Járványmatek középiskolásoknak

A cikksorozat első részében foglalkoztunk többek között az exponenciális függvénnyel és a logaritmikus skálával. Ebben a részben ezeket az ismereteket is felhasználva a Covid-járvány kapcsán sokszor látott görbékről lesz szó. A hivatkozásokat követve az eredeti oldalakon sok grafikon paraméterezhető változata is megtalálható, érdemes ezekkel kísérletezni.

Járványgörbék¹

A kumulált adatokból készített járványgörbe²

Az alábbi levezetés a 3Blue1Brown videója alapján készül.

Azt fogjuk megadni, hogy adott idő elteltével hányan lesznek összesen a populációban, akik már megfertőződtek a vírussal. (Az összes megfertőzöttet mutató görbe monoton növő, hiszen az újonnan felfedezett esetek hozzáadódnak a már meglévőkhöz.)

Legyen $p$ ezúttal a megfertőződés valószínűsége, azaz a fertőzés átadásának esélye. Induljunk $N_{0}$ fertőző személlyel. Tegyük fel, hogy mindegyikük minden nap átlagosan $E$ fogékony emberrel találkozik. (A modell itt már elrugaszkodik a valóságtól, a pontosabb becslésre nem is ezt, hanem egy ennél jóval bonyolultabb modellt használnak.) Az $N_{0}$ ember mindegyike tehát átlagosan $E\cdot p$ személyt fertőz meg.

Egy nap múlva azoknak a száma, akik már megfertőződtek: .

Nézzük meg, mi lesz a helyzet 2 nap múlva: $N_{2}=N_{1}+N_{1}\cdot E\cdot p=N_{1}(1+Ep)=N_{0}(1+Ep)^{2}$ .

Hasonlóan folytatva a gondolatmenetet, megkapjuk, hogy a $k$ -adik napon az összes megfertőződött számát az $N_{k}=N_{0}(1+Ep)^{k}$ összefüggés adja meg.

Ebben a képletben az $E$ és a $p$ a két változó érték, és a végeredmény nagyon érzékeny az $Ep$ szorzatra. Számoljunk utána. Kezdjünk $21\,000$ fertőzöttel ( $N_{0}$ ), és vizsgáljunk körülbelül 2 hónapot (61 nap). Az egyik esetben $Ep$ értéke $0{,}15$ , a másik esetben $0{,}05$ legyen. Az $Ep$ szorzat $0{,}1$ -del való csökkentése milyen arányú változást eredményez a 61 nap alatt megbetegedettek számában?

Megoldás:

1. eset: $N_{61}=21\,000\cdot (1+0{,}15)^{61}=105\,873\,570$ .

2. eset: $N_{61}=21\,000\cdot (1+0{,}05)^{61}=411876 \to 257$ -szer ennyi fertőzött lett az 1. esetben.

Ahhoz tehát, hogy a járvány lassuljon, az $Ep$ szorzat csökkenésére van szükség. Ez előbb-utóbb beavatkozás nélkül is lecsökken, hiszen minél többen esnek át a fertőzésen, annál kevesebb olyan emberrel tud találkozni a fertőzött, aki még nem volt beteg³. Emiatt a görbe alakja ehhez hasonlóan fog kinézni⁴:

Egy egy szigmoid típusú görbe. Az S-betű alakjára hasonlító folytonos függvényeket nevezzük szigmoid függvényeknek, közülük az $\operatorname{arc}\operatorname{tg}x$ függvénnyel esetleg találkozhattak a diákok matematika órán. A járványgörbék néha hasonlítanak a szigmoid görbékre, de lényeges különbség közöttük az, hogy a járványgörbék nem szimmetrikusak. (Később a valósághűbb SIR-modellnél ezt látni is fogjuk.)

Ha meg szeretnénk akadályozni, hogy a járvány kontrollálatlanul söpörjön végig a populáción, akkor az $E$ és a $p$ értékét kell csökkenteni. Gondoljuk végig, hogy a két változót milyen beavatkozásokkal lehetne csökkenteni.

E	p
$\bullet$ a kontaktszámok csökkentését célzó intézkedések $\bullet$ a fertőzöttek elkülönítését célzó intézkedések $\bullet$ védőoltás	$\bullet$ A megfertőződés valószínűségének csökkentését célzó intézkedések, tevékenységek a vírus terjedési tulajdonságaitól függnek. Koronavírus esetén ezek például a maszkviselés, a gyakori kézmosás vagy fertőtlenítés, szellőztetés stb.

Egy járvány elindulásakor az összes fertőzöttet és a napi új fertőzéseket mutató görbe alakja is exponenciális. Ahogy az előbb láttuk, elérkezik a járvány lefolyása során az a pont, amikor a fertőzés sebessége csökkenni kezd.

Az új fertőzöttek számát mutató járványgörbe alakja

Az alábbi diagram az ausztráliai esetszámokat mutatja⁵. Érdekessége, hogy ezen egyszerre láthatók a napi esetszámok és az adott nappal bezárólag regisztrált fertőzések száma:

A napi új esetszámokat a kék oszlopdiagram mutatja, a hozzá tartozó értéktengely a bal oldalon található. Az adott napig bekövetkezett összes ismert fertőzés a korábban már vizsgált sárga színű vonaldiagramon látszik, ennek értéktengelye a jobb oldalon látható. Észrevehető a kapcsolat a két görbe között: amikor az effektív reprodukciós szám csökkenni kezd (adott napon kevesebb fertőzés van, mint előtte), akkor kezd el a csökkenni a sárga grafikon növekedési üteme is.

Emeljük ki a fenti grafikonból azt a részt, ami az első lecsengésig tart, vagyis amíg a sárga grafikon befutja a már látott S-alakot. Láthatjuk, hogy a másik grafikon ezalatt egy harangszerű alakot ír le.

Az ausztrál görbéhez hasonló, két hullámos járványgörbéje volt a torontói SARS-járványnak 2003-ban⁶:

Az aktív esetek számát mutató járványgörbe

A koronavírussal kapcsolatban az aktív eseteket mutató görbe futott be nagyobb karriert a médiában. Aktív esetnek számít mindenki, akinél tesztekkel igazolhatóan tart a betegség.

Tegyük egymás mellé az új esetek és az aktív esetek magyarországi görbéjét!⁷ Láthatjuk a hasonlóságot a két görbe alakja között:

Bizonyára sokan találkoztak a „lapítsuk el a görbét” felhívással. Ez az aktív esetek görbéjén a „harang” magasságának a csökkentésére vonatkozott. A „flattening the curve” avagy „laposítsuk el a görbét” híressé vált grafikonja:

Röst Gergely matematikus véleménye az ábráról: „Mindenki első pillantásra látja a két görbe közötti különbséget: az egyik jóval csúcsosabb, a másik szinte teljesen lapos, és van egy vízszintes vonal az ábrán, amely az egészségügyi kapacitást mutatja. Több szempontból kritizálták ezt az ábrázolást: az egészségügyi kapacitást nem vízszintes vonallal kéne jelölni, hiszen a legtöbb országban bővítettek a kapacitáson; kritizálták az arányokat is, hiszen az ábrán a csúcsosabb görbe nagyjából kétszer olyan magasra megy, mint a másik, míg a legrosszabb forgatókönyvek alapján legalább tízszer magasabb lenne. A pontatlanságok ellenére ez a jó kompromisszum kategóriába tartozik, mert a lényeget mindenki számára befogadható módon közvetíti.”⁸

A korlátozó intézkedések és a görbe „lapulása” közötti összefüggést jól szemlélteti a Washington Post által közölt szimuláció, melyet bárki lefuttathat. (Magyar nyelven az alapblog.hu-n olvasható összefoglaló a Washington Post cikkéről.) A korlátozások 4 fokozatához tartozó grafikonokon a narancssárga „harang” magassága a korlátozások mértékének megfelelően változik:

Történelmi példák is vannak arra, hogy a szociális távolságtartás járvány esetén hatásos védekezési módszer. A g7.hu cikkét idézzük.

Az USA-ban megvalósulhattak olyan kutatások, amelyek egy száz évvel ezelőtti járványra (a spanyolnátha-járványra) adott intézményi reakciók hatásait vizsgálták a járvány lefolyására és halálozási rátájára.

Az amerikai Nemzeti Tudományos Akadémia folyóiratában 2007-ben megjelent tanulmány fő üzenete szerint a járványra adott nem gyógyszerészeti beavatkozások és ezen belül is az időben bevezetett, a társadalmi távolságtartást eredményező megoldások (tömegrendezvények betiltása, iskolák, templomok bezárása stb.) nélkülözhetetlen szerepet játszottak abban, hogy mérsékelni lehetett a spanyolnátha-járvány hatását, csökkenteni lehetett a járvány halálozási rátáját.

A tanulmányban a szerzők két város, Philadelphia és St. Louis vezetésének az 1918-as spanyolnátha-járványra adott válaszait hasonlították össze. Míg Philadelphiában a politikusok késlekedve, csak két héttel az első esetek megjelenése után mertek döntést hozni a tömegrendezvények, összejövetelek betiltásáról, az iskolák, a templomok és a színházak bezárásáról, addig St. Louisban mindjárt az első esetek megjelenése után pár nappal meghozták ezeket a döntéseket. Ez a különbség megdöbbentő hatást gyakorolt a két városban a járvány halálozási rátájára. Philadelphiában lakosságarányosan sokkal többen haltak meg, mint St. Louisban. Míg Philadelpiában a járvány csúcspontján, amikor a legtöbben haltak meg (1918. október 19-én) 100 ezer lakosra vetítve 257 haláleset történt, addig St. Louisban a csúcs december 14-én volt 31 halottal 100 ezer lakosra vetítve.

De nemcsak a halálozási ráták csúcsaiban, hanem a halottak számában is hatalmas különbségek mutatkoztak. Míg Philadelphiában 100 ezer lakosra vetítve 719-en haltak meg a vizsgált időszak alatt, addig St. Louisban feleannyian, 347-en. Más vizsgálatok, amelyek már nemcsak két várost, hanem az USA 43 nagyobb városát vizsgálták, egyértelmű és szignifikáns összefüggést találtak a társadalmi életet korlátozó beavatkozások három fajtája (iskolák bezárása; közösségi rendezvények betiltása; karantén elrendelése) és a spanyolnátha-járványban a halálozási ráták alakulása között.

A fenti tanulmányok eredményei alapján tehát azt lehet látni, hogy azokban a városokban, amelyekben korábban vezették be a társadalmi életet korlátozó intézkedéseket, ott később ért a csúcsra a járvány, kisebb volt ez a csúcs, és végül alacsonyabb mortalitási rátával tudtak túl lenni a járványon.

A görbe sikeres lapításának hátulütője az úgynevezett megelőzési paradoxon. Ahol viszonylag gyorsan sikerült megállítani a vírus terjedését és lassítani a járványt, egyre többen vélik úgy, hogy a hatóságok túlreagálták a járványhelyzetet, nő a gazdasági és politikai nyomás az élet normalizálására, és lesznek, akik sokkal lazábban veszik majd a vírushelyzetet, megágyazva ezzel egy következő hullámnak.⁹ (A szigorítások és az enyhítések értékelésénél azt is figyelembe kell venni, hogy a járványgörbén csak késve mutatkoznak a bekövetkező hatások.)

A koronavírussal kapcsolatos további görbék elemzése

Sok helyen találunk a koronavírussal kapcsolatban jól elemezhető grafikonokat. Hármat külön is kiemeltem lejjebb, de számtalan egyéb grafikont találhatunk az interneten. Kifejezetten a koronavírussal kapcsolatos magyar adatokat dolgozza fel látványos, informatív formában az Átló Team. Az angol nyelvű oldalak közül a Worldometer és az OurWorldinData a legváltozatosabb területek, témák statisztikai adatait vizualizálja, a grafikonok többsége ráadásul a felhasználók által paraméterezhető. Megemlíteném még a Financial Times „koronavírus-idővonalát”, amely 2020 októberéig foglalja össze nagy vonalakban a világjárvánnyal kapcsolatos statisztikákat látványos infógrafikákkal illusztrálva.

Mozgóátlagot mutató grafikonok

Több grafikonon megjelenik a mozgóátlag vagy csúszóátlag. Feljebb láthattunk egy ábrát a magyar adatokról a fertőzöttek napi alakulásával és a hétnapos csúszóátlaggal (Az új fertőzöttek számának napi alakulása Magyarországon címmel). A mozgóátlag a kiugrások „elsimításával” világosabban mutatja a trendeket. A grafikonon látható hétnapos csúszóátlag értékét az adott napi és az előző 6 napi értékek számtani közepeként határozzuk meg.

A Worldometer oldalán a világszerte regisztrált koronavírusos esetszámok grafikonján a háromnapos (világoskék) és a hétnapos (kék) mozgóátlag is megjeleníthető:

A 100. regisztrált esettől indított görbe

A koronavírus világszintű elterjedésével felmerült az igény, hogy az egyes országokat össze lehessen hasonlítani a járvány terjedésének gyorsasága és a védekezés sikeressége szempontjából. Nagy népszerűségre tett szert az a grafikon, amely az összes regisztrált esetszámot mutatja logaritmikus skálán, közös kezdőpontba helyezve az országokat. A közös kezdőpont a 100. regisztrált eset napja. A grafikon az ausztrál Grattan Institute oldalán jelent meg először, felkapottá akkor vált, amikor a Financial Times is elkészítette belőle a saját verzióját¹⁰. A grafikon elemzéséhez hasznos forrás angol nyelven a Financial Times feliratozott, magyarázatokkal ellátott verziója (lásd lejjebb), valamint a vox.com angol nyelvű magyarázó videója.

Egy olyan grafikon, amely nem az eltelt idő függvényében ábrázolja az adatokat

Tanulságos lehet az a grafikon, ami az összes eset függvényében ábrázolja az elmúlt hét (vagy nap) új eseteit. Az idő múlását az animáció érzékelteti. A Brilliant.org oktatási portál által készített angol nyelvű videó nyújt segítséget az értelmezéshez. Az Our World in Data oldalon is szerepel ez a diagramtípus a legfrissebb adatokkal. Itt mi magunk állíthatjuk össze, hogy mely országok grafikonjait szeretnénk megnézni, és megadhatjuk a tengelyek típusát is (lineáris/logaritmikus). A videóban látható animációból kiválasztottam egy képet, amelyet a videó megtekintése után kielemezhetünk.

Néhány kérdés, amit feltehetünk a diákoknak:

1. A képen melyik nap adatai látszanak? (2020. március 11.)

2. Aznap körülbelül mennyi volt az összes regisztrált eset Kínában? (kb. 80 000. Egészen pontosan 80 778.¹¹)

3. Nagyjából hány új esetet regisztráltak az ezt megelőző héten Kínában? (kb. 500-at.)

4. Amikor 50 000 volt Kínában az összes regisztrált eset száma, akkor körülbelül hány új beteget regisztráltak az előtte lévő héten? (kb. 20 000-et)

5. Nézzük a grafikonnak csak azt a részét, ami a zöld téglalapon belül található.

Hányszorosára változott az összes esetszám? (10-szeresére)
Hányszorosára változott az egy héten belül regisztrált esetek száma? (10-szeresére)
Hány napot ölel fel a grafikonnak ez a része? (Ez nem megválaszolható. Egyrészt kell hozzá, hogy melyik országot nézzük, másrészt kell hozzá az animáció.)

6. Miből látszik, hogy a grafikonon látható időpontban Kína már jó úton haladt a vírus legyőzésében? (Az összes esetszám pici növekedésével a heti esetszám nagy csökkenése járt együtt.)

7. A grafikonon látható időpontban Kínán kívül melyik ország kezdett viszonylag jobban állni a vírus elleni harcban? (Dél-Korea.)

Az Our World in Data oldalon a magyarországi görbét kiválasztva ezt látjuk. (A videóban látotthoz képest itt a függőleges tengelyen a napi esetszám, nem pedig 7 nap összesített esetszáma szerepel.) Több ország kiválasztásával összehasonlító megállapításokat is tehetünk.

A SIR-modell

Az exponenciális növekedésről szóló részben láthattuk, hogy a járványterjedés első közelítésben exponenciális folyamatként írható le. Az új fertőzéseket mutató járványgörbén viszont azt láttuk, hogy az exponenciális növekedés a járvány lecsengésével lelassul. Ahhoz, hogy megjósolhassuk egy járvány lefutásának menetét, valóságközelibb modellek megalkotására van szükség. Ezek szinte mindegyike a rekeszes- vagy kompartment-modelleken alapul. Megértésük felsőbb matematikai ismereteket feltételez, középiskolásoknak nagy vonalakban lehet róluk szót ejteni. A modell matematika hátterének bemutatásához érdemes elolvasni Simon L. Péter Matematika a járványterjedés modellezésében című írását.

A legegyszerűbb kompartment-modell a vizsgált populáció tagjait három csoportba sorolja (megnevezése az angol kezdőbetűk alapján: SIR-modell):

$\bullet$ fogékonyak (Susceptible): azok az egyedek, akik fogékonyak a betegségre.

$\bullet$ fertőzők (Infective): a megfertőződött egyedek, akik képesek a fertőzés továbbadására.

$\bullet$ gyógyultak (Recovered vagy Removed): azok az egyedek, akik már nem kaphatják el a fertőzést vagy azért, mert már kigyógyultak és immunitást szereztek, vagy azért, mert elhunytak a betegség következtében.

A SIR-modellt, az ebből generált grafikont és a görbe „lapításának” lehetőségeit mutatja be angolul a Numberphile videója. A modell deriváltakkal és differenciálegyenletekkel dolgozik, de az alapgondolat talán ezek ismerete nélkül is követhető valamelyest. A vállalkozó kedvűek reprodukálhatják GeoGebrában a videóban látható szimulációt.

Simon L. Péter cikkében láthatunk egy grafikont arról, hogy a 2016-os influenzajárványt vizsgálva milyen eltérést mutat a modell jóslata (kék csillagok) a valóságos adatokhoz képest (piros körök).

Még pontosabb előrejelzést tesz lehetővé, ha az S, I, R kategórián belül tovább bontjuk a populációt valamilyen szempont szerint. Garay Barna és Molnár Zsófia Nemlineáris dinamikai modellek a biológiában: a kontaktusmátrixos SIR-modell című cikkében életkor alapján határozott meg 3 kategóriát, és vizsgálta egy fiktív járvány lefutását korosztályonként korlátozások bevezetésével, illetve anélkül.

Valójában a járvány előrejelzésére szolgáló modell még ennél is jóval összetettebb. Röst Gergely 2020 áprilisi előadásában (1:17:49-től) a továbbfejlesztett változat komplexitását próbálja érzékeltetni.

Kun Ádámnak a Qubiten megjelent cikkében is szerepel néhány, a SIR-modell alapján készített szimuláció. A modell mögötti matematika megértése nélkül is hasznos lehet, ha elemezzük a diákokkal a grafikonokat.