Mi is...egy kettősviszony?

Különböző egyenesek négyeseit¹ elláthatjuk egy egyértelmű invariánssal, a projektív kettősviszonnyal: két négyes akkor és csak akkor vihető át egymásba valamely lineáris transzformációval, ha megegyezik a kettősviszonyuk. A projektív kettősviszonnyal írható le a projektív egyenes geometriája. Négy egyenes projektív kettősviszonya kiszámolható mint két alkalmas, belőlük alkotott hármas osztóviszonyának hányadosa, innen az elnevezés.

Tekintsünk négy, páronként különböző, az origón áthaladó $(x,y,z,t)$ egyenest a síkon. Ekkor léteznek lényegében egyértelmű koordináták, amelyekben $x$ az $(1,0)$ pontot, $y$ a $(0,1)$ -et, $z$ az $(1,1)$ -et, és $t$ a $(b,1)$ -et tartalmazó, fenti tulajdonságú egyenes, ahol $b=\mathbf{b}(x,y,z,t)$ a négy egyenes projektív kettősviszonya. A projektív kettősviszony kielégíti függvényegyenletek bizonyos $\mathcal{R}$ halmazát. Emeljünk ki ezek közül kettőt: az első két változóra vonatkozó multiplikatív kociklus-szabályt és egy additív szabályt:

$\displaystyle \mathbf{b}(x,y,z,t)$	$\displaystyle =\mathbf{b}(x,w,z,t) \mathbf{b}(w,y,z,t)$	(1)
$\displaystyle \mathbf{b}(x,y,z,t)$	$\displaystyle =1 - \mathbf{b}(t,y,z,x).$	(2)

Fordítva is igaz: bármely halmaz, ellátva a négyesein egy olyan $\mathbf{b}$ függvénnyel, amely teljesíti $\mathcal{R}$ egyenleteit, előállítható a projektív egyenes valamely részhalmazaként úgy, hogy $\mathbf{b}$ a projektív kettősviszony megszorítása. Ez az elemi, ám figyelemre méltó állítás azt jelenti, hogy a projektív kettősviszony teljesen meghatározza a projektív egyenest. Következésképpen, értelmezhetjük a projektív kettősviszonyt úgy, mint pontnégyeseken értelmezett, bizonyos függvényegyenleteket kielégítő függvényt.

A projektív kettősviszonynak sok leszármazottja létezik az algebrai geometriában: síkok, egyenesek vagy zászlók elrendezéseinek invariánsai. Ezek kifejtését most mellőzzük; ehelyett maradunk a valós és komplex projektív egyenesnél és a kettősviszony negatív görbületű sokaságokkal, hiperbolikus dinamikával és a Teichmüller-elmélettel való kapcsolatánál.

A valós hiperbolikus sík leírható a valós projektív egyenes metrikus kiterjesztéseként. A $\mathbb{C}$ komplex egyenesen (amelyet a komplex projektív egyenes egy affin térképeként tekintünk) a valós egyenesek részhalmaza egy körvonalat alkot², amely ezáltal bijekcióban áll a valós projektív egyenessel. A Poincaré-féle körlap-modellben a hiperbolikus sík az $\mathbb{U}$ egységkörvonal (mint valós projektív egyenes) által határolt körlap. A hiperbolikus sík geodetikusai az $\mathbb{U}$ -ra merőleges körvonalak³. Az $\mathbb{U}$ valós projektív egyenes két tetszőleges pontjára pontosan egy geodetikus illeszkedik. A projektív kettősviszony a következő módon áll kapcsolatban a hiperbolikus távolsággal.

Egy $\mathbb{U}$ -t érintő körvonal a Poincaré-körmodellben az $x$ érintési pont mint középpont körül egy horoszféra. Legyen $A,B$ két különböző pont a hiperbolikus síkon, és jelöljük $\gamma$ -val a rájuk illeszkedő egyetlen geodetikust. Jelöljük továbbá $x,y$ -nal $\gamma$ végtelen távoli pontjait⁴. Legyenek $C_x$ és $C_y$ azon horoszférák $x$ illetve $y$ körül, amelyek áthaladnak $A$ -n illetve $B$ -n. Végül, legyenek $z,t$ azon $C_z, C_t$ horoszférák középpontjai, amelyek érintik egymást és $C_x$ -et illetve $C_y$ -t. Ekkor, $A$ és $B$ egymástól vett hiperbolikus távolsága az $x,y,z,t$ pontok projektív kettősviszonyának logaritmusa. Evvel az eljárással a hiperbolikus távolság és a projektív kettősviszony kölcsönösen meghatározza egymást.

Megfordítva, a valós projektív egyenes a hiperbolikus sík végtelenbeli pereme. A Poincaré-körmodellben két irányított geodetikus akkor és csak akkor végződik azonos $\mathbb{U}$ -beli pontban, ha aszimptotikusak egymással, azaz korlátos távolságban maradnak egymástól⁵. Ez lehetővé teszi a fentiek kiterjesztését Hadamard-felületekre. Egy $M$ kétdimenziós Riemann-sokaság Hadamard-felület, ha egyszeresen összefüggő, negatív görbületű és teljes. $M$ végtelenbeli pereme irányított geodetikusai aszimptotikus ekvivalencia-osztályainak $\partial_{\infty} M$ halmaza. A hiperbolikus sík végtelenbeli pereme a valós projektív egyenes. Egy horoszféra egy adott pontot tartalmazó metrikus körvonalak határértéke, amint azok sugara tart a végtelenbe.

J.-P. Otal a fenti eljárást visszájára fordítva általánosította a kettősviszonyt egy tetszőleges $M$ Hadamard-felület $\partial_{\infty} M$ végtelenbeli peremére: négy, $\partial_{\infty} M$ -beli $x,y,z,t$ pontból kiindulva tekintsük az ábrán jelölt horoszférákat, és értelmezzük kettősviszonyát úgy, mint az $A$ és $B$ pontok (meghatározott előjellel vett) távolságának exponenciálisát. Általában, az így nyert függvény kielégíti $\mathcal{R}$ -et, kivéve a (2) additív egyenletet! Értelmezzünk most egy kettősviszonyt egy olyan függvénynek, amely kielégíti ezt a gyengített feltétel-rendszert. Ezt az ötletet felhasználva Otal bebizonyította, hogy egy felületen egy negatív görbületű metrikát határoz meg a zárt geodetikusainak hossza. Bourdon pedig hasonló kettősviszonyok segítségével értelmezett egy durva geometriát egy általános negatív görbületű metrikus tér végtelenbeli peremén.

Térjünk most át a hiperbolikus dinamikára és Teichmüller-elméletre! Tegyük fel, hogy $M$ az univerzális fedőfelülete egy $S$ zárt felületnek. Noha $\partial_{\infty} M$ fogalmát $M$ metrikus geometriájából vezettük be, valójában kizárólag a $\pi_1 (S)$ fundamentális csoporttól függ, tehát jelölhetjük a következőképpen is: $\partial_{\infty} \pi_1 (S)$ . Ez a végtelenbeli perem homeomorf a körvonallal, és természetes módon hat rajta $\pi_1 (S)$ . Tehát, minden negatív görbületű Riemann-metrika -en meghatároz egy $\pi_1 (S)$ -invariáns kettősviszonyt $\partial_{\infty} \pi_1 (S)$ -en.

Egy kettősviszonynak létezik dinamikai interpretációja is: tekintsük $\partial_{\infty} \pi_1 (S)$ páronként különböző ponthármasainak $US$ hányadosát a $\pi_1 (S)$ diagonális hatására nézve. Ez a hányados egy kompakt tér. Egy kettősviszony megadja $US$ transzformációinak egy $\{ \phi_t \}$ egy-paraméteres részcsoportját a következő szabály szerint: $\phi_t (x,y,z)=(x,y,w)$ , ahol $t=\mathbf{b}(x,y,z,w)$ . Ekkor az (1) multiplikatív kociklus-szabály így írható: $\phi_{ts}=\phi_t \circ \phi_s$ ⁶. Amennyiben a kettősviszony egy negatív görbületű Riemann-metrikából származik, e konstrukció éppen az adott metrika geodetikus áramát adja. Általánosságban, a kettősviszony közeli viszonyban áll a dinamikával.

Mi a $\partial_{\infty} \pi_1 (S)$ -en értelmezett kettősviszonyok $\mathcal{M}_S$ tere? Az $S$ feletti hiperbolikus struktúrákat alkotó Fricke-tér (amelyet Riemann Uniformizációs tétele segítségével gyakran azonosítunk az $S$ feletti komplex struktúrák $\mathcal{T}(S)$ Teichmüller-terével) alkotja $\mathcal{M}_S$ -ben a projektív kettősviszonyok részhalmazát. Minden ilyen kettősviszony azonosítja $\partial_{\infty} \pi_1 (S)$ -et a projektív egyenessel, és ezáltal ábrázolja $\pi_1 (S)$ -et $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ -ben. Hasonlóan, a szerző megmutatta, hogy a $\pi_1 (S)$ csoport $\operatorname{PSL}(n,\mathbb{R})$ -beli ábrázolásainak egy altere – az úgynevezett Hitchin-komponens – megfelel a (2) bizonyos általánosításait kielégítő kettősviszonyok terének. Végül, $\mathcal{M}_S$ tartalmazza az $S$ feletti negatív görbületű Riemann-metrikák terét is.

Az $\mathcal{M}_S$ tér feltehetőleg rendelkezik egy érdekes struktúrával, amely általánosítja a Hitchin-komponens Goldman által leírt Poisson-struktúráját. Egy Poisson-struktúra egy $Y$ halmazon nem más, mint egy Lie-algebra struktúra az $Y$ feletti függvények valamely osztályán, amely teljesíti a függvények szorzatára vonatkozó Leibniz-szabályt. E fogalom a klasszikus mechanikából ered, és a kvantummechanikához vezet. Definíció szerint, a végtelenbeli perem minden $(x,y,z,t)$ pontnégyese megad $\mathcal{M}_S$ -en egy $\mathbf{b}\mapsto \mathbf{b}(x,y,z,t)$ függvényt. E függvények megszorítása a Fricke-térre származtat egy természetes függvényosztályt, amelyen Wolpert és Penner kiszámolta a Poisson-struktúrát. Később Csehov, Fock és Penner kvantálta e függvényeket (azaz: ábrázolta őket egy Hilbert-téren ható operátorokként), egy agyafúrtabb módszerrel pedig Fock és Goncsarov a Hitchin-komponenst kvantálta.

Másrészt, a kettősviszonyok alapvetőek a klasszikus Teichmüller-elmélet több tulajdonságának – úgymint például a McShane-azonosságok – általánosításában egy magasabb Teichmüller-Thurston elméletté, ami a Hitchin-komponens vizsgálatát jelenti.

A komplex projektív kettősviszony továbbá szoros viszonyban áll a háromdimenziós hiperbolikus geometriával. Két friss és szép példa erre W. Neumann tanulmánya Hilbert harmadik problémájának hiperbolikus változatáról, és a Baseilhac, Bonahon, Benedetti, Kashaev, stb. által kidolgozott kvantumhiperbolikus geometria.

A mindenütt jelenlévő kettősviszony által kielégített egyszerű függvényazonosságok elég rugalmasak ahhoz, hogy leírjanak különféle geometriai és dinamikai kérdéseket, azonban elég merevek ahhoz, hogy fontos információt hordozzanak dinamikáról, Poisson-struktúráról és felületek fundamentális csoportjának ábrázolásairól.

François Labourie szövegét fordította és megjegyzésekkel ellátta: Szabó Szilárd

Irodalomjegyzék

: [1] F. Labourie, Cross ratios, surface groups, $\operatorname{PSL}(n,\mathbb{R})$ and diffeomorphisms of the circle, Publ. Math. IHES (2007), no. 106, 139-213.

[2] J.-P. Otal, Sur la géométrie symplectique de l'espace des géodésiques d'une variété à courbure négative, Rev. Mat. Iberoamericana (1992), no. 3, 441-456.

[3] W. D. Neumann, Hilbert's 3rd problem and invariants of 3-manifolds, The Epstein Birthday Schrift, 383-411 (electronic), Geom. Top. Monogr., 1, Geom. Topol. Publ., 1998

[4] W. Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, vol. 1, Princeton University Press (1997).

Lábjegyzetek

: ¹négyes alatt végig rendezett négyest értünk (a fordító megjegyzése)
: ²az eredeti szövegben tévesen a következő megfogalmazás szerepel: egy rögzített valós síkot elmetsző komplex egyenesek egy körvonalat alkotnak (a fordító megjegyzése)
: ³beleértve az origón áthaladó egyeneseket is (a fordító megjegyzése)
: ⁴azaz, $\gamma$ metszéspontjait $\mathbb{U}$ -val (a fordító megjegyzése)
: ⁵az irányítás szerinti pozitív időtartományra megszorítva (a fordító megjegyzése)
: ⁶az eredeti szövegben az azonosság bal oldalán helyett helytelenül áll, így valójában a változó logaritmusában kapunk ábrázolást (a fordító megjegyzése)

Információk

Főmenü

Mi is...egy kettősviszony?

Irodalomjegyzék

Lábjegyzetek