+3b=147$

$\displaystyle a+b=49$

A kerület

$\displaystyle k=2\cdot 49=98$

$\displaystyle a=72-49=23$

$\displaystyle b=49-23=26$

Kicsit „bonyolultabban”:

$\displaystyle 2a+b=72$

$\displaystyle 2b+a=75$

$\displaystyle (72-2a)\cdot 2+a=75$

$\displaystyle 144-4a+a=75$

$\displaystyle 69-3a=0$

$\displaystyle 69=3a$

$\displaystyle a=23$

$\displaystyle b=26$

2. (2020. január 18. – 8. feladat)

Hajni az őszi szünetben matematikafeladatokat gyakorolt. Hétfőtől minden reggel kijelölte az aznapi feladatokat. Keddtől kezdve minden nap hatszor annyi feladatot jelölt ki, mint amennyit előző nap nem tudott helyesen megoldani. Hétfőn és kedden is az aznapra kijelölt feladatok $\dfrac{11}{12}$ részét oldotta meg helyesen. Ezen a két napon Hajni összesen 66 feladatot oldott meg helyesen.

a) Hányszor annyi feladatot nem tudott megoldani helyesen hétfőn, mint kedden?

b) Hány feladatot oldott meg helyesen hétfőn?

c) Hány feladatot nem tudott helyesen megoldani kedden?

A feladatot megoldhatjuk próbálgatással:

Ezt a megoldást így írhatjuk le a felnőttek nyelvén:

Hétfőn és kedden Hajni 66 feladatot oldott meg helyesen. Ez a feladatok $\dfrac{11}{12}$ része. Ekkor $\dfrac{1}{12}$ rész 6 feladat. Összesen $66+6=72$ feladattal foglalkozott.

Hétfő	Hétfőn hibás	Kedd	Kedden hibás	Összesen
12	1	6	0,5	$18\ne 72$
24	2	12	1	$36\ne 72$
36	3	18	1,5	$54\ne 72$
48	4	24	2	72 jó

Ebből megadható a válasz a kérdésekre.

Következtethetünk

a) Hétfőn a feladatok $\dfrac{11}{12}$ részét megoldotta, $\dfrac{1}{12}$ részét pedig nem.

$\dfrac{1}{12}\cdot 6=\dfrac{1}{2}$ , tehát kedden fele annyi feladatot tűzött ki, mint amennyit hétfőn. Kedden fele annyi feladatból fele annyit oldott meg és fele annyit nem, mint hétfőn.

A válasz az a) kérdésre: kétszer annyit.

b) A 66 feladatot 2:1 arányban kell felosztani: $66:3=22, 22\cdot 2=44$ , tehát 44 feladatot oldott meg helyesen hétfőn.

c) Kedden 22 feladatot oldott meg helyesen. Ez a feladatok $\dfrac{11}{12}$ része. Az $\dfrac{1}{12}$ rész $22:11=2$ , tehát kedden $2$ feladatot nem oldott meg helyesen.

Egyenlettel így dolgozhatunk:

Hétfőn $x$ feladat. Megoldva $\dfrac{11}{12}x,$ hibás $\dfrac{1}{12}x$ .

Kedden $6\cdot \dfrac{1}{12}x=\dfrac{1}{2}x$ . Megoldva $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{11}{12}x=\dfrac{11}{24}x$ .

$\displaystyle \dfrac{11}{12}x+\dfrac{11}{24}x=66$

$\displaystyle \dfrac{33}{24}x=66$

$\displaystyle 33x=66\cdot 24=1684$

$\displaystyle x=1584:33=48$

Ebből könnyen megkapjuk a feltett kérdésekre a válaszokat

Két ismeretlennel így jutunk eredményre:

hétfő:	helyes $\dfrac{11}{12}x$	helytelen $\dfrac{1}{12}x$
kedd: $y=\dfrac{6}{12}x=\dfrac{1}{2}x$	helyes $\dfrac{11}{12}y$	helytelen $\dfrac{1}{12}y$

$\displaystyle \dfrac{11}{12}x+\dfrac{11}{12}y=66$

$\displaystyle \dfrac{1}{12}x+\dfrac{1}{12}y=6$

$\displaystyle x+y=72$

$\displaystyle x+\dfrac{1}{2}x=72$

$\displaystyle 3x=144$

$\displaystyle x=48$

3. (2020. január 23. – 10. feladat)

Az osztály tanulói közül 12-en járnak matematika-szakkörre. 5-tel több fiú nem jár matematika-szakkörre, mint ahány lány jár. Ugyanannyi fiú jár matematika-szakkörre, mint ahány lány nem jár. A lányok közül 2-vel többen járnak matematika-szakkörre, mint ahányan nem járnak.

a) Hány lány jár az osztályba?

b) Hány fiú jár az osztályba?

c) Hány lány jár matematika-szakkörre?

Több jó megoldást találtunk a megoldások között minden indoklás nélkül. Azt tételezzük fel, hogy a gyerekek agyában a megoldáshoz vezető út összetettebb, mint amit ebben a korban meg tudnak fogalmazni. Ha ilyenkor például szakkörön rákérdezünk, akkor szóban körül tudják írni a gondolatmenetüket.

Ilyen gondolkodásra utal, amit ez a gyerek írt:

Láttunk egyenletrendszeres megoldást is:

Jelölések:

$FJ$ fiú jár szakkörre, $FN$ nem jár. $LJ$ Jár szakkörre, $LN$ nem jár.

A feladat feltételei:

$\displaystyle FN=LJ+5$

$\displaystyle FJ=LN$

$\displaystyle LJ=LN+2$

$\displaystyle FJ+LJ=12$

ebből következik:

$\displaystyle FJ+2=LJ$

$\displaystyle FJ=5=LN$

$\displaystyle LJ=7$

$\displaystyle FN=12$

Ilyesmit mutat ez a munka:

Van, aki találgat:

12 szakkörös van. Tudjuk, hogy több lány jár mint fiú. Ez ilyen felosztásban lehetséges:

LJ	FJ
11	1
10	2
9	3
8	4
7	5

Csak az utolsó sor adataival nem jutunk ellentmondásra:

$LN=FJ=5$ ; $FN=LJ+5=12$ .

…és találkoztunk a felnőttes megoldással is (otthon született), feltételezzük, hogy szülői segítség van mögötte. Táblázatban foglaljuk össze, amit tudunk:

	Jár	Nem jár
L
F
Össz	12

$\displaystyle x+x-2=12$

$\displaystyle x=7$

4. (2019. január 24. – 10. feladat)

Peti és az öccse, Marci egy könyvet vásároltak édesanyjuk születésnapjára az édesapjukkal közösen. A két gyerek együtt feleannyit fizetett, mint az édesapa. Peti harmadannyit fizetett, mint az öccse és az édesapja együtt. Marci 1000 Ft-ot fizetett.

a) Az édesapa hányadrészét fizette a könyv árának?

b) Peti hányadrészét fizette a könyv árának?

c) Hány forintot fizetett Peti?

d) Hány forintot fizetett az apa?

e) Hány forintba került a könyv?

A faladatot megoldhatjuk arányos következtetéssel:

A fenti megoldásban ez a gondolat:

Az apa $\dfrac{2}{3}$ -át, Peti $\dfrac{1}{4}$ -ét fizette a könyvnek.

Ha 60 Ft lenne a könyv ára, akkor Peti 15-öt, apa 40-et, Marci 5-öt fizetne. Marci 200-szor annyit, 1000 Ft-ot fizet, ezért Peti $15\cdot 200=3000$ Ft-ot, apa $40\cdot 200=8000$ Ft-ot fizetett.

A könyv ára így 12 000 Ft.

Van olyan diák, aki betűket használ és egyenletet old meg:

Petinek $P$ forintja, Marcinak $M$ forintja, édesapjuknak $A$ forintja volt: $A=8000$ .

Tehát a könyv ára 12 000 Ft.

5. (2016. január 16. – 7. feladat)

Az ábrán négy egyforma céltábla látható. A céltáblákon a lövések helyét pöttyök jelölik. A céltáblák alá odaírtuk, hogy hány pontot érnek összesen a céltáblára érkezett lövések (lásd ábra).

a) Hány pontot ér egy lövés, ha a legbelső körbe esik?

b) Hány pontot ér egy lövés, ha a legkülső sávba esik?

Következtetéssel:

A harmadik és az utolsó ábra alapján a belső tartomány értéke $48-18=30$ pont.

A harmadik és a negyedik ábra alapján a középső tartomány értéke $32-18=14$ pont.

A negyedik ábra alapján a külső tartomány értéke $18-14=4$ pont.

Ezt a gondolatmenetet egyenletekkel is leírhatjuk:

A belső tartomány $a$ pont, a középső $b$ pont, a külső tartomány $c$ pont.

$\displaystyle a+b+c$	$\displaystyle =48$	(1)
$\displaystyle a+2c$	$\displaystyle =38$	(2)
$\displaystyle 2b+c$	$\displaystyle =32$	(3)
$\displaystyle b+c$	$\displaystyle =18$	(4)

(1) – (4)	$\displaystyle a$	$\displaystyle =30$
(3) – (4)	$\displaystyle b$	$\displaystyle =14$
(4)	$\displaystyle c$	$\displaystyle =4$

Ehhez hasonló gondolatmenetet találtunk ebben a megoldásban is:

6. (2015. január 17. – 8. feladat)

Jancsi egy tábla csokoládét szeretne venni, de ehhez 60 Ft-ja hiányzik. Ezt a tábla csokit Sanyi sem tudja megvenni, mert 45 Ft-ja hiányzik hozzá. Együtt annyi pénzük van, hogy vehetnek egy ilyen tábla csokoládét, és még marad 10 Ft-juk.

a) Kinek van több pénze és mennyivel?

b) Hány forintba kerül egy tábla csokoládé?

c) Hány forintja van Sanyinak?

A diákok általában egyenletet használtak a megoldáshoz:

A csoki cs forintba kerül:

a) Sanyinak 15 forinttal több pénze van.

b) Egy csoki 115 forintba kerül.

c) Sanyinak 70 forintja van.

Ábrával és következtetéssel:

Jancsi pénzéhez $70$ Ft-ot kell adnunk, hogy a csoki áránál $10$ forinttal többet kapjunk, ezért Sanyinak $70$ Ft-ja van. Sanyi pénzéhez $55$ forintot kell adni, hogy a csoki áránál $10$ Ft-tal többet kapjuk, ezért Jancsinak 55 forintja van. A csoki $55+60=70+45=115$ forintba kerül.

7. (2014. január 18. –10. feladat)

Dóri, Sári és Anna a legutóbbi, matematikából írt dolgozatukról beszélgettek. A dolgozatukra kapott pontszámaikról a következőket mondták:

Dóri: Hármunk pontjainak összege 258, és nem az enyém lett a legrosszabb hármunk közül.

Anna: Nem az enyém a legjobb, de három ponttal magasabb hármunk pontszámának átlagánál.

Sári: Kettőtök pontjainak összege 30-cal több az én pontszámom kétszeresénél.

a) Kinek lett legkevesebb pontja hármuk közül?

b) Hány pontot kapott a dolgozatára Anna?

c) Hány pontot kapott a dolgozatára Sári?

Hogyan értsük, ha ezt írja egy diák:

				nem A
nem A
				nem S

Talán így:

A nagyságrendet úgy írjuk le, hogy írunk két $<$ jelet, és beillesztjük a megfelelő információt a megfelelő helyre.

A nem a legnagyobb: … ${}<{}$ … ${}<{}$ nem A (Mert Anna ezt állítja.)

A nem a legkisebb (Mert nagyobb az átlagnál.): nem A ${}<{}$ … ${}<{}$ … (Ebből már következik, hogy A a középső.)

S nem a legnagyobb: … ${}<{}$ … ${}<{}$ nem S (Mert S kisebb, mint A és D átlaga. Ebből már következik, hogy D a legnagyobb.)

Tehát:

$\displaystyle S<A<D$

Az adatok közötti kapcsolatokat sokan leírták betűkkel:

$\displaystyle 258=D+A+S$

$\displaystyle S\cdot 2+30=D+A$

A megoldáshoz így juthatunk el:

$\displaystyle A=258:3+3=89$

$\displaystyle D+S=258-89=169$

$\displaystyle 2S=D+89-30=D+59$

$\displaystyle 2S=169-S+59$

$\displaystyle 3S=228$

$\displaystyle S=228:3=76$

Ha ábrát használunk:

Ez alapján $3s+30=258$ . Innen $s=76$ , $d=169-76=93$ .

8. (2014. január 23. – 7. feladat)

A könyvesbolt két egyforma hosszúságú polcára egyforma vastagságú mesekönyveket és egyforma vastagságú tankönyveket állítottunk egymás mellé. Az egyik polcot 20 mesekönyvvel és 15 tankönyvvel töltöttük ki, a másikat 12 mesekönyvvel és 27 tankönyvvel.

a) Hány tankönyv vastagsága egyenlő két mesekönyv vastagságával?

b) Hány mesekönyvvel tölthető ki a polc teljesen?

c) Hány centiméter vastag egy tankönyv, ha a polc hossza 90 cm?

Egy gondolat arra, hogy a mesekönyv a vastagabb:

Egy teljes, jó megoldás a gyerekek megoldásaiból összeállítható. De ez így együtt nem szerepelt a dolgozatokban:

A második polcon $27-15=12$ tankönyvvel van több.

Az első polcon $20-12=8$ mesekönyvvel van több.

Ezért 12 tankönyv olyan vastag, mint 8 mesekönyv, tehát 3 tankönyv vastagsága egyenlő 2 mesekönyv vastagságával.

Az első polcon a $15=5\cdot 3$ tankönyvet $5\cdot 2=10$ mesekönyvre válthatjuk, ezért a polc szélessége $30$ mesekönyvvel vastagságával egyezik meg, egy mesekönyv 3 cm vastag. 2 mesekönyv 6 cm, tehát 1 tankönyv 2 cm vastag.

Egyenlettel leírva:

A mesekönyv vastagsága $m$ , a tankönyvvé $t$ :

$\displaystyle 20m+15t=90$

$\displaystyle 12m+27t=90$

$\displaystyle 20m-12m=27t-15t$

$\displaystyle 8m=12t$

$\displaystyle 2m=3t$

$\displaystyle 20m+5\cdot 2m=30m=90$

$\displaystyle m=3$

$\displaystyle t=2$

****************

Ennek a 8 feladatnak a bemutatásával szerettük volna megmutatni, hogy az ilyen típusú feladatok komoly gondolkodási képességet kívánnak a hatodikos diákoktól. Ennek a felvételinek a célja az átlagosnál jobb képességű, tudású gyerekek mérése, a legjobbak kiválasztása, így fontos szerepük van ezeknek a nehezebb feladatoknak. Természetesen a feladat kitűzőinek figyelembe kell venniük a fiatal korból adódó gondolkozási módokat.

Tanárszakos hallgatók megoldásai

A tanárképzésben, az Elemi matematika tantárgy keretében lehetőség nyílik arra, hogy a tanárjelöltek megismerkedjenek elemi feladatmegoldási stratégiákkal, amennyiben gyerekkorukban ez kimaradt volna. A fenti feladatokat megoldattuk tanár szakos hallgatókkal is. A hallgatók mindegyike egyenlettel oldotta meg azokat, ám amikor azt is kikötöttük, hogy csak elemi módszerekkel dolgozhatnak, nagyon változatos megoldásötletekkel álltak elő. Említünk közülük kettőt.

A 3. feladatra halmazábrás megoldás készült (a lépéseket a követhetőség kedvéért külön ábrákra rajzoltuk):

Ezután a következtetés: két „valamennyi” meg kettő az 12, tehát a valamennyi 5-öt jelent, az osztály létszáma $4\cdot 5+2+7=27$

A 4. feladat az olyan típusba sorolható, ahol egy mennyiséget arányokban, illetve értékekben határozunk meg. Ezeket akár szemléltetéssel és következtetéssel, vagy akár tisztán következtetéssel is meg lehet oldani.

Segít a szemléltetésben, ha az arányok a szakasz egyik oldalára, a mennyiségek a másik oldalra kerülnek. Ebből leolvasható (ami következtetéssel is adódik): édesapa az ár $\dfrac{2}{3}$ , Peti az $\dfrac{1}{4}$ részét, ketten együtt a $\dfrac{11}{12}$ részét fizették ki, a hiányzó rész, az $\dfrac{1}{12}$ , a Marci által befizetett 1000 Ft-nak felel meg, vagyis a könyv ára 12 000 Ft.

Hogyan jelennek meg ezek a módszerek a tankönyvekben?

Az 1978-as tantervhez kapcsolódóan (de már korábban is) a tankönyvek nagy hangsúlyt fektettek feladatok következtetéssel, szemléltetéssel történő megoldására. A mai 6. osztályos matematika tankönyvekben is többféle módszert láthatunk:

OH-MAT06TA Matematika 6. tankönyv ehhez kapcsolódó témakörei:

https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT06TAteljes.pdf

Nyitott mondatok

Szöveges feladatok

OH-MAT06TB Matematika 6. tankönyv ehhez kapcsolódó témakörei:

https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT06TBteljes.pdf

Nyitott mondatok megoldása lebontogatással, fordítás a matematika nyelvére

Szöveges feladatok megoldása szakaszos ábrázolással

Szöveges feladatok megoldása, fordítás a matematika nyelvére

A tankönyvek két változatának más a szerepe az oktatásban. A B változat a jobb képességű diákoknak több lehetőséget ad, a tehetséggondozásra szempontjaira talán jobban figyel. Azt is meg kell említenünk, hogy ezekben a könyvekben, ezen az évfolyamon betűk használata nem szerepel, mivel az új NAT-ban ez későbbi évfolyamokon kerül elő.

Visszatekintés tanári szemmel

A leírt megoldásokban láthatjuk, hogy tanítványaink „ösztönösen” használnak betűket, betűs kifejezéseket már ebben az életkorban is a matematikai kapcsolatok leírására. Egyszerű egyenleteket megoldanak. Mutattunk példát arra, hogy a feladatok próbálgatással, következtetéssel, arányosítással, ábrával, táblázat használatával is megoldhatók.

A próbálkozás mint módszer, természetes, de tudjuk, hogy csak akkor korrekt, ha minden esetet megvizsgálunk. Ezért, ha a megvizsgálandó esetek száma nem véges, akkor ez az irány nehezebb lehet, mint egy egyszerűbb következtetés. A szemléltetés, az arányos gondolkodás, a szisztematikus próbálkozás, a kétféle módon megadott mennyiségek összepárosítása mind nagyon fontos elemi gondolatok.

Ebben az életkorban szívet melengető kreatív ötletekkel állnak elő a gyerekek egy-egy feladatmegoldás során. Leírni viszont nem tudják precízen, ezért fontos, hogy a tanórákon, szakkörökön lehetőségük legyen szóban elmagyarázni a gondolataikat. Ehhez beszélgetésre van szükség, amelyben rá tudunk kérdezni a homályosabb részekre, ezzel is fejlesztve azt a képességet, hogy az indoklásokat kellő részletességgel tudják elmondani, leírni. Sajnos a központi írásbeli felvételikben erre nincs mód. Kérdéses, hogy a javításnál vajon minden javító tanár felismeri és mögé képzeli a meglévő tanulói gondolatokat, vagy sem. Engedi-e a megoldókulcs, hogy ezek a megoldások is teljes pontszámot érjenek? Fel merik-e vállalni a javító tanárok, hogy teljes értékű megoldásnak fogadják el az adott megoldást?

Az ilyen feladatmegoldások értékesek a logikus gondolkodásra nevelés szempontjából. Szomorú lenne, ha ezek helyett túl gyorsan tanulnák meg a gyerekek az egyenletmegoldás rutinját. Azt is látjuk, hogy amikor a szülők, tanárok a hatosztályos felvételire készítik a gyerekeket, akkor az egyenletmegoldásra is tanítják őket. Ezt „megtiltani” nem lehet. De tudjuk, hogy lehet és szabad másképp is. Sok gyerek használ ügyesen betűket az öszefüggések leírására és jó következtetéseket tud tenni ezek alapján, de ebben az életkorban ne siettessük az absztraktabb gondolkodást

Írásunk végén megköszönjük Csébics Anikónak, Nagy Emesének és Romhányi Katalinnak, a Kempelen Farkas Gimnázium tanárainak, hogy tanítványaikkal megíratták a felvételi feladatokat, illetve a témával kapcsolatos gondolataikat megosztották velünk.

Fried Katalin, ELTE TTK Matematikai Intézet

Horváth Eszter, Kempelen Farkas Gimnázium