Neumann János válogatott írásai c. kötetről (Bővített kiadás, szerk.: Ropolyi László, Typotex Kiadó, 2023): közgazdasági és matematikai tárgyú írások
https://www.typotex.hu/book/13360/ropolyi_laszlo_neumann_janos_valogatott_irasai
A kötet írásainak szerzője a világ valaha élt egyik legnagyobb matematikusa. De tulajdonképpen a „matematikus” kifejezés nem is helyes esetében, mert a matematikán kívül számos területen alkotott maradandót. Igazából polihisztor volt, korának egyik legnagyobb kutatója.
Erős matematikai gyökerei ellenére a kötetben alig található matematikai formalizmus, azaz képlet. Némi kivételt a Megoldatlan problémák a matematikában című írás jelent, ami az 1954-ben a Nemzetközi Matematikai Kongresszuson tartott előadásának írott változata. Tekintve, hogy akkor matematikusoknak beszélt, ebben a művében is feltűnő a formalizmus hiánya. Ha a jelen kötet egészét nézzük, akkor a matematikai részletek látszólagos mellőzésének két okát lehet sejteni. A szerkesztőket nyilván az motiválta, hogy ennek a jelentős tudósnak a gondolatait minél több olvasó számára tegyék elérhetővé. A másik ok sokkal fontosabb, mert Neumann gondolkodásának módjára világít rá. A már említett beszédéből, de talán a Játékelmélet és gazdasági viselkedés[i] című fejezetből még jobban látszik, hogy ő valóságosan létező, matematikán kívüli problémákat akart megérteni és megoldani. Másképp fogalmazva: úgy lehet Neumann tudományos munkásságának számos fejezetét jellemezni, hogy annak ellenére, hogy a matematikán belül is briliánsan tudott alkotni, ő kívülről haladt a matematika felé, a valós problémákat fordította le a matematika nyelvezetére, oldotta meg az így kapott feladatokat, majd az eredményeket értelmezte a matematikán kívüli világban.
A problémáknak ez a – mondhatni filozófiai – megközelítése felhatalmazza, ha nem egyenesen felszólítja az olvasót, hogy maga is elmélkedjen. Tegye megfontolás tárgyává Neumann megközelítését, s ha éppen úgy találja, vitatkozzon vele.
Neumann Jánosnak több fontos hozzájárulása is van a közgazdaságtanhoz. Ezek közül vitathatatlanul a legfontosabb a kötetben is szereplő játékelmélet. Első cikkét 1928-ban publikálta a témáról.[ii] Megjegyzendő, hogy ezen vizsgálatai során felfedezte a lineáris programozás (erős) dualitástételét, amit azonban nem publikált. Ezt George Dantzig[iii] visszaemlékezéséből tudjuk.[iv] Ennek valószínű oka, hogy akkor még a nemdifferenciálható feltételek melletti optimalizálás nem állt az érdeklődés középpontjában. A dualitástételt – amelynek felfedezése szükségszerű volt – végül Tucker publikálta.[v]
Neumann következő jelentős hozzájárulása a területhez a már említett Neumann–Morgenstern könyv. Az itt közölt részlet a fentebb írottak szerint a megoldandó problémát igyekszik leírni mindenki számára érthető módon. Ez a probléma pedig nem más, mint az, hogy mi történik egy több szereplőből álló piacon. A játékelmélet felfogása erről nagyon szemléletes képet fest. Egy adott pillanatban a piac minden szereplőjének meghatározottak a cselekvési lehetőségei. Megvan, hogy egy vevő mit vásárolhat, egy vállalkozó (termelő) mit állíthat elő. Egyik esetben sem egyetlen variációról van szó, hanem különböző cselekvési opciókról. Ez utóbbiakat nevezzük stratégiáknak, az összességüket pedig az adott piaci szereplő stratégiahalmazának. Minden szereplőnek szabadsága van a saját stratégiahalmazából bármelyik stratégiát (cselekvést) választani, de nincs ráhatása arra, hogy a piac többi szereplője milyen cselekvést választ a maga stratégiahalmazából. Én teszem hozzá, hogy egy háztartás fájdalmas döntések elé nézhet, például választani kell a mosógép megjavíttatása és aközött, hogy cipőt vegyenek-e a gyereknek. De hasonló vagy-vagy döntésekkel a vállalatoknak is szembe kell nézniük. A közgazdaságtanban ezekre az egyéni döntésekre bevezettek egy fogalmat, a preferenciát, amely már Neumann idejében is használatban volt. Ez a preferencia azt mondja meg, hogy két stratégia, azaz két lehetséges cselekvés közül az adott szereplő számára melyik a jobb. Lehetséges azonban, hogy két stratégia a piaci szereplő számára egyenértékű. Az egyenértékű stratégiák halmazát közömbösségi görbének nevezzük. Egy szereplőnek számos közömbösségi görbéje lehet. De a különböző közömbösségi görbéken fekvő két stratégia közül egyértelmű, hogy melyik a jobb. Természetesen minden szereplő a lehető legjobban szeretne járni a saját preferenciái szerint. Matematikai értelemben az történik, hogy minden szereplő maximalizál, de saját lehetséges optimumát nem mindenki éri el.
Az ilyen pszeudo-maximumproblémák közkeletű félreértése különösen szembeötlően nyilvánul meg abban az ismert kijelentésben, mely szerint a társadalmi törekvések célja, hogy a „lehető legnagyobb jót” biztosítsák „a lehető legtöbb embernek”. Egyetlen irányelvet sem lehet két (vagy több) függvény egyidejű maximalizálásának következményeként megfogalmazni. (343. oldal)
Mikrogazdaságtanban közismert, hogy bizonyos matematikai feltételek teljesülése esetén a preferenciák kifejezhetők egyetlen matematikai függvénnyel, amelyik minden stratégiához egy valós számot rendel.[vi] Egy stratégia akkor jobb, mint a másik, ha a hozzá tartozó érték nagyobb. Az ilyen függvényt hasznossági függvénynek nevezzük. Neumann itt nem foglalkozik az említett matematikai feltételekkel, hanem a hasznossági függvényt is adottnak veszi.
Álljunk meg egy pillanatra! Mi volt az értelme a preferencia és hasznossági függvény bevezetésének? Mivel a piac szereplői részben emberek, illetve a vállalatokat is emberek működtetik, szükséges, hogy a gazdaság leírásakor az emberi tényezőt figyelembe tudjuk venni. A magam részéről meg vagyok győződve, hogy preferenciák léteznek. Az, hogy az ember hogyan vásárol egy élelmiszerpiacon, látva az aznapi kínálatot, teljesen megfelel annak, hogy az adott helyzetben kiértékeli a preferenciáit, és annak megfelelően dönt. Ez az, amit magam is tanultam gyerekkoromban a soproni nagymamától, akinél a nyarakat töltöttem, és együtt mentünk a Várkerület egy bizonyos részén működő piacra. Egyrészt azonban fontos tudni, hogy nem minden preferenciarelációnak felel meg hasznossági függvény. Másrészt Neumann két helyen is említ egy egészen speciális hasznossági függvényt, ami megfelelő feltételek esetén létezik.
Az elemzés a gazdasági viselkedés vizsgálatában felmerülő olyan alapvető problémákkal foglalkozik, amelyek sokáig a közgazdászok figyelmének homlokterében álltak. Olyan kísérletekből erednek, amelyek az egyénnél a legnagyobb hasznosság, a vállalkozónál a maximális profit elérését célzó törekvés pontos leírását igyekeztek megtalálni (329. oldal).
Így tehát azt feltételezzük, hogy a gazdasági rendszer összes szereplőjének, vásárlóknak és vállalkozóknak egyaránt célja a pénz, vagy ami ezzel egyenértékű, egyetlen pénzáru. Úgy tekintjük, hogy ez korlátlanul osztható és helyettesíthető, szabadon átváltható, és még kvantitatív értelemben is megegyezik azzal az „elégedettséggel” vagy „hasznossággal”, amelyre mindkét szereplő vágyik (339. oldal).
Ez a hozzáállás ma általánosan elfogadott a mikrogazdaságtanban.[vii] De ezzel a preferencia és a hasznossági függvény bevezetése értelmét veszti. Azt bizonyítják ezáltal, hogy nem sikerült a leírásba olyan új elemet behozni, amely jobban megragadná az emberi viselkedést. Lehet továbbá arról elmélkedni, hogy modern korunkban, amikor nincs remeteség, azaz nem lehet kilépni a gazdaságból, de számos ember számára nem a pénz a legfőbb haszon, mekkora elhanyagolás ez a feltételezés. Ennél sokkal fontosabb, hogy egyúttal felmerül a modern közgazdaságtan érvényességi körének kérdése. Ugyanis értelmezhető a társadalmi haszon is, ami sokféle lehet, például a környezet védelme, magas vagy teljes foglalkoztatottság. Továbbmenve, vannak közgazdászok, akik számára a profitnak ez a vegytiszta maximalizálása maga a kapitalizmus. Ha esetleg ez valóban így van, akkor a jelenlegi főáramú közgazdaságtan más társadalmi berendezkedésekre nem vonatkozik egy az egyben. Más korok történelmi elemzésénél más szempontokat is érvényesíteni kell az akkori gazdaság tárgyalásánál.
Neumann Jánosnak vannak olyan megjegyzései is, amelyek a tudományok egységes szemléletére utalnak. A szövegben visszatérő motívum a fizikára való utalás. A közgazdaságtanról szólva ezt írja:
… meglehetősen oktalan lenne bármi mást fontolóra venni, mint hogy azon a módon igyekezzünk megoldani problémáinkat, amellyel eljutottunk a fizika tudományának megalapításához. (333. oldal)
Érdekes, hogy felhívja a figyelmet az alaktan fontosságára:
A közgazdaságtan egyes ágaiban a legeredményesebb munka az alapos, türelmes leírás lehet, mi több, jelenleg és még egy ideig talán messze ez a legtágabb tartomány. (331. oldal)
Szemléletét az jellemzi, hogy létező problémákat akar megoldani, a valóságtól nem akar elszakadni, ahogy ezt a következő részlet mutatja:
...kizárólag egy olyan elmélet fokozatos kifejlesztése fontos, amely a gazdasági tények hétköznapi értelmezésének alapos elemzésén alapul. (338. oldal)
Neumann János írása átfogó módon vet fel sok fontos dolgot. Nemcsak elolvasni érdemes, de elgondolkodni rajta. Figyelembe kell venni, hogy az azóta eltelt 80 év egy megváltozott világba repített minket, ahol 1944-hez képest sok új probléma keletkezett. Neumann gondolatai azonban sok vonatkozásban ma is érvényesek és inspirálóak.
* * *
A kötet három írást közöl a matematikáról. A sorrendben harmadikról, amelynek címe Megoldatlan problémák a matematikában, a recenzió első részében volt szó.
Az első írás A matematikus.[viii] A cikk két, matematikával kapcsolatos nagyon fontos problémát dolgoz fel. Az egyik, hogy mennyire tapasztalati tudomány a matematika. Ezzel kapcsolatban megállapítja:
Egyik fő ága, a geometria, tapasztalati természettudományként indult. A modern matematika legjobb gondolatai közül sok (szerintem a legjobbak) világosan a természettudományokból ered. … A modern tapasztalati tudományokban egyre inkább az válik a siker kritériumává, hogy megközelíthetővé válnak-e a matematikai módszer vagy a fizika majdnem-matematikai módszerei számára. (88. oldal)
Jól érti a belső szerkezetből adódó szabadságot és annak következményeit.
A matematikus igen sokféle terület felé fordulhat, és jelentős szabadságot élvez abban, hogy mihez kezd velük. A döntő ponthoz érkezve: úgy vélem, helyes azt mondani, hogy a választás és a siker kritériumai főként esztétikai jellegűek. (98–99. oldal)
Ugyanakkor visszatérően int a tapasztalattól való elszakadás veszélyeire.
Ha egy matematikai diszciplína messzire távolodik tapasztalati forrásától, vagy még inkább, ha már a második vagy harmadik nemzedéket csak közvetve érik el a „valóságból” származó eszmék, ez súlyos veszélyt rejt magában. Egyre inkább tiszta esztétizálássá válik, egyre tisztább l’art pour l’art-rá. (99–100. oldal)
A dolgozat másik témája a matematikai egzaktság, különös tekintettel a halmazelméletben felmerült ellentmondásokra és Gödel második nemteljességi tételére, amely arról szól, hogy egy elmélet ellentmondásmentességét magából az elméletből nem lehet bizonyítani az esetek többségében. Neumann következtetése az, hogy
… a klasszikus matematika eredményei egyaránt elegánsak és hasznosak, s habár soha többé nem bízhatnak meg benne teljesen, olyan szilárd alapja legalábbis van, mint például az elektron létezésének. (95. oldal)
A második dolgozat címe A matematika szerepe a tudományokban és a társadalomban.[ix] Ez sok tekintetben az előző dolgozat folytatása, csak kevésbé szakértő közönség számára. Az írás első fele a matematikai egzaktságról szól. A második rész arról, hogy az események közvetlen ok-okozati összefüggésben vannak-e egymással, avagy azokat folyamatukban tudjuk-e megérteni. Itt rámutat arra, hogy egymással ekvivalens, de különböző felfogáshoz tartozó modellek léteznek. A befejező részben pedig példákat mutat mind olyan diszciplínákra a matematikán belül, pl. a differenciálgeometria, amely minden szándék nélkül magától jött létre, és csak később vált hasznossá, mind olyanra, amelyet eleve az alkalmazás igényével fejlesztettek ki, mint a differenciál- és integrálszámítást.
* * *
A recenzens személyes benyomása az, hogy a kötetben szereplő írások amerikai stílusban születtek, ami azt jelenti, hogy szerzőjük nem takarékoskodott a szavakkal, vagyis egyáltalán nem törekedett a tömör megfogalmazásra. A tárgyalás mindig felülről lefelé halad, amit angolul top-down megközelítésnek hívunk. A dolgozatok rendelkeznek ennek hibájával, vagyis, ha nem érkezünk le az aljzatra, akkor egyes dolgok levegőben maradnak. Mégis ez most előnynek tekinthető, mert így jogunk van folytatni a gondolatmenetet és kidolgozni a saját álláspontunkat.
Vizvári Béla
Lábjegyzetek
[i] Ez a könyv a híres John von Neumann, Oskar Morgenstern: The Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1944 bevezető részeit tartalmazza a 3.3 alfejezetig bezárólag.
[ii] von Neumann, J.: Zur Theorie der Gesellschaftspiele. Mathematische Annalen, 100. 295– 320 (1928).
[iii] George Bernard Dantzig (1914. november 8 – 2005. május 13.) Amerikai matematikus. 1947-ben a hadsereg számára végzett kutatások keretében megtalálta a lineáris programozás szimplex módszerét, amit 1949-ben publikált. Ezzel a feltételek melletti optimalizálásnak, ami az operációkutatás alapvető eszköze, az elindítója. Később az optimalizálás számos ágában (a teljesség igénye nélkül: utazó ügynök feladat, egészértékű programozás, sztochasztikus programozás, dekompozíció) ő írta többnyire társszerzőkkel az első vagy az egyik legelső cikket. A szimplex módszer munkálatai során konzultált Neumann Jánossal, ami mély benyomást tett rá.
[iv] Neumann János, dokumentumfilm, rendezte Gábor Dénes, riporter Wiesinger István, 1984. Az adat megtalálható a Wikipédián is: Duality (optimization) – Wikipedia
[v] A.W. Tucker, Dual systems of homogeneous linear relations, 3-18. A dolgozat a következő kötetben található: H.W. Kuhn, A.W. Tucker, Linear Inequalities and Related Systems, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1956.
[vi] Debreu, Gérard (1954), "Representation of a preference ordering by a numerical function", in Thrall, Robert M.; Coombs, Clyde H.; Raiffa, Howard (eds.), Decision processes, New York: Wiley, pp. 159–167.
[vii] Hal R. Varian, Microeconomic analysis, W. W. Norton & Company, Inc., third edition, 1992. Az említett gondolat kifejtése a hasznosság maximalizálásáról szóló 7. fejezet (Utility maximization) 7.5 Pénzzel mérhető hasznosság (The money metric utility functions; 108−112. oldal) című szakaszában található.
[viii] John von Neumann, The Mathematician, in R.B. Heywood (szerk.) The Works of Mind, University Chicago Press, Chicago, 1947, 180−196.
[ix] John von Neumann, The Role of Mathematics in the Sciences and in Society, az Association of Princeton 4. konferenciáján elmondott beszéd írott változata, Graduate Alumni, 1954. június 16−29.