Hogyan használjunk a 21. században függvénytáblázatot? Használjunk-e egyáltalán függvénytáblázatot? Szükség van-e ezekre a több száz éves alapokon nyugvó táblázatokra, vagy a számológépek, számítógépek és az internet, illetve legújabban a mesterséges intelligencia teljesen feleslegessé teszik ezeket? Mielőtt elmélyednénk a felvetett kérdésekben, nagyon vázlatosan és röviden áttekintjük a táblázatok történetét, hogy képet kapjunk azok fejlődéséről.
A múlt
Az emberek már párezer éve használnak matematikai és csillagászati táblázatokat, hogy rendszerezettebben kezeljenek összetartozó adatokat, illetve, hogy gyorsabban el tudjanak végezni bizonyos műveleteket. Ismertek egyszerű szorzótáblák a világ minden tájáról, de ennél bonyolultabb számításokhoz is léteztek korai táblázatok. Hivatkozások maradtak fenn a csillagász, Hipparkhosz „trigonometriai” táblázatairól (Kr.e. 150 körül), de ami valóban fennmaradt, az Ptolemaiosz (Kr.e. 100-170 körül) húrtáblázata, amelyben egy 120 egység átmérőjű kör húrjai és középponti szögei közötti összefüggést írja le fél fokonként táblázatba rendezve. Az arab világból ismert az al-Hvárizmi (Kr.u. 780-850 körül) nevéhez fűződő szinusztáblázat, amelyet a feltételezések szerint Ptolemaiosz húrtáblázatai alapján alkotott. Kortársa a csillagász al-Marvazi (Kr.u. 770-870 körül) nem csak szinusz-, de koszinusz-, tangens- és kotangenstáblázatokat is készített 0° és 90° között, 30’-es osztásokkal.
A középkorból Regiomontanus szinusztáblázataira szoktak általában hivatkozni, de Kopernikusz, Viète és Bürgi mellett még több mint húsz különböző trigonometrikus táblázatot sorol fel Denis Roegel A survey of the main fundamental European trigonometric tables printed in the 15th and 16th centuries c. művében, amely elérhető az interneten és a középkori trigonometrikus táblázatoknak nagyon alapos feldolgozását mutatja be. 
Azután 1614-ben John Napier kiadta Mirifici logarithmorum canonis descriptio című művét. Pár évtizeddel rá már sok helyen logaritmustáblázatokat használtak, hiszen ezek segítségével szorzások és osztások helyett csupán összeadásokkal és kivonásokkal kellett megbirkózni.
Az 1700-1800-as évekbe lépve a kalkulus, azaz az integrál- és differenciálszámítás fejlődése során számos új függvényt vezettek be. Később észrevették, hogy sok ezek közül a matematika több területén is előfordul. Ilyen volt például a gamma-függvény, a Bessel-függvények, az elliptikus integrálok, a béta-függvény, a Jacobi-függvény és még sok hasonló. Ezeket táblázatokba foglalták és kinyomtatták.
Még pár évtized, és megjelentek a mechanikus számológépek, majd a 20. század második felében az elektronikus számoló- és számítógépek, és meg is érkeztünk a 21. század elejére.
A speciális függvények történetének leírását egészen 2005-ig követhetjük nyomon a megadott linkeken:
https://www.stephenwolfram.com/publications/history-future-special-functions/
https://functions.wolfram.com/About/history.html
https://www.maa.org/press/maa-reviews/a-history-of-mathematical-tables .
Ma már matematikai webhelyek állnak rendelkezésre, ahol számos függvényosztály elérhető egy-két kattintással, például ilyen a https://functions.wolfram.com/.
A hosszúra nyúlt bevezető után nézzünk szét saját házunk táján. Valószínűleg sok kolléga polcán lapul a Szemengyajev, K. A. Bronstejn, I. N., Matematikai zsebkönyv valamelyik kiadása, vagy Obádovics J. Gyula több mint húsz kiadást megért Matematika kötete. Ezek sok műszaki felsőoktatásba járó egyetemista életét keserítették vagy könnyítették meg. Az 1980-as évek elején még én is használtam a kis piros Bronstejnemet, egy-egy különösen ronda házi feladat integrálásához. Sőt, szinte biztos, hogy az iskolában majd mindannyian forgattuk a „Négyjegyű függvénytáblázat” valamelyik kiadását. Ma is így van ez, évente sokezer példányt adnak el a függvénytáblázatokból. Természetesen sokszor megújult, átalakult az évek során.
A 60-70-es években a „Függvénytáblázatok Matematikai összefüggések” címmel adták ki, majd „Függvénytáblázatok Matematikai és fizikai összefüggések” lett a címe. Tele volt táblázatokkal, a lényegesebbek a teljesség igénye nélkül:
- Állandók és logaritmusok
- Számok négyzete
- Számok négyzetgyöke
- Reciprok értékek
- Szögek sinusa és cosinusa
- Szögek tangense és cotangense
- Trigonometrikus függvények
- Ciklometrikus függvények
- Számok 10 alapú logaritmusa
- A 10 hatványai
- Szögfüggvények logaritmusa
- Fokok és percek átszámítása ívmértékre
- Ívmérték átszámítása fokokra és percekre
- Fokokban adott szög átszámítása a fok századrészeire
- Percek átszámítása a fok századrészére
- Faktoriálisok értékei. Binomiális együtthatók
- Faktoriálisok logaritmusa, körkerületek, körterületek, gömbtérfogatok
- A 2, 3 és 5 első harminc hatványa
- Pitagorasz-féle számhármasok
- A 2, 3 és 5-tel nem osztható számok törzstényezős felbontása
- Szabályos sokszögek
- Összetett arányossági tényezők logaritmusa
A jelen
A ma forgalomban lévő függvénytáblázatok kívülről már kicsit színesebbek. A köznapi életben csak a sárga, illetve a fehér névvel szoktak rájuk hivatkozni, elég könnyen kitalálható, hogy miért, ezért én is ezt fogom tenni. (Forrás: http://tankonyvkatalogus.hu)
A sárga függvénytáblázat fizika és a kémia részt is tartalmaz, a fehérbe ezeken kívül beleírták a földrajz, a csillagászat és az informatika alapjait is. Mindkettőre igaz, hogy a fizika lett a legvastagabb rész bennük.
2023-at írunk, és még mindig többszáz éves hagyományokon felépült táblázatokat használunk? Ma már senki sem használja a trigonometrikus függvények logaritmusait, és a reciprokok, illetve a szinuszok kiszámolásához is ott a zsebszámológép. Az elmúlt 40 évben elterjedtek a sokunk életét megkönnyítő zsebszámológépek. Többféle létezik, de a grafikai vagy elemi programozási képességekkel felruházott számológépek a mai magyar közoktatásból egyelőre ki vannak tiltva.
A digitális eszközök széleskörű elterjedése miatt a mai, középiskolai használatra tervezett függvénytáblázatokban már kicsit kevesebb a táblázat, és nagyobb hangsúlyt kaptak bennük a matematikai összefüggések, azonosságok, tételek. 2012-ben ugyan belekerült négy oldal a gráfokról, valamint megváltoztak az uniós baleseti kódok a kémia és fizika szertárakban, és ezért a táblázatokban is, azonban azok lényegében húsz éve változatlanok.
Az idei év elején két dolog is történt egyszerre, egymástól függetlenül. Felmerült a függvénytáblázat átdolgozásának igénye, és a matematikatanárok levelezőlistáján polemizálás indult arról, hogyan is jó használni a függvénytáblázatot a középiskolában.
Mit kell tartalmaznia egy mai függvénytáblázatnak? Van még olyan gyerek, aki nem a telefonját (matekórán esetleg kényszerből a számológépét) nyomkodja, ha valamit ki kell számolni? Mire való manapság a függvénytáblázat? Ki kell-e irtani minden táblázatot belőlük és legyen csak összefüggések tárháza? Hol húzzuk meg a határt? Melyik összefüggést kell fejből tudni, és melyikről elég azt tudni, hogy létezik? El kell-e és el lehet-e különíteni a középszintű érettségihez szükséges ismereteket és az emelt szintű anyagrészeket? Megannyi kérdés, amelyekre nem fogunk tudni egyértelmű választ adni, de a jó kérdések felvetése már fél siker lehet.
Pontosan ezekhez hasonló kérdéseket vetett fel 2023 márciusában az egyik kolléga a tanári levelezőlistán, amely a tanárkollégák élénk reakcióit váltotta ki. A következőkben a levelekből a legfontosabb gondolatokat kiemelve szeretnénk visszaadni ennek az „internetes beszélgetésnek” a hangulatát, és bemutatni a függvénytáblázat használatának gyakorlatát napjainkban. A kiemelt részeket változtatás nélkül, esetleg egy-egy megjegyzéssel tarkítva adjuk közre. A levélírók nevét nem közöljük, avval a szándékkal, hogy csak a leírt érvekre és ellenérvekre figyeljünk. Remélem, a levelek áttekintése után egyértelműen ki fog kristályosodni, ha nem is a megoldás, de az, hogy milyen szemlélettel és hozzáállással lenne ideális kezelni a függvénytáblák helyét és szerepét a mai magyar közoktatásban.
A történet ezzel a levéllel indult:
Kedves Kollégák!
Kíváncsi lennék a véleményetekre egy problémában, örülnék, ha megírnátok, hogy Ti hogy látjátok ezt.
Jelenleg csak félállásban dolgozom iskolában (matekot épp nem is tanítok), ... és mellette egyéni vállalkozóként magántanítványaim vannak. Többnyire emelt szintű érettségire készítek, de van két olyan tanítványom is, akik a bukás elkerüléséért harcolnak matekból. Döbbenten tapasztalom, hogy egyikük sem használja a függvénytáblázatot.
Az egyik – aki tizedikes – azt mondja, hogy a tanár szerint a képleteket meg kell tanulni és majd tizenkettedikben (!) megengedi, hogy használják, nem is kaptak az iskolában függvénytáblázatot. A másik – aki pótérettségire készül – azt mondja, hogy amíg gimibe járt soha nem használták.
Még egyszer hangsúlyozom: bukás elkerülése a cél mindkettőjüknél. Érthetetlen, hogy miért kell a képleteket bevágni, mikor az érettségin lehet használni ezt a segédeszközt.
Én nálam alap – volt, amíg iskolában tanítottam matekot –, hogy a tanítás része az is, hogy megtanítom a segédeszközök használatát. Főleg a gyenge tanulóknak, de még az emelt matekos csoportban is ez természetes volt. Ti mit gondoltok erről?
T.
Következzen itt néhány válasz, amely több nézőpontból mutatja be a függvénytáblázat használatát.
Kedves T.! Abszolút egyetértek Veled. Természetesen használjuk a függvénytáblázatot alkalmanként már kilencediktől - pl. az algebrai azonosságoknál -, de tizenegyediktől már minden órámon ott kell lennie a gyerekek előtt a padon a függvénytáblázatnak is, a dolgozatoknál is alkalmazhatja, hiszen meg kell ismernie, mit, hol talál benne, hogyan használhatja majd az érettségin. Hogy ne az érettségin nyissa ki először a diák, hanem addigra tanulja meg a használatát, evidensnek gondolom, s szerintem ezt így gondolja minden matematikatanár. Az emelt szintű szóbelire készülve a képletgyűjteménnyel is összevetjük, hogy biztosan tudja-e azokat az összefüggéseket, amelyek az utóbbiban nincsenek benne, ha kell átismétli. ...
A tanítás módszereibe azért persze beletartozik, hogy mondjuk egy kilencedikes már tudja fejből a hatványozás azonosságait vagy a leggyakoribb nevezetes azonosságokat, amikor ezek alkalmazását tanulja, hiszen ez segíti őt az alkalmazásban. Nem mindig az a cél, hogy keresgessen a függvénytáblázatban. Ez az én gyakorlatom, és tapasztalatom. Üdvözlettel: Gy.
És egy másik vélemény:
Kedves T! Kedves Kollégák!
Azt gondolom, bőven nem a legfontosabb a matek tanítás/tanulás kapcsán, hogy tudni kelljen képleteket, de alapvetően igen, szerintem is tudni kell fejből elég sok mindent. Ez a „szükséges rossz", nem a gyerek szívatása miatt, hanem alapvetően három oknál fogva.
Az egyik, hogy amíg csak említés szintjén van meg egy összefüggés, vagy mindig ki lehet keresni és aztán azzal a lendülettel el is lehet felejteni, addig nem lesz meg annyira, hogy eszébe jusson, hogy valami ilyesmi is van. (Gyengébbeknek különösen nem.) Van olyan, amikor az ember már nem emlékszik pontosan a képletre, de ha nem volt „rákényszerítve" korábban arra soha, hogy fejből tudja őket, akkor a legtöbbeknek jó eséllyel eszébe sem fog jutni, hogy valami ehhez hasonló létezik egyáltalán. Ekkor pedig nem fog elkezdeni ilyen irányban keresni.
A másik, ami ezzel részben átfed, hogy vannak feladatok, ahol a megoldás lényegesen egyszerűbbé válik, ad absurdum attól válik megoldhatóvá egyáltalán, hogy valami kifejezésben észreveszünk egy ismert összefüggést. Például egy alapvetően számelméleti problémánál szembe jön egy (a+b)2 nyílt alakban, és továbblépni a zárt alak használatával tudunk. Ha nincs a fejünkben az összefüggés, elég nehéz ráismerni, a függvénytáblázat lapozgatása se biztos, hogy megfelelő, ha a számelméleti részben keresi az ember a továbblépés ötletét. Mindenféle ilyen helyzetre úgysem tudjuk előre felkészíteni a gyereket - pláne nem emelt szinten – szóval szerintem az a jobb, ha alapvetően tudja fejből. Az már a következő lépés, hogy ha felismeri, hogy ez valami ilyen azonosságféle, de nem jut eszébe pontosan, akkor hasznos, ha meg tudja találni a függvénytáblázatban, hogy biztos lehessen magában.
A harmadik, hogy pl. egy középszint I. részben ha mondjuk egy másodfokú megoldót is a függvénytáblából kezd el kikeresni, akkor esélye nem lesz arra, hogy 45 perc alatt végigérjen a 12 feladaton, egyszerűen időt spórol, ha fejből tud összefüggéseket.
(Az író megjegyzése: A másodfokú egyenlet megoldásához az érettségin használhat számológépet a tanuló.)
Ugyanakkor pl. statisztikánál, amikor már ki tudják számolni pl. a szórást, és némi rutinjuk is van benne, rendszeresen felírtam a függvénytáblában szereplő alakot (akkor is, ha amúgy nem használhatták), és végigelemeztük, hogy mi mit jelent és ez miért ugyanaz, mint amit csináltunk. Mert ha elfelejti a kiszámítási módot, és egy ilyen sose látott krix-krax-ot talál a függvénytáblában, azzal nem lesz kisegítve, segíteni kell megtanulni értelmezni.
A fentiek miatt én nem engedtem a függvénytáblázat használatát egészen addig a pontig, amikor a végére értünk az anyagnak. Az utolsó félévben pedig a tematikus ismétlésnél minden témakörnél megnéztük, hogy mit, hol, hogyan találnak meg benne, és ezeknél az ismétlő jellegű dolgozatoknál már - természetesen - engedtem a függvénytáblát is használni....
Így a tizedikes gyereknél nekem természetes, hogy nem használhat függvénytáblázatot. A pótérettségire készülő már egy más stádium, ott finoman fogalmazva igen meglepő, hogy soha nem volt ez a kezében még.
Üdv A.
Még egy tanári vélemény:
Kedves Mindenki!
Amikor egy anyagot tanulunk, akkor az ott szereplő definíciókat, tételeket tudni kell. (Ez nem olyan sok!) A gyerekeket éppen segítjük ezzel, hiszen a későbbiekben lesz mire visszaemlékezniük.
Egyáltalán nem érzem problémának, hogy az első években nem használhatják a táblázatot. Például az a tapasztalatom, hogy a megoldóképletet egyik óráról a másikra megtanulják. A matematika nem definíciók és tételek gyűjteménye. Alapvetően problémákat megoldani, gondolkozni tanítunk, de ehhez bizonyos összefüggéseket tudni kell. Milyen jó, amikor a gyereknek eszébe jut egy olyan összefüggés, ami látszólag nem a pillanatnyi anyaghoz kapcsolódik. Pláne, ha sok különböző megoldással örvendeztetnek meg!..Van olyan témakör, amikor mégis használtattam a táblázatot. Pl.: a trigonometrikus egyenletek megoldását nagyon segíti. (Ezt „megoldotta" az új NAT. Már „nincsenek" forgásszögek! Szerencsére nem tilos tanítani!)
(Az író megjegyzése: Emelt szinten persze minden van, forgásszög is, a végtelenig és tovább.)
Ugyanakkor épp ebben a témakörben - az addíciós tételeknél- emelt szinten is használhatók az összefüggések. Ezért nálam órán és dolgozatnál is használhatják a diákok a táblázatot. De itt is igaz, hogy aki nem tudja fejből, az kevésbé ismeri fel, hogy kis átalakítást követően előtte az azonosság egyik oldala. Én azt látom, hogy aki nem tudja az összefüggéseket, annak a táblázat sem segít. Az érettségi évében – ismétléskor – a táblázat használatát is megtanulják. Ekkor már a problémához a témakört/témaköröket is meg kell találni. Így a kisérettségiken, póbaérettségiken, esetleges osztályozó vagy javító vizsgákon, egyes versenyeken is használható a függvénytáblázat. (Ezekben az esetekben több témakört kell egyszerre átlátni.) Az egyetemre készülőknek tudniuk kell, hogy a 0. ZH-n sem használhatnak függvénytáblát és számológépet. Azt mérik fel, mit tudnak.
Üdvözlettel, P.
(Az író megjegyzése: Ez általánosságban nem igaz, van olyan egyetem, ahol használhatnak számológépet, és van olyan, ahol nem.)
Valószínűleg érzi és látja már az olvasó, hogy nagyjából két szekértábor áll, nem feltétlenül a barikád két oldalán, de azért nem is kéz a kézben.
Kedves Kollégák!
Olvasva ezt az amúgy fontos beszélgetést, az az érzés erősödik bennem, hogy az, ami matekórákon történik, mennyire zavarbaejtően oldschool a diákok világához képest, és egyre inkább az. A diákok matekórán találkoznak olyan feladatokkal, amelyekhez nem mindig/sosem könnyű kapcsolódni (diákja válogatja), annál könnyebb viszont olyan segédeszközt találni, ami elbánik velük: a photomath már jóideje velünk van, és rövid idő kérdése, hogy berobbanjon a mesterséges intelligencia. És nem sok olyan terület maradt az életünkben, ahol a matekórán kívül törekszünk a segédeszközök nemhasználatára vagy alighasználatára, a bicikliszerelést megcsinálja a szerelő, az élelmiszer-alapanyagok egyre feldolgozottabb formában kaphatók, a ruhát készen vesszük (zoknistoppolás, ugyan már), a motivációs levelet megírja a ChatGPT, stb.
Ettől még lehet, hogy fontos, hogy valami, pl. a matematika megmaradjon egy ilyen „tudjunk az alapoktól mindent kibütykölni, ráadásul jegyezzük is meg" dolognak (nekem erről egyáltalán nincs kiforrott véleményem), viszont azzal számolni kell, hogy ez a hozzáállás egyre nagyobb kontrasztban áll minden mással, ami körülvesz minket. És nemcsak számolni kell vele, hanem mondani kellene rá valami értelmeset, hogy miért csináljuk mégis így, ráadásul nem is csak a matektanárok szintjén, hiszen bőven nem csak rólunk szól a dolog.
Legeslegelőször pedig sokat kellene erről gondolkodni.
Üdv: M
Természetesen ebben a levéláradatban megfogalmazódott az is, hogy nem kell mindenkinek egyforma módon gondolkozni, egyforma módszereket alkalmazni:
Kedves Mindenki!
… Ezzel kapcsolatban sem kellene szerintem egységesíteni. Emberként is különbözőek vagyunk, ne akarjunk ebben sem pontosan ugyanúgy gondolkodni. És ne is akarjuk egymásra erőltetni a mi általunk bevált módszereket. Mondom ezt azért, mert pl. engem majdhogynem köteleztek arra, hogy használtassak függvénytáblázatot diákokkal, amikor nekem meggyőződésem volt, hogy bizonyos képleteket pedig meg kell tanulni.
Ilyen pl. az, hogy a gyerek igenis tudja függvénytáblázat nélkül is, mit jelent egy hegyesszög szinusza, mi az a logaritmus, milyen hatványozás azonosságok vannak, milyen alap addíciós tételek vannak. Ha pl. nem tudja a sin2x-re vonatkozó azonosságot, az életben nem fog ráismerni, ha feladatban kellene. Remélem kiderült, hogy én is azon vélemény mellett tartok ki, hogy nem mindent a függvénytáblázatból kell tudni. És persze mindemellett meg kell nekik tanítani, mi merre van a függvénytáblában.
És még egyszer: szerintem jól van az úgy, ha nem mindenki ugyanúgy gondolkodik erről a témáról és mondjuk vezető tanárként vagy kollegiális szinten ne erőltessük egymásra a véleményünket, kialakult tanítási szokásainkat, stb.
Üdv R.
Bocsánat, ha minősítek, de utoljára hagytam a nekem legkedvesebb hozzászólást, mert saját gondolataimat látom benne fel-felbukkanni, csak jobban, összeszedettebben megfogalmazva. A vastagított kiemelések a cikk írójától származnak.
Kedves Kollegák!
előre elnézést kérek, hogy közbeszólok, bár engem már nem érint.
A levelekben leírt módszereket mind kipróbáltam – mert az derült ki, hogy ami az egyik diáknál szükséges, az a másiknál katasztrófa, és viszont. És kezdettől azt gondoltam, hogy jajj nekem, ha nem tudok rugalmas lenni, és elveim vannak pedagógiai helyzetek helyett.
… Tehát félve kérdezem: nem az lenne a normális, hogy elébe megyek a másiknak, fontolóra veszem mondandóját, mert hátha ő is a saját tapasztalatai alapján jutott arra, amit mond? Hátha érdemes a másik, enyémtől eltérő tapasztalatait is megismernem! Ennyire biztos minden levélíró, hogy ő mindent kitapasztalt már???
Én bizony annak örülök, ha új nézőpontokat kapok – neadjisten olyanokat, amelyek egy-egy tanítási helyzet vagy probléma újragondolására késztetnek. És P. biztos nem fog megharagudni, ha ideírom: engem bizony Pálmay Lóránt is ebben erősített meg.
F. azt javasolta, hogy fogadjuk el, ha más másképp csinálja (gondolom: ha az nem a „tanulja meg az az ebatta gyerek, én is megtanultam" nótájára készült, és van köze ahhoz, amiben a gyerekek élnek). Ez kezdetnek jó. De ne csak fogadjuk el: esetleg figyeljünk is oda, hátha tanulhatunk belőle.
Jó pap holtig tanul.
Üdvözlettel L.
A jövő
Ismerjük a múltat, és látjuk a jelent, de a jövő mindig egy kicsit bizonytalan, egy kicsit magunknak is alakíthatjuk. Amikor 2023 elején felvetődött a függvénytáblázat szakmai aktualizálása, akkor az első kérdések a következők voltak:
Milyen lépéseket kell tenni egy ilyen munka megkezdése előtt? Mik a mai szokások? Szükség van minden tárgy anyagának megismétlésére? Mit és kiket akarunk támogatni, segíteni az új függvénytáblázattal?
A beszélgetésekből, szakmai vitákból alapvetően az derült ki, hogy függvénytáblázatra szükség van. Habár minden elérhető az interneten, a jelenlegi informatikai háttér nem ad megbízható és kényelmes eszközt a mindennapi órák megtartásához, illetve az érettségik lebonyolításához függvénytáblázat nélkül, ha azok a jelenlegi elvek alapján kerülnek a további években is összeállításra. Számos tanár megerősítette, hogy a táblázatokat már csak demonstrációs céllal, történeti érdekességként mutatják meg, illetve esetleg bemutatják azt, hogy két, egymást 90 fokra kiegészítő szög szinusza és koszinusza egyenlő. Számolásokhoz ma már mindenki zsebszámológépet vagy mobilt használ.
Hogy milyen lesz pontosan az új függvénytáblázat, azt ma még nem tudjuk pontosan megmondani, mert még csak a tervezés stádiumában vagyunk, de biztos, hogy tartalmazni fog matematikai, fizikai és kémiai összefüggéseket, és a felépítése nem fog radikálisan megváltozni. Ugyanakkor kevesebb és kevésbé részletes táblázatok lesznek benne a trigonometrikus függvények és a logaritmus, illetve az exponenciális függvény kapcsán. Megkülönböztethető lesz a középszintű érettségihez tartozó és a csak emelt szintű érettségiben előforduló tananyagrész, hogy ezzel is segítsük a tanárok és a diákok munkáját. Mint minden új fejlesztésű tankönyv, ez is teljes terjedelmében és szabadon hozzáférhető lesz a tankonyvkatalogus.hu oldalon.
Abban bízunk, hogy minden tanár oly módon használja majd ezt a tanítási segédeszközt, ahogy az az ő tanítványainak a leghasznosabb.
Wintsche Gergely
Milton Friedman Egyetem, Eötvös Loránd Tudományegyetem