Mi is... egy frém?

A frém (angolul: frame, és a matematikai zsargonban magyarul is a frém szó terjedt el) Hilbert-térbeli vektoroknak egy olyan halmaza, amelynek segítségével más vektorok kifejtését adhatjuk meg, hasonlóan egy bázis szerinti kifejtéshez, noha a frém általában redundáns vagy túltelített. Véges dimenzióban egy frém nem más, mint egy generáló vektorrendszer, de ez az állítás nagyrészt elkendőzi mind a frémek számos gyakorlati alkalmazását, mind pedig a velük kapcsolatban felmerülő mély és megoldatlan matematikai problémákat. Végtelen dimenzióban sok árnyalata van a „generáló” és a „független” szavaknak, és a legfontosabb frémek némelyike túltelített, noha bármely véges részrendszere lineárisan független vektorokból áll. Itt nincs helyünk az alkalmazások részletes tárgyalására, de fontos tudni, hogy ezek keltették fel a frémekkel kapcsolatos érdeklődést. Egy rövid és nem teljes lista az alkalmazásokról a következő: analóg-digitális jelátalakítás, Sigma—Delta-kvantálás, jelrekonstrukció, és nagy adathalmazok elemzése.

A frém fogalmát Duffin és Schaeffer vezették be 1952-ben a Transaction of the AMS-ben megjelent cikkükben. Ebben a cikkben (amely a tiszta érvelés mintapéldánya, és amelyet a mai napig érdemes elolvasni), egy $H$ Hilbert térbeli $F=(f_n)_{n\in J}$ vektorrendszert (ahol $J$ megszámlálható indexhalmaz) frémnek definiáltak, ha léteznek olyan $A, B >0$ konstansok, amelyekre

$\displaystyle A\Vert f\Vert^2\le \sum_{n\in J} \vert\langle f, f_n \rangle \vert^2\le B\Vert f\Vert^2$

teljesül minden $f\in H$ -ra.

Sajnálatos módon Duffin és Schaeffer már nincsenek közöttünk, és senki sem kérdezte meg őket, hogy miért a frém elnevezést vezették be. Vajon azért, mert $A\Vert f\Vert^2$ és $B\Vert f\Vert^2$ két oldalról korlátozzák a középen álló összeget? (Az angol frame szó korlátot is jelent; megjegyzem aligha ez az elnevezés valódi magyarázata — a ford.) Ezt már sohasem tudjuk meg. Akárhogyan is, egy frémet feszesnek nevezünk, ha $A=B$ , és Parseval-frémnek, ha $A=B=1$ .

1. ábra. A Mercedes-frém.

Minden ortonormált bázis egyben Parseval-frém is, de egy Parseval-frém nem feltétlenül ortogonális vagy akárcsak bázis. A Mercedes-frém a síkon (1. ábra, $\{w_1, w_1, w_3\}$ ) egyszerű példát szolgáltat egy feszes frémre (ahol $A=B=3/2$ ). Ha átskálázzuk, $u_i=cw_i$ , $c=(2/3)^{1/2}$ , akkor egy $\mathbb{R}^2$ -beli Parseval frémhez jutunk. Ekkor minden $v\in \mathbb{R}^2$ esetén

$\displaystyle v=(v\cdot u_1)u_1+(v\cdot u_2)u_2+(v\cdot u_3)u_3.$

Az együtthatók egy ilyen kifejtésben nem egyértelműek, hiszen $\{u_1, u_2, u_3\}$ lineárisan összefüggnek, de ez még előnyös is lehet számos szituációban. Véges dimenzióban gyakran sokkal nagyobb vektorrendszerből álló frémet keresünk egy magas dimenziós térben: például létezik-e 97 darab egységvektor $\mathbb{R}^{43}$ -ban, amely feszes frémet alkot? Ehhez egyenletesen eloszló pontrendszert kéne találni a 43-dimenziós gömb felszínén, ahol az egyenletesség azonban nem egészen a szokványos értelemben értendő. Egységvektorokból álló feszes frémeket $\mathbb{R}^d$ -ben és $\mathbb{C}^d$ -ben FUNTF-oknak hívunk (az angol szavak rövidítése nyomán). Benedetto és Fickus a FUNTF-okat egy bizonyos potenciálhoz tartozó energiafüggvény minimumaként karakterizálta. Ma is aktív kutatási téma olyan FUNTF-ok keresése, amelyben a vektorok azonos szögeket zárnak be, vagy legalábbis közel azonos szögeket. Az ilyen frémek hasznosak lennének például a jelfeldolgozásban.

Ha $F=(f_n)_{n\in J}$ frém egy $H$ Hilbert térben, akkor $Sf=\sum_{n\in J}\langle f, f_n \rangle f_n$ egy $H$ -t önmagára képező folytonos lineáris bijekciót definiál. Az $F$ -hez tartozó duális frém a következő: $\tilde{F}=(\tilde{f}_n)_{n\in J}$ , $\tilde{f}_n=S^{-1}f_n$ . Ekkor minden $f\in H$ -ra teljesül, hogy

$\displaystyle f=\sum_{n\in J} \langle f, \tilde{f}_n \rangle f_n.$

(1)

Ha a frém feszes, akkor $\tilde f_n=\frac{1}{A}f_n$ . Általában az $\langle f, f_n \rangle$ együtthatók nem az egyetlenek, amelyekre $f=\sum c_nf_n$ teljesül, de az (1) egyenlet hasznos stabilitási tulajdonságokkal rendelkezik. Egyrészt, a fenti sor feltétlenül konvergens, azaz bármely átrendezése konvergens. Másrészt, az $f$ -hez tartozó lehetséges $c_n$ együttható sorozatok közül a fenti $\langle f, \tilde{f}_n, \rangle$ -nek van a legkisebb $l^2$ normája (noha gyakran az alkalmazásokban a legkisebb $l^1$ normájú együttható-sorozatot keressük). Az (1) szerinti előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha $F$ egy Riesz-bázis, azaz egy ortonormált bázis folytonos lineáris bijekció általi képe. Egy Riesz-bázisnak semmilyen részhalmaza nem alkothat frémet, de ha egy frém nem Riesz-bázis, akkor biztosan van olyan valódi részhalmaza, amely szintén frém.

Miért van szükségünk olyan frémekre, amelyek nem ortonormált bázisok vagy legalábbis Riesz-bázisok? A klasszikus mintavételi tétel (más néven a Nyquist—Shannon sampling theorem) az információelmélet és jelfeldolgozás egyik alapköve. A mintavételi tétel azzal ekvivalens, hogy az $E_b=\{e^{2\pi i bnx}\}_{n\in \mathbb{Z}}$ sorozat feszes frémet alkot $L^2[0,1]$ -ben minden $0<b\le 1$ esetén. Ha $b=1$ , akkor ortonormált bázist kapunk. Azonban ha $b<1$ , akkor $E_b$ nem alkot Riesz bázist $L^2[0,1]$ -ben, így a frém szerinti kifejtésben az együtthatók nem egyértelműek (noha $E_b$ minden véges részrendszere lineárisan független). Ha $b=1/N$ akkor $E_b$ $N$ darab ortonormált bázis uniója, de általában $E_b$ nem írható fel ortonormált bázisok uniójaként. A mintavételezési tétel van a sávkorlátozott jelek digitális kódolása mögött: $b\le 1$ szükséges ahhoz, hogy reményünk legyen rekonstruálni az eredeti jelet a digitális kódból. $b<1$ felel meg a „túlmintavételezésnek”, avagy annak, amikor a frém, amit használunk, nem Riesz-bázis. A „8-szorosan túlmintavételezett” felirat a CD-ken ezzel áll szoros kapcsolatban. A túlmintavételezés segít a zajok kiszűrésében és a hibajavításban is.

Sok egyszerűnek hangzó kérdés frémekkel kapcsolatban mély matematikai problémákhoz vezet. Például, természetes megkérdezni, hogy karakterizálni tudjuk-e a redundancia fogalmát, elsősorban végtelen frémek esetén. Általában egy frém nem írható fel ortonormált bázisok uniójaként, de vajon felírható-e minden $F=\{f_n\}_{n\in J}$ frém nemredundáns $E_1, \dots E_N$ részrendszerek uniójaként? Ezt úgy értjük, hogy egy $E_i\subset F$ részrendszer nemredundáns, ha Riesz-bázist alkot az általa kifeszített altér lezártjában. Egy ilyen részhalmazt Riesz-sorozatnak is hívunk. (Véges dimenzióban ez egyszerűen a lineáris függetlenségnek felel meg.) Eltekintve a triviális $\Vert f_n\Vert\to 0$ esettől természetesnek látszik a következő sejtés:

Feichtinger-sejtés. Ha $F=\{f_n\}_{n\in J}$ frém a $H$ Hilbert térben és $\inf \Vert f_n\Vert>0$ , akkor léteznek olyan $E_1, \dots, E_N$ Riesz-sorozatok, amelyeknek uniója $F$ .

Casazza és Tremain megmutatták, hogy a Feichtinger-sejtés ekvivalens a Kadison—Singer-sejtéssel avagy a „kirakási” sejtéssel (Paving conjecture), amelyet az operátorelmélet egyik legmélyebb nyitott kérdésének tartottak (azóta már sikerült megtalálni a megoldást, lásd pl. The Solution of the Kadison—Singer Problem https://arxiv.org/abs/1712.08874 — a ford.).

Kirakási sejtés (Paving conjecture): Minden $\varepsilon >0$ -hoz létezik olyan $M>0$ , hogy minden $n$ -re és minden $n\times n$ -es 0 főátlójú $S$ mátrixra létezik egy olyan $\{\sigma_1, \dots, \sigma_M\}$ partíciója az $\{1, \dots, n\}$ halmaznak, amelyre

$\displaystyle \Vert P_{\sigma_j}SP_{\sigma_j}\Vert\le \varepsilon \Vert S\Vert, \ \ j=1, \dots, M,$

ahol $P_I$ a $\operatorname{span}\{e_i\}_{i\in I}$ altérre való ortogonális projekciót jelöli, és $\Vert \cdot \Vert$ az operátornorma.

Duffint és Schaeffert különösen érdekelték az $E=\{e^{2\pi i \lambda_n x}\}_{n\in \mathbb{N}}$ alakú frémek $L^2[0,1]$ -ben, ahol $\lambda_n$ tetszőleges valós vagy komplex sorozat. Az ilyen nemharmonikus Fourier-frémek nemegyenletes mintavételi tételeket adnak sávkorlátozott jelek esetében. És noha a frémek elmélete Duffin és Schaeffer után még sok évig nem került reflektorfénybe, a nemegyenletes mintavétel manapság egy nagyon fontos terület mind a sávkorlátozott mind a nem-sávkorlátozott jelek feldolgozásában; felmerül például a mágneses rezonancia vizsgálat (MRI) során is.

1986-ban Daubechies, Grossmann és Meyer újra a frémekre irányították a figyelmet az $L^2(\mathbb{R})$ -beli Gábor-frémekkel és wavelet frémekkel kapcsolatos munkájukkal. Egy (rácsos) Gábor-frém a következő formájú: $G(g,a,b)=\{e^{2\pi i bnx} g(x-ak)\}_{k,n\in \mathbb{Z}}$ , ahol $g\in L^2(\mathbb{R})$ és $a,b>0$ (természetesen a $g, a, b$ paramétreket megfelelően kell választani, hogy ténylegesen frémet kapjunk ilyen módon). Tehát egy Gábor-frémet úgy kapunk hogy egyetlen $g$ függvényre alkalmazzuk eltolásoknak és modulációknak egy diszkrét halmazát. Emiatt ezek a frémek kapcsolódnak a reprezentáció-elmélethez, a Heisenberg csoporthoz és a határozatlansági elvhez is. Például a Balian—Low tétel azt mondja, hogy ha egy Gábor-frém egyúttal Riesz-bázisa is $L^2(\mathbb{R})$ -nek, akkor a $(\int_{-\infty}^\infty \vert xg(x)\vert^2dx)(\int_{-\infty}^\infty \vert\xi \hat{g}(\xi)\vert^2d\xi)$ Heisenberg-féle szorzat mindenképpen végtelen. Ezért az ilyen Gábor-frémek kevésbé hasznosak. Másfelől viszont Feichtinger és Gröchenig megmutatták, hogy ha $G(g,a,b)$ Gábor-frémet alkot $L^2(\mathbb{R})$ -ben, akkor ez a frém stabil bázis-szerű kifejtést biztosít nem csak négyzetesen integrálható függvényekre, hanem bármely $M_w^{p,q}$ modulációs térben lévő függvényre is. Így aztán az egyszerű Hilbert-térbeli frém feltétel automatikusan maga után von sokkal általánosabb kifejtési tételeket egyéb függvényterekben. Hasonló kifejtési tételek érvényesek „irreguláris” Gábor-frémek esetében, azaz $\{e^{2\pi i b_kx} g(x-a_k)\}_{k\in \mathbb{N}}$ alakú frémekre, noha a bizonyítások sokkal bonyolultabbak. A legújabb ilyen irányú eredmények a Wiener-lemma nemkommutatív Banach-algebrákra vonatkozó verzióját használják.

Egy wavelet frémet eltolásokkal és skálázásokkal kapunk. Nevezetesen, ha $\psi \in L^2(\mathbb{R})$ és $a,b>0$ , és $W(\psi, a, b)=\{a^{n/2}\psi(a^nx-bk)\}_{k,n\in \mathbb{Z}}$ frémet alkot, akkor azt wavelet frémnek nevezzük. A Gábor-frémekkel ellentétben itt lehet találni olyan szép $\psi$ függvényeket, amelyekre $W(\psi, a, b)$ Riesz-bázis $L^2(\mathbb{R})$ -ben, sőt olyanokat is, amelykre ortonormált bázis. Meyer, Mallat, Daubechies ezen észrevétele volt a „wavelet forradalom” kezdete. Egy „viszonylag szép” $\psi$ függvény által generált wavelet frém vagy ortonormált bázis szerint nemcsak $L^2(\mathbb{R})$ -beli függvények kifejtéseit adhatjuk meg, hanem egy sor fontos Banach-térbeli függvényét is, beleértve Sobolev-tereket, Besov-tereket és Triebel—Lizorkin-tereket. A wavelet frémeknek fontos alkalmazásai vannak napjainkban, csakúgy mint az egyéb általánosításaiknak, amelyeket video- és képfeldolgozásban hasznosítanak. A frémeknél is jobban túltelített rendszerek pedig a tömörített érzékelés (compressed sensing) és a ritka reprezentációk (sparse representation) alapjait adják.

Végül megemlítünk még egy nyitott problémát. Nem nehéz belátni, hogy a Duffin és Schaeffer által tanulmányozott nemharmonikus $\{e^{2\pi i \lambda_n x}\}$ rendszer bármely véges részhalmaza lineárisan független. A $G(g,a,b)=\{e^{2\pi i bnx} g(x-ak)\}_{k,n\in \mathbb{Z}}$ rácsos Gábor-rendszerekre szintén teljesül ez a tulajdonság, még akkor is ha nem alkotnak frémet. Nem ismert azonban ez a tulajdonság irreguláris Gábor-rendszerekre. Ezen írás megszületése idején a következő sejtés továbbra is nyitott (amennyire tudom, azóta is — a ford.):

Idő- és frekvenciaeltolások lineáris függetlenségi sejtése: Ha $g\in L^2(\mathbb{R})$ nem azonosan nulla, és $\{(a_k, b_k)\}_{k=1}^N$ valós számpárok véges halmaza, akkor a $\{e^{2\pi i b_k x}g(x-a_k)\}_{k=1}^N$ függvények lineárisan függetlenek.

Ezt a sejtést HRT-sejtés néven is ismerik. Sok speciális esete már bizonyított, de teljes általánosságban továbbra is nyitott. Ismert például $N=1, 2, 3$ esetén, de nyitott $N=4$ -re még akkor is ha feltesszük, hogy $g$ végtelenszer differenciálható. Sőt, még az alábbi az alábbi sejtés is nyitott:

HRT-részsejtés: Ha $g\in L^2(\mathbb{R})$ nem azonosan nulla, és végtelenszer differenciálható, akkor $\{g(x), g(x-1), e^{2\pi i x}g(x), e^{2\pi i\sqrt{2}x}g(x-\sqrt{2})\}$ lineárisan független halmaz.

Christopher Heil

Irodalomjegyzék

[CK13] P. G. Casazza and G. Kutyniok, eds., Finite Frames, Birkhäuser/Springer, New York, 2013.

[Chr03] O. Christensen, An Introduction to Frames and Riesz Bases, Birkhäuser, Boston, 2003.

[Heil11] C. Heil, A Basis Theory Primer, Expanded Edition, Birkhäuser, Boston, 2011.

[You01] R. Young, An Introduction to Nonharmonic Fourier Series, Revised First Edition, Academic Press, San Diego, 2001.

Christopher Heil a Georgia Institute of Technology matematikaprofesszora. E-mailcíme: Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.. DOI: http://dx.doi.org/10.1090/noti1011. A cikk eredetileg a Notices of the American Mathematical Society folyóiratban 2013-ban jelent meg a What is... rovatban. Ez a fordítás a szerző és az AMS engedélyével jelenik meg. A fordítást készítette: Matolcsi Máté.

Fotó: https://www.pexels.com/photo/abstract-art-artistic-design-310446/