Matematikusok az idegösszeomlás szélén

Niels Bohr írja valahol: „Az igazság a mélyben lakozik”. Nem vagyok benne biztos, hogy a mélység szó inkább pozitív vagy negatív jelentéssel bír, azt gondolom, van egy provokatív kettőssége. Egyrészt a kutatót vonzza a feltárás, az ismeretlen megismerése, és a kutatás tárgyát a mélysége érdekesebbé teszi számára, másrészt a mélység szorongat, és a parttalanba, ismeretlenbe való merülés félelmet kelt. Ha az ember elég sokat néz a mélységbe, akkor a mélység visszanéz rá. A mély jelző, azt gondolom, nagyon erősen ráillik azokra az elméletekre, amelyekben kutatásomat csinálom (algebrai geometria, differenciálgeometria és -topológia) jelenleg a BME TTK Geometria Tanszékén, másodéves doktorandusz hallgatóként. A témám (mondjuk azt, hogy geometriai Hodge-elmélet) olyan messze van a közérthetőtől, hogy meg sem próbálom azzá tenni, nekem is éppen elég gondot okoz a fent említett kettősség: az elmélet bonyolultsága felizgat és minél többet meg akarok érteni belőle, ugyanakkor nehezen adja magát, és sokszor elbizonytalanodom, hogy meddig tudok én itt eljutni. Ma például az egész napot ezzel töltöttem, mégis alig haladtam valamennyit és nagyon nehezen értettem meg dolgokat. Most pedig összegörnyedve fekszem az ágyon, és sírás kerülget. Azon gondolkozom, mi játszódhat le más matematikusokban, amikor hasonló mélységekkel néznek szembe, mi vezette a fentebb felsorolt elméletek nagyjait, hogyan formálja a kutatók lelkülete a tudomány irányát. Azt gondolom, nem tekinthetünk el a történelmi háttértől, mint a kutatók pszichéjét meghatározó tényezőtől.

Az 1945 és 1955 között robbanásszerű fejlődés történt az algebrai topológiában, egészen váratlan tömegével születtek új eredmények és módszerek, majd a következő évtized is hasonlóan (váratlanul) sikeres volt. Az algebrai topológia új módszerei és fogalmai (karakterisztikus osztályok, kéve kohomológia stb.) nyomán ekkor született meg a kobordizmus-elmélet és a K-elmélet, amelyek aztán komoly hatást gyakoroltak, és mai napig tartó lendületet adtak a differenciál- és algebrai geometria fejlődésének. Ezen fejlemények jelentőségét mi sem mutatja jobban, mint hogy Fields-érmek egész sora kíséri útjukat. És mi történt ekkor a világban? A második világháborút megtapasztalt emberiség idegeit a hidegháború tépázta, számos pattanásig feszült helyzettel az 50-es és 60-as években (koreai háború, magyar szabadságharc, szuezi válság, kubai rakétaválság stb.). Egy újabb világháború lehetősége félelmet és szorongást keltett, ennek hatása pedig meg kellett jelenjen a matematikában is. Hogyan történt ez meg, teszem fel a kérdést. A válaszom pedig az a kérdésre, hogy amíg 60-70 évvel ezelőtt az atomháború lehetősége lebegett az emberiség felett, addig a matematikusok rettegve vetették bele magukat minden korábbinál mélyebb elméletekbe, a fentiekben írt fejlődést eredményezve. Ezekből az időkből szeretnék most néhány érdekes matematikatörténeti szemelvényt kiemelni.

A nagy rohanás előtt néhány alapvető fogalmat kell bemutatnunk, habár ugyan nem az a cél, hogy az említett időszak eredményeit megértsük, de azoknak legalább a dallamára ráérezzünk. Talán a legközpontibb fogalom a sokaság, bevezetésének igénye már a 18. században megjelenik a nemeuklideszi geometriák felfedezésével, majd számos neves matematikus (Riemann, Poincaré stb.) munkáján keresztül a 20. század elején Hermann Weyl-nél fogalmazódik meg a ma is leginkább használt definíció a differenciálható sokaságra. A sokaság a klasszikus értelemben vett görbék és felületek egy általánosítása, a koordináta-rendszertől független vizsgálatra törekszik. A sokaságok nagyon fontos invariánsai, „mérőszámai” a homotópia és a (ko)homológia. Ezek a fogalmak azon észrevétel nyomán születnek meg, hogy a térbeli felületek a bennük lévő lyukak száma (génusz) alapján osztályozhatók.

1. ábra. Két génuszú felület.

Sokaságok konstruálásának egy módja a fibrálás (vagy fibrált nyaláb), amelynek lényege, hogy lokális (Descartes-)szorzatokból ragasztunk össze egy alakzatot, amelyben globálisan azonban már megjelenhetnek csavarodások is. Gondoljunk például a Möbius-szalagra, amelyből bármely kis darabkát kivágva egy téglalapot kapunk, amely két szakasz (Descartes-)szorzata, globálisan azonban van benne egy csavarodás.

2. ábra. Möbius-szalag.

A gömb, az egyik legegyszerűbb geometriai alakzat, a természet működésének egyik szimbóluma: a vízcseppek a levegőben gömb alakot vesznek fel, ugyanis adott térfogat mellett a gömb az az alakzat, amely a legkisebb felszínnel rendelkezik. A természettudós elme a gömböt kiindulási pontnak tekinti, mióta Newtonnak fejére esett az alma. Ezt mi sem mutatja jobban, mint hogy a matematikusok számos kutatása, kérdése és sejtése az 1950-es években, az algebrai topológiában nyakig gázolva, még mindig ezekre az egyszerű dolgokra, a gömbökre vonatkozott. 1954-ben Jean-Pierre Serre francia matematikus többek között a gömbök magasabb homotópiacsoportjainak vizsgálatában elért eredményeiért kapott Fields-érmet. Az ő munkáival körülbelül egy időben, a vasfüggöny másik oldalán Lev Szemjonovics Pontrjagin orosz matematikus fejében hasonló gondolatok jártak. Az ő célja az volt, hogy kiszámítsa az n-dimenziós gömb n-nél magasabb homotópia csoportjait, amely 1950-es munkájában sikerült is neki, itt a központi mozzanat a paralelizálható sokaságok bevezetése, ami által újabb fontos tulajdonsággal bővült a sokaságok leírása. Pontrjagin nem kapott Fields-érmet, viszont 1962-ben Lenin-rend kitüntetésben részesült. Érdekesség, hogy 1952-től teljesen megváltozott kutatásainak iránya, és alkalmazott matematikai problémákat kezdett el kutatni.

Pontrjagin munkássága a kobordizmus-elmélet csírájának is tekinthető, amelyet René Thom vezetett be a matematika nagykönyvébe. Mindketten sokat tettek a karakterisztikus osztályok vizsgálatában: a karakterisztikus osztályok a fibrált nyalábok globális állandói, melyek egyszerűen fogalmazva azt mérik, hogy a fibrálással kapott sokaság mennyire tér ér el a direkt szorzattól, mennyire „csavarodik” a kapott alakzat. Nagyon fontos fogalom, és ez az a mag, amiből aztán Thom 1954-es cikkében kinő a kobordizmus fogalma, amely egy a sokaságok nehezen látható, háttérben húzódó összefüggéseire tapint rá: a sokaságok peremének (vagy határának, határ – board) vizsgálatán keresztül sok minden megérthető velük kapcsolatban. Példa arra, hogy mi is egy sokaság határa: a Möbius-szalag pereme egy körvonal, míg a tórusznak nincsen pereme.

Thom 1958-ban kapott Fields-érmet munkájáért, amiből aztán a későbbiekben egy nagyon gyülmölcsöző elmélet fejlődött ki. Innen indult útnak a Poincaré-sejtés bizonyítása, amely egyike a híres Milleniumi problémáknak, azaz a matematika olyan fontos nyitott kérdéseinek, melyekre a Clay Matematikai Intézet 2000-ben egyenként 1 millió dolláros díjat akasztott. A sejtést Stephen Smale 1960-ban 7-nél nagyobb dimenziókra, majd később 5 és 6 dimenzióra is belátta, azután 1982-ben Michael Freedman 4 dimenzióra bizonyította azt. Csak úgy potyogtak a Fields-érmek: Smale 1966-ban, Freedman 1982-ben kapta meg a díjat (mindketten amerikai származásúak). Végül Grigorij Perelman 2003-ban teljessé tette a sejtés bizonyítását a háromdimenziós eset belátásával, fel is ajánlották neki a Fields-érmet, amelyet azonban Perelman visszautasított. 2006-ban a Nemzetközi Matematikai Unió elnöke Szentpétervárra utazott, ahol 2 napon keresztül személyesen győzködte Perelmant, hogy fogadja el a Fields-érmet, ő azonban nem kért belőle, mondván, hogy nem akarja, hogy mutogassák, mint az állatokat az állatkertben, és különben sem érdemli meg a díjat.

Egy másik érdekes történet a hidegháború korabeli matematikából a Riemann-Roch-Hirzebruch- tétel bizonyításának folyamata, amely egy algebrai geometriai állítás, de mégis az azt megelőző évek topológiai fejleményei ágyaztak meg neki. Az algebrai varietást klasszikus értelemben polinomegyenletekből álló, komplex számok feletti egyenletrendszerek megoldásaként definiáljuk, dimenziótól függően beszélhetünk görbékről vagy felületekről. Ezen objektumok vizsgálata egészen a 20. század elejére nyúlik vissza, és a váratlan jelenségek ott kezdték felütni a fejüket, amikor a kutatók növelni kezdték a vizsgált objektumok dimenzióját. Komplex algebrai görbék osztályozásához egy szignifikáns invariánst használtak, a Riemann-génuszt, azonban felületeknél kiderült, hogy két különböző ilyen invariáns, az aritmetikai génusz és a geometriai génusz is bevezethető. Általános dimenzióra a varietások vizsgálatában 1949-ben érkezett meg az áttörés, amikor André Weil francia matematikus a divizor fogalmának általánosításán keresztül utat talált a várva várt kapcsolatra az algebrai topológia és az algebrai geometria között. Az ő gondolata azon alapult, hogy a sokaságok tulajdonságait a rajtuk értelmezett bizonyos tulajdonságú függvényeken keresztül érthetjük meg. Mindezen eszközök és fogalmak közötti összefüggést a Riemann-Roch-Hirzebruch-tétel mondja ki egy egyenlet formájában. Ennek bizonyítására azután őrült sprint indult az ezt követő években, neves matematikusok egész sora révén, a világ minden tájáról, úgy mint Kunihiko Kodaira japán (Fields-érem 1954-ben), Oscar Zariski orosz születésű amerikai, Donald Spencer amerikai, Pierre Dolbeault és Élie Cartan francia (utóbbihoz fűződik a kéve fogalmának bevezetése, amely egy elég kevéssé szemléletes de borzasztóan hasznos és erős koncepciónak bizonyult stb. Zárójelenetként pedig 1953 végére meg is lett a bizonyítás, amelyre Friedrich Hirzebruch német matematikus tette fel a pontot. Ezen folyamat csodálatos példája annak, hogyan rezonálnak egymásra a matematika különböző ágaiban elért eredmények, és hogy néhány év alatt hogyan tud összeállni sok-sok kutató munkája egy korábban nehezen megtámadhatónak tűnő állítás bizonyításává.

Talán a legmeglepőbbnek azonban az alábbi eseménysor bizonyult az említett időszakból. A topológiában két alakzat homeomorf, ha folytonosan egymásba képezhetőek kölcsönösen egyértelmű módon, magyarul mondva, ha elképzeljük, hogy a két alakzat gyurmából van, akkor átgyurmázhatók egymásba anélkül, hogy elszakítanánk a gyurmát. Klasszikus példa a bögre és a tórusz esete.

3.ábra. A bögre és a tórusz.

Két alakzat diffeomorf, ha ez az egymásba képezhetőség a folytonosság mellett akárhányszor deriválható is, ami már egy jóval kevésbé látható, belső szerkezetre mutató tulajdonság. Sokáig nem volt világos, hogy az utóbbi fogalom nagyobb ereje hogyan érhető tetten, azonban 1956-ban John Milnor valósággal sokkolta a matematikus társadalmat egy váratlan eredménnyel, amire senki sem volt felkészülve. Megmutatta, hogy a 7-dimenziós gömb többféleképpen is differenciálható sokasággá tehető, azaz léteznek nem diffeomorf 7-dimenziós gömbök, ezeket nevezik egzotikus 7-gömböknek. Ez a tétel tekinthető a differenciáltopológia megszületésének is, ami a következő évtizedekben komoly matematikai programmá teljesedett ki, és komoly jelentőséget nyert. Bár Milnor eredménye kezdetben érthetetlennek tűnt, 1962-ben megkapta érte a Fields-érmet, 1985-ben pedig Edward Witten amerikai matematikus és fizikus, a húrelmélet jelentős alakja, elméletet adott arra, hogy az egzotikus gömbök létezése bizonyos globális gravitációs anomáliák megmagyarázásához kellhet. Witten 1990-ben kapott Fields-érmet, a következő indoklással: „időről időre meglepi a matematikus társadalmat fizikai intuíciók matematikai alkalmazásaival, melyek új, mély matematikai tételekre vezetnek”.

Példa egy másik nagyon különös tételre, amely ebből a tudományterületből nőtt ki: Simon Donaldson és Michael Freedman munkája nyomán 1982-ben felfedeztek egzotikus 4-dimenziós valós tereket. Ennek az eredménynek az érdekessége, hogy rögzített n-re az n-dimenziós valós terek mindig diffeomorfak, kivéve, ha n egyenlő 4-gyel, azaz léteznek nem diffeomorf 4-dimenziós valós terek. Mai napig értetlenül állnak a tudósok a jelenség előtt, hogy mi adja a négy dimenzió különlegességét, és persze mozgatja a fantáziájukat, hogy vajon van-e valami köze ennek ahhoz, hogy 4-dimenziós téridőben élünk.

Számos történetet lehetne még mesélni, például Alexander Grothendieck-ét, akinek nevéhez a fenti időszak vívmányai folyamán rengeteg neves eredmény fűződik az algebrai geometriában, vagy éppen a K-elmélet megszületése, illetve egy 1966-os Fields-érem is. Az ő életútja elég jól prezentálja a korszakot, amiben élt: gyerekkorát a náci Németország, katonai fogolytáborok árnyékolták, majd később radikális pacifistaként vált politikai aktivistává, élete utolsó éveit pedig a világtól félrevonulva töltötte. Mindezen történelmi hátterek közepette pedig – számos, a fentiekben teljesség igénye nélkül bemutatott sorstársához hasonlóan – ami az életét jellemezte, az az egyre mélyebbre és mélyebbre merülés volt a matematikába elképzelni az elképzelhetetlent, rágondolni arra, amire addig még senki sem mert.

Ezeknek a történeteknek a relevanciáját az adja egyrészt, hogy az akkori folyamatok tükrében talán jobban megérthetjük a mai nehéz történelmi helyzetet is. A másik, hogy tanulságosak, nekem legalábbis biztosan. Felkelek az ágyról, és holnap tovább folytatom. Nem jó, ahogy az manapság divat a matematikusoknál, hogy a filozófiát és a pszichológiát kiszervezik a bölcsész tudományoknak.. Legyenek ezek a történetek tanulságok arról, hogy máshogy is lehetne tekinteni a matematikus elmére, mint szoktunk, miközben az mélységekbe merül, idegenben jár, új világokat keres.