Wiles és az Iwasawa-elmélet fősejtése

1. Bevezetés

Andrew Wiles már a Fermat-sejtés bizonyítása előtt is híres matematikus volt. Kiemelkedő jelentőségű az Iwasawa-elméleti munkássága, melynek célja komplex $L$ -függvények (a Riemann-féle $\zeta$ -függvény általánosításai) és különböző aritmetikai objektumok közötti kapcsolat létesítése. Ebben a cikkben ezt próbáljuk elmagyarázni a legegyszerűbb esetben, amikor az aritmetikai objektum az ún. Tate-motívum (ami lényegében az egységgyökök aritmetikáját írja le), az alaptest a racionális számok teste, a komplex $L$ -függvény pedig a Riemann-féle $\zeta$ -függvény. Az Iwasawa-fősejtés bizonyítása ebben a legegyszerűbb esetben Wiles és Barry Mazur közös eredménye, de Wiles ezt általánosította a racionális számok helyett tetszőleges teljesen valós számtestre is (azaz olyan $\mathbb{Q}(\alpha)$ bővítésekre, hogy $\alpha$ minimálpolinomjának minden komplex gyöke valós). Továbbá Wiles témavezetőjével, John Coatesszal közösen igazolta az Iwasawa-fősejtést komplex szorzással (egyfajta ritka, de fontos szimmetriával) rendelkező elliptikus görbékre is, mely a legelső fontos részeredmény volt az azóta milleniumi egymilliódolláros problémává avanzsáló Birch–Swinnerton-Dyer-sejtésre.

2. Fermat-tól Kummerig

Mint az algebrai számelméletben szinte mindennek, az Iwasawa elmélet gyökerei is a Fermat-sejtés – mely szerint az $x^n+y^n=z^n$ egyenletnek nincsenek nemtriviális megoldásai, ha $n>2$ – bizonyítására adott korai próbálkozásokban vannak. Nyilvánvaló, hogy a sejtést elég bebizonyítani abban az esetben, amikor $n=4$ , vagy $n$ egy páratlan prímszám. Maga Fermat az $n=4$ esetre bizonyítást adott egy későbbi levelében. Euler az $n=3$ (1770), Dirichlet az $n=5$ esetet bizonyította (1828).

Ezek az elszigetelt esetek is rámutattak arra, hogy a Fermat-sejtésben két esetet érdemes megkülönböztetni: az ún. első esetet, amikor $p$ nem osztja az $x,y,z$ számok egyikét sem, illetve a második esetet, amikor $p$ osztja valamelyiket, (amennyiben az $x,y$ és $z$ számok relatív prímek, ami feltehető, akkor pontosan egyet).

Az első általános tétel, ami több, mint egy exponensről mond valamit, Sophie Germain¹ nevéhez fűződik: ha $p$ egy olyan prím, hogy $2p+1$ szintén prím, akkor a Fermat-tétel első esete igaz $p$ -re. Germain módszerét általánosítva Legendre megmutatta, hogy az első eset igaz minden $p<100$ prímre.

Az $n=7$ eset nehéznek bizonyult. Az első bizonyítás Lame nevéhez fűződik (1839). A korabeli matematikusok Cauchy, Lame, és mások több cikkben tökéletesítették módszereiket, és 1847-ben Lame a Francia Akadémián bejelentette, hogy belátta a Fermat sejtést. Liouville azonban rámutatott, hogy a bizonyítás, amely az ún. körosztási testek egészeinek számelméletén alapszik, felhasználja a prímfelbontás tételét, ami ebben a gyűrűben bizonyításra szorul. Valójában, egy másik problémán dolgozva, Kummer már 1846-ban megmutatta, hogy a 23-adik egységgyökökkel képzett gyűrűben nem igaz a számelmélet alaptétele, és így Lame² bizonyítása sem működhet.

Kummer azonban ennél jóval többet bizonyított, bevezette az ideális számok elméletét, és ennek segítségével igazolta a következőket. Legyen $\zeta_p=\cos(2\pi/p)+i\sin(2\pi/p)$ és $R=\mathbb{Z}[\zeta_p]=\{ a_0+a_1 \zeta_p +\ldots+ a_{p-2}\zeta_p^{p-2} \mid a_0,a_1,\ldots a_{p-2}\in \mathbb{Z} \}$ . Az $R$ gyűrű két ideálja $I,J$ legyen ekvivalens, ha van olyan $\alpha,\beta \in R$ , $\alpha\beta\neq 0$ , hogy $\alpha I= \beta J$ . Kummer egyik legfontosabb felfedezése, hogy a számelmélet alaptétele az ideálok bevezetésével megmenthető, továbbá annak bizonyítása, hogy a fenti ekvivalencia-reláció véges sok osztályra bontja az $R$ gyűrű ideáljait. A továbbiakban jelölje az osztályok számát $h_p$ .

A Fermat-sejtéssel kapcsolatban Kummer fő eredménye a következő. Legyen $p$ egy olyan prím, hogy $p$ nem osztja a $h_p$ osztályszámot (ezeket reguláris prímeknek hívjuk). Ha $p$ reguláris, akkor az $x^p+y^p=z^p$ egyenletnek az egész számok körében nincs olyan megoldása, melyre $xyz\neq 0$ . Azóta is megoldatlan kérdés, hogy létezik-e végtelen sok reguláris prím – azt viszont tudjuk³, hogy végtelen sok irreguláris prím van (a legkisebb a 37). Viszont heurisztikus gondolatmenetek azt mutatják, hogy a prímek kb. $60{,}65\%$ -a reguláris – ez Siegel sejtése (1964).

Ezen túlmenően Kummer kapcsolatot talált a $h_p$ osztályszám és a Riemann- $\zeta$ függvény negatív egész helyeken felvett értékei között. Ennek segítségével a $h_p$ osztályszám $p$ -vel való oszthatóságára a következő kritériumot adta: $p$ pontosan akkor reguláris prím, ha $p$ nem osztja a $B_k$ Bernoulli szám egyszerűsített alakjának számlálóját semmilyen $k=2,4,\dots,p-3$ páros számra sem.

Az alapfogalmakban jártas olvasó innen folytathatja az 5. fejezettel, átugorva a 3. és 4. fejezeteket.

3. Riemann $\zeta$ -értékek

A $\zeta$ -függvény, $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ konvergens ha $s>1$ valós. Riemann megmutatta, hogy ez a függvény természetes módon kiterjeszthető komplex értékekre, az $s=1$ kivételével, és a kiterjesztett függvény zérushelyei pontos információval rendelkeznek a prímszámok eloszlásáról. Ezen alapvető észrevételeiért a függvényt Riemann-féle $\zeta$ -függvénynek hívjuk.

Már jóval korábban, az analízis születésekor izgalmas kérdés volt $\zeta(2)$ értéke. Ezt Euler határozta meg, $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ . Euler e munkáját kiteljesítette, belátta, hogy $\zeta(2n)= (-1)^{n+1} B_{2n}\,\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}$ . Itt a $B_k$ Bernoulli számok a következőképpen adhatók meg. Legyen

$\displaystyle F(t)= \begin{cases} \frac{t}{e^t-1} & \text{ ha } t\neq 0 \\ 1 & \text{ ha } t=0 \end{cases}$

ekkor $B_k=F^{(k)}(0)$ , azaz az $F$ függvény $k$ -adik deriváltja $t=0$ -ban. Ekvivalens módon $F(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_k}{k!}t^k$ , és így a Bernoulli számok az $(e^t-1)F(t)=t$ egyenletből rekurzívan számíthatók. Feladat: Igazoljuk, hogy $B_k=0$ , ha $k>1$ páratlan.

Euler ezen túlmenően észrevette, hogy, ha a $\zeta$ -függvény valamilyen természetes módon értelmezhető lenne negatív egészeken, akkor a $\zeta(k)$ és $\zeta(1-k)$ értékek között egy egyszerű kapcsolat áll fenn. Ezt a szimmetriát Riemann munkája után a $\zeta$ -függvény függvényegyenletének hívjuk. Euler speciális eredménye a

$\displaystyle \zeta(1-k)=-\frac{B_k}{k}$

összefüggés, ha $k\geq 2$ páros.

Euler ötlete a következő. A $\sum\limits_{n=1}^\infty q^n =\dfrac{q}{1-q}$ azonosságban a $q=e^t$ helyettesítés után az $\dfrac{e^t}{e^t-1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} e^{nt}$ azonosságot kapjuk, ami értelmes és igaz minden $t<0$ valós számra. Ha az így kapott azonosságot $k$ -szor deriváljuk, és utána az értelmezési határon lévő $t=0$ -t helyettesítünk, akkor $\sum\limits_{n=0}^\infty n^k$ -ra kapnánk értéket. Ez persze ebben a formában még nem alkalmazható, hisz két értelmetlen mennyiség között fennálló formális azonosságot ad. Ehelyett Euler a következő trükkel élt

$\displaystyle q+q^2+q^3+q^4\cdots = (q-q^2+q^3-q^4+\cdots)+2(q^2+q^4+\cdots).$

Ebből átrendezés után az előbbi helyettesítést alkalmazva

$\displaystyle \dfrac{e^t}{1+e^t } = \sum_{n=1}^{\infty} e^{nt} -2 \sum_{n=1}^{\infty} e^{ 2nt}.$

Itt a bal oldalon álló függvény már értelmes $t=0$ környezetében, és így $k$ -szor deriválva a

$\displaystyle \left[\left(\frac{d}{dt}\right)^k \left(\frac{e^t}{e^t+1}\right)\right]_{t=0} = (1-2^{k+1}) \sum_{n=1}^{\infty }n^k$

azonosságot kapjuk, ahol persze a jobb oldal értelmetlen, de Euler ezzel a módszerrel definiálja. Pl. $k=1$ esetében Euler jelölése szerint

$\displaystyle 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}.$

A $\zeta(1-k)=-\frac{B_k}{k}$ azonossághoz csak az $\frac{e^t}{e^t+1}$ függvény 0 körüli Taylor-sorát kell kifejezni a Bernoulli-számok segítségével, (ami viszonylag könnyen megtehető, felhasználva, hogy $\frac{e^t}{e^t+1}-\frac{1}{2}$ páratlan).

Euler fenti felfedezése a Riemann-féle kiterjesztés segítségével válik majd pontossá.

4. $p$ -adikus számok

Mint ahogy a valós számok legintuitívabb bevezetése a végtelen tizedestörteken keresztül történik, a $p$ -adikus számokat is legegyszerűbb végtelen $p$ -hatványösszegekként felfogni. Ugyanakkor egy elsőre furcsának tűnő változtatást végzünk, egy $p$ -adikus szám

$\displaystyle x=\sum_{n=n_0}^{\infty} a_n p^n,$

ahol az $\{a_n\}$ számjegyek a $\{0,1,2,\ldots,p-1\}$ értékek körül kerülnek ki. Fontos, hogy itt most a kitevők tetszőlegesen nagyok lehetnek. Ebben a világban $\lim\limits_{n\to \infty}p^{n}=0$ fog fennállni, és $p^{-n}$ lesz divergens. A $p$ -adikus számok összességét $\mathbb{Q}_p$ , azon $p$ -adikus számok halmazát, amelyek csak nemnegatív $p$ -hatványt tartalmaznak $\mathbb{Z}_p$ jelöli. Érdemes meggondolni, hogy a fenti formális végtelen összegek összeadása vagy szorzása az általános iskolában megszokott módszerrel, a maradékok helyiértékes továbbvitelével, könnyen definiálható, és így $\mathbb{Z}_p$ egy gyűrű. Tehát bármilyen meglepő, nincs szükség előjelre, például $-1=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (p-1) p^{n}$ .

Ugyanakkor jogosan merül fel a kérdés, hogy ez az önmagában esztétikus matematikai rendszer mire hasznos. Az nyilvánvaló, hogy klasszikus geometriára nem, a geometria számszerűsítésében a negatív hatványok a kicsik – bár van olyan fizikai elmélet, mely szerint a kis távolságokban a tér nem a valós számokhoz, hanem a $p$ -adikusakhoz hasonlóan viselkedik⁴. Habár a halmazelmélet szempontjából a $[-0{,}01;0{,}01]$ intervallum ugyanakkora mint a $[-100;100]$ intervallum, a geometriai intuíció szerint a $[-0{,}01;0{,}01]$ intervallum lényegesen kevesebb helyet foglal el. Nyilvánvaló, hogy jóval több információnk van egy hosszról, ha tudjuk, hogy kisebb mint $0{,}01$ , mintha csak azt tudnánk róla, hogy kisebb, mint 100.

Az egész számok halmazán ugyanígy joggal gondolhatjuk a 9-cel osztható számokról, hogy egy kisebb hányadát alkotják a számoknak⁵. Ezt az információt egy újfajta, aritmetikus és nem geometriai metrika bevezetésével fejezhetjük ki. Legyen $d(x,y)=\vert x-y\vert _p$ , ahol $\vert z\vert _p=p^{-n}$ , ha $z$ osztható $p^n$ -nel, de $p^{n+1}$ -gyel már nem. A $d(x,y)$ metrikát definiál $\mathbb{Z}$ -n, és a $p$ -adikus egészek $\mathbb{Z}_p$ gyűrűje $\mathbb{Z}$ teljessé tétele ebben a metrikában.

A $p$ -adikus számok tehát a $p^k$ hatványok szerinti kongruenciák vizsgálatában játszik fontos szerepet. Egy fontos konkrét alkalmazás a következő. Egyszerű akadálya egy számelméleti egyenlet megoldhatóságának, ha már valamely egész szerinti maradékok vizsgálata kimutatja, hogy az egyenlet kielégíthetetlen. Ha $n=p_1^{e_1}\cdots p_k ^{e_k}$ , akkor a kínai maradéktétel szerint már valamely prímhatványra sincs megoldás. Ennek a módszernek a szofisztikáltabb változata az ún. lokális-globális elv, ami központi szerepet játszik a modern algebrai számelméletben. Vegyük észre, hogy nem elég prímmodulusokat nézni: pl. az

$\displaystyle x^2+y^2=3z^2$

egyenletnek modulo 3 létezik nem-triviális megoldása (jelesül a $(0,0,1)$ ), és mod 9 is, de már csak olyan, amiben $x$ , $y$ , és $z$ is osztható 3-mal (feladat az olvasónak: miért is?). Persze a szó eredeti értelmében tetszőleges $n$ -re létezik olyan megoldás mod $3^{2n}$ , mely nem csupa 0-kból áll, de minden ilyen megoldásra $3^n$ osztója kell legyen $x,y$ és $z$ mindegyikének. Ha $n$ -nel tartunk a végtelenbe, akkor ezek a megoldások $\mathbb{Z}_3$ -ban már csupa 0-vá válnak, tehát a fenti egyenletnek nem lehet nem-triviális racionális megoldása sem. A $p$ -adikus számok tehát lehetővé teszik, hogy a $p$ prím egyre növekvő hatványai szerinti maradékosztályok gyűrűjét egyetlen nagy gyűrűbe foglaljuk össze, ezek a $p$ -adikus egészek.

Bár a $p$ -adikus számok axiomatikus megalapozása terjedelmes, a tételek és bizonyítások technikailag sokkal egyszerűbbek, mint a valós számok esetében. Az érdeklődő olvasó könnyen megtalálja az elmélet kifejtését pl. Gouvêa: $p$ -adic Numbers, An Introduction Springer (1997) könyvében.

5. Mi is az a $p$ -adikus $L$ -függvény?

Kummer a 19. század végén nemcsak azt vette észre, hogy a Riemann-féle $\zeta$ -függvény negatív egész helyeken felvett értékei és a körosztási testek osztályszáma között összefüggés van. Az ő nevéhez fűződnek a következő kongruenciák a Bernoulli-számokra:

$\displaystyle (1-p^{k-1})\zeta(1-k)=(p^{k-1}-1)\frac{B_k}{k}\equiv(p^{l-1}-1)\frac{B_l}{l}=(1-p^{l-1})\zeta(1-l)\pmod{p^m},$

(1)

ha $p-1\nmid k\equiv l\pmod{\varphi(p^m)}$ , ahol $\varphi(p^m)=p^{m-1}(p-1)$ az Euler-féle $\varphi$ -függvény. Ezt úgy kell érteni, hogy a két oldalon álló racionális számok nevezője nem osztható $p$ -vel, ezért tekinthetjük mindkét oldalt modulo $p^m$ .

A következő heurisztikus gondolatmenet szigorúan véve teljesen hibás, és nem is lehet ilyen formában precízzé tenni, de mégis rámutat arra, hogyan lehet egy ilyen Kummer-féle kongruenciát megsejteni. Induljunk ki a ( $\mathrm{Re}(s)>1$ esetén értelmes)

$\displaystyle \zeta_p^*(s):=(1-p^{-s})\zeta(s)=\prod_{q\neq p\text{ prím}}\frac{1}{1-q^{-s}}=\sum_{1\leq n, (n,p)=1}\frac{1}{n^s}$

formulából: ez nem más, mint a módosított $\zeta$ -függvény, ahol a $p$ -hez tartozó Euler-faktort kihagyjuk a szorzatból. Vegyük észre, hogy az Euler-Fermat tétel értelmében (mivel feltettük, hogy $(n,p)=1$ )

ha $k\equiv l\pmod{\varphi(p^m)}$ , akkor $n^k\equiv n^l\pmod{p^m}$ .

Ha ennek a végtelen sok kongruenciának a reciprokát összeadjuk, akkor

$\displaystyle (1-p^{-k})\zeta(k)\equiv (1-p^{-l})\zeta(l) \pmod{p^m}$

adódik. Sajnos ezzel a gondolatmenettel több bökkenő is van:

egyrészt miért lehetne összeadni végtelen sok kongruenciát;
másrészt ha $k$ és $l$ pozitív egészek, akkor $\zeta(k)$ , ill. $\zeta(l)$ nem racionális, de még csak nem is algebrai szám – mi értelme lenne akkor egy ilyen kongruenciának?;
harmadrészt ha viszont negatív egész $k$ -t és $l$ -et veszünk (ilyenkor $\zeta(k)$ és $\zeta(l)$ valóban racionális), és az 1. számú problémával valamilyen csodával határos módon megbírkózunk, akkor pedig az a baj, hogy a $\sum_{1\leq n, (n,p)=1}\frac{1}{n^k}$ összeg nem konvergál.

Annál inkább bámulatos, hogy az (1) kongruenciák mégis teljesülnek (legalábbis, ha $p-1\nmid k$ )!

Az (1) kongruenciát a következőképpen is interpretálhatjuk. Rögzítsünk egy $j$ nemnulla maradékot modulo $p-1$ , azaz egy számot 1 és $p-2$ között, továbbá egy $\mathfrak{s}\in\mathbb{Z}_p$ $p$ -adikus egész számot, azaz egy $\mathfrak{s}=a_0+a_1p+\dots a_mp^m+\dots$ formális összeget, ahol $a_m\in\{0,1,\dots,p-1\}$ ( $m\geq 0$ ). Szeretnénk a $\zeta^*_p(s)=(1-p^{-s})\zeta(s)$ függvényt értelmezni (rögzített $j$ esetén $\mathfrak{s}$ -ben $p$ -adikusan folytonosan) a $(j,\mathfrak{s})$ rendezett párra úgy, hogy a függvényérték egy $p$ -adikus szám legyen. Ha a függvényértéket valamilyen $m>0$ egészre modulo $p^{m+1}$ szeretnénk megmondani, akkor ehhez vegyünk egy olyan $k_m<0$ egész számot, amire

$\displaystyle k_m$	$\displaystyle \equiv j \pmod{p-1}$
$\displaystyle k_m$	$\displaystyle \equiv a_0+a_1p+\dots a_{m-1}p^{m-1}\pmod{p^m}.$

Ilyen persze létezik a kínai maradéktétel szerint, hiszen $(p-1,p^m)=1$ . Tekintsük a $\zeta_p^*(k_m)=(1-p^{-k_m})\zeta(k_m)\in\mathbb{Q}$ számot. Vegyük észre, hogy az (1) kongruencia miatt $\zeta_p^*(k_m)$ osztási maradéka modulo $p^{m+1}$ nem függ $k_m$ választásától. Így definiálhatjuk a $\zeta_p^*(j,\mathfrak{s})$ szám $p^{m+1}$ -gyel való osztási maradékát ennek a számnak! Végül ha $m$ -mel tartunk a végtelenbe, akkor kapunk egy $\zeta_p^*(j,\mathfrak{s})$ jóldefiniált $p$ -adikus számot. Ez a konstrukció Kubota és Leopoldt nevéhez fűződik 1964-ből.

Másszóval az $(1-p^{-s})\zeta(s)$ -függvényt a negatív egész számokról ki tudtuk terjeszteni folytonosan

$\displaystyle (\mathbb{Z}/(p-1)\setminus \{0\})\times\mathbb{Z}_p$ -re,

azaz a $p$ -adikus egészek $p-2$ példányára.⁶ Rögzített $j\in (\mathbb{Z}/(p-1)\setminus \{0\})$ esetén a kapott függvényt $\zeta_{j,p}$ -vel jelöljük és a $p$ -adikus $\zeta$ -függvény $j$ -hez tartozó ágának nevezzük. Vegyük észre, hogy páros $j$ esetén ez a függvény azonosan 0, hiszen a Riemann-féle $\zeta$ -függvény eltűnik negatív páros egész helyeken. Igazi aritmetikai tartalmat tehát a páratlan $j$ -hez tartozó ágak hordoznak.

6. Az Iwasawa-fősejtés

Az Iwasawa-fősejtést Wiles 1984-ben Barry Mazurrel közösen bizonyította, majd 1990-ben egyedül is adott rá egy új bizonyítást általánosabb formában, nemcsak a racionális számok testére, hanem tetszőleges teljesen valós testre. Az állítás lényegében annak a precíz megfogalmazása, hogy milyen aritmetikai információt hordoznak a $\zeta_{1,p}, \zeta_{3,p},\dots,\zeta_{p-2,p}$ $p$ -adikus zeta-függvények. A pontos megfogalmazáshoz szükséges ismeretek összefoglalására ez a cikk túl szűk lenne. Az alábbi kitekintés erre az általános elméletre, reméljük, sok olvasóban kelti fel az érdeklődést a Galois-elmélet és a $p$ -adikus analízis iránt. Az érdeklődő olvasó bevezető szinten olvashat a szükséges fogalmakról az alábbi egyetemi jegyzetben, az Iwasawa-fősejtés bizonyítását pedig Coates és Sujatha: Cyclotomic Fields and Zeta Values Springer (2006) könyvében találja.

Iwasawa 60-as években megfogalmazott észrevétele az volt, hogy – a sejtés szerint – ezen függvényekből nemcsak a $p$ -edik körosztási test, hanem minden $m$ -re a $p^m$ -edik körosztási test osztályszámának $p$ részét is meg lehet határozni. Az aritmetikai oldalon a kiindulópont a következő: Adott $m>0$ -ra jelölje $\mathcal{Y}_m$ a $\mathbb{Q}(\mu_{p^m})$ körosztási test osztálycsoportjának $p$ részét (azaz $p$ -Sylow részcsoportját). Ezen hat a $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\mu_{p^m})/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/p^m)^\times$ Galois csoport, továbbá minden $m>0$ -ra van egy természetes $\mathcal{Y}_{m+1}\to \mathcal{Y}_m$ vetítő leképezés. Ha $m$ -mel tartunk a végtelenbe, akkor vehetjük a $\mathcal{Y}_\infty:=\varprojlim_m \mathcal{Y}_m$ inverz limeszt, amin már a $p$ -adikus egészek $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty})/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}_p^\times$ multiplikatív csoportja hat. Viszont itt $\mathbb{Z}_p^\times$ izomorf a $p$ elemű test $\mathbb{F}_p^\times$ multiplikatív csoportjának és a $p$ -adikus egészek $\Gamma\cong\mathbb{Z}_p$ additív csoportjának (nemkanonikus) direkt szorzatával. Itt $\mathbb{F}_p^\times$ egy $p-1$ -edrendű ciklikus csoport, melynek $p$ karakterisztikában minden végesdimenziós reprezentációja féligegyszerű, tehát egy $p$ -hatvány rendű Abel csoporton is karakterek direkt összegén keresztül hat. Továbbá ezen karakterek ugyanúgy a 0-tól $p-2$ -ig terjedő egészekkel vannak indexelve, mint a $p$ -adikus zeta-függvény ágai, így van köztük egy (természetes) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A máig nyitott (és egyelőre elérhetetlen) Vandiver sejtés szerint a páros indexű karakterekhez tartozó izotipikus komponensei $\mathcal{Y}_\infty$ -nek triviálisak (azaz $\mathcal{Y}_\infty$ -ben nincs olyan nemnulla elem, amin $\mathbb{F}_p^\times$ egy páros indexű karakteren keresztül hat). Ez azzal analóg, hogy a páros $j$ -hez tartozó ágai a $p$ -adikus zeta-függvénynek azonosan 0-k, viszont ezen komponensekről nem mond semmit az Iwasawa fősejtés. Ugyanakkor a $\Gamma$ csoport hatása $\mathcal{Y}_\infty$ -n a konstrukcióból adódóan folytonos, így kiterjed a $\mathbb{Z}_p[[\Gamma]]$ telített csoportalgebrára (az ún. Iwasawa-algebrára), mivel $\mathcal{Y}_\infty$ egy pro- $p$ Abel csoport, speciálisan $\mathbb{Z}_p$ -modulus is. Viszont a $\mathbb{Z}_p[[\Gamma]]$ Iwasawa-algebrát (nemkanonikusan) azonosíthatjuk a $\mathbb{Z}_p$ feletti $\mathbb{Z}_p[[T]]$ egyváltozós formális hatványsorgyűrűvel. Utóbbi egy kétdimenziós lokális gyűrű, ami feletti modulusoknak létezik – a főideálgyűrű feletti végesen generált modulusok klasszifikálásához hasonló – struktúraelmélete: a végesen generált torzió modulusokat pszeudo-izomorfizmus (jelen esetben véges elemszámú modulus) erejéig meghatározza a karakterisztikus ideáljuk (ami a véges Abel-csoport rendjével, illetve a négyzetes mátrixok karakterisztikus polinomjával analóg fogalom). Másrészt a $p$ -adikus zeta-függvény páratlan $j$ -hez tartozó ága is (formális) hatványsorba fejthető, tehát – lényegében – a $\mathbb{Z}_p[[T]]$ gyűrű egy elemét definiálja. Az Iwasawa fősejtés azt mondja ki, hogy – megfelelő normalizáció mellett – a páratlan $j$ -hez tartozó $\mathbb{F}_p^\times$ -karakter $\mathcal{Y}_\infty$ -beli izotipikus komponensének mint $\mathbb{Z}_p[[T]]$ -modulusnak a karakterisztikus ideálját a $\zeta_{j,p}$ zeta-függvény mint $p$ -adikus hatványsor generálja.

Ez a – két látszólag teljesen különböző – objektumokat összekötő tétel összefoglalja mindazt, amit tudunk a Riemann-féle $\zeta$ -függvény speciális értékei és a körosztási testek aritmetikája közti misztikus kapcsolatról. A sejtésnek léteznek olyan általánosításai, melyben az osztálycsoport szerepét elliptikus görbék $p$ -Selmer csoportja játssza, a Riemann-féle $\zeta$ -függvény helyett pedig a görbe $L$ -függvénye jön elő – ezeknek alapvetően fontos alkalmazásai vannak a Birch–Swinnerton-Dyer sejtés ismert eseteinek bizonyításában. Az elmélet új, manapság is folyamatosan fejlődő ága a nemkommutatív Iwasawa-elmélet, melyben a racionális test körosztási bővítése helyett más, nemkommutatív Galois-csoportú bővítéseit használják.

Lábjegyzetek

¹ Sophie Germain a matematika romantikus korszakának izgalmas alakja, autodidakta matematikus, aki férfi néven végezte az egyetemet. (Nők ekkor még nem járhattak egyetemre, az emberi és polgári jogok nyilatkozata, valójában a férfiak és polgárok jogainak nyilatkozata volt (Déclaration des droits de l'homme et du citoyen).)

² Lame mindezek mellett kiváló matematikus volt, és egyike azon 72 tudósnak akinek nevét megörökítették az Eiffel tornyon.

³ K. L. Jensen eredménye 1915-ből.

⁴ Lsd.: V. S. Vladimirov: $p$ -adic Analysis and Mathematical Physics World Scientific, Singapore, 1994.

⁵ A számológépek megjelenése előtt a kilenccel adott maradékok megegyezése könnyen kivitelezhető teszt volt az egyszerű számítási hibák kiküszöbölésére.

⁶ Ez a $(p-2)$ darab kiterjesztés olyasmi, mint a komplex test fölött a négyzetgyökfüggvény két ága. Valójában van még egy $(p-1)$ -edik ága is a $p$ -adikus $\zeta$ -függvénynek, ami a 0 modulo $p-1$ maradékhoz tartozik, de ahhoz kicsit erősebb kongruenciákkal kell dolgozni, és ennek az ágnak pólusa lesz az $\mathfrak{s}=0$ -ban.