A Norvég Tudományos Akadémia a 2025. évi Abel-díjat Kasivara Maszaki1 (Research Institute for Mathematical Sciences, Kiotói Egyetem) japán matematikusnak ítélte, „az algebrai analízishez és a reprezentációelmélethez való alapvető hozzájárulásaiért, ezen belül a D-modulusok elméletének kidolgozásáért és a kristály-gráfok felfedezésééert”. A hivatalos átadóünnepség május 20-án, Osloban zajlott le. Cikkünkben – a teljesség igénye nélkül – betekintést nyújtunk Kasivara munkásságába. (E cikk fotói, és további részletek a https://abelprize.no/ honlapon.)
A D-modulus fogalma egy olyan nyelvezetet szolgáltat, amellyel algebrai módon lehet vizsgálni a lineáris parciális differenciálegyenlet-rendszereket. A felsőbb analízisben valamennyire jártas olvasók számára, a D-modulusok nagyjából úgy viszonyulnak a lineáris parciális differenciálegyenlet-rendszerekhez, mint ahogyan az általánosított függvények (disztribúciók) viszonyulnak a függvényekhez: például, létezik a Dirac-féle disztribúciónak megfelelő D-modulus, továbbá értelmezhető D-modulusok Fourier-transzformáltja, és az a függvényeknél megszokott módon viselkedik. Az elmélet eredetileg a komplex test felett lett értelmezve, és kétféle változata létezik, attól függően, hogy az egyenletrendszer együtthatóit milyen függvények közül választhatjuk: analitikus vagy algebrai. Kasivara az 1970-es évektől kezdve az analitikus D-modulusok elméletéhez járult hozzá olyan alapfogalmakkal, mint a karakterisztikus varietás, és alapvető eredményekkel, mint a Cauchy–Kovalevszkaja-tétel analógja.
Egyik fő tétele Riemann 21. problémájához (más néven, a Riemann–Hilbert-problémához) kapcsolódik. Utóbbi a Riemann-féle számgömbön bizonyos rögzített lokális viselkedésű (monodrómiájú), reguláris szingularitású konnexió létezésére kérdez rá. E kérdés matematikán belüli fontosságát jól mutatja, hogy vele kapcsolatban a 20. század folyamán rengeteg mély eredmény született, mégpedig olyan, egymástól egyébként meglehetősen különböző érdeklődésű matematikusok tollából, mint például George David Birkhoff, Pierre Deligne, Bernard Malgrange, Dimitrij Viktorovics Anosov és Andrej Andrejevics Bolibrukh. Kasivara és – tőle függetlenül – Zoghman Mebkhout 1980-ban bizonyította be a Riemann–Hilbert-megfeleltetés egy nagyon általános alakját, amely nagyjából azt mondja ki, hogy minden sima projektív algebrai varietás esetén létezik egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a rajta értelmezett reguláris szingularitású holonóm D-modulusok és úgynevezett rendellenes2 kévék között.
E tétel egyik fontos következménye volt a reprezentációelméletben a Kazhdan–Lusztig-sejtés, amelyet Kasivara és Jean-Luc Brylinski oldott meg 1981-ben. Ezzel egy időben egy ettől különböző bizonyítás is született erre az Alexander Beilinson–Joseph Bernstein szerzőpárostól. Az ezekben szereplő gondolatok és ötletek egy teljes új témakört ihlettek: az úgynevezett geometriai reprezentációelméletet.
Végezetül, Kasivara matematikán belüli hatásának bemutatása céljából megemlítjük egy fontos sejtését, amely azt mondja ki, hogy az irreguláris szingularitású D-modulusok teljesítik az úgynevezett nehéz Lefschetz tulajdonságot. Ezt a sejtést végül Mocsizuki Takuro3 bizonyította be 2011-ben, amiért 2022-ben elnyerte a szintén nagyon rangos Breakthrough Prize tudományos díjat.
A cikk részben a https://abelprize.no/sites/default/files/2025-04/Pressrelease_AbelPrize_ENG_v2.pdf oldal alapján készült.
HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
Lábjegyzetek
- 1angol átírásban: Masaki Kashiwara
- 2Az eredeti angol elnevezés: perverse sheaf; mivel a fogalom megalkotóinak, Mark Goresky-nek és Robert MacPhersonnak nem állt szándákában negatív értelmű nevet adni a fogalomnak, azért ezt a magyar fordításban is kerüljük. Goresky saját magyarázata szerint a név valójában bizonyos ciklusok rosszaságára, vagy makacsságára utal, ezért a rendellenes jelzőt találtuk a legmegfelelőbbnek.
- 3angol átírásban: Takuro Mochizuki