Haar Alfréd: Variációszámítás (egyetemi jegyzet, 1928/29, Kolozsvár, Ábel Kiadó, Kolozsvár, 2019. Fialowski Alice – Varga Csaba (szerk.) A jegyzet megvásárolható a Typotex Kiadónál.)
Haar Alfréd 1885. október 11-én született Budapesten. A Budapesti Evangélikus Főgimnáziumban érettségizett. 1904 tavaszától a Budapesti Tudományegyetemen matematikát, fizikát és csillagászatot hallgatott. 1905-től Göttingenben folytatta tanulmányait. Budapesten többek között Beke Manó, Eötvös Loránd és Kürschák József voltak tanárai, Göttingenben pedig olyan matematikusoknál tanult, mint Felix Klein, Constantin Carathéodory, Hermann Minkowski, Carl Runge, Ernst Zermelo és David Hilbert, akinél 1909-ben doktorált. Ezt követően rövid ideig a Zürichi Műegyetemen tanított, majd 1912-ben Farkas Gyula meghívására a Kolozsvári Egyetem Matematika-Fizika Tanszékére került.
A trianoni békeszerződés után a Kolozsvári Egyetem tanárai mindannyian eljöttek a Romániához került egyetemről. Haar rövid ideig Budapesten, majd a Szegedi Tudományegyetemen oktatott, ahol Riesz Frigyessel egy, az egész világon elismert matematikai iskolát hoztak létre. 1922-ben megalapították az Acta Scientiarum Mathematicarum („szegedi Acta”) folyóiratot, amely hamarosan az egyik legismertebb nemzetközi folyóirattá vált. (Vö. https://ematlap.hu/tudomany-tortenet-2023-1/1263-a-szegedi-acta) 1929-ben Haar a Hamburgi Egyetemtől felkérést kapott, ahol a variációszámításban elért kutatási eredményeit ismertette. (Az előadásait 1930-ban ki is adták németül.) 1931-ben a Magyar Tudományos Akadémia levelező tagjává választották. A topologikus csoportok elméletében alapvető jelentőségű utolsó műve 1933-ban jelent meg. Sajnos, fiatalon – 47 évesen – ugyanezen év március 16-án gyomorrákban elhunyt.
Haar Alfréd kétségkívül egyike azoknak a matematikusoknak, akiknek a munkássága a modern matematikára általánosan elismerten nagy hatással volt. Maradandót alkotott a lineáris egyenlőtlenség-rendszerek vizsgálatában, az approximációelméletben, de eredményei még inkább meghatározóak az ortogonális függvénysorok témakörében, a variációszámításban és a topologikus csoportok területén. A Haar-rendszer, Haar-lemma vagy a Haar-mérték a világ minden táján élő matematikusok között ismerősen csengő fogalmak.
A variációszámítás a szélsőérték-feladatok egy speciális osztályát öleli föl, amikor a független változó maga is függvény, és e függvénynek valamiféle integrálos kifejezését akarjuk maximalizálni vagy minimalizálni. A differenciálszámítás eszközeivel kezelt szélsőérték-feladatok esetében mindig egy egyenlőség típusú szükséges feltételt nyerünk (ennek kulcsszerepe van a megoldások előállításában). Ez a variációszámítási feladatok esetében egy differenciálegyenletet jelent, amit esetenként meg tudunk oldani, s a megoldások közül ki is tudjuk választani a feladatot kielégítőket. A most vázolt eljárás a matematikai analízis szemléletmódjából nézve nagyon is természetes, jóllehet a járatlanabbak meglehetősen absztraktnak könyvelik el. A variációszámítás, mint megoldási elv manapság már alapvetőnek számít a modern fizikában, de alkalmazásokkal bír a mérnöki tervezésben és a közgazdasági modellezésben is.
Variációszámításból először 1953-ban vált elérhetővé magyar nyelvű könyv M. A. Lavrentyev és L. A. Lusztyernyik művének lefordításával, a budapesti Akadémiai Kiadó gondozásában. A 60-as években Bajcsay Pál (BME) és Kósa András (ELTE TTK) jegyzetével már magyar szerzők alkotása is megjelent ebben a témában. Kósa András 1970-ben kiadott Variációszámítás című egyetemi tankönyve volt az, amelyből matematikusok nemzedékei tanulták a variációszámítást, s végül ez vált meghatározóvá honi berkekben. 1988-ban Dezső Gábor és Lázár József jegyzetével Erdélyben is kiadásra került magyar nyelvű variációszámítás tankönyv.
A kolozsvári Ábel Kiadó gondozásában megjelent Variációszámítás jegyzet alapját Haar Alfrédnak az 1928/29-es tanévben Szegeden előadott Variációszámítás kurzusa képezi. (Ez időben nagyon közel áll a nemzetközi matematikai közvélemény figyelmének homlokterében álló 1929-es hamburgi variációszámítás-előadásaihoz.) Akkortájt a variációszámítás a szélesebb körű egyetemi oktatásban még újdonságnak számított. Mára már a világ számos egyetemén felbukkan, de az egyre több nyomtatott és elektronikus tananyag megjelenésével együtt igényes oktatása egyre inkább kiüresedik, sőt lassan eltűnőben van az egyetemi katedrákról. Ahol egyáltalán tanítják, ott is jobbára csak marginálisan jelenik meg, a közönséges differenciálegyenletek oktatásán belül, ami eleve korlátozza a részletes felépítést. Egyidejűleg a matematikai analízisre épülő egyéb tárgyak tanításából is világszerte egyre inkább kiszorulni látszik az az egyszerűségre törekvő, mélyenszántó, személyes tudásból személyes tudásba átvivő közvetlen előadási mód, amely e jegyzet lapjain Haar Alfréd előadásaiból kisugárzik. A kiadott jegyzet ezáltal különleges szerephez jut: a variációszámítást tanítók és tanulók egyaránt haszonnal forgathatják. Az előbbiek a lényeglátást és annak átadási módját sajátíthatják el belőle, az utóbbiak számára pedig a téma szemléletes fölvezetéséül szolgál, minek folytán egy variációszámítás kurzus bevezető tananyagának is alkalmas. Nyelvezete és módszertana viszonylagos régisége dacára sem nevezhető elavultnak vagy meghaladottnak. A matematika legfontosabb vizsgálati és tanítási módszerei örökök, alig van rájuk kihatással a technológiai fejlődés. Egy szál krétával és a hallgatósághoz kialakított nyelv pontos használatával minden másnál messzebbre lehet jutni. Ez a jegyzet egy éppen ilyen előadási mód lenyomata, amely tükröt tart a mai oktatók elé, hogyan kell egyetemen tanítani. Mintha csak a múlt tért volna némileg vissza, kiigazítani a jövőt.
S a jegyzettel mintha Haar Alfréd is valami részben visszatért volna az egykor odahagyott Kolozsvárra.
Kánnai Zoltán egyetemi tanár
Budapesti Corvinus Egyetem, Matematika Tanszék
Irodalomjegyzék:
[1] Bajcsay Pál: Variációszámítás, Műszaki matematikai gyakorlatok C. II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.
[2] Dezső Gábor - Lázár József: Variációszámítás a fizikában és a technikában. Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1988.
[3] Haar Alfréd: Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Mathematische Annalen, 69 (1910), pp. 331–371.
[4] Haar Alfréd: A lineáris egyenlőtlenségekről, Mathematikai és Természettudományi Értesítő, Budapest 36 (1918), pp. 279-296.
[5] Haar Alfréd: Über eine Verallgemeinerung des Du Bois-Reymondschen Lemmas, Acta Scientiarum Mathematicarum, Szeged 1 (1922), pp. 33–38.
[6] Haar Alfréd: Zur Variationsrechnung, Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgschen Universität, vol. VIII (1930), pp. 1-27.
[7] Haar Alfréd: Der Massbegriff in der Theorie der Kontinuierlichen Gruppen, Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 34 (1933), pp. 147-169.
[8] Haar Alfréd összegyűjtött munkái. Sajtó alá rendezte Szőkefalvi-Nagy Béla. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1959.
[9] Kósa András: Variációszámítás. Egyetemi jegyzet IV. éves alkalmazott matematika szakos hallgatók számára, ELTE TTK, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.
[10] Kósa András: Variációszámítás. Egyetemi tankönyv, Tankönyvkiadó, Budapest, 1970.
[11] Lavrentyev, M. A. – Ljusztyernyik, L. A.: Variációszámítás, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1953.