Mi is... a szimplektikus geometria?

Az euklideszi geometriában, egy $\mathbb{R}$ feletti vektortérben a hosszúságok és a szögek a legfontosabb mérőszámok, és a dolgok merevek. A szimplektikus geometriában a kétdimenziós mérőszámok a kulcsszereplők, és a komplex számok a természetes skalárok. Kiderül, hogy a szimplektikus struktúrák sokkal rugalmasabbak, mint a komplex függvénytan holomorf függvényei, vagy a Riemann-geometria metrikái.

A „szimplektikus” szó Hermann Weylnek a csoportokról szóló klasszikus könyvében bevezetett kifejezés tükörfordítása. A szó valójában a komplex görög megfelelője, azaz a latin com-plexus (egybefonva) szóösszetétel tagonkénti görög fordítása:

συμ – πλεκτικοζ.

Weyl annak a Lie-csoportnak a jelölésére javasolta ezt a szót, amely megtartja a nemelfajuló ferdén szimmetrikus bilineáris formát. Ezt megelőzően a szóbanforgó Lie-csoportot „egyenes komplex csoportnak” vagy „abeli lineáris csoportnak” nevezték (arra utalva, hogy Abel is tanulmányozta ezt a csoportot).

Egy (valós) $M$ sokaságon lévő $\omega$ 2-forma olyan matematikai objektum, amely minden $p\in M$ pontban két érintővektort kap változóként, és ezekre egy valós számot ad, mégpedig ferdén szimmetrikus és bilineáris módon. Pontosabban, $\omega$ egy

$\displaystyle \omega_p\colon T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}$

ferdén szimmetrikus leképezés-családot ad meg, amely $p\in M$ -től sima módon függ. Az $\omega\in\Omega^2(M)$ 2-forma szimplektikus, ha zárt (vagyis külső deriváltja, $d\omega$ teljesíti a $d\omega=0$ egyenletet) és nemelfajuló, vagyis minden $\omega_p$ nemelfajuló. Ez utóbbi feltétel ekvivalens avval, hogy minden nemnulla $v\in T_pM$ érintővektornak van egy szimplektikus „barátja”, vagyis egy olyan $w\in T_pM$ vektor, amelyre $\omega _p (v,w)=1$ . Egy szimplektikus sokaság pedig egy $\omega$ szimplektikus formával ellátott (valós) $M$ sokaság.

A nemelfajulóságnak fontos következményei vannak. Tisztán lineáris algebrai alapon, a Gram–Schmidt-eljárás ferdén szimmetrikus analógját alkalmazva, minden $p\in M$ pontban kiválaszthatjuk $T_pM$ -nek egy $\omega_p$ -vel kompatibilis bázisát. A bázis keresését egy $v_1$ nemnulla vektorral kezdjük, majd megkeressük ennek $w_1$ szimplektikus barátját. E két vektor a ferde szimmetria miatt lineárisan független. Ezután lehasítjuk a $v_1$ és $w_1$ által kifeszített kétdimenziós alteret, és rekurzívan folytatjuk az eljárást, míg egy

$\displaystyle v_1, w_1, \ldots , v_d, w_d$

bázist nem kapunk, ami páros sok báziselemet tartalmaz. Tehát a szimplektikus sokaságok páros dimenziósak. A fenti gondolatmenet alapján minden érintőtérre gondolhatunk komplex vektortérként is, ahol $v_i$ és $w_i$ egy komplex alteret feszítenek ki. Az $\omega^d=\omega\wedge\ldots\wedge\omega\in\Omega^{2d}(M)$ legmagasabb ék-hatvány sehol sem tűnik el, hiszen minden érintőtéren

$\displaystyle \omega^d(v_1,\ldots,w_d)\neq 0.$

Másszóval, $\omega^d$ egy térfogati forma, így $M$ szükségképp irányítható. A szimplektikus geometriának fontos kapcsolatai vannak az algebrai kombinatorika, az algebrai geometria, dinamika, matematikai fizika és reprezentációelmélet felé. Az ezen kapcsolatokat mutató legfontosabb példák a következők:

(1) $M=S^2={\mathbb{CP}}^1$ , és $\omega _p(v,w)$ a $v$ és $w$ által meghatározott paralellogramma előjeles területe;

(2) $M$ egy, az 1. ábrán mutatott tetszőleges Riemann-felület, és $\omega$ az (1)-ben megismert területi forma;

1. ábra. A területi forma egy Riemann-felületen szimplektikus geometriát definiál.

(3) $M=\mathbb{R}^{2d}$ és $\omega_{std}=\sum_{i=1}^ddx_i\wedge dy_i$ ; ezt a formát standard szimplektikus formának is nevezik.

(4) $M=T^*X$ , az $X$ sokaság koérintő nyalábja, amire fázistérként tekintünk, a $p$ -koordináták $X$ -ben a helyet jelölik, a $q$ -koordináták pedig a koérintő irányban a momentumot, és $\omega =\sum dp_i\wedge dq_i$

(5) $M$ egy sima komplex projektív varietás, és $\omega$ -t a Fubini–Study-forma indukálja (ez a példa magában foglalja a sima normális tórikus varietásokat is);

(6) $M={\mathfrak{O}}_{\lambda}$ egy kompakt, összefüggő féligegyszerű $G$ Lie csoport koadjungált orbitja, amelyet az $\omega$ Kostant–Kirillov–Souriau-formával látunk el. A $G=SU(n)$ választással ezek a példák magukban foglalják a ${\mathbb{CP}}^{n-1}$ komplex projektív tereket, a ${\mathfrak{G}}r_k ({\mathbb{C}}^n)$ Grassmann-sokaságokat és az ${\mathfrak{F}}l ({\mathbb{C}}^n)$ teljes zászlósokaságokat, továbbá az összes részleges zászlósokaságokat is.

Számos irányítható sokaság nem hordoz szimplektikus struktúrát. Például a páros, legalább 4-dimenziós gömbök nem szimplektikusak. Ennek oka az, hogy egy kompakt sokaságon Stokes tétele biztosítja, hogy $[\omega]\neq 0\in H^2(M;\mathbb{R})$ . Másszóval egy kompakt szimplektikus sokaságnak szükségképpen van nemtriviális 2-dimenziós kohomológiája.. $S^2$ az egyetlen ilyen gömb.

A (3) példa különösen érdekes Gaston Darboux tizenkilencedik századi matematikus differenciálformákra vonatkozó munkája alapján. Munkájának egy következménye

Darboux tétele. Legyen egy -dimenziós sokaság $\omega$ szimplektikus formával. Ekkor minden $p\in M$ pontra létezik egy olyan , $x_1, \ldots , x_d, y_1, \ldots , y_d$ koordinátákkal ellátott térkép, hogy ezen

$\displaystyle \omega=\sum_{i=1}^d dx_i\wedge dy_i=\omega_{std}.$

Ez a tétel pontosítja azt az állítást, hogy a szimplektikus geometria flexibilis/rugalmas. A Riemann-geometriában lokális invariánsok (mint például a görbület) különböztetik meg a metrikákat. Darboux tétele szerint lokálisan minden szimplektikus forma identikus. Ilymódon csak olyan globális topologikus kérdések maradnak, mint Mi egy adott szimplektikus sokaság kohomológia-gyűrűje?, vagy a finomabb, szimplektikus kérdés: Milyen nagy lehet egy adott szimplektikus sokaságon egy Darboux-térkép?.

Az 1970-es és 80-as években kifejlesztett két eszköz drámai fejlődést tett lehetővé a szimplektikus geometriában és a topológiában. Marsden és Weinstein, Atiyah, valamint Guillemin és Sternberg a momentumleképezés tulajdonságait leírva megoldhatóvá tették az első, kohomológiákra vonatkozó kérdést. Gromov pedig pszeudoholomorf görbék bevezetésével adott eszközt a második típusú kérdések megtámadására. Nézzünk néhány példát mindkét fajta problémára.

Amennyiben egy szimplektikus sokaságon egy Lie-csoport hatásában megmutatkozó szimmetria figyelhető meg, akkor a sokaság ellátható egy momentumleképezéssel. Ez megmaradó mennyiségeket ad, például a perdületet. A 2-dimenziós gömbfelületen értelmezett magasságfüggvény (ld. a 2. ábrát) adja az első pélát egy ilyen leképezésre.

2. ábra. Az $S^1$ körvonalnak az $S^2$ gömbön való forgatások menti hatásához tartozó momentumleképezés.

Ez esetben a megmaradó mennyiség épp a perdület, és a magasságfüggvény egyszerű példáját adja egy perfekt Morse-függvénynek $S^2$ -n. Amennyiben a Lie-csoport az $S^1$ körvonal $T=S^1\times \ldots \times S^1$ hatványa, azt mondjuk, hogy a sokaság egy Hamilton-féle $T$ -tér, a momentumleképezést pedig $\phi\colon M \to \mathbb{R} ^n$ jelöli. 1982-ben Atiyah, és tőle függetlenül Guillemin és Sternberg a következő konvexitási tételt látta be (ld. a 3. ábrát):

3. ábra. Atiyah és Guillemin-Sternberg belátták, hogy amennyiben egy szimplektikus sokaság bizonyos szimmetriáknak tesz eleget, úgy a momentumleképezésnél származó képe egy konvex politóp.

Konvexitási tétel. Egy kompakt Hamilton-féle -tér esetén a $\phi (M)$ kép egy konvex politóp, amely épp az -fixpontok $\phi (M^T)$ képének konvex burka.

E tétel szoros kapcsolatot teremt egyrészt a szimplektikus és az algebrai geometria, másrészt a diszkrét geometria és a kombinatorika között. Atiyah bizonyítása azt is megmutatja, hogy a momentumleképezés (Bott értelmében) Morse-függvényt ad $M$ -en, így a differenciáltopológia eszköztárát is elérhetővé teszi ahhoz, hogy $M$ globális topológiai tulajdonságait megértsük. Momentumleképezéseket szimplektikus hányadosok készítéséhez is használni lehet.

(2) példánk szerint a kétdimenziós szimplektikus geometria nem más, mint területmegőrző geometria. Mivel egy szimplektikus forma egy térfogati formát ad, természetesen vetődik fel a kérdés, hogy magasabb dimenziókban is így van-e ez, vajon a szimplektikus geometria ott is ugyanolyan flexibilis, mint a térfogatmegőrző geometria: egy szimplektikus sokaság bárhogy nyújtható és/vagy összenyomható, feltéve, hogy a térfogatát megőrizzük? Pszeudoholomorf görbék alkalmazásával Gromov megmutatta, hogy ez nem így van, a szimplektikus leképezések sokkal merevebbek, mint térfogatmegőrző társaik. Jelölje $B^{2d}(r)$ az $\mathbb{R} ^{2d}$ térben lévő $r$ sugarú golyót. 1985-ben Gromov belátta nevezetes összenyomhatatlansági tételét (ld. a 4. ábrát):

4. ábra. Az összenyomhatatlansági tétel geometriai tartalmat ad annak az állításnak, hogy egy teve nem tud átbújni a tű fokán: egy szimplektikus teve nem fér bele egy olyan térbe, amelynek egyik kétdimenziós iránya nagyon szűk, függetlenül attól, hogy a többi irányban mekkora a tér. Cosgrove grafikája eredetileg Ian Stewart „A szimplektikus teve” című cikkében jelent meg (1987, Nature) – köszönjük, hogy itt ismét felhasználhatjuk.

Összenyomhatatlansági tétel. Pontosan akkor létezik egy olyan $B^{2d}(R)\to B^2 (r)\times \mathbb{R} ^{2d-2}$ beágyazás, mely megőrzi az $\omega _{std}$ standard szimplektikus formát, ha $R\leq r$ .

A tétel egyik iránya világos: ha $R\leq r$ , akkor a megkívánt beágyazás nyilván létezik. Hogy megtalálja egy ilyen leképezés akadályát, Gromov egy $B^2 (r)\times \mathbb{R}^{2d-2}$ -beli pszeudoholomorf görbét és a szimplektikus beágyazást használta ahhoz, hogy egy $B^{2d}(R)$ -beli minimális felületet adjon, ami már kikényszeríti az $R\leq r$ egyenlőtlenséget. Másrészt viszont nyilván minden $r$ és $R$ választásra létezik térfogatmegőrző leképezés. Informálisan szólva, a szimplektikus teve nem tud átbújni a tű fokán. Gromov fenti munkája rengeteg további eredményhez vezetett a szimplektikus invariánsok elméletében, mindegyik pszeudoholomorf görbéket használva alapnak. Ezen konstrukciók bonyolult komplex analitikus elveket és Fredholm-elméletet alkalmaznak. Nagyon fontos részét képezik napjaink szimplektikus topológiai és türörszimmetriai kutatásainak, és fontos perspektívát nyújtanak négy-sokaságok invariánsainak megértéséhez is.

A momentumleképezésről további részletek [1]-ben találhatók, míg a pszeudoholomorf görbék elméletét [2] dolgozza fel.

Irodalomjegyzék

: [1] A. Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in Mathematics, 1764, Springer-Verlag, Berlin, 2001. MR 1853077

[2] D. McDuff and D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, New York, 1995. MR 1373431

Tara S. Holm

: Tara S. Holm a Cornell Egyetem matematika professzora, és a Notices of the AMS külső munkatársa. Cikke a Simons Foundation támogatásával a 2016. decemberi számban jelent meg. Az Érintő a dolgozatot az AMS és a szerző engedélyével közli.; A fordítást Stipsicz András készítette.; Tara S. Holm: What is....Symplectic Geometry? Notices Amer. Math. Soc. Vol. 63 Num. 11.(December 2016) 1252-1254 (The graduate student section) ©2016 American Mathematical Society, https://www.ams.org/publications/journals/notices/201611/rnoti-p1252.pdf.