A Baker-módszer és egy alkalmazása

Ezen cikk célja, hogy rövid betekintést nyújtson a diofantikus számelmélettel foglalkozó kutatók által sokszor idézett és alkalmazott, Alan Baker Fields-érmes matematikus nevével fémjelzett, ún. Baker-módszerbe.

Ehhez először néhány alapvető definíciót ismertetünk. Az $\alpha \in \mathbb{C}$ komplex számot algebrai számnak nevezzük, ha $\alpha$ gyöke egy nem azonosan nulla egész együtthatós polinomnak. Megmutatható, hogy minden $\alpha$ algebrai szám esetén létezik egyetlen olyan minimális fokszámú $\mathbb{Q}$ felett irreducibilis $m_{\alpha}(x)=a_0x^k+a_1x^{k-1}+\ldots+a_k \in \mathbb{Z}[x]$ egész együtthatós polinom, amelyre $a_0 > 0$ , $\operatorname{lnko}(a_0,a_1,\ldots,a_k)=1$ és amelynek $\alpha$ gyöke. Ezt a polinomot az $\alpha$ definiáló polinomjának, ezen polinom fokszámát pedig $\alpha$ fokának nevezzük. Ha az $\alpha \in \mathbb{C}$ szám nem algebrai, akkor transzcendensnek hívjuk.

1844-ben Liouville [19] konstruált először explicit módon transzcendens számokat. Megmutatta, hogy pl. a $\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{10^{k!}}}$ szám transzcendens. Megjegyezzük, hogy míg transzcendes számokat konstruálni viszonylag egyszerű, addig jóval nehezebb feladat megmutatni egy adott komplex számról, hogy transzcendens-e vagy sem. Ebben a tekintetben megemlítjük, hogy Hermite 1873-ban igazolta, hogy az $\mathrm{e}$ szám transczcendens, míg Lindemann 1882-ben bizonyította a $\pi$ transzcendenciáját.

1900-ban a Párizsban megrendezett II. Nemzetközi Matematikai Kongresszuson David Hilbert, a világ ekkor már elismerten egyik legnagyobb matematikusa, „Matematikai problémák” címmel tartott, később óriási jelentőségre szert tevő előadást, amiben felsorolta a matematika szerinte legfontosabb problémáit. Ebből a hetedik probléma bizonyos alakú számok transzcendenciájára vonatkozik.

1. probléma. (Hilbert 7. problémája) Ha $\alpha \ne 0,1$ algebrai szám és $\beta$ irracionális algebrai szám, akkor $\alpha^{\beta}$ transzcendens.

A fenti problémát Hilbert nagyon nehéznek érezte és ezzel kapcsolatban az alábbi megjegyzéseket tette:

„A 7. probléma nagyon nehéz, így érdemes összehasonlítani néhány ismert problémával.

A Riemann-hipotézis bizonyítása irányába az utóbbi években komoly előrehaladás történt, így nagyon remélem, hogy még megérem a bizonyítását.

Számos biztató eredmény van a Fermat-sejtéssel kapcsolatban is, ezért talán a hallgatóság legfiatalabb tagjai megérik a sejtés bizonyítását.

Annak a bizonyítását azonban, hogy a $2^{\sqrt{2}}$ transzcendens szám, a jelenlevők közül senki sem fogja látni.”

Ma már tudjuk, hogy Gelfond és Schneider alább ismertetendő tételének köszönhetően (ld. 1. tétel), Hilbert 7. problémája megoldottnak tekinthető, valamint Wiles [27] munkájának köszönhetően a Fermat-sejtést is sikerült igazolni. A Hilbert által „legkönnyebbnek” gondolt probléma, azaz a Riemann-sejtés, még mindig megoldatlan.

Gelfond és Schneider tételének ismertetéséhez szükségünk lesz egy nemnulla komplex szám logaritmusának a főértékére¹. Mint ismert, minden $0 \ne \alpha \in \mathbb{C}$ felírható $\alpha=r\mathrm{e}^{i\phi}$ alakban, ahol $r, \phi \in \mathbb{R}, r=\vert\alpha\vert>0$ . Ekkor $\log{\alpha}$ alatt a logaritmus főértékét értjük, azaz $\log{\alpha}:=\ln{r}+i\phi$ , ahol $-\pi < \phi \le \pi$ .

Hilbert 7. problémáját Gelfond és Schneider egymástól függetlenül igazolta (ld. [13] és [23]).

1. tétel. (Gelfond és Schneider egymástól függetlenül (1934)) Legyenek $\alpha_1 \ne 0,1, \alpha_2 \ne 0,1$ valamint $\beta_1 \ne 0, \beta_2 \ne 0$ olyan tetszőleges algebrai számok, amelyekre $\log{\alpha_1}$ és $\log{\alpha_2}$ lineárisan függetlenek a racionális számtest fölött². Ekkor

$\displaystyle \beta_1\log{\alpha_1}+\beta_2\log{\alpha_2} \ne 0.$

(1)

Megmutatható, hogy az 1. tétel implikálja Hilbert 7. problémáját, így végtelen sok példát szolgáltat transzcendens számokra. Ezért pl. a Hilbert által felvetett $2^{\sqrt{2}}$ szám transzcendens. Továbbá, mivel a jól ismert Euler-formula miatt $\mathrm{e}^{i\pi}=-1$ , ezért Hilbert 7. problémáját felhasználva adódik, hogy az $\mathrm{e}^{\pi}$ szám is transzcendens, hiszen

$\displaystyle \mathrm{e}^{\pi}=\mathrm{e}^{-i^2\pi}=(\mathrm{e}^{i\pi})^{-i}=(-1)^{-i}.$

A Gelfond és Schneider által egymástól függetlenül igazolt 1. tétel az $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ algebrai számokra tett bizonyos feltételek mellett azt állítja, hogy az (1) kétváltozós logaritmikus lineáris forma nem lehet nulla. Természetes módón merül fel tehát a kérdés, hogy ekkor a $\vert\beta_1\log{\alpha_1}+\beta_2\log{\alpha_2}\vert$ mennyiség mennyire lehet közel nullához. Ebben a tekintetben megemlítjük Gelfond egy 1935-ben közölt eredményét (ld. [14]).

2. tétel. (Gelfond (1935)) Legyenek $\alpha_1 \ne 0,1, \alpha_2 \ne 0,1$ olyan tetszőleges algebrai számok, amelyekre $\log{\alpha_1}$ és $\log{\alpha_2}$ lineárisan függetlenek a racionális számtest fölött és tegyük fel, hogy $\beta_1, \beta_2$ olyan tetszőleges egészek, amelyek közül legalább az egyik nemnulla. Ekkor bármely $\varepsilon >0$ esetén létezik egy $C=C(\varepsilon,\alpha_1,\alpha_2)>0$ effektíve meghatározható konstans³ úgy, hogy

$\displaystyle \vert\beta_1\log{\alpha_1}+\beta_2\log{\alpha_2}\vert>C\exp\left(-(\log{B})^{5+\varepsilon}\right),$

(2)

ahol $B=\max\{3,\vert\beta_1\vert,\vert\beta_2\vert\}$ .

Gelfond megjegyezte, hogy az 1. tétel valamint a 2. tételben szereplő (2) becslés megfelelő kiterjesztése tetszőleges $n \ge 2$ változós logaritmikus lineáris formákra jelentős eredményekre vezetne a diofantikus approximáció valamint a diofantikus egyenletek elméletében. Az áttörést, valamint Gelfond és Schneider 1. tételének, illetve Gelfond 2. tételének messzemenő kiterjesztéseit Alan Baker 1960-as évekbeli kitűnő munkái hozták meg.

Az alábbi tétel Baker [1], [2], [3] egyik meghatározó eredménye, mely tetszőleges $n \ge 2$ változós logaritmikus lineáris formák algebrai számok feletti lineáris függetlenségével kapcsolatos. Ez az eredmény kiterjesztése Gelfond és Schneider 1. tételének.

3. tétel. (Baker (1966,1967)) Legyen $n \ge 2$ egy pozitív egész és legyenek $\alpha_i \ne 0,1$ ( $1 \le i \le n$ ) tetszőleges algebrai számok, valamint jelölje $\log{\alpha_1}, \ldots, \log{\alpha_n}$ az $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ számok logaritmusainak a főértékét. Tegyük fel, hogy $\beta_1, \ldots, \beta_n$ olyan tetszőleges algebrai számok, amelyek közül legalább egy nemnulla. Ha $\log{\alpha_1}, \ldots, \log{\alpha_n}$ lineárisan függetlenek a racionális számtest fölött, akkor

$\displaystyle \beta_1\log{\alpha_1}+\ldots+\beta_n\log{\alpha_n} \ne 0.$

Megemlítjük még Baker [1] alábbi eredményét, amely kiterjesztése Gelfond 2. tételének tetszőleges $n \ge 2$ változós logaritmikus lineáris formákra. A tétel kimondásához használjuk egy $\alpha$ algebrai szám naív magasságának a fogalmát, ami nem más mint az $\alpha$ $\mathbb{Z}$ feletti definiáló polinomja együtthatói abszolútértékének a maximuma.

4. tétel. (Baker (1966)) Legyen $n \ge 2$ pozitív egész, és legyenek $\alpha_i \ne 0,1$ ( $1 \le i \le n$ ) tetszőleges algebrai számok, valamint jelölje $\log{\alpha_1}, \ldots, \log{\alpha_n}$ az $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ számok logaritmusainak a főértékét. Tegyük fel, hogy $\beta_1, \ldots, \beta_n$ olyan algebrai számok, amelyek közül legalább egy nemnulla. Ha $\log{\alpha_1}, \ldots, \log{\alpha_n}$ lineárisan függetlenek a racionális számtest fölött, akkor bármely $\varepsilon >0$ -hoz létezik egy $C=C(\varepsilon, n, d, \alpha_1,\ldots,\alpha_n)>0$ effektíve kiszámítható konstans úgy, hogy

$\displaystyle \vert\beta_1\log{\alpha_1}+\dots+\beta_n\log{\alpha_n}\vert>C\exp\left(-(\log{B})^{n+1+\varepsilon}\right),$

ahol , illetve jelöli a $\beta_i$ ( $1 \leq i \le n$ ) algebrai számok fokainak, illetve naív magasságainak egy felső korlátját.

Látható, hogy Baker fenti tételében az alsó korlát hasonló struktúrájú mint a 2. tételben, sőt az általános esetben a $(\log{B})$ kitevőjében $n+1+\varepsilon$ áll, ami némileg javítása az $n=2$ esetben szereplő $5+\varepsilon$ nagyságrendnek.

Két évvel Baker fenti tétele után Feldman [11] a 4. tétel alábbi javítását igazolta.

5. tétel. (Feldman (1968)) Legyen $n \ge 2$ pozitív egész és legyenek $\alpha_i \ne 0,1$ ( $1 \le i \le n$ ) algebrai számok, valamint jelölje $\log{\alpha_1}, \ldots, \log{\alpha_n}$ az $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ számok logaritmusainak a főértékét. Tegyük fel, hogy $\beta_1, \ldots, \beta_n$ olyan algebrai számok, amelyek közül legalább egy nemnulla. Ha $\log{\alpha_1}, \ldots, \log{\alpha_n}$ lineárisan függetlenek a racionális számtest fölött, akkor létezik egy $C=C(n, d,\alpha_1,\ldots,\alpha_n)>0$ effektíve kiszámítható konstans úgy, hogy

$\displaystyle \vert\beta_1\log{\alpha_1}+\dots+\beta_n\log{\alpha_n}\vert>\exp\left(-C\log{B}\right),$

ahol , illetve jelöli a $\beta_i$ ( $1 \leq i \le n$ ) algebrai számok fokainak, illetve naív magasságainak egy felső korlátját.

Megjegyezzük, hogy az 5. tételben a $(\log{B})$ -től való függés éles, azaz ez nem gyengíthető tovább. A diofantikus egyenletekre való alkalmazáskor a $\beta_1, \ldots, \beta_n$ algebrai számok egészek és fontos még, hogy a $C$ értéke explicit módon kiszámítható legyen.

Ebben a tekintetben Baker [4] volt az első, aki 1968-ban Feldman fenti eredményének teljesen explicit verzióját igazolta.

6. tétel. (Baker (1968)) Legyen $n \ge 2$ pozitív egész, legyenek $\alpha_i \ne 0,1$ ( $1 \le i \le n$ ) algebrai számok, valamint jelölje $\log{\alpha_1}, \ldots, \log{\alpha_n}$ az $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ számok logaritmusainak a főértékét, és tegyük fel, hogy $0<\delta \leq 1$ . Lgyenek továbbá $b_1, \ldots, b_n$ olyan egészek, amelyek közül legalább egy nemnulla, és legyen $B=\max\{\vert b_1\vert,\ldots,\vert b_n\vert\}$ . Ha

$\displaystyle 0<\vert b_1\log{\alpha_1}+\dots +b_n\log{\alpha_n}\vert < \exp{(-(\delta B))},$

akkor

$\displaystyle B < \left(4^{n^2}\delta^{-1}d^{2n}\log{A}\right)^{(2n+1)^2},$

ahol $d \ge 4$ , illetve $A \ge 4$ jelöli az $\alpha_i$ ( $1 \leq i \le n$ ) algebrai számok fokainak, illetve naív magasságainak egy felső korlátját.

Ezek után kiderült, hogy Baker logaritmikus lineáris formákra vonatkozó explicit tételei alkalmazhatók diofantikus egyenletek széles osztályaira. Nevezetesen, ezen tételek segítségével effektív felső korlátok nyerhetők jónéhány sokat vizsgált klasszikus diofantikus egyenletcsalád megoldásainak a méretére, úgy mint Thue-egyenletek [5], szuper- és hiperelliptikus egyenletek [8], Mordell-típusú egyenletek [6], [7], Schinzel–Tijdeman-egyenlet [24], Catalan-egyenlet [26], kétváltozós egységegyenletek [16], [17], diszkrimináns és indexforma egyenletek [15], szétesőforma egyenletek [18], lineáris binér rekurzív sorozatokkal kapcsolatos diofantikus egyenletek [22], [25] stb. Megjegyezzük, hogy ezeken a területeken a Győry Kálmán által alapított debreceni számelméleti iskola számos tagja ért el szép eredményeket (ld. pl. Győry Kálmán, Pethő Attila, Brindza Béla, Gaál István, Pintér Ákos, Hajdu Lajos, Bérczes Attila, Tengely Szabolcs, Pink István idevonatkozó munkáit).

Baker explicit eredményeit kombinálva egy – Baker és Davenport [9] által kidolgozott – redukciós eljárással, kiderült, hogy a $120$ az egyetlen olyan pozitív egész szám, amellyel az $\{1,3,8\}$ diofantikus hármas kiterjeszthető az $\{1,3,8,120\}$ diofantikus négyessé.⁴ Ez a kiváló eredmény is megmutatta, hogy a Baker által kidolgozott módszer kombinálása bizonyos redukciós eljárásokkal kiválóan alkalmas lehet konkrét diofantikus egyenletek teljes megoldáshalmazának leírására. Nevezetesen, kombináljuk Baker fenti explicit tételét (pl. 6. tétel) vagy ezen tétel alábbiakban ismertetendő valamelyik javítását (pl. 7. Tétel) bizonyos redukciós eljárásokkal (pl. lánctört-algoritmus, Baker–Davenport redukciós algoritmus, LLL-algoritmus). Ezen a ponton megemlítjük Bugeaud [10] 2018-ban megjelent könyvét, amely egy kiváló áttekintő mű a Baker-módszerrel kapcsolatban.

A cikk hátralevő részében először ismertetjük a nemnulla logaritmikus lineáris formákra vonatkozó, Matveevtől [20] származó jelenlegi legélesebb alsó becslést, majd egy konkrét példán keresztül megmutatjuk, hogy a 7. tétel és lánctört-algoritmus kombinációja milyen hatékony eszközként szolgál egy bizonyos diofantikus egyenlet összes megoldásának meghatározására.

Ehhez szükségünk lesz az alábbi jelölésekre. Egy $\alpha \in \mathbb{C}$ algebrai szám esetén jelölje továbbra is $m_{\alpha}(x)=a_0x^k+a_1x^{k-1}+\ldots+a_k \in \mathbb{Z}[x]$ ( $a_0 > 0$ , $\operatorname{lnko}(a_0,a_1,\ldots,a_k)=1$ ) az $\alpha$ definiáló polinomját valamint legyenek $\alpha=\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \ldots, \alpha^{(k)}$ az $\alpha$ közönséges konjugáltjai (azaz az $m_{\alpha}$ polinom $\mathbb{C}$ -beli gyökei). Ekkor $\alpha$ abszolút logaritmikus magasságán a

$\displaystyle \mathrm{h}(\alpha):=\frac{1}{k}\left(\log{a_0}+\sum_{i=1}^{k}{\log\max\left\{1,\vert\alpha^{(i)}\vert\right\}}\right)$

mennyiséget értjük.

Legyenek $\alpha_i \ne 0,1$ ( $1 \le i \le n$ ) algebrai számok, és jelölje $\log{\alpha_1}, \ldots, \log{\alpha_n}$ az $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ logaritmusainak a főértékét. Legyen $\mathbb{K}$ egy olyan algebrai számtest⁵, amely tartalmazza az $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ algebrai számokat, és legyen $d=[\mathbb{K}:\mathbb{Q}]$ . Tekintsük a

$\displaystyle \Lambda=b_1\log{\alpha_1}+\dots+b_n\log{\alpha_n},$

(3)

logaritmikus lineáris formát, ahol $b_1, \ldots, b_n$ olyan egészek, amelyek közül legalább egy nemnulla. Legyen

$\displaystyle \log{A_i}=\max\left\{\mathrm{h}(\alpha_i),\frac{\vert\log{\alpha_i}\vert}{d}, \frac{0{,}16}{d} \right\}, \quad (1\leq i \leq n)$

és

$\displaystyle B=\max\{\vert b_1\vert, \ldots, \vert b_n\vert, 3\}.$

7. tétel. (Matveev (2000)) Ha (3)-ban $\Lambda \ne 0$ , akkor

$\displaystyle \log \vert\Lambda\vert\geq -C(n,\varkappa) d^{n+2} \log{A_1} \cdots \log{A_n} \log (\mathrm{e}d) \log (\mathrm{e}B),$

ahol $\varkappa=1$ , ha $\mathbb{K} \subset \mathbb{R}$ és $\varkappa=2$ egyébként, valamint

$\displaystyle C(n,\varkappa)=\min\left\{\frac{1}{\varkappa}\left(\frac12\mathrm{e}n\right)^{\varkappa}30^{n+3}n^{3{,}5},2^{6n+20}\right\}.$

A továbbiakban megmutatjuk, hogy a 7. tétel és a lánctört-algoritmus kombinációja hogyan alkalmazható a Catalan-egyenlet egy speciális esetének a teljes megoldására. Szükségünk lesz még az alábbi jól ismert technikai lemmára.

Lemma. Ha olyan valós szám, amelyre $\vert x-1\vert<\frac{1}{2}$ , akkor $\vert x-1\vert \ge \frac{\vert\log{x}\vert}{2}$ .

A cikk utolsó részében vizsgálatunk tárgyát az

$\displaystyle x^n-y^m=1$

Catalan-egyenlet⁶ azon speciális esete képezi, amikor $(x,y)=(3,2)$ . Nevezetesen tekintsük a

$\displaystyle 3^n-2^m=1$

(4)

diofantikus egyenletet az $n,m$ pozitív egész ismeretlenekkel. Világos, hogy az $(n,m)=(1,1)$ és $(n,m)=(2,3)$ megoldásai a (4) egyenletnek. A 7. tételt a lánctört-algoritmussal kombinálva megmutatjuk, hogy a fentieken kívül nincs is más megoldás, azaz az $(n,m) \in \{(1,1), (2,3)\}$ a (4) összes megoldása a pozitív egészek körében.

Tegyük fel, hogy $(n,m)$ egy megoldása a (4) egyenletnek. Elemi nagyságrendi meggondolással adódik, hogy

$\displaystyle m \ge n.$

(5)

A (4) egyenlet mindkét oldalát $2^m$ -nel osztva, és abszolút értéket véve, kapjuk, hogy

$\displaystyle \vert 3^n2^{-m}-1\vert=\frac{1}{2^m}.$

(6)

A továbbiakban két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy (6)-ban

$\displaystyle \vert 3^n2^{-m}-1\vert \ge \frac{1}{2}$ vagy $\displaystyle \quad \vert 3^n2^{-m}-1\vert < \frac{1}{2}.$

Ha $\vert 3^n2^{-m}-1\vert \ge \frac{1}{2}$ , akkor (6) azt implikálja, hogy

$\displaystyle \frac{1}{2^m}=\vert 3^n2^{-m}-1\vert \ge \frac{1}{2},$

amiből $m \le 1$ adódik. Ez viszont (5) miatt éppen az $(n,m)=(1,1)$ megoldást adja.

Tegyük most fel, hogy $\vert 3^n2^{-m}-1\vert < \frac{1}{2}$ . A Lemmát az $x=3^n2^{-m}$ választással alkalmazva azt nyerjük, hogy $\vert 3^n2^{-m}-1\vert \ge \frac{\vert\log(3^n2^{-m})\vert}{2}$ , ami (6) miatt az

$\displaystyle \vert n\log{3}-m\log{2}\vert \le \frac{1}{2^{m-1}}$

(7)

egyenlőtlenségre vezet. Jelölje $\Lambda$ a (7) bal oldalán szereplő

$\displaystyle \Lambda:=n\log{3}-m\log{2}$

logaritmikus lineáris formát. Ekkor (7)-ből azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \log\vert\Lambda\vert \le -(m-1)\log{2}.$

(8)

Ha most $\Lambda=0$ lenne, akkor $3^n=2^m$ adódna, ami $n$ és $m$ pozitív egész volta miatt lehetetlen. Ezért a továbbiakban feltehető, hogy $\Lambda \ne 0$ . A célunk az, hogy a Baker-módszer felhasználásával nemtriviális alsó becslést nyerjünk a $\log\vert\Lambda\vert$ mennyiségre. Ehhez alkalmazzuk a 7. tételt az alábbi paraméterekkel: $n=2$ , $b_1=n$ , $\alpha_1=3$ , $b_2=-m$ , $\alpha_2=2$ , $\mathbb{K}=\mathbb{Q}$ , $d=1$ , $\kappa=1$ . Mivel $\mathrm{h}(\alpha_1)=\mathrm{h}(3)=\log{3}$ és $\mathrm{h}(\alpha_2)=\mathrm{h}(2)=\log{2}$ , ezért a $\log{A_1}:=\log{3}$ és $\log{A_2}:=\log{2}$ választás megfelelő. Továbbá (5) miatt élhetünk a $B:=\max\{m,3\}$ választással. Így a 7. tétel miatt adódik, hogy

$\displaystyle \log\vert\Lambda\vert\ge-(30^5\cdot2^{3{,}5}\cdot\mathrm{e})(\log{3})(\log{2})(\log{(\max\{m,3\})}).$

(9)

Végül, a (8) és (9) összevetéséből az

$\displaystyle \frac{m-1}{\log{(\max\{m,3\})}} \le (30^5 \cdot 2^{3{,}5} \cdot \mathrm{e}) (\log{3})$

következik, amiből egyszerű számolás után adódik, hogy

$\displaystyle m < 2 \cdot 10^{10}.$

Azt kaptuk tehát, hogy ha a (4) egyenletnek van olyan $(n,m)$ megoldása, melyre

$\displaystyle \vert 3^n2^{-m}-1\vert < \frac{1}{2},$

(10)

akkor

$\displaystyle \max\{m,n\}=m<2 \cdot 10^{10}.$

(11)

Ez egyrészt igen ígéretes, hiszen az ismeretlenek méretére kapott felső korlát teljesen explicit, másrészt viszont túl nagy ahhoz, hogy (4) megoldásait a (11) korlát alatt direkt módon le tudjuk számolni és meg tudjuk határozni. Ezért szükséges a (11) korlát redukálása, melyhez a lánctört-algoritmust hívjuk segítségül. A (7) mindkét oldalát $(m\cdot\log{3})$ -mal leosztva az

$\displaystyle \left\vert\frac{n}{m}-\frac{\log{2}}{\log{3}}\right\vert \le \frac{1}{m \cdot 2^{m-1} \cdot \log{3}}$

(12)

egyenlőtlenséghez jutunk.

Ha $\max\{m,n\}=m \le 3$ , akkor a (4) egyenlet (10) feltételnek eleget tevő összes $(n,m)$ megoldása triviálisan leszámlálható. Azt kapjuk, hogy $(n,m)=(2,3)$ az egyetlen ilyen megoldás.

Tegyük fel végül, hogy $\max\{m,n\}=m \ge 4$ . Ekkor $\frac{1}{m\cdot2^{m-1}\cdot\log{3}}<\frac{1}{2m^2}$ , és ezért Legendre egy tétele (ld. [12], 368. oldal, 2. Megjegyzés) és (12) miatt azt nyerjük, hogy $\frac{n}{m}$ szükségképpen a $\gamma:=\frac{\log 2}{\log 3}$ valós szám egy közelítő törtje. Ezt kombinálva (11)-gyel azt kapjuk, hogy a (4) egyenlet (10) feltételt kielégítő $(n,m)$ megoldása a $\gamma$ azon közelítő törtjei közül kerülhet ki, amelyekre

$\displaystyle m < 2 \cdot 10^{10}.$

Ilyen közelítő törtből viszont kevés van. Egy gyors számítógépes ellenőrzés mutatja, hogy a $\gamma$ $23$ -adik konvergensének a nevezője már nagyobb, mint $2 \cdot 10^{10}$ , ezért elegendő a $\gamma$ első $22$ darab konvergensét kiszámolni. További gyors számítógépes vizsgálat igazolja, hogy ezen 22 darab $\frac{p_i}{q_i}$ ( $1 \le i \le 22$ ) konvergensre fennáll, hogy

$\displaystyle \min_{1 \le i \le 22}{\left\vert\frac{p_i}{q_i}-\gamma\right\vert}>8{,}8 \cdot 10^{-22},$

amiből persze

$\displaystyle \left\vert\frac{n}{m}-\frac{\log{2}}{\log{3}}\right\vert>8{,}8 \cdot 10^{-22}$

(13)

is következik. Végül a (12) és (13) összefüggéseket kombinálva azt nyerjük, hogy

$\displaystyle 8{,}8 \cdot 10^{-22} < \frac{1}{m \cdot 2^{m-1} \cdot \log{3}},$

amiből $m \le 64$ adódik. A $\max\{m,n\}=m \le 64$ felső korlát már elegendően kicsi ahhoz, hogy a (4) egyenlet $4 \le m \le 64$ és $1 \le n \le m$ feltételeknek eleget tevő $(n,m)$ megoldásait megadjuk. Kiderül, hogy ilyen megoldás nincs. Ezért a (4) egyenlet összes megoldása a pozitív egészekre nézve éppen az $(n,m)=(1,1)$ és $(n,m)=(2,3)$ .

A fenti kidolgozott példa is jól tükrözi, hogy milyen erős eszköz a Baker-módszer a diofantikus egyenletek elméletében. Segítségével nagy, de teljesen explicit felső korlátok nyerhetők bizonyos diofantikus egyenletek megoldásainak méretére. Végül az így kapott Baker-típusú korlátokat valamilyen hatékony redukciós eljárással (pl. lánctört-algoritmus, Baker–Davenport-algoritmus, LLL-algoritmus) redukálva leírható ezen diofantikus egyenletek teljes megoldáshalmaza.

Irodalomjegyzék

: [1] A. Baker, Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. I, Mathematika 12 (1966), 204–216.

[2] A. Baker, Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. II, Mathematika 14 (1967), 102–107.

[3] A. Baker, Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. III, Mathematika 14 (1967), 220–228.

[4] A. Baker, Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. IV, Mathematika 15 (1968), 204–216.

[5] A. Baker, Contributions to the theory of Diophantine equations. I. On the representation of integers by binary forms, Phil. Trans. Royal Soc. London A263 (1968), 173–191.

[6] A. Baker, Contributions to the theory of Diophantine equations. II. The Diophantine equation , Phil. Trans. Royal Soc. London A263 (1968), 193–208.

[7] A. Baker, The diophantine equation , J. London Math. Soc. 43 (1968), 1–9.

[8] A. Baker, Bounds for the solutions of the hyperelliptic equation, Proc. Cambridge Phil. Soc. 65 (1969), 439–444.

[9] A. Baker and H. Davenport, The equations and , Quart. J. Math. Oxford (2) 20 (1969), 129–137.

[10] Y. Bugeaud, Linear forms in logarithms and applications, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 28, European Mathematical Society, 2018.

[11] N. I. Feldman, Improved estimate for a linear form of the logarithms of algebraic numbers, Mat. Sb. 77 (1968), 256–270 (in Russian). English translation in Math. USSR. Sb. 6 (1968) 393–406.

[12] Freud Róbert és Gyarmati Edit, Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.

[13] A. O. Gelfond, On Hilbert’s seventh problem, Dokl. Akad. Nauk SSSR 2 (1934), 1–3 (in Russian) and 4–6 (in French) Sur le septième problème de Hilbert, Izv. Akad. Nauk SSSR 7 (1934), 623–630.

[14] A. O. Gelfond, Sur les approximations des nombres transcendants par des nombres algébriques, C. R. Acad. Sc. URSS 2 (1935), 177–182.

[15] K. Győry, Sur les polynomes ä coefficients entiers et de discriminant donne III, Publ. Math. Debrecen 23 (1976), 141-165.

[16] K. Győry, On the number of solutions of linear equations in units of an algebraic number field, Comment. Math. Helv. 54 (1979), 583–600.

[17] K, Győry, On the solutions of linear diophantine equations in algebraic integers of bounded norm, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 22/23 (1980), 225–233.

[18] K. Győry, Bounds for the solutions of decomposable form equations, Publ. Math. Debrecen 52 (1998), 1-31.

[19] J. Liouville, Remarques relatives à des classes très étendues de quantités dont la valeur n’est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques, C. R. Acad. Sci. Paris 18 (1844), 883–885 et 910–911.

[20] E. M. Matveev, An explicit lower bound for a homogeneous rational linear form in logarithms of algebraic numbers. II, Izv. Ross. Acad. Nauk Ser. Mat. 64 (2000), 125–180 (in Russian); English translation in Izv. Math. 64 (2000), 1217–1269.

[21] P. Mihailescu, Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture, J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167–195.

[22] A. Pethő, Diophantine properties of linear recursive sequences. II, Acta Math. Acad. Paedagog. Nyházi. (N.S.) 17 (2001), 81–96.

[23] Th. Schneider, Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, J. Reine Angew. Math. 172 (1934), 65–74.

[24] A. Schinzel and R. Tijdeman, On the equation Acta Arithmetica 31 (1976), 199-204.

[25] T. N. Shorey and C. L. Stewart, On the Diophantine equation $ax^{2t}+bx^ty+cy^2=d$ and pure powers in recurrence sequences, Math. Scand. 52 (1983), 24–36.

[26] R. Tijdeman, On the equation of Catalan, Acta Arithmetica 29 (1976) , 197-209.

[27] A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443–551.

Pink István

Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet

Lábjegyzetek

: ¹ A valós logaritmusfüggvény kiterjeszthető $\mathbb{C}$ -re, ami érdekes módon $2\pi i$ szerint periodikus lesz.
: ² A $\log{\alpha_1}, \log{\alpha_2}$ számokat lineárisan függetlennek nevezzük a racionális számtest fölött, ha $r_1, r_2 \in \mathbb{Q}$ , $r_1\log{\alpha_1}+r_2\log{\alpha_2}=0$ -ból következik, hogy . Általánosabban, a $\log{\alpha_1}, \log{\alpha_2}, \ldots, \log{\alpha_n}$ számokat lineárisan függetlennek nevezzük a racionális számtest fölött, ha $r_1, r_2, \ldots, r_n \in \mathbb{Q}$ , $r_1\log{\alpha_1}+r_2\log{\alpha_2}+\ldots+r_n\log{\alpha_n}=0$ -ból következik, hogy $r_1=r_2=\ldots=r_n=0$ .
: ³ A területen megszokott szóhasználat szerint ez azt jelenti, hogy értéke a paraméterek rögzítése után explicit módon kiszámolható.
⁴: Pozitív egészek egy $\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$ halmazát diofantikus -esnek nevezzük, ha teljes négyzet minden $1 \le i < j \le m$ esetén.
: ⁵ Az algebrai számtest egy olyan test, melynek minden eleme algebrai szám.
: ⁶ 1844-ben Eugène Charles Catalan belga matematikus a neves Crelle folyóirat szerkesztõjéhez írt levelében az alábbi sejtést fogalmazta meg: A természetes számok növekvõ sorrendbe rendezett teljes hatványaiból álló , , , , , , , , , , , , , , , , , ... sorozatában egyetlen olyan pár van, amelyek különbsége . Ez a pár a és a . A fenti sejtés ekvivalens módon átfogalmazható exponenciális diofantikus egyenletek segítségével, ami a szakirodalomban Catalan-sejtés (Catalan-egyenlet) néven vált ismertté. Nevezetesen, az egyenletet, ahol , , , ismeretlen egészek, Catalan-egyenletnek nevezzük. A Catalan-sejtés szerint ezen egyenlet egyetlen megoldása . A Baker-módszer felhasználásával Tijdeman [26] 1976-ban effektív felső korlátot nyert $\max\{x,y,n,m\}$ -re, míg Mihailescu [21] 2004-ben teljes egészében igazolta a sejtést.