Nem megy a matek – avagy a törtek osztása egy rajzfilmben

Rendszerint gyanakodva fogadom, amikor valaki arról beszél, hogy nem ment neki a matek. Lehet, hogy nagyon is jól ment – volna, csak nem úgy mondták el neki, ahogy ő be tudta volna fogadni. Esetleg benne ragadt egy kérdés még az elején, amire senkitől nem kapott választ. Talán meg sem tudta jól fogalmazni a problémáját, mégis elvesztette emiatt a bizalmát és az érdeklődését. Vagy – szoktam ilyenkor gondolni – az illető igazából nem is találkozott még matematikával. Amivel találkozott az iskolában, azt nem nevezném annak. A japán rajzfilmkészítő, Takahata Iszao Yesterday – Vissza a gyerekkorba című animációs filmjének egyik jelenetében nagyon tanulságos példát láthatunk erre a jelenségre (1:04:10-nél kezdődik).

A film főhősének, Taekonak ötödikes korában nem ment a törtek osztása. Rossz dolgozatot írt belőle, és az édesanyja a nővéréhez küldte őt korrepetálásra. Hamar kiderült, hogy Taeko is tudja, hogyan kellene kiszámolni a helyes eredményt, de nem érti, mi ennek a jelentése. Pontosabban amire ő gondol, az más eredményt ad, és emiatt össze van zavarodva.

„Mi az egyáltalán, hogy törtet osztunk törttel?” – kérdezi Taeko a nővérét. Az ő eszmefuttatása szerint $2/3$ -ot elosztani $1/4$ -del azt jelentené, hogy 4 felé osztjuk, tehát $1/6$ -ot kapunk. A nővére nagyon helyesen rámutat, hogy így nem osztott, hanem szorzott $1/4$ -del, de Taeko számára ez újabb ellentmondást okoz: „Hogy lenne kisebb, ha szorzok?” A nővére próbál belegondolni az $1/4$ -del való osztás jelentésébe, sikertelenül, majd elhangzik az a mondat, ami talán egész életére meghatározza Taeko viszonyát a matematikához: „Nem ez a lényeg. Verd ki a fejedből az almákat! Csak megcseréled, aztán pedig megszorzod, ezzel törődj!”

A $2/3$ négy részre osztása Takahata Iszao: Vissza a gyerekkorba című animációs filmjében, amit a főhős, Taeko $1/4$ -del való osztásnak gondol – pedig valójában szorzás $1/4$ -del.

Akkor végülis tényleg nem ment a törtek osztása Taekonak? Ő is ki tudta – volna – számolni ugyanúgy, mint a nővére. Csak nem volt hajlandó ész nélkül alkalmazni egy receptet, aminek nem látja az értelmét. Nem volt butább a többieknél, sőt, talán matekosabb gondolkodásra vall, hogy meg is akarja érteni, amit csinál. De ebben a megértésben senki nem tudott segíteni neki. Volt egy elakadása, amin aztán nem tudott továbblendülni, úgy maradt, rossz matekos lett.

Vajon hányan ülhetnek hasonló tapasztalattal az iskolapadokban, és mennyien lehetnek a felnőttek között, akiket elkönyveltek rossz matekosnak, pedig csak gondolkodtak, nem látták értelmét, és nem kaptak segítséget? Úgy képzelem, hogy ez egész általános jelenség lehet: ha valaki nem matekzseni, hogy magától rájöjjön, vagy legalább nagyon precíz kérdést fogalmazzon meg, de közben gondolkozik, keresi az értelmét az iskolában tanultaknak, akkor szükségszerűen belebotlik ehhez hasonló kérdésekbe – és kétséges, hogy talál-e valakit, aki ezeken átsegíti őt.

Én saját élményként is jól ismerem ezt a fajta elakadást, igaz, leginkább nem általános iskolából, hanem a kutatói munkámból. De attól még ugyanolyan frusztráló, sőt! Egyre kevesebb ember van a bolygón, akivel az ilyen elakadásokat részletesen át tudom rágni, hiszen ehhez kell az, hogy nagy tudása legyen az adott témáról, és rám szánja a figyelmét, hogy megértse, hogy én mit nem értek. Másrészt pedig egész tudományágak is működnek hasonló elakadásban. Például a kvantummechanika értelmezésével kapcsolatban csak félig viccesnek szánt szállóige, hogy „Fogd be a szád, és számolj!”

De térjünk vissza Taekohoz. Mit válaszolnánk neki, hogyan magyaráznánk el a törtek osztását? Ha hozzám fordulna Taeko ezzel a problémával, előszöris a törtek szorzását tisztáznám vele. A magyar nyelv kicsit félrevezető ez ügyben (bár a japánt nem tudom). Valamit elnegyedelni annyit tesz, mint négy egyenlő részre osztani, így amit ő lerajzolt, az a $2/3$ osztva 4-gyel, a $2/3$ negyed része, vagy ha úgy tetszik, a $2/3$ egy negyede. Ez az $1/4$ -de való szorzás:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{6}.$

Igen, megszoroztam és kisebb lett, mert 1-nél kisebb számmal szoroztam – ezen el lehet tűnődni más péládák kapcsán is. De a negyedelés miért $1/4$ -del való szorzást jelent? Ez számomra úgy lesz igazán meggyőző, hogyha egész számot szorzok $1/4$ -del, például $6 \cdot 1/4$ , és fordítva tekintem: a 6-tal szorzom meg az $1/4$ -et, azaz 6-szor összeadom önmagával:

$\displaystyle 6 \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4} +\frac{1}{4} +\frac{1}{4} +\frac{1}{4} +\frac{1}{4} +\frac{1}{4} =2+ \frac{1}{2}=\frac{6}{4}.$

Összefoglalva: a törttel való szorzás a törtrész kiszámítása. Ez a legalapvetőbb gondolat nem nyilvánvaló, inkább meglepő.

Most jöhet az osztás! Valóban elakadunk már az elején: mit jelent az, hogy a $2/3$ -ot $1/4$ darab egyenló részre osztom? Nem azt, amit Taeko rajzolt, mert az a 4-gyel való osztás, azaz $1/4$ -del szorzás. Tudjuk, hogy mit nem jelent, de attól még nem tudjuk, hogy mit jelent. Lépjünk hát egyet hátra! Nézzünk olyan példát, amiben tudjuk az osztás jelentését, mondjuk, 12 osztva 3-mal ( $12/3$ ). 12 ember belép az étterembe, őket kell 3 egyenlő csoportra osztani, vagyis 3 asztalhoz leültetni. Így egy-egy asztalnál 4 ember fog ülni.

De van ennek egy másik jelentése is! $12$ -ben a 3 (azaz $12:3$ ) azt jelenti, hogy 3-mas csoportokat alkotunk a 12 emberből, azaz 3 fős asztalokhoz ültetjük le az embereket. Így összesen 4 csoport keletlkezik, 4 asztalt fognak elfoglalni. Az eredmény, $12/3$ vagy $12:3$ mindenképpen 4, de más a jelentése. Ezt az második féle jelentést szokás bennfoglalásnak hívni, és ezt jelöli a kettőspont.

$3 \cdot 4=4 \cdot 3$

A bennfoglalás az általános iskolás matematika tananyag egyik legbizarrabb eleme, ekkor szoktak a szülők tömegesen reklamálni, hogy nem értik, amit a másodikos gyerekük tanul. Igen, mert a bennfoglalás ugyanaz, mint az osztás, pontosabban más a jelentése, de ugyanaz az eredménye. Valójában a különbség a kétféle szorzásból adódik: $3 \cdot 4$ jelentése az, hogy $4+4+4$ , míg a $4 \cdot 3$ azt jelenti, hogy $3+3+3+3$ . Különböző a jelentés, de az eredmény ugyanaz.

És most már válaszolhatunk Taekonak és a nővérének. A $(2/3):(1/4)$ műveletet nem tudjuk osztásként értelmezni, hiszen nem tudunk $1/4$ darab csoportot képezni a $2/3$ -ből. Az osztás első féle jelentése tehát ebben az esetben nem működik. Működik viszont a bennfoglalás: hányszor van meg $2/3$ -ban az $1/4$ ? Taeko rajzán belemérhetjük az egésznek a $2/3$ részébe az $1/4$ részét: belefér kétszer, meg még maradt egy pici. Ez a fennmaradó rész az $1/4$ -nek a $2/3$ része, azaz $2/3$ -szorosa. Tehát az $1/4$ a $2/3$ -ba belefér $2$ -szer és még $2/3$ -szor. Azaz

$\displaystyle \frac{2}{3} : \frac{1}{4}=2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.$

Tényleg ugyanaz, mint a reciprokkal való szorzás eredménye – a recept alkalmazása:

$\displaystyle \frac{2}{3}:\frac{1}{4}=\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1}=\frac{8}{3}.$

Megvan tehát, hogy mi a törttel való osztás jelentése. Igazából törttel való bennfoglalásnak kellene hívni, ha ehhez a szóhoz nem kapcsolódna egy 5. osztályra talán már sikeresen elnyomott trauma. Azt is látjuk a példán, hogy működik a recept. Legalábbis helyes eredményt ad, de egyelőre nem nyilvánvaló belőle, hogy ennek mindig így kell lennie.

Van másik módszer is, ahogy a törttel való osztást származtathatjuk, csak az sokkal formálisabb. E szerint az $1/4$ -del való osztás eredménye olyan szám, amit $1/4$ -del szorozva megkapjuk azt a számot, amit elosztottunk. Azaz – általánosan:

$x:\dfrac{a}{b}=y$ , ha $y \cdot \dfrac{a}{b}=x$ .

Ez a magyarázat Taeko számára nem volna kielégítő, hiszen nem derül ki belőle, mit jelent ez a művelet az almák darabolására vonatkoztatva. Viszont a jól ismert reciprok-recept kiolvasható belőle:

$x:\dfrac{a}{b}= x\cdot\dfrac{b}{a}$ , hiszen $\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}=1$ , és ezért $x \cdot \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}=x \cdot 1=x$ .

Látjuk, hogy egy matematikai fogalomnak nemcsak egyféle jelentése van, hanem különböző jelentésrétegei. Továbbá a megértés szubjektív dolog, mindenkinek mást jelenthet:

$2/3$ -ban az $1/4$

(1) A recept alkalmazása: Taeko nővérének az volt a megértés, hogy tudja a receptet, tudja, hogyan kell kiszámolni. Biztos vannak olyan diákok, akiket nem érdekel mélyebben a dolog, megelégszenek ezzel. Ilyen esetben jó célja a tanításnak, hogy gyakoroltassuk be velük a receptet, hogy tudják használni. De érdemes tudni, hogy lehetnek olyan diákok, akiket éppen ezzel veszítünk el, ráadásul ők azok, akiket érdekelne is a matek. Nekik mondanám azt felnőtt korukban, hogy igazából nem találkoztak matematikával. Mert ami nem ment nekik, az nem az volt, hanem gépies számolás.

(2) A matematikai megértés: A matematikai formalizmus számára a megértés az, hogy az osztás eredményét (a hányadost) visszaszorozva az osztóval kijön az eredeti szám (az osztandó). Ebből az elvből azonnal következik a recept, ezért a megértésnek ezen a szintjén mozogni kényelmes és rendkívül gyümölcsöző. A matematika javarészt ezen a szinten mozog. De ez a szint nem foglalkozik a világi (matematikán kívüli) jelentéssel.

(3) Világi megértés: Visszatérni a törtek (egyik) jelentéséhez, és az almákon elvégezni az $1/4$ -del való osztás matematikai műveletét jóval nehezebb feladat, egyáltalán nem magától értetődő. A megértésnek ezen a szintjén nem véd meg a matematika, kiléptünk annak biztonságot adó formalizmusából, és bele kell gondolnunk a valóságba. Taeko azért került nehéz helyzetbe, mert a megértésnek ezt a szintjét igényelte (volna).

Az is kiderül ebből, hogy mindenki a személyes igénye szerint képes a megértésre, a más szinteken érkező magyarázatok nem működnek nála. Taeko nővérének hiába mutogatnánk a kördiagramot, hiszen ő megelégedett a recepttel, míg Taekonak a recept önmagában semmitmondó, csak kérdéseket vet fel. Ráadásul a törtek osztásának tényleges jelentése nem egy könnyű gondolat, ezért egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy melyik módon érdemes bevezetni a témát.¹

Ez tehát rossz hírnek tűnhet az oktatás számára: nincsen mindenki számára kielégítő magyarázat. Jó hír viszont, hogy minden értelmezhető sokféle módon, mindenkinek juthat az osztályban személyre szabott megértés, ami a többiekét is teljesebbé teszi. Ehhez „csak” az kell, hogy megértsük, hogy ki hogyan nem érti.

A matematikai fogalmak esetén minden alkalmazás új jelentésrétegeket nyit meg. Minden új alkalmazás új megértés és új ábrázolás is egyúttal. Most erre nézünk egy példát a törtek osztása esetén. Ez a példa elsőre nem segíti a törtekkel végzett műveletek megértését, hiszen még azt a területet is meg kell hozzá érteni, ahonnan a példa származik, ami jelen esetben a zene lesz. Ezt követően azonban mégis egy új színfoltot ad a történek osztásához.

Tehát ahogy említettem, a törtek szorzása és osztása nagyon szépen megjelenik a zenében, ha egy húr rezgéseit vizsgáljuk. A teljes sztorit el lehet olvasni Székely Péter cikkében vagy az én könyvemben, itt csak az idevágó gondolatot foglalom össze.

Minden tört – arány – egy adott hangköznek felel meg: ha olyan arányban fogom le a húrt, mennyivel lesz magasabb a hangja a húr alaphangjánál. Péládul ha egy húrt lefogunk a felénél, éppen egy oktávval magasabb hang szólal meg, mintha az eredeti húrt pengetnénk. A negyedénél lefogva (a negyedét pengetve) két oktávval magasabb hangot hallunk, a nyolcadát pengetve három oktávval magasabb és így tovább. A $2/3$ -nak megfelelő hangköz a kvint: a húr hosszának $2/3$ -át pengetve a húr alaphangjánál egy kvinttel magasabb hangot hallunk. ²

Az oktávhoz a felénél, a kvinthez a $2/3$ -nál kell lefogni a húrt.

Milyen arány felel meg a kvint kiegészítő hangközének, a kvartnak? Azaz az oktávnál egy kvinttel mélyebb hang milyen aránynak felel meg az alaphanghoz képest? A kvinttel magasabb hang a $2/3$ -dal való szorzás, tehát ha kvinttel mélyebb hangot szeretnék, akkor osztani kell $2/3$ -dal. Mivel az oktáv az eredeti húrhossz $1/2$ -szerese, ezért az oktávnál egy kvinttel mélyebb hangnak a

$\displaystyle \frac{1}{2} : \frac{2}{3}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

arány felel meg, azaz a húr $3/4$ -ét kell pengetni ahhoz, hogy az alaphangnál egy kvarttal magasabb hangot kapjunk. Tehát az a zenei formula, hogy

kvint + kvart = oktáv,

így fordítható le matematikára:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}.$

És most érdemes megvizsgálni a számolás jelentését a világi szinten is! Ha a húr $3/4$ -ének veszem a $2/3$ -át, az 2 darab negyed lesz, vagyis a húr fele. Fordítva, ha a $2/3$ -nak veszem a $3/4$ -ét: ehhez érdemes hatodokra bontani, mint Taeko az almát. A $2/3$ egy negyede $1/6$ , tehát a három negyede $3/6$ , azaz $1/2$ .

A kvint és a kvart oktávra egészítik ki egymást.

Arra szeretném tehát felhívni a figyelmet, hogy egy-egy matekos témának (is) ezernyi arca van, és mindenki más irányból érkezik a megértéshez, és más irányból akad el. Az elakadás végzetes is lehet egy ennyire egymásra épülő tudományban, mint a matek, egész életre elvághatja a diákot a matematikától és mindentől, ami arra épül. Ha ezt elfogadjuk, és figyelembe is akarjuk venni az oktatásban, nem tudok jobb módszert javasolni, mint a kétirányú kommunikációt a tanár és a diákok között. Ijesztően hangzik, hiszen rengeteg diák van, kevés idő, sok tananyag. De valójában, ha sikerülne átsegíteni egymást a személyes elakadásokon, azzal rengeteg extra erőfeszítést (munkát, időt) spórolnánk meg, mindenki jobb kedvvel és lelkesebben tanulna, dolgozna. És mivel mindenkinek másmilyen a megértése és az elakadása, a diákok igazából egymásnak tudnának a legtöbbet segíteni. Idealistán hangzik? Véleményem szerint akkor is ez az igazság.

Az ELTE matematikus szakán sikerült egy ilyen idilli rendszerben tanulnunk, együtt az évfolyamtársaimmal és a tanárainkkal a közös ügyért. Ez semmi máshoz nem fogható élmény. Ha szerencsém van, a különféle alkalmazások és kapcsolatok varázslatos színfoltjai egész életemen keresztül színezni fogják a világomat.

Lábjegyzetek

: ¹ A magyarországi matematikatanítás hagyományosan felfedeztető jellegű, a tananyag spirális felépítésű. Ezért ha jól tanítjuk a matematikát, akkor a gyerekekben sok matematikai kép, modell előbb alakul ki (nem verbálisan), mint ahogyan azt a tanterv elvárja. Ez az értelmezés előkészítő szakasza. A tankönyvekben is ez köszön vissza (lásd https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT06TA__teljes.pdf 54–76. oldal, https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT06TB__teljes.pdf 149–178. oldal). Nagy hangsúlyt igyekszünk fektetni a tapasztalatszerzésre, ami lehetőséget teremt a gyerekeknek arra, hogy a saját elképzeléseik szerint építsék fel magukban a megértéshez szükséges szemléletet. Ilyen előkészületek esetén sokkal nagyobb az esély rá, hogy a tanulók megértik a törtekkel végzett műveleteket. Könnyen elképzelhető viszont, hogy idővel csak a szabályra emlékeznek, és nem fogják feltétlenül az értelmet keresni mögötte. Az, hogy természetes módon tudják elvégezni a műveleteket a törtekkel (anélkül, hogy újra és újra végig kelljen gondolniuk az értelmezésen alapuló hátteret), az absztrakció egy magasabb szintjét jelenti. (Szerkesztői megjegyzés.)
: ² A hangközök zenei elnevezései (oktáv, kvint, kvart, …) a mi szempontunkból félrevezetőek, mivel másfajta rendszerből származnak. A hangoknak a zongora billentyűzetén elfoglalt helyét jelölik, és semmi közük a felhangrendszerbeli jelentéshez. Például a kvint jelentése öt(ödik), ennek semmi köze nincs a -hoz, mint ahogy az oktávnak (nyolc(adik)) sincs köze az -hez. A kétféle megközelítés persze egy adott ponton találkozik, ezt a prímszámokról szóló könyvemben végigvezetem, de Székely Péter cikke is támpontot adhat.