Mi is ... egy kvantumcsoport?

Egy kvantumcsoport elsősorban is egy Hopf-algebra, egy gyönyörű struktúra, amelynek elegáns definiáló axiómáit már az 1940-es években leírták, sokkal korábban minthogy az 1980-as években az igazán fontos fizikából érkező példák megjelentek volna. Kezdjük tehát ezen elegáns axiómák ismertetésével, észbentartva azt, hogy a modern példák és a további struktúrák azok, amik igazán érdekessé és fontossá teszik ezt a témakört. Egy $H$ Hopf-algebra tehát a következő axiómákat teljesíti:

$H$ egy $(H, \cdot, 1)$ $k$ test feletti egységelemes algebra.
$H$ egy $(H, \Delta , \epsilon )$ $k$ test feletti koegységelemes koalgebra. A $\Delta \colon H\to H \otimes H$ „koszorzás” és az $\epsilon \colon H\to k$ „koegység” leképezéseknek teljesíteni kell a $(\Delta \otimes \operatorname{Id})\Delta = (\operatorname{Id}\otimes \Delta)\Delta$ és $(\epsilon \otimes \operatorname{id})\Delta =(\operatorname{id}\otimes \epsilon )\Delta = \operatorname{id}$ azonosságokat.
$\Delta$ és $\epsilon$ algebra homomorfizmusok.
Létezik egy $S\colon H\to H$ „antipodális” leképezés, mely teljesíti a $\cdot (\operatorname{id}\otimes S)\Delta =\cdot (S\otimes \operatorname{id})\Delta=1\epsilon$ azonosságot.

Három nézőpontból érhetünk (egymástól függetlenül) a fenti axiómákhoz; ezek mindegyike a kvantumcsoport egy definícióját adja. Alább mindhármat tárgyaljuk, de helyszűke miatt nagyrészt az elsőre fogunk fókuszálni.

Az első megközelítés avval az észrevétellel kezdődik, hogy egy $G$ véges csoport $k(G)$ függvényei vagy egy $G$ algebrai csoport $k[G]$ koordináta-algebrája Hopf-algebrákat alkotnak. Valóban, egy véges $G$ halmazra legyen $k(G)$ a $G$ -n értelmezett $k$ értékű függvények algebrája a pontonkénti műveletekkel ellátva. Azonosítsuk $k(G)\otimes k(G)$ -t $k(G\times G)$ -vel, vagyis a kétváltozós függvényekkel. Amikor $G$ valójában egy csoport, egy $a\in k(G)$ elemre legyen

$\displaystyle (\Delta a)(x,y)=a(xy), \quad (Sa)(x)=a(x^{-1}), \quad \epsilon (a)=a(e),$

ahol $e$ a $G$ csoport egységeleme és $x,y\in G$ tetszőleges. A csoportstruktúra tehát a $\Delta, \epsilon$ koalgebra-struktúrában és az $S$ antipodális leképezésben van elkódolva. Hasonlóan, minden $G\subset k^n$ polinom-egyenletekkel megadott részhalmazra egy $k[G]$ „koordináta-algebrát” definiálhatunk, mint a $k^n$ -en értelmezett polinom-függvények tere, moduló a $G$ mentén eltűnő függvények ideálja. Amennyiben $k$ algebrailag zárt, ilymódon egy pontos (funktoriális) megfeletetést kapunk ilyen polinomiális részhalmazok és nilpotens-mentes végesen generált kommutatív algebrák között. Amikor a $G$ részhalmaz egy csoportot alkot és a csoportművelet polinomiális, a $G\times G\to G$ szorzás-leképezés e megfeleltetés mentén egy, épp az ellenkező irányba mutató $\Delta$ algebra homomorfizmust ad. Hasonló módon kaphatók a Hopf-algebra struktúra további elemei. Íme két példa: Az „affin egyenes” a $k[x]$ koordináta-algebrával (egyváltozós polinomokkal) adható meg, ahol a $\Delta x=x\otimes 1 + 1\otimes x$ additív koszorzat a $k$ -beli összeadásnak felel meg. Az olvasóra hagyjuk a struktúra további részeinek definícióját, és így annak megmutatását, hogy minden $k$ testre létezik Hopf-algebra. A „kör” hasonló módon írható le, véve a $k[t,t^{-1}]$ koordináta-algebrát (vagyis $t$ -beli és $t^{-1}$ -beli polinomokat, amelyekre a $tt^{-1}=t^{-1}t=1$ relációk teljesülnek), ellátva a $\Delta t=t\otimes t$ multiplikatív koszorzással, ami a $k^*$ -beli szorzásnak felel meg. A további részleteket és az ellenőrzést ismét az olvasóra bízzuk. A legismertebb komplex Lie-algebrák általában polinom-egyenletekkel definiáltak, amelyekhez természetesen tartozik a ${\mathbb{C}}[G]$ algebra, illetve definiálhatók általános $k$ test felett a megfelelő hasonló egyenletekkel és a $k[G]$ algebrával. A ${\mathbb{C}}$ feletti esetben egy „valós forma” egy további struktúrát, egy kompatibilis, komplex lineáris involúciót jelent, amellyel a koordináta algebra egy $\ast$ -algebrává válik. Ezekkel a jelölésekkel a fenti két példa ${\mathbb{C}}[{\mathbb{R}}]$ és ${\mathbb{C}}[S^1]$ lesz, és $x^*=x$ illetve $t^*=t^{-1}$ lesz a valós forma.

Egy általános $H$ Hopf-algebrára is megvannak a $\Delta, \epsilon, S$ struktúrák, de általában nem tesszük fel, hogy — mint a fenti példákban — $H$ algebrája kommutatív. Ez épp a nemkommutatív geometria vagy „kvantálás” nézőpontja egy kommutatív koordináta-algebra vagy függvényalgebra nemkommutatív deformálására a matematikusok (de nem a fizikusok) értelmezésében. A csoportelmélet, illetve a Lie-csoportok elméletének nagy része erre a szintre emelhető; például amennyiben az

$\displaystyle \int \colon H\to k$

eltolás-invariáns integrálás (ami bizonyos értelemben $\Delta$ -t is használja) létezik, akkor átskálázás erejéig egyértelmű, és valójában a szép esetekben létezik is. Hasonlóan, az $(\oplus _n \Omega ^n , d)$ komplex differenciálformák minden $H$ algebra felett értelmezhetőek. Az egy fokú $\Omega _1$ 1-formák tere egy $H-H$ bimodulus, amelyen egy $\operatorname{d}\colon H \to \Omega ^1$ operátor is adott, ami eleget tesz a $\operatorname{d}(ab)=(\operatorname{d}a)b+a(\operatorname{d}b)$ ( $a,b\in H$ ) Leibniz-szabálynak és $\Omega ^1=H\operatorname{d}H$ . Ez kicsit gyengébb mint a szokásos differenciálgeometriában, még akkor is, amikor $H$ kommutatív, mivel nem követeljük meg, hogy az 1-formák kommutáljanak $H$ elemeivel. Amikor $H$ egy Hopf-algebra, megkövetelhető az is, hogy $\Omega ^1$ eltolás-invariáns legyen, ismét egy a $\Delta$ -t is használó értelemben. Ebben az értelemben egy „kvantumcsoport” nem egyszerűen egy Hopf-algebra, hanem egy további, a Lie-csoportokhoz hasonló struktúrája is van. E mélyebb elmélet néhány tulajdonsága már az egyenes és a kör példáján is látható, bár ezek a példák kommutatívak mint algebrák. Az egyszerű (tehát valódi hányados nélküli) eltolás-invariáns $(\Omega ^1, \operatorname{d})$ struktúrák például osztályozhatók. ${\mathbb{C}}[x]$ esetén egy $\lambda\in {\mathbb{C}}$ paraméterrel jellemezhetők, és a

$\displaystyle \operatorname{d}a(x) = \frac{a(x + \lambda ) - a(x)}{\lambda }\operatorname{d}x,\quad \operatorname{d}x a(x) = a(x + \lambda )\operatorname{d}x$

véges differencia alakra hozhatók minden $a\in {\mathbb{C}}[x]$ -re. Csak $\lambda =0$ esetén fog $\operatorname{d}x$ a függvényekkel kommutálni, tehát csak ekkor látjuk a megszokott geometriát. ${\mathbb{C}}[t, t^{-1}]$ esetén az eltolás-invariáns $(\Omega ^1, \operatorname{d})$ struktúrákat egy $q\in {\mathbb{C}}^*$ érték klasszifikál, és ekkor

$\displaystyle \operatorname{d}a(t) = \frac{a(t) - a(qt)}{(1 - q)t}\operatorname{d}t, \quad \operatorname{d}t a(t) = a(qt)\operatorname{d}t$

minden $a\in {\mathbb{C}}[t, t^{-1}]$ -re. Ez a két példa valójában bemutatja a ma ismert kvantumcsoportok két fő típusát. A legnevezetesebb példa a $C_q(SL_2)$ „ $q$ -deformált” kvantumcsoport, melynek $a,b,c,d$ generátoraira a relációk és a koszorzat a következő módon adható meg:

$\displaystyle ba = qab,\ bc = cb, \ ca = qac, \ dc = qcd, \ db = qbd, \ da = ad + (q - q^{-1})bc, \ ad - q^{-1}bc = 1,$

$\displaystyle \Delta\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatr... ... \\ c & d \\ \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$

ahol mátrix-szorzást alkalmazunk (vagyis például $\Delta a = a \otimes a + b \otimes c$ , stb.). Hasonlóan adhatók meg a ${\mathbb{C}}_q[G]$ változatok minden $G$ Lie-csoportra, illetve komplexifikáltjaikra. Másfajta „ $\lambda$ -deformációra” ad példát ${\mathbb{C}}_{\lambda}[{\mathcal {R}}^{1,3}]$ , amit a $t, x_i$ ( $i=1,2,3$ ) elemek által generált algebraként definiálunk; a relációk $[x_i,t]=\i \lambda x_i$ ; és az additív koszorzat úgy adható meg, mint ${\mathbb{C}}[x]$ esetében. Ez valójában egy feloldható Lie-algebra burkoló algebrája (lásd később). A NASA GLAST műhold mérései alapján azt is tesztelni tudjuk majd esetleg, hogy a mi téridőnk ilyen-e, $\lambda \approx 10^{-44}$ szekundum választással, ahol ez a hatás a kvantumgravitációból jönne. További nemtriviális példákat adnak a „bikeresztszorzat” kvantumcsoportok, amelyeket később fogunk érinteni.

A kvantumcsoportok definíciójának második megközelítése azon az észrevételen alapul, hogy egy tetszőleges csoport $kG$ csoportalgebrája, és egy tetszőleges Lie-algebra $U({\mathfrak{g}})$ burkoló algebrája Hopf-algebrákat alkotnak, ez esetben szimmetrikus koszorzattal (vagyis koalgebrájuk „kokommutatív”). Egy $G$ csoport $k$ feletti csoportalgebrája egyszerűen a $G$ elemei mint bázis által definiált vektortér, és a szorzat a báziselemeken a $G$ -beli szorzat, lineárisan kiterjesztve. Továbbá

$\displaystyle \Delta x = x \otimes x, \quad \epsilon x = 1, \quad Sx = x^{-1}$

minden $x\in G$ -re, ismét lineárisan kiterjesztve. Hasonlóan, legyen $({\mathfrak{g}}, [\cdot ,\cdot ])$ egy Lie-algebra a $[\cdot, \cdot ]$ Lie-zárójellel ellátva. Az $U({\mathfrak{g}})$ egy egyszerű (de nem túlzottan elegáns) definíciója a következő: vegyük ${\mathfrak{g}}$ egy bázisát és legyen $U({\mathfrak{g}})$ az a szabad asszociatív algebra, amelyet ezek az elemek mint generátorok adnak, és vegyük ehhez a $vw-wv=[v,w]$ relációkat minden $v,w$ báziselemre. Mindez lineárisan kiterjed, így ez az egyenlet minden $v,w\in{\mathfrak{g}}$ elemre teljesül. A koszorzás ismét az additív koszorzás: $\Delta v=v\otimes 1 + 1 \otimes v$ a generátorokon. Ezekben a példákban a $kG$ vagy az $U({\mathfrak{g}})$ algebra egy hatása a $G$ csoport vagy a ${\mathfrak{g}}$ Lie-algebra egy lineáris hatásával egyenértékű, és $\Delta$ azt kódolja el, hogy a hatások hogyan terjednek ki a tenzorszorzatokra; hasonlóan ahhoz, ahogy egy $H$ Hopf-algebrát tekinthetünk úgy, mint egy „általánosított szimmetriát”, ahol a $h\in H$ elem $\Delta h$ -val hat a tenzorszorzaton. Erre szükségünk van például akkor, amikor meg akarjuk határozni, hogy egy másik algebra kovariáns-e $H$ -ra nézve.

A leghíresebb példa pedig $U_q(sl_2)$ , amelyet az $e,g,q^h, q^{-h}$ generátorokkal adhatunk meg, és amelyekre a következő relációk teljesülnek:

$\displaystyle q^heq^{-h} = q^2e, \ q^hf q^{-h} = q^{-2}f, \ [e, f] = \frac{q^h - q^{-h}}{q -q^{-1}},$

$\displaystyle \Delta e = e \otimes q^h + 1\otimes e, \ \Delta f = f \otimes 1 + q^{-h} \otimes f, \ \Delta q^h = q^h \otimes q^h.$

Megköveteljük továbbá, hogy $q^2 \neq 1$ . $U_q({\mathfrak{g}})$ pedig tetszőleges ${\mathfrak{g}}$ esetén egy szimmetrizálható Cartan-mátrixszal definiálható. Ezek a kvantumcsoportok nagyon gazdag algebrai struktúrával rendelkeznek, amelyek csomó- és 3-sokaság-invariánsokhoz vezetnek. Az egyik legmélyebb eredmény a Lusztig–Kashiwara kanonikus bázis létezése, amely a legmagasabb súlyú modulusoknak indukálja egy bázisát; ez az eredmény még a $q\to 1$ klasszikus esetben is nagyon fontos.

A harmadik nézőpont szerint Hopf-algebrák az Abel-csoportok utáni legegyszerűbb olyan kategóriát alkotják, amelyben van Fourier-transzformált. E nézőpont adja az önduális formákhoz tartozó „bikeresztszorzat” kvantumcsoportok meglehetősen nagy osztályát. Ezek egyszerre „koordináta-” és „szimmetria-” algebrák, és szoros kapcsolatban állnak a kvantummechanikával. Ezekre egy példa ${\mathbb{C}}[{\mathbb{R}}^3 \rtimes {\mathbb{R}}]_{\lambda}\blacktriangleright\!\!\!\! \triangleleft \ U(so_{1,3})$ mely a ${\mathbb{C}}_{\lambda }[{\mathbb{R}}^{1,3}]$ fent tárgyalt nemkommutatív tér–idő algebra Poincaré- kvantumcsoportja. Ez esetben a speciális relativitáselmélet ugyanúgy alkalmazható, de mint kvantumcsoport szimmetria. Ez a kvantumcsoport úgy is interpretálható, mint egy feketelyuk-szerű tulajdonságokkal rendelkező görbült térben mozgó részecske kvantálása.

Shahn Majid

További olvasmány:

S. Majid, A Quantum Groups Primer, L. M. S. Lect. Notes 292, 2002.

Shahn Majid a Queen Mary (University of London) matematika professzora; e-mail címe Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát.. A cikk eredetileg az American Mathematical Society Notices folyóiratának 2006-os számában jelent meg a What is ...? rovatban. A fordítást Stipsicz András készítette.