Henri Poincaré matematikafilozófiája
Henri Poincaré (1854–1912) neve ismerős lehet a geometriából, hiszen a Bolyai-geometria egy modelljét ő adta meg, de a komplex analízisből, az algebrai topológiából, a dinamikai rendszerek elméletéből, az égi mechanikából is felidézhetünk tételeket és fogalmakat, amik az ő nevét viselik.[1] Ám jól ismert azok között is, akik műkedvelők, vagy nem kifejezetten azokon a területeken dolgoznak, amelyekben elérte eredményeit. Poincaré leginkább a róla elnevezett sejtés miatt tett szert nagy népszerűségre. Egészen szemléletes az a 19. században bizonyított tétel, hogy a térben minden korlátos és zárt felület, aminek nincs pereme és amelyikben minden hurok pontra zsugorítható, olyan, hogy kölcsönösen egyértelmű, oda-vissza folytonos módon ráképezhető az origó középpontú egységgömb felületére. A Poincaré-sejtés ennek az állításnak a négydimenziós általánosítása. Az extravagáns viselkedésű Grigorij Perelman (sokak munkáját felhasználva persze) ezt a sejtést igazolta 2003-ban, és a bizonyítás helyesnek is bizonyult.[2] Poincaré azonban nem csak iskolateremtő matematikus volt, hanem értékes módon járult hozzá a tudományfilozófia fejlődéséhez, és figyelemreméltó gondolatokat fogalmazott meg a matematikafilozófia területén is. Ez utóbbi hozzájárulást vesszük most szemügyre.
Henri Poincaré (1854–1912) (A kép forrása: Wikipedia)
Mindenekelőtt azonban tisztáznunk kell, hogy mit várunk akkor, amikor filozófiáról, speciálisan is Poincaré matematikafilozófiájáról beszélünk, ezért érdemes néhány tesztkérdést feltenni magunknak (olyasmiket, amiket az analitikus filozófus Walter Kaufmann tett fel a kontinentális filozófus Martin Bubernek). A filozófia, Arisztotelésztől Kantig és tovább, fogalmak tisztázásával, elemzésével foglalkozik, ám nem minden filozófia követi ezt a módszert. A kérdések tehát. 1. Kevésbé értékes-e az elemző típusú megközelítés és inkább értékes Kierkegaard, Heidegger vagy Alain Badiou munkássága? 2. A filozófiai érdeklődés középpontjában vajon inkább van-e Lao-ce, mint Arisztotelész, Naszreddin hodzsa, mint Hume, vagy József Attila, mint Kripke? 3. Fontosabb-e a személyes tapasztalat, mint a fogalmi tisztaság és magyarázó elméletek felállítása? 4. A filozófiának nem válaszokat kellene-e inkább adnia, ahelyett, hogy kérdéseket tesz fel és egymással versengő hipotéziseket állít fel? Ha ezekre igen a válaszunk, akkor Poincaré filozófiája ki fog minket ábrándítani, mert egy adott tudomány filozófiája ugyanolyan tudomány, mint az összes többi akadémiai diszciplína, legfeljebb több benne a vita, lévén éppen a legitim kérdések tisztázása a feladata és nem pusztán a következtetések levonása.
A matematika fogalmi megalapozásának feladata a 19–20. században számos válságon ment keresztül, és Poincaré is ebben a forrongó, de egyben inspiráló légkörben szembesült azzal, hogy választ kell találni azokra a kérdésekre, hogy mi és miért éppen az a matematika, ami. Számára a fő ellenlábas a logicizmus volt, ami a matematikafilozófia egyik jelentős álláspontjaként tűnt fel akkoriban, így közvetlen vitapartnerei inkább Gottlob Frege és Bertrand Russell voltak[3], akik a logicizmus zászlóvivőinek számítottak. Természetesen nem arról van szó, hogy lennének matematikai precizitással definiálható filozófiai álláspontok és jól behatárolható filozófiai iskolák, így naivitás lenne definiálni mi is pontosan a logicizmus. Russell logicizmusa teljesen másféle volt, mint Frege-é, kettejük álláspontjai nem kicserélhetők. Mindazonáltal a meghirdetett kutatási programjuk alapján könnyű beazonosítani, miben közös a felfogásuk. A logicista a matematikát a logika részének tekinti és minden matematikai állítást végső soron logikai következménynek tekint. Ezzel szemben Poincaré szerint a logika nem képes megalapozni a matematikát abból a szempontból, hogy nem lehetséges levezetni belőle a matematikai fogalmakat, elsősorban is azért, mert a matematika az igazságkeresési módszertan szempontjából más természetű, mint a logika. Poincaré legalább három helyen éri tetten a logicizmus lehetetlenségét: – a logika nem tudja biztosítani a matematika ellentmondásmentességét, legalábbis egyszer már megégettük a kezünket miatta; – nem dönt arról, hogy a matematika miért éppen azokkal a problémákkal foglalkozik amikkel, és miért azok a geometriák, algebrák vagy aritmetikák a kitüntetettek a matematikában, amik; – továbbá a logicizmus semmilyen módon nem ad választ arra, hogy mik azok a tárgyak (legyenek azok téridőbeliek vagy elképzeltek), amikről a matematikai állítások beszélnek, és milyen módon tudunk mi ezekhez hozzáférni.
Ezen a ponton tehát könnyű lenne felkiáltani, hogy hát persze hogy igaza van, hiszen a logika formális (benne is van a nevében: formállogika), a matematika pedig tartalmas állításokat tesz a tárgyáról. Ez azonban vulgarizálás lenne. Egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy a logikának, nemhogy analitikusnak, de mégcsak nem is a priori természetűnek, tapasztalattól függetlennek kellene lennie, még akkor sem, ha Kant ezt állítja. Sőt, teljesen jó példákat hozott Putnam és Dummett arra, hogy a logika valójában nem egyetlen elmélet, hanem logikák vannak, amelyek a különféle szaktudományok szaklogikáiként funkcionálnak.
Amikor egy informatikus egy program helyességét kívánja igazolni, egyáltalán nem biztos, hogy használni tudja azt az érvelést, amit egy matematikus tud nyújtani. Az informatikus vágyai között szerepelhet egy humán ágenstől független verifikáció, egy, a számítógép által legyártható bizonyíték arra, hogy azt mondhassa, a programban nem lesz vagy nincs hiba, és úgy működik, ahogy azt elvárjuk tőle. Márpedig akkor ez már nem a klasszikus logika lesz. És valóban, az utóbbi időben megszülettek azok a magasabbrendű programozási nyelvek, amelyekben kifejezhetők a programok szemantikai tulajdonságai, és amelyeknek a megléte formális matematikai pontossággal igazolhatók, és ezek a bizonyítások ugyanúgy programok lesznek, mint maguk a programok, amiknek a helyességét bizonyítani szándékozzák. (Ilyen programozási nyelvek a Coq, Agda vagy a Lean.)
Egy fizikus ugyan klasszikus logikát használ a tudományos érvelései során, de ha egy kvantummechanikai állapotra vonatkozó állítást fogalmaz meg, például, hogy „Schrödinger macskája életben van”, akkor egyáltalán nem biztos, hogy az az állítás a klasszikus logika szabályai szerint fog működni. Az a sajátságos logika, aminek a részeként a kvantummechanika állításai mutatják magukat inkább írható le a lineáris algebra, mint a Boole-algebrák elméletével. De elég csak Arisztotelészig elmenni: a kérdés, hogy holnap tengeri csata lesz-e, erős kihívás elé állítja a klasszikus logikát. A logika képes empirikus, a posteriori is lenni.
Út az intuicionizmus felé
Durván megfogalmazva tehát, a logicizmus az az álláspont, hogy a matematika minden fogalma definiálható pusztán logikai fogalmakkal, és a matematikai tételek levezethetők pusztán logikai axiómákból, logikai eszközökkel, mindenféle matematikai axiómák és módszerek nélkül. Vegyül a képbe azonban néhány új szín is. Egyfelől a formalista megközelítés, másfelől a platonizmus. A formalista megközelítés szerint a matematikai tevékenység pusztán játék a szimbólumokkal. Ugyan Russell a nyelvfilozófiájában lényeges szerepet szánt a nyelvi kifejezések jelentéseinek, a matematikai munkáiban (a projektív geometria axiomatizálásában és a Principia Mathematica felépítésében) eléggé elrugaszkodott a szemlélettől és a gyakorlattól. Ezzel szemben az általa formalistának nevezett Hilbert kifejezetten fontosnak tartotta a matematikusi gyakorlathoz illetszeni logikai építményét és az alapokat, a tartalmas vagy igazi matematikának nevezett finit konstrukciókhoz vagy a geometriai intuicióhoz kötötte. Nem kevésbé kapcsolta Frege a matematika alapjait a matematikai gyakorlathoz, például a számfogalom Dedekind-féle felépítéséhez vagy a halmaz fogalmának Cantor-féle leításához.
Poincaré a logicizmus mind russelli, mind frege-i verzióját kritizálta. Egyiken sem lehet túl erős fogást találni, mert a filozófiai álláspontok olyan feltevéseket is tartalmaznak, amiket a másik fél nem fogad el. Jellemzően így az ellenfél, közös alap hiányában, úgy tudja vitatni az ellenfél álláspontját, hogy megmutatja, ha még ezt-és-ezt a premisszát is hozzávenné a feltételekhez, akkor ellentmondásra jutna. Ez pozitívuma is az analitikus (lényegében a vitatkozó) filozófiának, hiszen logikai módon (azaz kemény eljárással) diszkvalifikálja az összeférhetetlen hipotéziseket. Jó esetben ebből még az is következhet, hogy az ellenfél feltételrendszere valóban ellentmondásos. Russell ezt alkalmazta Frege felépítésével szemben, amikor annak jelentéselmélete ellen érvelt és ellentmondást talált benne.
Ezt alkalmazta Poincaré is, amikor amellett érvelt, hogy a logika axiómáiból nem következnek a projektív geometria axiómái. Russell állítása ugyanis az volt, hogy az igazi geometria a projektív geometria, míg Poincaré az euklideszi geometria mellett tette le a voksát. A két nagy szerző azon kapott hajba, hogy melyik geometria az, amelyik szerint az emberi elme felfogja, felismeri a térbeli külvilágot. Az utókor felől nézve ez a vita persze megmosolyogtató, lévén, mára azt is tudjuk, hogy a tér görbülete attól is függ, hogy milyen fizikai körülmények között vagyunk. Mi több, az, hogy a vizuális külvilágot hogyan érzékeli az emberi ágens, egy külön tudományra, a kognitív tudományra tartozik. Ez a tudomány pedig ma már azt állítja, hogy nem pusztán geometriai, hanem elsősorban valószínűségi, statisztikai algoritmusok játszhatnak szerepet az agyi vizuális kogníciós folyamatokban.
A másik analitikus stratégia, hogy a vita egyik szereplője rámutat arra, hogy ugyanazt a filozófiai kérdést más feltételekkel is meg lehet válaszolni, konkrétan az ellenfél feltevései nélkül. Gyakorlatilag ez Occam-borotvájához hasonlít, azzal a különbséggel, hogy most nem a felesleges premisszák elhagyása a cél, hanem annak megmutatása, hogy nincs az ellenfélnek megsemmisítő eszköz a kezében a másik ellen, mert akár anélkül is megoldható lenne az adott probléma.
Poincaré a logicizmus elleni küzdelmében több olyan érv kezedményét felfedezte, ami később alapvető jelentőségű volt akár a matematikafilozófia logicizmustól való eltávolodásában, akár az úgy nevezett fundácionalizmus elvetésében. Ez utóbbi tantárgyak nevében is túlél (a matematika alapjai), bár ha van valami, amire megtanított minket a versengő matematikafilozófiák 20. századi cicaharca, az az, hogy a matematika alapjainak kutatása, ha nem is hiábavalóság, de mindig beleütközünk olyan korlátozó természetű tételekbe, amik gátat szabnak a szilárd alap lerakásának.
Russell filozófiája elleni érvelésében arra mutat rá, hogy a végtelenségi axióma feltételezése eleve elrontja a logicista építményt, hiszen olyan szakmai axiómát ad hozzá az addig tisztán logikai építményhez, ami megkérdőjelezi a logika matematikától való érintetlenségét. És valóban. Az ugyan igaz, hogy bármely egyedi természetes számot tartalmazó mondat kifejezhető pusztán logikai terminusokkal, de a teljes indukció következetési szabálya már nem vezethető le a maradék axiómarendszerből. Egy másik lehetőség, hogy úgy definiáljuk a természetes számokat, mint amik teljesítik a teljes indukció sémáját (ez lenne a legszűkebb induktív halmaz). Annak az állításnak az igazolása, hogy létezik ilyen halmaz, csak akkor eredményezheti, hogy valóban létezik ilyen halmaz, ha belátjuk az axiómarendszer ellentmondásmentességét. Nos, nehéz elképzelni, hogy ezt a teljes indukció sémája vagy még ennél is erősebb séma nélkül meg lehetne tenni – Poincaré még nem ismerte a Gödel-féle nemteljességi tételeket, vagyis hogy még a teljes klasszikus aritmetika is kevés egy ilyen bizonyításhoz –, lévén a bizonyítások, amikről az állítás azt állítja, hogy nincs köztük az ellentmondást igazoló példány, felsorolhatóan végtelen sokan vannak. Ez viszont ördögi kört eredményezne az érvelésben. Az egyetlen kibúvó, ha feltételezzük, a teljes indukció következtetési szabálya azért érvényes, mert ezt súgja a matematikai intuíciónk – vagy egyszerűen: mert igaz. Visszaértünk tehát oda, hogy a logicista álláspont tarthatatlan. Poincaré azt annyira komolyan gondolta, hogy azon az állásponton volt, hogy a matematika alapintuíciója a természetes számok és induktív tulajdonságuk.
Poincaré másik komoly vitája Frege-vel illetve a matematikai platonistákkal zajlott. A matematikai realisták vagy platonisták szerint azok a tárgyak, amelyekről a matematikai állítások beszélnek, létező dolgok, bár nem a téridőben léteznek, hanem az absztrakt objektumok világában. Frege-t lenyűgözte a matematika objektivitása, és az a siker, ami a matematika formalizálását kísérte, amivel ez a tudomány a legegzaktabb jelzőt vívta ki magának. Frege ősellensége volt a pszichologizmusnak, azaz annak a nézetnek, hogy a matematikai objektumok olyan képzetek, amelyeket az emberi elme hoz létre. Márpedig Poincaré központi elemnek tartotta az emberi intuiciót, hasonlóan Brouwerhez vagy Hilberthez. A platonizmussal két elvi és egy gyakorlati probléma van. Az elméleti kérdések, amikre a platonisták nem szívesen szeretnének válaszolni, hogy hol laknak a matematikai tárgyak és hogy mi az a mágikus képesség, amely a téridőben létező embert képessé teszi arra, hogy a téridőn kívüli, platóni világban létező tárgyakat felismerje. A kézzelfoghatóbb probléma a kutatás az „igazi” matematika után. Frege például azt állította, hogy az igazi, létező geometria az euklideszi, és bár attól még, hogy a hiperbolikus geometria ellentmondásmentes, még nem tekinthető létezőnek, csak puszta játék a szavakkal. Poincaré szerint, bár az ember a matematikai intuíció által az euklideszi geometriát képes megragadni, de nem zárja ki, hogy más faj képes felfogni a hiperbolikust is. Frege ezek után az objektivitást kérte számon Poincarén. Ha a matematikai tárgyak csak pszichológiai képzetek, akkor mi biztosítja azt az objektivitást és egzaktságot, ami a matematikára jellemző?
Konvencionalizmus és strukturalizmus
Poincaré két nagyon jelentős szociálkonstruktivista megoldást kínált fel az objektivitás biztosítására, ami csak a 20. század második felében kezdett újra felbukkanni a matematikafilozófia tudományában. Természetesen az egyedi emberek agyában más-más intuitív kép élhet a matematikai tárgyakról. Ezek a képek maradéktalanul nem egyeztethetők. Ám a rájuk vonatkozó relációkat már képesek vagyunk kommunikálni és végső soron a matematikusok közötti tudományos kommunikáció biztosítja az objektivitást. Figyeljünk fel arra, hogy ezt a gondolatot már Kalmár László is alkalmazta a közös tudás kialakulásának magyarázataként! Persze legyinthetünk: ezek álkérdések, és a matematikának semmi köze a pszichológiához. A zavarbaejtő azonban az, hogy a modern logika eredményei szerint még a számelmélet esetén sem biztosítja az elsőrendű logika, hogy a természetes számok axiómarendszerének az izomorfizmus erejéig egyetlen modellje legyen. Amit kitüntetett (sztenderd) modellnek nevezünk, azt konvenció rögzíti számunkra. Poincaré tehát a konvencionalista magyarázathoz fordult, és mint később kiderült, zavarbaejtő halmazelméleti tételek vezetnek oda, hogy ez a magyarázat megkerülhetetlen legyen.
Poincaré gondolatai újra felfénylettek a strukturalizmus előretörésével. A Frege–Poincaré-vita érvei nagyon ismerősek, Benacerraf híres 1965-ös, Amik a számok nem lehetnek című cikke felől visszatekintve. Ebben Benacerraf amellett érvel, hogy akárhogy is definiáljuk a természetes számokat, lesz olyan patologikus tulajdonságuk, amitől ők valójában nem tekinthetők a természetes számoknak. Mert, jelenti ki Benacerraf, a természetes számok halmazát az elemei között fennálló relációk, vagyis az általuk meghatározott algebrai struktúra definiálja. Rossz kérdés tehát, hogy mik az egyedi természetes számok, és ezzel együtt a fundácionalista törekvés is hiábavalóság. A struktúrák azok, amik a matematikát azzá teszik, amik. Ez a gondolat Poincarénél is megjelenik, amikor a geometria algebrizálásának Felix Klein által megkezdett programját eredményesen és kreatívan folytatta az algebrai topológiában.
Meg kell azonban jegyezni, hogy Poincaré strukturalizmusa nem terjeszkedik túl a konstruktív kereteken, amennyiben a struktúrák mentális megragadását továbbra sem választja szét az intuíciótól és a nyelvközösség gyakorlatától. Ebben az értelemben in re strukturalista, azt gondolja, hogy a matematikai tárgyak egzisztenciáját mentális tapasztalaink és az ezekhez társuló intuícióink alapozzák meg. Meglepő módon formalista is. Egyáltalán nem gondolja azt, amit Brouwer, hogy a matematika nyelv nélküli mentális tevékenység lenne. Poincaré a nyelvet elengedhetetlennek tartja a matematika objektivitásának fenntartása érdekében. Elképzelései tehát nagyon közeliek Hilbert matematikaképéhez, ami viszont nem is annyira meglepő, lévén mindketten kivételesen eredményes, gyakorló matematikusok voltak.
Poincaré hatása a matematika alapjaira
Poincaré hatását a matematikára és a fizikára felbecsülni sem lehet. Viszont már az eddigiekből is kiderült, hogy a matematikafilozófia és a matematika megalapozásának témája is sokat tanult tőle. Talán az egyik legfigyelemreméltóbb tanulság, hogy nem kell a strukturalizmusra és a belőle származó kategóriaelméletre úgy gondolnunk, mint ami a valóságtól és a gyakorlattól messze elrugaszkodott elméleti terület. Poincaré azzal, hogy egy meglehetősen konstruktív fogalmat, a matematikai indukciót tekintette a matematika alapintuíciójának azzal együtt is, hogy strukturalista volt, elképzelhetővé tett egy olyan matematikát, ami egyensúlyt tart a konkrét és az absztrakt tudás között. És valóban! Az az ismeret, hogy a természetes számok kategoriaelméleti, strukturális módon is definiálhatók, illetve az, hogy erre alapozható a matematika, olyan gyakorlatközeli területeken is megjelent, mint a programnyelvek tervezése és az úgy nevezett certified programming, ami nemcsak programhelyesség ellenőrzésre, de matematikai bizonyítások formalizálására és verifikálására is alkalmazható. Végigtekintve Poincaré munkásságára, ő volt az első, aki elképzelhetővé tette a matematika egy olyan konstruktívista/intuicionista felépítését, amely egyszerre képes nagyon absztrakt fogalmakat is megragadni, de konkrét feladatokat is konstruktív módon kezelni.
Irodalomjegyzék
Benacerraf, P. (1965). Philosophy of mathematics: What numbers could not be. The Philosophical Review, 74, 47.
Buber, M. (2017). Aus: Philosophical Interrogations. In A. Noor & K. Schreck (Ed.), Band 12 Schriften zu Philosophie und Religion (pp. 534–576). Gütersloh: Gütersloher Verlagshaus. https://doi.org/10.14315/9783641248611-028
Dummett, M. (1976), "Is Logic Empirical?", in H. D. Lewis (ed.), Contemporary British Philosophy, 4th series (London: Allen and Unwin), pp. 45–68. Reprinted in M. Dummett, Truth and other Enigmas (London: Duckworth,1978), pp. 269–289
Heinzmann, Gerhard and David Stump, "Henri Poincaré", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 Edition), Edward N. Zalta (ed.), https://plato.stanford.edu/archives/sum2022/entries/poincare/
Putnam, H. "Is Logic Empirical?" Boston Studies in the Philosophy of Science, vol. 5, eds. Robert S. Cohen and Marx W. Wartofsky (Dordrecht: D. Reidel, 1968), pp. 216–241. Repr. as "The Logic of Quantum Mechanics" in Mathematics, Matter and Method (1975), pp. 174–197.
Léna Soler, Sjoerd Zwart, Michael Lynch, and Vincent Israel-Jost (eds.), Science after the Practice Turn in the Philosophy, History, and Social Studies of Science, Routledge, 2014.
Schumann, A. (2021). Logic from Kant to Russell. Laying the Foundations for Analytic Philosophy. History and Philosophy of Logic, 43, 400–404.
Jairo José da Silva, “On mathematical intuition. A phenomenological approach to Poincaré’s philosophy of arithmetic”, Philosophia Scientiæ, 1(2) (1996), p. 87–99 http://www.numdam.org/item?id=PHSC_1996__1_2_87_0
Molnár Zoltán Gábor
BME, Algebra Tanszék
[1] Poincaré szerteágazó tudományos munkásságáról és a francia és európai elittel ápolt kapcsolatairól az érdeklődő olvasó a MacTutor matematikai archívumben nézhet utána.
[2] ld. korábbi cikkünket: https://ematlap.hu/gazda-g-sag-2019-6/872-hogyan-lehetunk-dollarmilliomosok
[3] ld. a szerző korábbi cikkeit: https://ematlap.hu/konyvespolc-2021-8/1080-russeltol-godelig, https://ematlap.hu/konyvespolc-2020-12/1001-vilagos-gondolatok-elmehunyt-idokben