Járványmatek középiskolásoknak – 1. rész

Járványmatek középiskolásoknak – 1. rész

1. Bevezető

„Csak azt kívánom, hogy az emberi faj jólétét ily közelről érintő ügyben ne hozzunk döntéseket a nélkül a tudás nélkül, aminek egy kevés elemzés és számítás útján birtokába kerülhetünk.” (Daniel Bernoulli1)

A koronavírus-járvány kapcsán olyan tudományterületek által használt fogalmak kerültek a köztudatba, mint a mikrobiológia, az epidemiológia vagy a járványmatematika. A járványterjedés modellezésével foglalkozó tudósok előrejelzéseket, szimulációkat készítenek. „A matematika segítségével tudjuk rendszerezni az adatainkat, azokat értelmezni, tudunk új összefüggéseket feltárni, kockázatokat számszerűsíteni. A dinamikus modelljeinkkel, differenciálegyenletek segítségével tudunk előrejelzéseket tenni (hányan fognak várhatóan megbetegedni, mikor éri el a járvány a csúcspontját...). Tudunk különböző intervenciós stratégiákat, vakcinálási stratégiákat kiértékelni, esetleg újabbakat javasolni.”2 Hazánkban a Járványmatematikai Modellező és Epidemiológiai Elemző Munkacsoport végzi ezt a munkát Röst Gergely vezetésével. Eredményeik a koronavírus-járvány kezdetén, 2020 januárjában kerültek először az érdeklődés középpontjába, amikor sikerült megbecsülniük az iráni járvány valós mértékét3.

Középiskolában a járványterjedés modellezésének összetett matematikai módszereire ugyan nem tudunk kitérni, de számos olyan, a matematikához kapcsolódó fogalomról, összefüggésről beszélhetünk, amely középiskolai tudással megérthető. Tapasztalatom szerint a diákoknak élményszerűvé teszi a matematika tanulását, és növeli a motivációjukat, ha a tananyagtól picit elrugaszkodva hallhatnak érdekességekről, a mindennapokban előforduló jelenségekről. A járvány kapcsán egy újabb példát láthatnak arra, hogy az életünket milyen módon befolyásolhatja ez a tudományág.

Ez az összeállítás4 talán lerövidíti a felkészülést, ha egy-egy tanórán a Covid-járvány matematikai vonatkozásairól szeretnénk beszélni a diákokkal. A csoport matektudásának, a rendelkezésünkre álló időnek vagy éppen az aktuális tananyagnak megfelelően válogathatunk belőle, de segítségével akár közös projekteket is szervezhetünk a biológia, informatika vagy angol szakos kollégákkal. (Utóbbi tantárgyhoz az angol nyelvű források miatt, előbbihez a táblázatkezelőben megoldható számolási feladatok miatt tudunk kapcsolódni.) Bizonyos részeket önálló feldolgozásra is kiadhatunk, de akár kiselőadásra is felkészülhetnek belőle a diákok.

A cikksorozat első részében szó lesz arról, hogy mit jelent az exponenciális növekedés, és hogy hol találkozunk vele a járványterjedés kapcsán. Kitérünk olyan fogalmakra is, mint a reprodukciós szám és a nyájimmunitás. A második részben néhány érdekesebb járványgörbét tekintünk át, továbbá szót ejtünk a járványok terjedését leíró SIR-modellről. A harmadik rész az egészségügyi tesztek megbízhatóságával, valamint a vakcinák hatékonyságával kapcsolatos számításokkal foglalkozik.

Mi az exponenciális növekedés?

Példák exponenciális változásra

Annak ellenére, hogy a mindennapokban is találkozunk exponenciálisan változó mennyiségekkel, az emberek nagy százaléka alulbecsüli az exponenciális növekedés mértékét.5 A lineáris változásokat egyszerűbben meg tudjuk becsülni, míg az exponenciális változások esetén nehéz elképzelnünk, hogy egy kicsi érték rövid idő alatt a sokszorosára növekedhet.

Az exponenciális változás gyorsaságának érzékeltetésére négy példát választottam, amelyek végeredményét a végigszámolás előtt érdemes megtippeltetni a diákokkal. Az első két feladat egy-egy mértani sorozat $n$-edik tagját kérdezi, míg a második kettő az első $n$ tag összegére is rákérdez. A diákok matektudásának megfelelően akár általánosíthatjuk is a feladatokat.

1. Képzeljük el, hogy adott egy végtelenül nagy, de mindössze $0{,}001$ cm vastag papírlap, amit akárhányszor félbe tudunk hajtani. Nagyjából milyen magas lesz 45 hajtás után?

Ehhez a klasszikus problémához számos szemléltető-magyarázó videót találunk elsősorban angol nyelven.

$\bullet$ Szemléltetés: Angol nyelvű TED-Ed videó magyar felirattal (Exponenciális növekedés: Hogyan juthatsz el papírhajtogatással a Holdig?)

$\bullet$ Gyakorlati bemutató: A MythBusters csapata 11-szer hajt félbe egy focipályányi papírlapot (angol nyelvű videó felirat nélkül)

2. A szultán kincstárában $3\,145\,728$ aranypengő van. Elhatározza, hogy szétosztja a feleségei között. Első nap magához hívatja a kedvenc feleségét, és odaadja neki a kincstárban lévő arany felét. A második nap a második feleségének adja oda a megmaradt arany felét, és ezt így folytatja egészen addig, amíg csak 3 aranya marad. Hány feleséget tudott megjutalmazni a szultán?

3. Megnyerted a lottó 5-öst, és erről bizalmasan értesíted a 3 legjobb barátodat. Megkéred őket, hogy senkinek ne adják tovább a nagy hírt. Biztosítanak róla, hogy megbízhatsz bennük, de természetesen nem bírják megtartani a titkot, és egy órán belül mindegyikük elmondja 3-3 embernek. Ha mindenki, aki megtudta a hírt, 1 órán belül 3 embernek tovább is adja, hányan fogják tudni 10 óra múlva, hogy Te nyertél? (Tegyük fel, hogy mindenki csak olyan embernek adja tovább a hírt, aki még nem tud róla.)

4. A monda szerint a sakkjáték felfedezője is felvetett egy matematikai problémát az őt megjutalmazni kívánó uralkodónak. Ugyanis jutalmát rizsszemekben kérte, mégpedig úgy, hogy tegyen az uralkodó a sakktábla első mezőjére egy rizsszemet, a következőre kettőt, az azután következőre négyet és így tovább, mindig kétszer annyi szemet, mint amennyi az előzőn volt. Folytassa ezt addig, amíg a 64. mezőig el nem ér. Körülbelül hány rizsszem a jutalom összesen?

Angol nyelvű szemléltető videó: Rizsszemek a sakktáblán – egy exponenciális történet

Végezzük el a számolást egy táblázatkezelő programban, a kapott értékeket pedig ábrázoljuk pontdiagramon! (Az Excel csak 15 értékes jegy tárolására képes, így lesz olyan feladat, amelynek a végeredményét csak kerekítve tudja megjeleníteni.)

Kp1

Az első $n$ mezőn lévő rizsszemek számának meghatározása:

A keresett összeg legyen $x$.

Tudjuk, hogy $x=2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{62}+2^{63}$.

Szorozzuk meg 2-vel ezt az egyenlőséget: $2x=2^1+2^2+2^3+\ldots+2^{63}+2^{64}$.

Vonjuk ki egymásból a két egyenletet és ejtsük ki az azonos tagokat: $x=2^{64}-1$.

A rizsszemek számának pontos értéke: $18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ darab.

A példák után megfogalmazhatjuk az általános észrevételt: egy mennyiség időbeli változása exponenciális, ha bárhogyan is választunk két egyenlő időtartamot, a mennyiség mindkét időtartam alatt ugyanannyiszorosára változik.

Az exponenciális függvény precíz definiálása előtt megfogalmazhatunk néhány, a megértést segítő kérdést:

$\bullet$ Határozzuk meg az exponenciális változást leíró szorzót az egyes feladatokban!

$\bullet$ Miből látszik, hogy az exponenciális változás növekedés vagy csökkenés lesz-e?

$\bullet$ Összeköthetjük-e a grafikonjaink pontjait?

Az exponenciális függvény precíz matematikai bevezetéséhez használhatjuk a ZanzaTv videóját.

További példák exponenciálisan változó mennyiségekre:

$\bullet$ZanzaTv újabb videója két, a hétköznapi életben előforduló exponenciális folyamatot elemez (a Föld népességének növekedése, egy autó értékének változása), továbbá elmagyarázza az exponenciális csökkenés kapcsán a felezési idő fogalmát.

$\bullet$ Klasszikus példa az exponenciális növekedésre a piramisjátékok működése. Ennek a rövid bemutatására alkalmas például a TED-Ed „How to spot a pyramid scheme” című, angol nyelvű animációs videója.

A középiskolai tananyagban az exponenciális folyamatok között kiemelt szerepet kap a kamatos kamat. Érdemes egy példa erejéig kitérni erre a feladattípusra is.

Kamatos kamatszámításnál minden tőkésítési periódus (pl év) végén a kamatot a tőkéhez csatolják, a következő periódusban a kamattal növelt tőke kamatozik.

Tegyük fel, hogy fel szeretnénk venni $10\,000\,000$ Ft lakáshitelt 20 évre. Nézzük meg, hogy a 20 év alatt mennyi pénzt fizetünk vissza, ha a lakáshitel kamata 1%, 5%, 10%, 15% vagy 20%. Az egyes kamatlábakhoz tartozó grafikonokat érdemes egy koordináta-rendszerben ábrázolni. (Nézzünk utána, hogy a fenti kamatlábak közül melyek állnak legközelebb a valós adatokhoz!)

kamatláb szorzó képlet végeredmény
1% $1{,}01$ $10\,000\,000\cdot 1{,}01^{20}$  12 201 900
5% $1{,}05$ $10\,000\,000\cdot 1{,}05^{20}$  26 532 977
10% $1{,}1$ $10\,000\,000\cdot 1{,}1^{20}$  67 274 999
15% $1{,}15$ $10\,000\,000\cdot 1{,}15^{20}$ 163 665 374
20% $1{,}2$ $10\,000\,000\cdot 1{,}2^{20}$ 383 375 999

 

Szemléltetés táblázatkezelőben:

A logaritmikus skála

Az exponenciális folyamatokat leíró függvények nagyon gyorsan változnak, és nagyságrendekkel eltérő adatokat tartalmaznak. A logaritmikus skála előnye, hogy nagyon nagy és nagyon kicsi adatokat egyaránt ábrázolhatunk a segítségével.

Nézzük példaként az 1. feladatot a rizsszemekkel. (Emlékeztető: az exponenciális növekedés szorzója ebben a feladatban 2 volt.)

Készítsük el a grafikonját 2-es alapú logaritmikus skálán! (Excelben is használhatunk logaritmikus skálát: Jobb kattintás az értéktengelyre/Tengely formázása/Tengely beállításai/Logaritmikus skála, alapja: 2.) A 2-es alapú logaritmikus skála értéktengelyén az egységek a kettőhatványok lesznek.

Megoldás:

Kiemelve a bal alsó sarok a könnyebb értelmezhetőség kedvéért:

A Koronamonitor oldalon megtaláljuk a magyarországi összes regisztrált fertőzött számát mutató diagramot, amelyek nézetét lineárisra és logaritmikusra is állíthatjuk.

Nemzetközi adatokról hasonló digramokat találunk a worldometers.info oldalon.

A tőzsdei elemzések során is hasznos lehet a logaritmikus skála alkalmazása, az elemzeskozpont.hu írása több példa segítségével szemlélteti az előnyeit.

A földrengések erősségét6 mérő Richter-skála is 10-es alapú logaritmikus, azaz eggyel nagyobb számmal jelzett földrengés a valóságban 10-szer nagyobb erősségű.7

2. Exponenciális növekedés a járványterjedésben

A reprodukciós szám

A járványmodellezés egyik legfontosabb paramétere a koronavírussal kapcsolatban is emlegetett reprodukciós szám. Az effektív reprodukciós szám ($R$) azt fejezi ki, hogy egy fertőzött beteg átlagosan hány embernek adja át a vírust. Ha ez az érték 1-nél nagyobb, akkor a vírus könnyen terjedhet, míg ha annál kisebb, akkor várhatóan le fog csengeni. Az alap vagy elemi reprodukciós szám ($R_0$) a vírus fertőzőképességét mutatja a korlátozó intézkedések, védőoltás nélkül. Figyelembe vesz viszont olyan tényezőket, mint a zsúfoltság, a higiénia, a vírus terjedésének módja, vagy hogy milyen hosszú ideig fertőz az, aki elkapta. Gyakorlatilag azt mutatja meg, hogy a járvány kezdetén, amikor még senki sem immunis a fertőzésre, milyen gyorsan tud terjedni a vírus.8

Összefoglaló ábra:9

A reprodukciós számra általában intervallumot adnak meg, mert a társadalmi tényezők akár még egy-egy országon belül is eltérőek lehetnek.

A magyarországi koronavírus-járvány effektív reprodukciós számának ($R$) becslése a Koronamonitoron:

Hol van az exponenciális növekedés?

A járványterjedés pontos modellezésének a matematikája nagyon bonyolult, de első közelítésben nézzünk egy leegyszerűsített számítást annak az ellenőrzésére, hogy valóban exponenciális növekedésről van szó.

Tegyük fel, hogy egy városban $1\,000\,000$ lakos él, és közülük egyvalaki fertőzött. Legyen $R=3$. Feltételezzük továbbá, hogy minden fertőzött pontosan ennyi embernek adja át a vírust rögtön a fertőzését követő napon, és hogy az ezt követő napokon már nem fertőz. Adjunk képletet arra, hogy a $k$-adik napon hány ember fertőződik meg a koronavírussal! Módosítsuk a modellt, nézzük meg, mi történik, ha $R=3{,}28$, $R=2$, $R=0{,}5$! Az általános képlet felírásával igazoljuk, hogy exponenciális kifejezést kapunk! (Megoldás: $N_k=R^k$.)

Azt is kiszámolhatjuk, hogy hány olyan ember lesz $k$ nap múlva, aki már elkapta a vírust. (Tehát vagy éppen fertőzött, vagy már átesett a fertőzésen.)

Megoldás:

A keresett összeg legyen $x$. $x=1+3+3^2+\ldots+3^k$.

Szorozzuk az egyenletet 3-mal: $3x=3+3^2+\ldots+3^k+3^{k+1}$.

Vonjuk ki egymásból az egyenleteket: $2x=3^{k+1}-1$.

Osszunk 2-vel: $x=\frac{3^{k+1}-1}{2}$.

Az adatok ábrázolása táblázatkezelőben:

Röst Gergely előadásának inkjére kattintva a koronavírus matematikájáról szóló előadás egy részletét nézhetjük meg10. A videó 2020. április végén készült, ekkor a reprodukciós számra adott becslés $2{,}2$ volt. A kivetített dián az látható, hogy a különböző mértékű korlátozások esetén mennyire csökken le az effektív reprodukciós szám.

Az alábbi táblázat néhány vírus alap reprodukciós számát tartalmazza11:

Betegség Terjedés $R_0$
Kanyaró Levegőben 12–18
Bárányhimlő Levegőben 10–12
Szamárköhögés Cseppfertőzéssel 12–17
Diftéria Nyállal 6–7
Himlő Társas érintkezéssel 5–7
Járványos gyermekbénulás (polio) Széklettel 5–7
Rózsahimlő (rubeola) Cseppfertőzéssel 5–7
Mumpsz Cseppfertőzéssel 4–7
COVID–19 Cseppfertőzéssel $2{,}4$–812
HIV/AIDS Nemi úton 2–5
SARS Cseppfertőzéssel 2–5
Spanyolnátha (az 1918-as világjárványt okozó influenza) Cseppfertőzéssel 2–3
Ebola (a 2014-es járványt okozó törzs) Testnedvekkel $1{,}5$$1{,}9$
Influenza (a 2009-es járványt okozó törzs) Cseppfertőzéssel $1{,}4$$1{,}6$
MERS Cseppfertőzéssel $0{,}3$$0{,}8$

 

A magas alap reprodukciós szám ($R_0)$ nem mindig jár együtt rengeteg beteggel (azaz magas effektív szaporodási rátával), mert ez utóbbit más faktorok és különféle beavatkozások is módosítják (pl. védőoltás, korlátozó intézkedések). A SARS koronavírus esetében például 2 és 3 közé tették az $R_0$ értékét, mégis csak 8000 embert fertőzött meg. Ehhez képest az influenza alap szaporodási rátája a becslések szerint $1{,}3$ körül lehet, mégis milliókat fertőz meg évente.

Összefüggés $R$ és $R_0$ között13

Legyen $p$ a védettek14 aránya a populáción belül ( $p\in [0;1]$). Más megfogalmazásban: $p$ annak a valószínűsége, hogy a populációból véletlenszerűen választva egy egyedet, ő védett a fertőzéssel szemben. Ekkor a nem védettek aránya a populáción belül $1-p$. (Például ha a populáció $\frac{1}{5}$ része védett, akkor $\frac{4}{5}$ része nem az.)

Kezdetben legyen 1 fertőzött egyedünk.

Ő $R_0$ másik embert fertőzne meg, ha nem lennének védett egyedek.

De valójában az $R_0$ egyedből csak azokat sikerül megfertőznie, akik nem védettek. Mivel a nem védettek aránya $1-p$, ezért valójában összesen $R_0(1-p)$ egyed fertőződik meg. A képlet eredménye az effektív reprodukciós szám ($R$). (Ha $p=0$, azaz ez egy új járvány és még nincsenek védett egyedek, akkor a definíciónak megfelelően $R=R_0$.)

A járvány kitörésének feltétele tehát, hogy $R_0(1-p)>1$ legyen.

3. A nyájimmunitással kapcsolatos számítások

A koronavírus kapcsán sokat lehetett hallani a nyájimmunitás vagy közösségi immunitás fogalmáról. Nyájimmunitásról fertőző betegségek esetén beszélünk. „Úgy jön létre, hogy a népesség egy bizonyos részének beoltása vagy kigyógyulása védettséget biztosít a beoltatlanok számára is. Azaz, bár nem mindenki immunis a populációban, de az egész közösség együtt az. Egy népességben azok az egyének, akik immunitást szereztek, nem járulnak hozzá a kórokozó továbbterjedéséhez. Ilyen közösségben a fertőzésláncok nagyobb valószínűséggel szakadnak meg, a terjedés ezért lelassul, vagy meg is áll. A közösség minél több tagja szerez immunitást, annál kisebb a valószínűsége, hogy a többiek találkoznak a kórokozóval.”15Szertár 2020-as videója szemléletesen magyarázza el a nyájimmunitás fogalmát.

Hogy a népesség mekkora részének kell átfertőződnie, illetve védőoltást kapnia a nyájimmunitás kialakulásához, az az adott kórokozó fertőzőképességétől függ. A nyájimmunitással kapcsolatos számolásokhoz Ferenci Tamás cikkét vesszük alapul.

Az $R$ és $R_0$ közötti összefüggés vizsgálatakor a járvány kitörésének feltételére az $R_0(1-p)>1$ összefüggést kaptuk, ahol $R_0$ az alap reprodukciós szám, $p$ pedig a védettek aránya a populáción belül. A fenti egyenlőtlenségből $p$-t kifejezve a következőt kapjuk: $p<1-\frac{1}{R_0}$. Azaz a járvány kitörésének feltétele, hogy a védettek aránya, azaz $p$ $1-\frac{1}{R_0}$-nál kisebb legyen. A járvány lecsengésének feltétele is felírható ebből: $p>1-\frac{1}{R_0}$. Ha egy járvány ellen csak a védőoltás biztosít immunitást, akkor ez az arány megadja, hogy a populáció hanyadrészének kell beoltva lennie, hogy ne törjön ki a járvány.

Ez alapján az alábbi táblázatot ki tudjuk egészíteni azzal az értékkel, hogy hány százalékos védettség ad nyájimmunitást. Helyettesítsük be a fenti képletbe az $R_0$ értékeket!

Betegség $R_0$ $\vcenter{\hsize50mm\centering\bf Nyájimmunitáshoz szükséges immunitási szint\par
}$
Kanyaró 12–18  
Bárányhimlő 10–12  
Szamárköhögés 12–17  
Diftéria 6–7  
Himlő 5–7  
Járványos gyermekbénulás (polio) 5–7  
Rózsahimlő (rubeola) 5–7  
Mumpsz 4–7  
COVID–19 2,4–8  
HIV/AIDS 2–5  
SARS 2–5  
Spanyolnátha (1918) 2–3  
Ebola (a 2014-es járványt okozó törzs) $1{,}5$$1{,}9$  
Influenza (a 2009-es járványt okozó törzs)16 $1{,}4$$1{,}6$  

 

Megoldás:

Betegség $R_0$ $\vcenter{\hsize50mm\centering\bf Nyájimmunitáshoz szükséges immunitási szint\par
}$
Kanyaró 12–18 $91{,}7$%–$94{,}4$%
Bárányhimlő 10–12 90%–$91{,}7$%
Szamárköhögés 12–17 $91{,}7$%–$94{,}1$%
Diftéria 6–7 $83{,}3$%–$85{,}7$%
Himlő17 5-7 83,3% - 85,7%
Járványos gyermekbénulás (polio) 5–7 80%–$85{,}7$%
Rózsahimlő (rubeola) 5–7 $83{,}3$%–$85{,}7$%
Mumpsz 4–7 75%–$85{,}7$%
COVID–19 $2{,}4$–8 $58{,}3$%–$87{,}5$%18
HIV/AIDS 2–5 50%–80%
SARS 2–5 50%–80%
Spanyolnátha (1918) 2–3 50%–$66{,}7$%
Ebola (a 2014-es járványt okozó törzs) $1{,}5$$1{,}9$ $33{,}3$%–$47{,}4$%
Influenza (a 2009-es járványt okozó törzs) $1{,}4$$1{,}6$ $28{,}6$%–$37{,}5$%

 

Néhány szó a kanyaróról a nyájimmunitás szemszögéből

Nézzük meg a Mindenki Akadémiája sorozatból Röst Gergely előadását, amelynek címe A védőoltások matematikája!

A videóban szereplő egyik példa a kanyaró, amely a magas oltottságnak köszönhetően visszaszorult, majd több helyen újra megjelent19, ahogy az átoltott népesség elkezdett kihalni, az újszülötteket pedig kisebb arányban oltották be, mint ami a nyájimmunitáshoz szükséges lett volna ($91{,}7$%–$94{,}4$%).

Egy jó oltási program eredményét mutatja az első grafikon. A fekete vonal az oltás bevezetésének időpontját jelzi:

Ha 90% helyett 70%-os a beoltottság, akkor a járvány hullámokban visszatér:

A majdnem tökéletes, 85%-os oltottság esetén is hasonló visszatérő hullámot kapunk, csak hosszabb lesz a szünet az egymást követő járványhullámok között.

A kanyaróval kapcsolatban érdemes kiemelni a 2012-es foci EB-ről szóló részt. A versenysorozat egyik házigazdája Ukrajna volt, ahol az EB időpontjában kanyarójárvány zajlott.20 Mivel több európai országban a kanyaró elleni oltottság szintje 90% alatt van, ezért megvolt rá az esély, hogy az Ukrajnába utazó szurkolók elkapják a betegséget, és a saját országukba visszahurcolva járványt robbantanak ki. A legnagyobb kockázatot a franciák jelentették, mert ott volt a legalacsonyabb az átoltottság. Járványügyi szempontból szerencse, hogy a francia csapat hamar kiesett, a szurkolók hazamentek, és nem okoztak járványt Franciaországban.

A cikk második részében szó lesz járványgörbékről, illetve a járványok terjedését leíró SIR-modellről.

Volf Annamária

 


Lábjegyzetek

1 Daniel Bernoulli 18. századi orvos, matematikus és fizikus. Többek között a feketehimlő ellen alkalmazott védekezési eljárással, a variolációval kapcsolatban végzett fontos számításokat.
2 Részletek Röst Gergely előadásából (A védőoltások matematikája – Mindenki Akadémiája) https://www.youtube.com/watch?v=vCbuu747t-w.
3 https://index.hu/techtud/2020/03/05/magyar_matematikusok_a_koronavirus-jarvany_fo_modellezoi_kozott/
4 A tananyagban szereplő hivatkozások, görbék a 2021. júliusi állapotokat mutatják.
5 Forrás: https://qubit.hu/2020/07/21/aki-megerti-az-exponencialis-novekedest-nagyobb-esellyel-fogadja-el-a-jarvanyugyi-intezkedeseket.
6 A rengés erőssége a földrengés helyétől 100 km távolságban lévő szeizmográf által mikrométerben mért legnagyobb kitérés tízes alapú logaritmusa. Forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Richter-skála
7 A Richter-skála szerinti erősség mellett egy földrengés fontos jellemzője a magnitúdó, ami a földrengés során felszabaduló energiával függ össze. Ezt szintén logaritmikus skálán definiáljuk: egy magnitúdófokozat növekedés mintegy 32-szeres energia növekedést jelent. Forrás: http://www.foldrenges.hu/index.php?option=com_content&view=article&id=15:magnitudo&catid=19&Itemid=23.
8 Magyarázat a Zállatorvos videójából 16:13-tól: https://youtu.be/j0RijCfdlGE?t=973.
9 Ferenci Tamás cikke alapján.
10 Röst Gergely: A járványmatematikai és egyéb kutatások szerepe a koronavírussal szembeni védekezésben.
11 források: https://en.wikipedia.org/wiki/Basic_reproduction_number.
12  Az eredeti koronavírusra $2{,}4<R_0<3{,}4$; a variánsokra $3<R_0<8$.
13 forrás: https://vedooltas.blog.hu/2012/09/05/miert_oltunk_avagy_mire_jok_a_vedooltasok
14 Védett kétféleképp lehet valaki: védőoltás által vagy úgy, hogy már átesett a fertőzésen és immunissá vált a vírusra. (A fertőzésen való átesés nem minden esetben garancia az immunitásra.)
15 forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Nyájimmunitás
16 Influenza esetén a járvány lefolyását az is befolyásolhatja, hogy a lakosság egyes csoportjait milyen sorrendben oltják be. Röst Gergely és Knipl Diána számításai alapján akár 10%-kal is csökkenthető az összes megbetegedett száma, ha influenzajárvány idején az iskolásokat oltják be először: http://www.epidelay.u-szeged.hu/images/readersdigest.png
17 A himlő esetében az egész világon elérték a kritikus átoltottsági szintet, így ez a betegség megszűnt 1979-ben.
18 A magasabb értékek a koronavírus új variánsaira vonatkoznak.
19 Egy 2019. decemberi cikk az európai kanyarójárványokról: https://www.magyarhirlap.hu/eletmod/20191209-meg-nem-csillapodott-a-kanyarojarvany-europa-szerte
20 Az Országos Epidemiológiai Központ 2012-es tájékoztatója az Ukrajnába utazni készülő focidrukkerek számára: https://index.hu/sport/futball/2012/04/21/kanyarojarvany_terjed_az_eb_elott_ukrajnaban/