Egyenletrendszerek megoldásai, így áttételesen az algebrai varietások vizsgálata a matematika egyik legrégebbi problémája. A számelmélet sok alapvető kérdése nyilvánvaló módon átfogalmazható egy algebrai varietás racionális pontjainak létezésére vonatkozó kérdéssé. Például, az előző lapszámban Tóth Árpád cikkében taglalt, A. Wiles által 1994-ben belátott nagy Fermat-sejtés azzal ekvivalens, hogy az
![% latex2html id marker 835
$\displaystyle x^n+y^n - z^n=0, \quad n \geq 3
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img2.png)
egyenlet által meghatározott görbének nincs nem-triviális (az és
triviális megoldásoktól különböző) megoldása
felett; ennek köze van az e lapszámban részletesen vizsgált
![% latex2html id marker 843
$\displaystyle y^2 - x^3 -Ax -B=0
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img6.png)
egyenletű elliptikus görbék tulajdonságaihoz. Az együtthatók legkisebb közös többszörösével beszorozva látható, hogy minden -együtthatós egyenletrendszer ekvivalens egy
-együtthatóssal. Amennyiben az egyenletrendszer homogén polinomokból áll (azaz minden tag össz-fokszáma megegyezik, mint pl. a Fermat-egyenletben), akkor az így kapott varietás projektív lesz: mivel ekkor minden
megoldás és minden 0-tól különböző
testbeli elemre
is nyilván megoldás, ezért a „lényegesen” különböző (tehát, nem csak egy megoldáshármas minden elemét ugyanazzal az állandóval megszorozva kapott) megoldásokat úgy nyerjük, hogy a teljes megoldás-halmazt a
multiplikatív csoporttal leosztjuk. Az így kapott megoldáshalmaz esetünkben a
![% latex2html id marker 858
$\displaystyle \mathbf{Q}P^2=(\mathbf{Q}^3 \setminus \vec{0}) / \mathbf{Q}^*
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img12.png)
racionális projektív sík részhalmaza. Hasonló érvelés bármely változószámú, csupa homogén polinomból álló rendszerre is érvényes, azzal a különbséggel hogy a megoldás-halmaz esetleg valamely -től eltérő dimenziós projektív tér része. Amennyiben az egyenleteink nem homogének, akkor egy egyszerű eljárással azzá tehetők: bevezetünk egy új változót, és minden monomot megszorzunk az új változó valamely hatványával. Az elliptikus görbe esetében például
-vel jelölve az új változót ennek eredménye az
![% latex2html id marker 864
$\displaystyle y^2 z - x^3 -Ax z^2 -B z^3=0
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img15.png)
egyenlet. Természetesen, ezt az új változó lehető legalacsonyabb hatványaival hajtjuk végre.
Adott egész-együtthatós egyenletrendszer esetén bármely prímhatványra redukcióval származtathatunk egy
-együtthatós egyenletrendszert, ahol
a
-elemű véges testet jelöli. Szintén érdekes kérdés az így nyert algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága egyre bővebb véges testekben: az úgynevezett Hasse-elv értelmében ilyen (és valós) megoldások bizonyos rendszereiből ugyanis néha konstruálható egész értékű megoldás. Az egyenletrendszert ismét tekinthetjük egy
algebrai varietás definiáló egyenleteinek
felett. A véges testek feletti eset előnye, hogy a megoldás létezésén túl azok számát is vizsgálhatjuk, azaz bevezethetünk egy
![% latex2html id marker 878
$\displaystyle \vert X (\mathbf{F}_{q^n}) \vert
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img18.png)
leszámláló-függvényt, ahol az
definiáló egyenleteinek
feletti megoldás-halmazát jelöli.
Egy feletti
algebrai varietáshoz természetes és egyértelmű módon társítható egy komplex algebrai varietás is: az azt megadó egyenletrendszer komplex test feletti megoldásainak halmaza. Egy sima komplex algebrai varietáson viszont többek között természetes módon adott egy
komplex analitikus sokaság-struktúra is: ez azt jelenti, hogy minden pontjának egy elegendően szűk környezetében bevezethetők a megszokott
-dimenziós komplex vektortéréhez hasonló
koordináták. Amennyiben
teljesít egy topologikus feltételt (az összefüggőséget), akkor az itt szereplő
érték független a tekintett ponttól, és
dimenziójának nevezzük. Ha pedig
projektív, akkor a kapott
kompakt. A továbbiakban
-ről feltesszük, hogy sima és projektív.
A fentiek alapján vizsgálhatjuk az -hez rendelt
komplex analitikus sokaságon az ilyen sokaságokhoz rendelt algebrai invariánsokat. Az egyik ilyen invariáns-fajta az úgynevezett komplex együtthatós de Rham kohomológia-csoportok, amelyek valójában véges dimenziós komplex vektorterek. Konkrétan, minden
komplex
-dimenziós sokasághoz és
számhoz tartozik egy
véges dimenziós komplex vektortér. A de Rham-kohomológia értelmezéséhez szükség van az úgynevezett komplex-értékű
-adfokú differenciál-forma fogalmára. Lokális komplex analitikus koordinátákban egy
-forma egy
alakú kifejezés valamely sima komplex-értékű függvényekre, ahol az összegzés az összes lehetséges
felbontásra1, és
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
vektorokra fut. Rögzített pár esetén a megfelelő
formát tiszta
-típusúnak nevezzük; komplex analitikus sokaságon egy
-forma
-típusú része jól meghatározott (azaz, a lokális koordinátarendszer választásától független). Az
-n értelmezett
-formák vektorterét
-val, a tiszta
-típusú formák vektorterét pedig
-val jelöljük. Minden, a (2) egyenletet teljesítő rögzített
számhármas esetén természetesen adódik tehát egy
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
projektor, ahol lokálisan (1) által adott, és a fenti összegzés az összes rögzített
hosszúságú
vektorra fut. A
leképezés globális jól-definiáltsága a komplex sokaság-struktúrából következik.
Mivel minden komplex analitikus sokaság egyúttal valós analitikus sokaság is, emiatt értelmezhető a differenciál-formákon egy természetes elsőrendű lineáris differenciál-operátor, a külső deriválás. Bizonyos értelemben a külső deriválás analóg a szemléletes geometriai perem-fogalmunkkal: ahogyan egy -dimenziós szimpliciális komplexus pereme egy
-dimenziós szimpliciális komplexus, éppúgy egy
differenciál-forma külső deriváltja egy
-edfokú d
differenciál-forma. Vagyis, minden
-ra adódik
d
Egy komplex sokaság esetében ennek az operátornak a konkrét alakját a linearitás miatt elegendő (1) egy tagjára megadni:
d![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
![]() |
Az itt szereplő differenciálások a szokásos valós-képzetes felbontásban a
![% latex2html id marker 1006
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=...
...2 \left( \frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y} \right)
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img68.png)
Cauchy—Riemann operátor, valamint annak konjugáltja:
![% latex2html id marker 1008
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\frac12 \left( \frac{\partial f}{\partial x} - i \frac{\partial f}{\partial y} \right).
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img69.png)
Ahhoz, hogy a külső deriváltban kapott d és d
formákkal bővített rendszert újra növekvő sorrendbe rendezhessük, a következő relációkat használhatjuk:
d![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
|
d![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
|
d![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
Azt mondjuk, hogy zárt, ha d
, és
egzakt, ha
d
valamely
formára. Kiderül, hogy minden egzakt forma zárt, ennek fordítottja azonban általában nem igaz. A
-adik de Rham-kohomológia csoport pontosan azt méri, hogy ez mennyire nem teljesül: a
vektorér definíció szerint a zárt
-formák vektortere leosztva az egzakt
-formák vektorterével.
Algebrailag az előbb bevezetett hányados minden további meggondolás nélkül értelmes, az azonban nem világos, hogy véges dimenziós-e. Ennek megvizsgálásához hasznos W. Hodge tétele, amely kimondja, hogy a fenti hányados izomorf egy bizonyos -en adott másodrendű elliptikus lineáris parciális differenciál-egyenlet
megoldásterével. Az derül ki ugyanis, hogy ha
sima projektív, akkor az
komplex analitikus sokaságra a projektív térről egy speciális tulajdonságokkal rendelkező, úgynevezett Kähler-metrika öröklődik. A Kähler-metrika segítségével bevezethetjük az úgynevezett
![% latex2html id marker 1056
$\displaystyle \Delta_{\mbox{d}}=\mbox{d}^* \mbox{d}+\mbox{d} \mbox{d}^*
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img92.png)
Hodge—Laplace operátort a téren, ahol d
-vel d adjungált operátorát jelöljük az
metrikára. A következő eredmény ma már klasszikusnak számít [5]:
![$ X_{\mathbf{C}}$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img21.png)
![$ \mathcal{H}^k (X_{\mathbf{C}})$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img94.png)
![$ L^2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img91.png)
![% latex2html id marker 1076
$\displaystyle H_{dR}^k(X_{\mathbf{C}}, \mathbf{C}) \cong \mathcal{H}^k (X_{\mathbf{C}}).
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img95.png)
A elemeit
feletti harmonikus
-formáknak nevezzük. A kompakt sokaságokon definiált elliptikus lineáris parciális differenciálegyenletek általános elmélete ekkor garantálja, hogy
de Rham kohomológia-terei véges dimenziósak.
A külső deriválásnak minden komplex sokaságon van egy természetes felbontása
d
alakban, ahol minden esetén
![]() |
![]() ![]() |
|
![]() |
![]() ![]() |
Hasonlóan a Hodge—Laplace operátorhoz, bevezethetjük a
![% latex2html id marker 1096
$\displaystyle \Delta_{\bar{\partial}}=\bar{\partial}^* \bar{\partial}+\bar{\partial} \bar{\partial}^*
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img104.png)
Dolbeault—Laplace operátort. Könnyen látszik, hogy ez az operátor egy tiszta -típusú formát ugyanilyen típusú formába képez. A Kähler-geometria alapvető azonossága ekkor azt mondja ki, hogy
![% latex2html id marker 1100
$\displaystyle \Delta_{\mbox{d}}=2 \Delta_{\bar{\partial}}.
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img105.png)
Ebből és az előző észrevételből azonnal következik, hogy a harmonikus -formák vektortere felbomlik típus szerint:
![% latex2html id marker 1104
$\displaystyle \mathcal{H}^k (X)=\bigoplus_{p+q=k} \mathcal{H}^{p,q} (X),
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img106.png)
ahol a tiszta
-típusú harmonikus formák tere. Továbbá, mivel
könnyen láthatóan valós operátor (azaz, kommutál a komplex konjugálással), azért létezik egy
![% latex2html id marker 1112
$\displaystyle \overline{\mathcal{H}^{p,q} (X)}=\mathcal{H}^{q,p} (X)
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img109.png)
izomorfizmus. A fenti fogalmak és eredmények részletesebb kifejtése megtalálható például a [4] tankönyv bevezető fejezetében.
Az előző paragrafusban nyert struktúrát tetszőleges véges-dimenziós, komplex konjugálással ellátott komplex vektortéren értelmezhetjük: azt mondjuk, hogy
-n egy
![% latex2html id marker 1118
$\displaystyle V=\bigoplus_{p+q=k} {H}^{p,q}
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img111.png)
direkt-összeg felbontás megad egy tiszta -súlyú komplex Hodge-struktúrát, ha minden
párosra teljesül a következő feltétel:
![% latex2html id marker 1124
$\displaystyle \overline{{H}^{p,q}}={H}^{q,p}.
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img113.png)
Ezzel a terminológiával élve tehát Hodge tétele azt mondja ki, hogy a de Rham kohomológia-téren létezik egy természetes tiszta
súlyú Hodge-struktúra.
Kanyarodjunk vissza a kiinduló-pontunkhoz: a véges testek feletti algebrai varietások racionális pontjainak kérdéséhez, amelyről 1949-ben A. Weil négy mély tulajdonságot sejtett meg. A Weil-sejtések teljes bizonyítása P. Deligne nevéhez fűződik [1], amely eredményéért 1978-ban Fields-éremmel jutalmazták. Magukat a sejtéseket itt teljes részletességgel nem közöljük, csupán egy azokból következő, első látásra talán meglepő összefüggést egy algebrai varietás leszámláló-függvénye és az
-hez rendelt
komplex analitikus sokaság de Rham kohomológia-tereinek dimenziói között.
![Pierre Deligne](/images/2017-szept/maxresdefault.jpg)
![$ X$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img1.png)
![$ \mathbf{Q}$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img5.png)
![$ q$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img16.png)
![$ X$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img1.png)
![% latex2html id marker 1149
$\displaystyle \vert X (\mathbf{F}_{q}) \vert=b_d q^d+b_{d-1} q^{d-1}+\dots+b_0
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img115.png)
![$ q$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img16.png)
![$ b_0, \ldots, b_d$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img116.png)
![$ k \in \{ 0, \ldots, d \}$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img117.png)
![% latex2html id marker 1159
$\displaystyle b_k=\dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{2k} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img118.png)
![$ k \in \{ 0, \ldots, d-1 \}$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img119.png)
![% latex2html id marker 1163
$\displaystyle \dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{2k+1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})=0.
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img120.png)
A tétel feltétele erősnek tűnhet, ám kiderül hogy az így is lefed számos érdekes esetet. Lássunk ezek közül egyet!
![$ X$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img1.png)
![$ n=2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img121.png)
![% latex2html id marker 1174
$\displaystyle x^2=(z-y) (z+y)
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img122.png)
![$ q \neq 2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img123.png)
![$ x \neq 0$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img124.png)
![$ x=0$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img125.png)
![$ x=1$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img126.png)
![$ u=z-y, v=z+y$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img127.png)
![$ u \neq 0$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img128.png)
![$ v=u^{-1}$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img129.png)
![$ q \neq 2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img123.png)
![$ u$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img130.png)
![$ v$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img131.png)
![$ y$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img132.png)
![$ z$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img14.png)
![% latex2html id marker 1200
$\displaystyle y=2^{-1} (v - u), \quad z=2^{-1} (v+u).
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img133.png)
![$ \mathbf{F}_{q}P^2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img134.png)
![$ q-1$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img135.png)
![$ u \in \mathbf{F}_{q} \setminus \{ 0 \}$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img136.png)
![$ [2:u^{-1} - u: u^{-1}+u]$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img137.png)
![$ x=0$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img125.png)
![$ y$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img132.png)
![$ z$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img14.png)
![$ y=1$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img138.png)
![$ z=\pm 1$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img139.png)
![$ q \neq 2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img123.png)
![% latex2html id marker 1223
$\displaystyle \vert X (\mathbf{F}_{q})\vert=q+1.
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img140.png)
![% latex2html id marker 1225
$\displaystyle \dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{0} (X_{\ma...
..., {\mathbf{C}})=1=\dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{2} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}),
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img141.png)
![% latex2html id marker 1227
$\displaystyle \dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})=0.
$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img142.png)
![$ n=2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img121.png)
![$ S^2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img143.png)
![$ S^2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img143.png)
![$ 1$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img144.png)
![$ S^2$](/images/stories/latex/szaboszilardmiisegyhodgestruktura2/img143.png)
Deligne fenti tételének eredménye csak sima projektív varietásokra igaz. A tiszta Hodge-struktúra fogalmának létezik egy kiterjesztése, az úgynevezett kevert Hodge-struktúra, amelynek kidolgozása szintén Deligne érdeme [2], [3]. Bebizonyította többek között, hogy amennyiben nem sima vagy nem projektív, akkor a de Rham-kohomológia terein kevert Hodge-struktúra értelmezhető. Ennek a kevert Hodge-struktúrának a segítségével pedig bevezethető egy
kétváltozós polinom. N. Katz általánosította Deligne tételeinek fenti következményét [6]: bebizonyította, hogy ha egy
algebrai varietás leszámláló-függvénye valamely
polinom, akkor
Ezen további elméletek magyarázata azonban már túlmutat jelen cikkünk keretein.
Szabó Szilárd
BME Matematika Intézet, Geometria Tanszék
Irodalomjegyzék
- 1
- P. Deligne, La conjecture de Weil: I, Publ. Math. IHES, 43, 1974.
- 2
- P. Deligne, Théorie de Hodge. II, Publ. Math. IHES, 40, 1971.
- 3
- P. Deligne, Théorie de Hodge. III, Publ. Math. IHES, 44, 1974.
- 4
- P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, 1978.
- 5
- W. Hodge, The Theory and Application of Harmonic Integrals, Cambridge University Press, New York, 1941.
- 6
- N. Katz,
-polynomials, zeta-equivalence and polynomial count varieties, függelék itt: T. Hausel, F. Rodriguez-Villegas, Mixed Hodge polynomials of character varieties, Invent. Math. 174, 2008.
Lábjegyzetek
- 1
- Remélhetőleg, az olvasó nem téveszti össze az itt bevezetett
számot a korábban szintén
-val jelölt prímhatvánnyal — mivel mindkét jelölés bevett az elméletben, a szerző nem kíván eltérni egyiktől sem.
- 2
- A tétel ennél gyengébb feltételek mellett is igaz, amelyek kimondása azonban itt túl technikai lenne.