Matematikaoktatás az MIT-n

Massachusetts Institute of Technology, melyet a legtöbben csak az MIT rövidítéséről ismernek, a világ egyik legjobb egyeteme, rendszeresen az első 10-ben van az egyetemi rangsorokban, nem ritkán a legelején. E cikk szerzőjének lehetősége volt 3 évet eltölteni az egyetem matematikai intézetében, így első kézből vannak tapasztalatai az ott folyó oktatásról.

Elöljáróban néhány szó az MIT matematikai intézetéről. Ez egy kifejezetten nagy intézet mintegy 70 főállású professzorral, kb. ugyanennyi postdoktorral és vendégkutatóval, valamint kb. 100 doktorandusszal ([1]). Összehasonlításul megemlítjük, hogy a Harvardnak, amely ugyancsak a massachusettsi Cambridge-ben helyezkedik el, kb. 30 professzora és 60 doktorandusza van ([2]). Ennek megfelelően az MIT különleges helyet foglal el az amerikai matematikaoktatásban. A legtöbb diákolimpikon és nagyon sok más tehetséges diák az MIT-n tanul tovább. Ez pedig meglátszik az amerikai egyetemi matekverseny, a William Lowell Putnam verseny eredményein ([3]): az MIT dominanciája néha egészen elképesztő, 2014-ben például a legjobb 27 diákból 16 tanult az MIT-n, az első 6-ból 5! Ez persze néhány problémát is felvet. A diákjaik tudása, képessége nagyon széles skálán mozog, így az ajánlott tantárgyakat is ennek megfelelően kell kialakítani. Az alábbiakban összefoglalom, én milyen tantárgyakat tanítottam, ott milyen praktikákat alkalmaznak, és a tantárgy hogyan illeszkedik bele a tantárgystruktúrába.

Mielőtt rátérnék az általam oktatott tárgyakra, néhány szót kell szólnom az oktatási rendszerről. A képzés Bsc része 4 éves, az első évben még nem választanak a diákok szakot. Kevés a kötelező tantárgy, a diákok meglehetősen szabadon válogathatnak a tárgyak között. Ráadásul meglehetősen sok idejük van arra, hogy leadhassák a tárgyakat, majdnem a félév háromnegyedéig. Emiatt kialakul az úgynevezett „shoppingolás”: a diákok elég sok tantárgyat felvesznek, és a félév során szépen lassan megszabadulnak a nekik nem tetsző tárgyaktól. Én csak Bsc-s tárgyakat tanítottam. A Bsc után van 5 év graduate képzés, ez nagyjából megfelel a mi Msc plusz doktori képzésünknek.

A diákok teljesítményét folyamatosan figyelik. Minden diáknak van egy mentora, akit értesíteni lehet, ha a diáknak problémája van egy tantárggyal. Az elsőéves tárgyaknál ennek külön neve van: ez az „5. heti zászló”. Az ötödik héten megkérik a gyakorlatvezetőket, hogy ha van olyan diákjuk, akiről gyanítható, hogy nem fogja tudni elvégezni a gyakorlatot, azt jelezzék a diák mentorának.

Az 5. hétre ezt már meg lehet tippelni, ugyanis már túl vannak többheti házi feladaton és egy vagy két zárthelyi dolgozaton is. Felsőbb éveseknél egy-két héttel később szokták megkérdezni a tárgyak oktatóit az esetleges problémás diákokról. A mentornak az a feladata, hogy segítse a diákot abban, hogy érdeklődésének és tudásának megfelelő tárgyakat válasszon, ha pedig problémái vannak a diáknak, akkor megpróbáljon megfelelő segítséget találni neki. Mivel én postdoc voltam, így rám 4 duplaszakos diákot osztottak, akiknek már volt egy főszakos mentora. Bár ez nem túl nagy feladat, érdemes valamennyire odafigyelni rá, mert ha a diák nem teljesít jól, akkor a diákkal együtt a mentornak is meg kell jelennie az Academic Performance Committee előtt, ami állítólag nem túl kellemes. Szerencsére ilyen helyzetbe nem kerültem.

Érdekességként megemlítem, hogy nincs szóbeli vizsgájuk, a vizsgaidőszak mindössze egyhetes. Ezen a héten írnak meg több vizsgát, amelyek ugyanúgy problémamegoldásból állnak, mint a korábbi évközi zárthelyik. Sajnos azt is volt lehetőségem megtanulni, hogy hogyan működik az MIT csaláspolitikája. Ha egyszer valakit csaláson kapnak, akkor a tárgyfelelős elmesélése alapján egy titkárnő készít egy esetleírást, amelyet elhelyez a diák nevére kialakított elektronikus dossziéban. Mikor a második levél is megérkezik a dossziéba, akkor a rendszer jelez, és akkor már bizottság tárgyalja mindkét esetet. Nagyon-nagyon súlyos esetben már az első alkalommal összehívják a bizottságot.

Bár az MIT elsősorban a kutatásairól ismert, rengeteget költ az oktatásra is. Innovatív oktatási ötletekkel pályázni is lehet különböző pénzekre. Szintén sokat költenek arra, hogy rengeteg tantárgynak legyenek online elérhető előadásai. Érdekességként megemlítem, hogy itt fejlesztették a Scratch nevű programozási nyelvet is, amelynek célja, hogy kisgyerekeket vonjanak be a programozás világába.

Külön figyelmet szentelnek a kommunikációs tárgyaknak. Erre egy intézetet hoztak létre, ennek munkatársait kihelyezik a különböző területek intézeteihez. Például a matematikai intézet munkatársait Susan Ruff segíti. Számos ötletet, amelyet alább a Diszkrét matematika szeminárium tantárgynál leírtam, éppen tőle tanultam.

Most pedig következzenek az általam oktatott tárgyak.

Kalkulus. Ez egy elsőéves tárgy, amely kötelező mindenkinek, nem csak a matematika szakosoknak. Valójában ekkor még nem is választanak a diákok szakot. Ezt a tárgyat több különböző szinten el lehet végezni, de a legjobb diákok egyszerűen megírnak egy tesztet az elején, és ezzel le is tudják a tárgyat. Én a legalacsonyabb szinten tartottam gyakorlatot. Itt a diákok nem rendelkeztek különösebb matematikai képességekkel, de rendkívül motiváltak voltak, nagyon-nagyon kevesen buktak az egész évfolyamról. Az előadás heti 3-szor 50 perc volt, ehhez hozzájött még a 2-szer 50 perc gyakorlat. A kb. 80 diák 7 csoportba volt osztva gyakorlatra, amelyekből én két csoportnak vezettem gyakorlatot. Meglepő módon a gyakorlatvezetőkön nem volt igazi nyomás, hogy a gyakorlatokba próbáljanak mindent belesűríteni, amit tudnak, ugyanis az alapelv az, hogy a diákok maguk tanulnak. Ennek megfelelően a gyakorlatokon csak 2-3 feladatot beszéltünk meg, a diákokat pedig hagytuk dolgozni legalább 20-30 percet. Viszont ami a diákoknak igazi kihívás volt, az a rengeteg házi feladat. Minden héten rengeteg feladatot kaptak, amelyek megoldása nemritkán összesen 15-20 oldal volt. Szerencsére ezeket nem nekem kellett kijavítani, hanem külön javítók voltak, általában felsőbb éves diákok. Egy apró érdekesség, hogy a diákok dolgozhattak együtt, viszont minden feladathoz oda kellett írniuk, hogy kiktől kaptak segítséget. Ezt azért csinálják így, hogy tudatosítsák a diákokban, hogy mennyi mindenki segíti őket. (Mint később felfedeztem, nem elhanyagolható mellékterméke a rendszernek, hogy a csalásokat könnyebb kezelni: a legnagyobb csalásoknál ugyanis nem írják oda a diákok egymás nevét, így az oktatónak elég rámutatnia, hogy bizonyos fokú együttműködés biztosan volt, nem kell bizonyítani, hogy az egész csalás volt.) Általában is igaz az MIT-ra, hogy a kooperatív munkára nagy hangsúlyt fektetnek, a gyakorlatokon is bátorítottuk a diákokat a csapatmunkára. Azt hiszem, ez fontos is, mert a követelmények meglehetősen magasak, így egyedül végigcsinálni az egyetemet meglehetősen nehéz. Például ebben a tantárgyban összesen 4 + 1 zárthelyi dolgozatot kell írniuk a diákoknak. A + 1 az a végső nagy zárthelyi vagy vizsgadolgozat. A diákok munkáját még a rendszeres fogadóórák segítik, amelyek valóban népszerűek. Mi annak idején az előadóval és a 4 gyakorlatvezetővel úgy szerveztük meg, hogy minden napra essen fogadóóra. A diákok természetesen nem csak a saját gyakorlatvezetőjükhöz mehettek segítséget kérni.

Diszkrét matematika szeminárium. Minden diáknak el kell végezni két CI-M tárgyat: a CI-M a „communication intensive in major”, magyarul intenzív szakmai kommunikációs tárgy, vagyis szeminárium. Ezt az egészet azért írom le, mert gyakori mintának láttam az MIT-n, hogy egyszerű dolgoknak adnak furcsa neveket, de utána megpróbálják megtölteni extra tartalommal. Ennél a tárgynál is ezt éreztem. Aki részt vett már szemináriumokon az tudja, hogy nem igazán hatékony módja az oktatásnak, tanulásnak, mert a diákok nincsenek igazán rákényszerítve, hogy mások előadásait is kövessék. Ráadásul, ha a diák egyetlen előadást tart a félév alatt, akkor fejlődési lehetősége sincs igazán. Ezt kiküszöbölendő, ebben a tantárgyban a diákoknak 3 előadást kellett tartaniuk, 12 fős létszámnál 3 darab 50 perces, 15 fős létszámnál két 50 és egy 25 perceset. Ahhoz is ragaszkodtunk, hogy az első előadás táblás, a második pedig projektoros legyen, a harmadik szabadon választható volt az előadásmód szempontjából. Én magam is tartottam két mintaelőadást, egy táblásat és egy projektorost. Valójában én leginkább fogadóórákon segítettem a diákokat a cikkek feldolgozásával kapcsolatban.

Minden előadás végén az utolsó 5 percben a diákoknak le kellett írniuk a véleményüket az előadásról, és tanácsokat kellett megfogalmazniuk az előadó számára a fejlődése érdekében. Érdekességként megemlítem, hogy ennek kétféle változata van aszerint, hogy a vélemény anonim vagy sem. Ha a vélemények anonimek, akkor jobb, ha a szemináriumvezető nem adja őket oda az előadónak, csak elolvasás után összefoglalja őket. Ennek az az oka, hogy az anonim vélemények gyakran kegyetlenek tudnak lenni. A nem anonim véleményekkel viszont pont az ellenkezője a probléma, a legtöbb diák annyira konfliktuskerülő magatartást vesz fel, hogy akkor sem mondja meg, hogy az előadás pocsék volt, ha egyébként 2 perc után elvesztette a fonalat az előadó felkészületlensége miatt. Ilyenkor gyakran túl udvarias vélemények születnek, amelyekből nem tanul semmit az előadó. Szerencsére ennek a problémának a kezelésére van egy egyszerű trükk: meg kell kérni az előadót, hogy a végén tegyen fel egy vagy két kvízkérdést az előadásából. Általában olyan egyszerű kérdésről van szó, amelyet ha nem válaszol meg valaki, akkor okkal feltételezhető, hogy semmit nem értett az előadásból. Ilyenkor fel kell hívni az előadó figyelmét rá, hogy az adott diák véleményét nem feltétlenül kell elfogadnia. Természetesen az is egy visszajelzés, ha csak nagyon kevesen tudták megválaszolni a kérdést: ez azt jelenti, hogy az előadás teljesen követhetetlen volt. Természetesen a kvízkérdésekre adott válaszokat bele lehet építeni az értékelésrendszerbe, de mint említettem, ezt óvatosan kell megtenni, nem biztos, hogy a diák hibája, ha nem tud megválaszolni egy kérdést.

A tárgynak fontos része még, hogy egy nagyjából 10 oldal hosszú (survey) cikket kell írniuk egy előre leegyeztetett kutatási témában. Ugyanezen témában kell megtartaniuk a harmadik előadásukat is. Hogy milyen témákat érdemes javasolni és hogyan lehet segíteni a diákokat cikkírásban, arra létrehoztak egy külön adatbázist, amelybe az oktató feltölti azokat a témákat, amelyeken ő dolgozott a diákjaival és azt is, hogy milyen észrevételei vannak. Javasolt még a tárgy korábbi oktatóival beszélni a félévkezdéskor. Az adatbázisba ötletszerűen beleolvastam, és tényleg voltak benne jópofa tanácsok, viszont maga az adatbázis akkorára nőtt az évek során, hogy lehetetlen volt akárcsak nagyjából átnézni. Egyébként a tárggyal kapcsolatos munkám nagy része nem is a fogadóórák, illetve az előadások beosztása, megszervezése volt, hanem éppen e cikkek különböző verzióinak elolvasása, javítása. Kicsit olyan munka ez, mint 15 miniprojekt témavezetése.

Kombinatorikus analízis. Neve ellenére ez egy bevezető kombinatorika tárgy. A tárgyat heti 3-szor 50 percben tanítottam. Ebben a tárgyban nagy hangsúlyt kap a leszámláláselmélet. Ennek megfelelően ezen a területen alaposan körbejártuk a generátorfüggvények különböző alkalmazásait, talán leginkább erre utal a tantárgy neve. Ennek ellenére gráfelmélet is van a tantárgyban, de jóval elemibb szinten, mint a leszámláláselmélet. Általában Bóna Miklós „A Walk through Combinatorics” könyvét szokták tankönyvnek használni. Főleg olyan diákok veszik fel ezt a tantárgyat, akiknek a matematika a második, kiegészítő szakjuk. Ennek megfelelően a színvonal nem igazán magas, legalábbis az MIT-s standardokhoz képest.

Algebrai kombinatorika ([4]). Már a tárgy leírásakor jelzik, hogy ez egy nehezebb tantárgy, és ennek megfelelően itt már nagyon komoly diákokkal lehet találkozni. Egyáltalán nem ritka, hogy néhány volt (nem feltétlenül amerikai) diákolimpikon is felveszi a tárgyat. A tantárgy kialakításánál nagyon nagy szabadságot kaptam, így tényleg az ízlésemnek megfelelő dolgokat taníthattam.

Ezt a szabadságot arra is használtam, hogy kísérletezzek egy picit, és kipróbáljak egy számomra új osztályozási rendszert. Valójában erre a rendszerre rá is voltam kényszerítve valamelyest a diákok közti különbségek miatt. Ebben a rendszerben a diákok egyénre szabottan kaptak feladatokat egy feladatlistából aszerint, hogy a korábbi házi feladatoknál hogyan szerepeltek. Akik jól teljesítettek, azoknak legközelebb nehezebb feladatokat választottam, akiknek problémáik voltak, azoknak könnyebbet. A diákok nagyon pozitívan fogadták ezt a rendszert.

A kurzusokon kívül még külön ki szeretném emelni az úgynevezett egyéni tanulmányi lehetőséget. Itt a diák vagy diákok pályázhatnak tanulmányi kreditre valamely terület megtanulásával ha egy oktató elvállalja témavezetésüket. Az oktatásnak ezzel a formájával úgy ismerkedtem meg, hogy egy nap felkeresett két nagyon jó diák, hogy ők szívesen feldolgoznák Szemerédi számtani sorozatokra vonatkozó tételét. Mire a munka elkezdődött, már 7 nagyon jó diákom volt, többségében volt diákolimpikonok. Szemináriumi formában feldolgoztuk Terence Tao és Van Vu „Additive combinatorics” könyvének 3 fejezetét [5]. Érdekességként megemlítem, hogy azon félelmem miatt, hogy esetleg lejáratom a rendszert, ha túl könnyen adom meg a kreditet, olyan magasra tettem a lécet, hogy a diákok lényegében két tantárgy követelményeit végezték el a rengeteg előadással, survey cikkel és számtalan probléma megoldásával. Ennek ellenére nekem nem volt sok munkám ezzel, mert a diákok tényleg nagyon jók voltak.

Bár nem tartozik szorosan az oktatáshoz, még megemlíteném, hogy az MIT rendkívül nagy hangsúlyt fektet arra, hogy a diákok kutassanak. Mindenféle elvárás nélkül is anyagilag támogatják a diákok kutatásait. Az MIT egyébként fenntart középiskolásoknak is egy kutatási programot, az úgynevezett PRIMES programot ([6]).

A fentiekből azt hiszem, világos, hogy az MIT az oktatás területén is innovatív módon gondolkozik. Rengeteg ötlettel és néha sok pénzzel próbálja keresni az oktatás minél hatékonyabb módjait . Számomra természetesen azok az ötletek az érdekesebbek, amelyekhez nem kell pénz. Szerencsére ilyenből is rengeteget láttam, ami azt mutatja, egy oktatási rendszer fejlesztésére akkor is van mód, ha az anyagi lehetőségek korlátozottak.

Összességében én nagyon-nagyon kellemesen éreztem magam. A diákok kifejezetten együttműködőek voltak, így az oktatás mellett még bőven maradt időm kutatni.

Köszönetnyilvánítás: Nagyon köszönöm Juhász Péternek és Lovrics Annának, hogy észrevételeikkel segítették ezen írás elkészítését.

Csikvári Péter
ELTE Matematikai Intézet, Számítógéptudományi Tanszék

Csikvári Péter 2001-ben és 2002-ben a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium diákjaként vett részt a Nemzetközi Matematikai Diákolimpián a magyar csapatban. 2002 és 2007 között az Eötvös Loránd Tudományegyetem matematikus hallgatója volt, majd ugyanitt PhD-t szerzett 2011-ben. 2010 és 2013 között a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet munkatársa, majd 2013 és 2016 között az MIT posztdoktora. Jelenleg az Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikai Intézetének adjunktusa.