Mi is (és mire is jó) egy tiszta Hodge-struktúra?

Egyenletrendszerek megoldásai, így áttételesen az algebrai varietások vizsgálata a matematika egyik legrégebbi problémája. A számelmélet sok alapvető kérdése nyilvánvaló módon átfogalmazható egy $X$ algebrai varietás racionális pontjainak létezésére vonatkozó kérdéssé. Például, az előző lapszámban Tóth Árpád cikkében taglalt, A. Wiles által 1994-ben belátott nagy Fermat-sejtés azzal ekvivalens, hogy az

$% latex2html id marker 835 $\displaystyle x^n+y^n - z^n=0, \quad n \geq 3 $$

egyenlet által meghatározott görbének nincs nem-triviális (az $x=z, y=0$ és $y=z, x=0$ triviális megoldásoktól különböző) megoldása $\mathbf{Q}$ felett; ennek köze van az e lapszámban részletesen vizsgált

$% latex2html id marker 843 $\displaystyle y^2 - x^3 -Ax -B=0 $$

egyenletű elliptikus görbék tulajdonságaihoz. Az együtthatók legkisebb közös többszörösével beszorozva látható, hogy minden $\mathbf{Q}$ -együtthatós egyenletrendszer ekvivalens egy $\mathbf{Z}$ -együtthatóssal. Amennyiben az egyenletrendszer homogén polinomokból áll (azaz minden tag össz-fokszáma megegyezik, mint pl. a Fermat-egyenletben), akkor az így kapott varietás projektív lesz: mivel ekkor minden $(x, y, z)$ megoldás és minden 0-tól különböző $t$ testbeli elemre $(tx, ty, tz)$ is nyilván megoldás, ezért a „lényegesen” különböző (tehát, nem csak egy megoldáshármas minden elemét ugyanazzal az állandóval megszorozva kapott) megoldásokat úgy nyerjük, hogy a teljes megoldás-halmazt a $\mathbf{Q}^*$ multiplikatív csoporttal leosztjuk. Az így kapott megoldáshalmaz esetünkben a

$% latex2html id marker 858 $\displaystyle \mathbf{Q}P^2=(\mathbf{Q}^3 \setminus \vec{0}) / \mathbf{Q}^* $$

racionális projektív sík részhalmaza. Hasonló érvelés bármely változószámú, csupa homogén polinomból álló rendszerre is érvényes, azzal a különbséggel hogy a megoldás-halmaz esetleg valamely $2$ -től eltérő dimenziós projektív tér része. Amennyiben az egyenleteink nem homogének, akkor egy egyszerű eljárással azzá tehetők: bevezetünk egy új változót, és minden monomot megszorzunk az új változó valamely hatványával. Az elliptikus görbe esetében például $z$ -vel jelölve az új változót ennek eredménye az

$% latex2html id marker 864 $\displaystyle y^2 z - x^3 -Ax z^2 -B z^3=0 $$

egyenlet. Természetesen, ezt az új változó lehető legalacsonyabb hatványaival hajtjuk végre.

Adott egész-együtthatós egyenletrendszer esetén bármely $q$ prímhatványra redukcióval származtathatunk egy $\mathbf{F}_q$ -együtthatós egyenletrendszert, ahol $\mathbf{F}_q$ a $q$ -elemű véges testet jelöli. Szintén érdekes kérdés az így nyert algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága egyre bővebb véges testekben: az úgynevezett Hasse-elv értelmében ilyen (és valós) megoldások bizonyos rendszereiből ugyanis néha konstruálható egész értékű megoldás. Az egyenletrendszert ismét tekinthetjük egy $X$ algebrai varietás definiáló egyenleteinek $\mathbf{F}_q$ felett. A véges testek feletti eset előnye, hogy a megoldás létezésén túl azok számát is vizsgálhatjuk, azaz bevezethetünk egy

$% latex2html id marker 878 $\displaystyle \vert X (\mathbf{F}_{q^n}) \vert $$

leszámláló-függvényt, ahol $X (\mathbf{F}_{q^n})$ az $X$ definiáló egyenleteinek $\mathbf{F}_{q^n}$ feletti megoldás-halmazát jelöli.

Egy $\mathbf{Q}$ feletti $X$ algebrai varietáshoz természetes és egyértelmű módon társítható egy komplex algebrai varietás is: az azt megadó egyenletrendszer komplex test feletti megoldásainak halmaza. Egy sima komplex algebrai varietáson viszont többek között természetes módon adott egy $X_{\mathbf{C}}$ komplex analitikus sokaság-struktúra is: ez azt jelenti, hogy minden pontjának egy elegendően szűk környezetében bevezethetők a megszokott $d$ -dimenziós komplex vektortéréhez hasonló $z_1, \ldots , z_d$ koordináták. Amennyiben $X_{\mathbf{C}}$ teljesít egy topologikus feltételt (az összefüggőséget), akkor az itt szereplő $d$ érték független a tekintett ponttól, és $X$ dimenziójának nevezzük. Ha pedig $X$ projektív, akkor a kapott $X_{\mathbf{C}}$ kompakt. A továbbiakban $X$ -ről feltesszük, hogy sima és projektív.

A fentiek alapján vizsgálhatjuk az $X$ -hez rendelt $X_{\mathbf{C}}$ komplex analitikus sokaságon az ilyen sokaságokhoz rendelt algebrai invariánsokat. Az egyik ilyen invariáns-fajta az úgynevezett komplex együtthatós de Rham kohomológia-csoportok, amelyek valójában véges dimenziós komplex vektorterek. Konkrétan, minden $X$ komplex $d$ -dimenziós sokasághoz és $k \in \{ 0, \ldots , 2d \}$ számhoz tartozik egy $H_{dR}^k(X, \mathbf{C})$ véges dimenziós komplex vektortér. A de Rham-kohomológia értelmezéséhez szükség van az úgynevezett komplex-értékű $k$ -adfokú differenciál-forma fogalmára. Lokális komplex analitikus koordinátákban egy $k$ -forma egy

$% latex2html id marker 924 $\displaystyle \alpha=\sum_{\vec{n}, \vec{m}} f_{\vec{n}, \vec{m}} (z_1, \ldots , z_d)$$ d $% latex2html id marker 925 $\displaystyle z_{n_1} \wedge \dots \wedge$$ $% latex2html id marker 926 $\displaystyle z_{n_p} \wedge$$ d $% latex2html id marker 927 $\displaystyle \bar{z}_{m_1} \wedge \dots \wedge$$ d $% latex2html id marker 928 $\displaystyle \bar{z}_{m_q}$$

(1)

alakú kifejezés valamely sima $f_{\vec{n}, \vec{m}}$ komplex-értékű függvényekre, ahol az összegzés az összes lehetséges

$% latex2html id marker 932 $\displaystyle k=p+q$$

(2)

felbontásra¹, és

$% latex2html id marker 939 $\displaystyle \vec{n}$$	$% latex2html id marker 940 $\displaystyle =(n_1, \ldots , n_p),$$	$% latex2html id marker 941 $\displaystyle 0 < n_1 < \dots < n_p < d$$
$% latex2html id marker 942 $\displaystyle \vec{m}$$	$% latex2html id marker 943 $\displaystyle =(m_1, \ldots , m_q),$$	$% latex2html id marker 944 $\displaystyle 0 < m_1 < \dots < m_q < d$$

vektorokra fut. Rögzített $(p,q)$ pár esetén a megfelelő $\alpha$ formát tiszta $(p,q)$ -típusúnak nevezzük; komplex analitikus sokaságon egy $k$ -forma $(p,q)$ -típusú része jól meghatározott (azaz, a lokális koordinátarendszer választásától független). Az $X_{\mathbf{C}}$ -n értelmezett $k$ -formák vektorterét $\Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$ -val, a tiszta $(p,q)$ -típusú formák vektorterét pedig $\Omega^{p,q} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$ -val jelöljük. Minden, a (2) egyenletet teljesítő rögzített $(p,q,k)$ számhármas esetén természetesen adódik tehát egy

$% latex2html id marker 967 $\displaystyle \pi_{p,q}\colon\Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$$

$% latex2html id marker 968 $\displaystyle \to \Omega^{p,q} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$$

$% latex2html id marker 969 $\displaystyle \alpha$$

$% latex2html id marker 970 $\displaystyle \mapsto \sum_{\vert\vec{n}\vert=p, \vert\vec{m}\vert=q} f_{\vec{n}, \vec{m}} (z_1, \ldots , z_d)$$ d $% latex2html id marker 971 $\displaystyle z_{n_1} \wedge \dots \wedge$$ d $% latex2html id marker 972 $\displaystyle z_{n_p} \wedge$$ d $% latex2html id marker 973 $\displaystyle \bar{z}_{m_1} \wedge \dots \wedge$$ d $% latex2html id marker 974 $\displaystyle \bar{z}_{m_q}$$

projektor, ahol $\alpha$ lokálisan (1) által adott, és a fenti összegzés az összes rögzített $p$ hosszúságú $\vec{n}$ vektorra fut. A $\pi_{p,q}$ leképezés globális jól-definiáltsága a komplex sokaság-struktúrából következik.

Mivel minden komplex analitikus sokaság egyúttal valós analitikus sokaság is, emiatt értelmezhető a differenciál-formákon egy természetes elsőrendű lineáris differenciál-operátor, a külső deriválás. Bizonyos értelemben a külső deriválás analóg a szemléletes geometriai perem-fogalmunkkal: ahogyan egy $k$ -dimenziós szimpliciális komplexus pereme egy $(k-1)$ -dimenziós szimpliciális komplexus, éppúgy egy $\alpha \in \Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$ differenciál-forma külső deriváltja egy $(k+1)$ -edfokú d $\alpha \in \Omega^{k+1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$ differenciál-forma. Vagyis, minden $k$ -ra adódik

d $% latex2html id marker 996 $\displaystyle \colon \Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}) \to \Omega^{k+1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}). $$

Egy komplex sokaság esetében ennek az operátornak a konkrét alakját a linearitás miatt elegendő (1) egy tagjára megadni:

d $% latex2html id marker 997 $\displaystyle ( f_{\vec{n}, \vec{m}} (z_1, \ldots , z_d)$$ d $% latex2html id marker 998 $\displaystyle z_{n_1} \wedge \dots \wedge$$ d $% latex2html id marker 999 $\displaystyle z_{n_p} \wedge$$ d $% latex2html id marker 1000 $\displaystyle \bar{z}_{m_1} \wedge \dots \wedge$$ d $% latex2html id marker 1001 $\displaystyle \bar{z}_{m_q})$$
$% latex2html id marker 1002 $\displaystyle =\sum_{s=1}^d \left( \frac{\partial ... ...}_s \right) \wedge\mbox{d} z_{n_1} \wedge \dots \wedge \mbox{d} \bar{z}_{m_q} .$$

Az itt szereplő differenciálások a szokásos $z=x+i y$ valós-képzetes felbontásban a

$% latex2html id marker 1006 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=... ...2 \left( \frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y} \right) $$

Cauchy—Riemann operátor, valamint annak konjugáltja:

$% latex2html id marker 1008 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\frac12 \left( \frac{\partial f}{\partial x} - i \frac{\partial f}{\partial y} \right). $$

Ahhoz, hogy a külső deriváltban kapott d $z_s$ és d $\bar{z}_s$ formákkal bővített rendszert újra növekvő sorrendbe rendezhessük, a következő relációkat használhatjuk:

d $% latex2html id marker 1013 $\displaystyle z_s \wedge$$ d $% latex2html id marker 1014 $\displaystyle z_r$$	$% latex2html id marker 1015 $\displaystyle =-$$ d $% latex2html id marker 1016 $\displaystyle z_r \wedge$$ d $% latex2html id marker 1017 $\displaystyle z_s$$
d $% latex2html id marker 1018 $\displaystyle \bar{z}_s \wedge$$ d $% latex2html id marker 1019 $\displaystyle z_r$$	$% latex2html id marker 1020 $\displaystyle =-$$ d $% latex2html id marker 1021 $\displaystyle z_r \wedge$$ d $% latex2html id marker 1022 $\displaystyle \bar{z}_s$$
d $% latex2html id marker 1023 $\displaystyle \bar{z}_s \wedge$$ d $% latex2html id marker 1024 $\displaystyle \bar{z}_r$$	$% latex2html id marker 1025 $\displaystyle =-$$ d $% latex2html id marker 1026 $\displaystyle \bar{z}_r \wedge$$ d $% latex2html id marker 1027 $\displaystyle \bar{z}_s.$$

Azt mondjuk, hogy $\alpha$ zárt, ha d $\alpha=0$ , és $\alpha$ egzakt, ha $\alpha=$ d $\beta$ valamely $\beta \in \Omega^{k-1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$ formára. Kiderül, hogy minden egzakt forma zárt, ennek fordítottja azonban általában nem igaz. A $k$ -adik de Rham-kohomológia csoport pontosan azt méri, hogy ez mennyire nem teljesül: a $H_{dR}^k(X, \mathbf{C})$ vektorér definíció szerint a zárt $k$ -formák vektortere leosztva az egzakt $k$ -formák vektorterével.

Algebrailag az előbb bevezetett hányados minden további meggondolás nélkül értelmes, az azonban nem világos, hogy véges dimenziós-e. Ennek megvizsgálásához hasznos W. Hodge tétele, amely kimondja, hogy a fenti hányados izomorf egy bizonyos $X$ -en adott másodrendű elliptikus lineáris parciális differenciál-egyenlet $L^2$ megoldásterével. Az derül ki ugyanis, hogy ha $X$ sima projektív, akkor az $X_{\mathbf{C}}$ komplex analitikus sokaságra a projektív térről egy speciális tulajdonságokkal rendelkező, úgynevezett Kähler-metrika öröklődik. A Kähler-metrika segítségével bevezethetjük az úgynevezett

$% latex2html id marker 1056 $\displaystyle \Delta_{\mbox{d}}=\mbox{d}^* \mbox{d}+\mbox{d} \mbox{d}^* $$

Hodge—Laplace operátort a $\Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$ téren, ahol d $^*$ -vel d adjungált operátorát jelöljük az $L^2$ metrikára. A következő eredmény ma már klasszikusnak számít [5]:

Sir William Vallance Douglas Hodge (1903 - 1975) (https://www.geni.com/people/Sir-W...Hodge)

1. Tétel (Hodge) Legyen $X_{\mathbf{C}}$ -n adott egy Kähler metrika. Jelöljük $\mathcal{H}^k (X_{\mathbf{C}})$ -vel a belőle származtatott Hodge—Laplace operátor $L^2$ magját. Ekkor

$% latex2html id marker 1076 $\displaystyle H_{dR}^k(X_{\mathbf{C}}, \mathbf{C}) \cong \mathcal{H}^k (X_{\mathbf{C}}). $$

A $\mathcal{H}^k (X_{\mathbf{C}})$ elemeit $X_{\mathbf{C}}$ feletti harmonikus $k$ -formáknak nevezzük. A kompakt sokaságokon definiált elliptikus lineáris parciális differenciálegyenletek általános elmélete ekkor garantálja, hogy $X_{\mathbf{C}}$ de Rham kohomológia-terei véges dimenziósak.

A külső deriválásnak minden komplex sokaságon van egy természetes felbontása

d $% latex2html id marker 1086 $\displaystyle =\partial+\bar{\partial} $$

alakban, ahol minden $\alpha \in \Omega^{p,q} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$ esetén

$% latex2html id marker 1089 $\displaystyle \partial \alpha$$	$% latex2html id marker 1090 $\displaystyle =\pi_{p+1, q} ($$ d $% latex2html id marker 1091 $\displaystyle \alpha ) \in \Omega^{p+1,q} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$$
$% latex2html id marker 1092 $\displaystyle \bar{\partial} \alpha$$	$% latex2html id marker 1093 $\displaystyle =\pi_{p, q+1} ($$ d $% latex2html id marker 1094 $\displaystyle \alpha ) \in \Omega^{p,q+1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}).$$

Hasonlóan a Hodge—Laplace operátorhoz, bevezethetjük a

$% latex2html id marker 1096 $\displaystyle \Delta_{\bar{\partial}}=\bar{\partial}^* \bar{\partial}+\bar{\partial} \bar{\partial}^* $$

Dolbeault—Laplace operátort. Könnyen látszik, hogy ez az operátor egy tiszta $(p,q)$ -típusú formát ugyanilyen típusú formába képez. A Kähler-geometria alapvető azonossága ekkor azt mondja ki, hogy

$% latex2html id marker 1100 $\displaystyle \Delta_{\mbox{d}}=2 \Delta_{\bar{\partial}}. $$

Ebből és az előző észrevételből azonnal következik, hogy a harmonikus $k$ -formák vektortere felbomlik típus szerint:

$% latex2html id marker 1104 $\displaystyle \mathcal{H}^k (X)=\bigoplus_{p+q=k} \mathcal{H}^{p,q} (X), $$

ahol $\mathcal{H}^{p,q} (X)$ a tiszta $(p,q)$ -típusú harmonikus formák tere. Továbbá, mivel $\Delta_{\mbox{d}}$ könnyen láthatóan valós operátor (azaz, kommutál a komplex konjugálással), azért létezik egy

$% latex2html id marker 1112 $\displaystyle \overline{\mathcal{H}^{p,q} (X)}=\mathcal{H}^{q,p} (X) $$

izomorfizmus. A fenti fogalmak és eredmények részletesebb kifejtése megtalálható például a [4] tankönyv bevezető fejezetében.

Az előző paragrafusban nyert struktúrát tetszőleges $V$ véges-dimenziós, komplex konjugálással ellátott komplex vektortéren értelmezhetjük: azt mondjuk, hogy $V$ -n egy

$% latex2html id marker 1118 $\displaystyle V=\bigoplus_{p+q=k} {H}^{p,q} $$

direkt-összeg felbontás megad egy tiszta $k$ -súlyú komplex Hodge-struktúrát, ha minden $p,q$ párosra teljesül a következő feltétel:

$% latex2html id marker 1124 $\displaystyle \overline{{H}^{p,q}}={H}^{q,p}. $$

Ezzel a terminológiával élve tehát Hodge tétele azt mondja ki, hogy a $H_{dR}^k(X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})$ de Rham kohomológia-téren létezik egy természetes tiszta $k$ súlyú Hodge-struktúra.

Kanyarodjunk vissza a kiinduló-pontunkhoz: a véges testek feletti algebrai varietások racionális pontjainak kérdéséhez, amelyről 1949-ben A. Weil négy mély tulajdonságot sejtett meg. A Weil-sejtések teljes bizonyítása P. Deligne nevéhez fűződik [1], amely eredményéért 1978-ban Fields-éremmel jutalmazták. Magukat a sejtéseket itt teljes részletességgel nem közöljük, csupán egy azokból következő, első látásra talán meglepő összefüggést egy $X$ algebrai varietás leszámláló-függvénye és az $X$ -hez rendelt $X_{\mathbf{C}}$ komplex analitikus sokaság de Rham kohomológia-tereinek dimenziói között.

Pierre Deligne: https://www.youtube.com/watch?v=IY2GTOxfG4A

2. Tétel (Deligne) Legyen $X$ egy sima projektív algebrai varietás $\mathbf{Q}$ felett. Tegyük fel, hogy véges sok prím $q$ hatványaitól eltekintve $X$ leszámláló—függvénye polinom alakú:

$% latex2html id marker 1149 $\displaystyle \vert X (\mathbf{F}_{q}) \vert=b_d q^d+b_{d-1} q^{d-1}+\dots+b_0 $$

valamely ( $q$ -tól független) $b_0, \ldots, b_d$ együtthatókra². Ekkor, minden $k \in \{ 0, \ldots, d \}$ esetén

$% latex2html id marker 1159 $\displaystyle b_k=\dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{2k} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}) $$

és minden $k \in \{ 0, \ldots, d-1 \}$ esetén

$% latex2html id marker 1163 $\displaystyle \dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{2k+1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})=0. $$

A tétel feltétele erősnek tűnhet, ám kiderül hogy az így is lefed számos érdekes esetet. Lássunk ezek közül egyet!

Példa Legyen $X$ a Fermat-görbe az $n=2$ esetben, amelynek egyenlete könnyen láthatóan

$% latex2html id marker 1174 $\displaystyle x^2=(z-y) (z+y) $$

alakra hozható. Tegyük fel, hogy $q \neq 2$ . Mivel a megoldásokat átskálázás erejéig azonosnak tekintjük, különböztessük meg az $x \neq 0$ és $x=0$ eseteket. Az első esetben elérhetjük, hogy $x=1$ legyen, és bevezethetjük az $u=z-y, v=z+y$ új koordinátákat. Ekkor minden rögzített $u \neq 0$ érték esetén $v=u^{-1}$ már egyértelműen meghatározott. Mivel $q \neq 2$ , azért $u$ és $v$ pedig meghatározzák $y$ és $z$ értékét:

$% latex2html id marker 1200 $\displaystyle y=2^{-1} (v - u), \quad z=2^{-1} (v+u). $$

Látjuk tehát, hogy a $\mathbf{F}_{q}P^2$ projektív síkon $q-1$ ilyen megoldás van: minden $u \in \mathbf{F}_{q} \setminus \{ 0 \}$ esetén $[2:u^{-1} - u: u^{-1}+u]$ . Másrészről, amennyiben $x=0$ akkor sem $y$ sem $z$ nem lehet 0, így átskálázással elérhetjük hogy $y=1$ legyen. Ekkor azonban $z=\pm 1$ , amely a $q \neq 2$ esetben két egymástól különböző megoldást ad. Összeadva a különböző megoldások számát tehát megkapjuk a leszámláló—függvényt:

$% latex2html id marker 1223 $\displaystyle \vert X (\mathbf{F}_{q})\vert=q+1. $$

Mivel ez polinom, ezért alkalmazható Deligne tétele, és azt kapjuk hogy

$% latex2html id marker 1225 $\displaystyle \dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{0} (X_{\ma... ..., {\mathbf{C}})=1=\dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{2} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}), $$

és

$% latex2html id marker 1227 $\displaystyle \dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})=0. $$

Ellenőrizzük most le geometriailag a kapott eredményt! A Fermat-egyenlet $n=2$ esete egy sima másodfokú görbét határoz meg a projektív síkon. Ismert elemi projektív geometriából, hogy a komplex számok felett bármely sima másodfokú görbe homeomorf egy két-dimenziós $S^2$ gömbbel. Az $S^2$ kohomológia-csoportjainak dimenziója bizonyos standard technikák alkalmazásával egyszerűen kiszámolható: a 0-adik kohomológia-csoportját az állandó függvények alkotják, amelyek értelemszerűen $1$ -dimenziós vektorteret határoznak meg. A második kohomológia-csoportját bármely rögzített térfogati formájának többszörösei alkotják. Végül, azt hogy az első kohomológia-csoportja eltűnik, kicsit körülményesebb szabatosan belátni; következik például abból a szemléletesen (de matematikailag nem teljesen) nyilvánvaló észrevételből, hogy $S^2$ -n minden hurok „pontra húzható”.

Deligne fenti tételének eredménye csak sima projektív varietásokra igaz. A tiszta Hodge-struktúra fogalmának létezik egy kiterjesztése, az úgynevezett kevert Hodge-struktúra, amelynek kidolgozása szintén Deligne érdeme [2], [3]. Bebizonyította többek között, hogy amennyiben $X$ nem sima vagy nem projektív, akkor a de Rham-kohomológia terein kevert Hodge-struktúra értelmezhető. Ennek a kevert Hodge-struktúrának a segítségével pedig bevezethető egy $E_X(x,y)$ kétváltozós polinom. N. Katz általánosította Deligne tételeinek fenti következményét [6]: bebizonyította, hogy ha egy $X$ algebrai varietás leszámláló-függvénye valamely $P_X$ polinom, akkor $\displaystyle E_X(x,y)=P_X(xy).$

Ezen további elméletek magyarázata azonban már túlmutat jelen cikkünk keretein.

Szabó Szilárd

BME Matematika Intézet, Geometria Tanszék

Irodalomjegyzék

1: P. Deligne, La conjecture de Weil: I, Publ. Math. IHES, 43, 1974.
2: P. Deligne, Théorie de Hodge. II, Publ. Math. IHES, 40, 1971.
3: P. Deligne, Théorie de Hodge. III, Publ. Math. IHES, 44, 1974.
4: P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, 1978.
5: W. Hodge, The Theory and Application of Harmonic Integrals, Cambridge University Press, New York, 1941.
6: N. Katz, $E$ -polynomials, zeta-equivalence and polynomial count varieties, függelék itt: T. Hausel, F. Rodriguez-Villegas, Mixed Hodge polynomials of character varieties, Invent. Math. 174, 2008.

Lábjegyzetek

¹: Remélhetőleg, az olvasó nem téveszti össze az itt bevezetett $q$ számot a korábban szintén $q$ -val jelölt prímhatvánnyal — mivel mindkét jelölés bevett az elméletben, a szerző nem kíván eltérni egyiktől sem.
²: A tétel ennél gyengébb feltételek mellett is igaz, amelyek kimondása azonban itt túl technikai lenne.