Mi is ... egy minimális modell?

Az $M$ kompakt komplex sokaság nagyjából akkor egy minimális modell, ha $M$ egy "optimális tartománya" az $M$ -en definiált meromorf függvényeknek. Ahhoz, hogy megmutassuk, mit is értünk "optimális tartomány" alatt, vegyünk egy hasonló példát, a ${\mathbb{C}}^2$ -n értelmezett holomorf függvények elméletét.

Hartogs tétele szerint minden, az $r_1^2< \vert x \vert ^2 + \vert y \vert ^2< r_2^2$ gömbhéjon értelmezett holomorf függvény kiterjed az $\vert x\vert ^2 + \vert y \vert ^2 <r_2^2$ golyóra. Következésképp nincs túl sok értelme a 2-dimenziós gömbhéjakon holomorf függvények elméletét tanulmányozni. Ezzel ellentétben, a nyílt golyó optimális tartomány a függvényelmélet szempontjából.

Az ilyen optimális tartományok meghatározása vezet el minket a Stein sokaságok fogalmához. Ezek olyan $U$ komplex sokaságok, melyek a kövektező két tulajdonsággal bírnak:

Pontok elválaszthatósága: Bármely két $p\neq q \in U$ különböző pontra van egy olyan $f$ holomorf függvény $U$ -n, melyre $f(p)\neq f(q)$ teljesül.

A tartomány maximalitása: Minden $T$ , $U$ -t nyílt részhalmazként tartalmazó topologikus térre, és minden $r\in \partial U$ határpontra van olyan $f$ , $U$ -n értelmezett holomorf függvény, melyre $\lim _{p\to r} f(p)$ határérték nem létezik.

A minimális modell fogalma akkor merül fel, amikor kompakt komplex sokaságokra teszünk fel hasonló kérdéseket. A maximum-elv szerint egy kompakt komplex sokaságon minden holomorf függvény konstans; így tehát a globális holomorf függvények elmélete nem igazán érdekes. Másfelől viszont egy kompakt komplex sokaságon rengeteg érdekes meromorf függvény létezhet; ezek olyan függvények, melyek lokálisan két holomorf függvény hányadosaként állíthatók elő. Egy pontban tehát egy meromorf függvény értéke lehet véges, végtelen, vagy nem-definiált. Például az $\frac{x}{y}$ hányados az origóban nem-definiált, és minden olyan $(x,0)$ pontban, melyre $x\neq 0$ , az értéke $\infty$ . Azon pontok halmaza, melyekben $f$ nem-definiált, komplex 2 kodimenziós (vagy nagyritkán üres). Ez megnehezíti annak megértését, hogy mi történik legalább 2 kodimenzióban. Meromorf függvényekkel való munkánk vezérlőelve tehát: ügyeljünk az 1 kodimenzióra, és reménykedjünk, hogy a magasabb kodimenziók nem okoznak majd gondot.

Az $M$ sokaságon lévő meromorf függvények egy ${\mathbb{C}}(M)$ testet alkotnak, melyet $M$ függvénytestjének nevezünk. Stein tartományok példáját követve tehetjük fel tehát a következő kérdést: Mennyire szoros az $M$ és ${\mathbb{C}}(M)$ közötti kapcsolat?

Egy dimenzióban, vagyis amikor $M$ egy kompakt Riemann-felület, ez a megfeleltetés teljes: $M$ és ${\mathbb{C}}(M)$ kölcsönösen meghatározzák egymást.

Magasabb dimenzióban a helyzet ennél bonyolultabb, kezdjük tehát az első feltétellel (közben figyelve a nem-definiált értékekre).

Pontok elválaszthatósága: Bármely két különböző $p\neq q\in M$ pontra és $R\subset M$ véges halmazra létezik $M$ -en olyan $f$ meromorf függvény, melyre $f(p)\neq f(q)$ és $f$ az $R$ halmaz minden pontjában definiált. Chevalley, Chow és Kleiman munkái alapján egy ilyen tulajdonsággal rendelkező $M$ szükségképp algebrai. Ez azt jelenti, hogy $M$ beágyazható valamely ${\mathbb{CP}}^N$ komplex projektív térbe úgy, hogy a beágyazás képe polinomok közös zérushelyeként definiálható, és az $M$ -en definiált meromorf függvények racionálisak, vagyis globálisan előállnak polinomok hányadosaiként.

Az algebrai esetben az $M$ és ${\mathbb{C}}(M)$ közötti kapcsolat meglehetősen erős. Tegyük fel, hogy $M_1\subset {\mathbb{CP}}^r$ , melyen a homogén koordinátákat $(x_0: \ldots : x_r)$ jelöli, míg $M_2\subset {\mathbb{CP}}^s$ , ahol a homogén koordinátákat $(y_0: \ldots :y_s)$ adják, valamint legyen $\psi \colon {\mathbb{C}}(M_1)\to {\mathbb{C}}(M_2)$ egy adott izomorfizmus. Ekkor $M_2$ -n léteznek olyan $\phi _0, \ldots , \phi _r$ racionális függvények, hogy az $(y_0 :\ldots : y_s) \mapsto (\phi _0 : \ldots : \phi _r)$ hozzárendelés egy olyan $\Phi \colon M_2 \dashrightarrow M_1$ leképezést ad, amely $\psi$ -t indukálja a függvények visszahúzásával. Hasonló módon, a fenti receptet a $\psi ^{-1}$ függvényre alkalmazva a $\Phi ^{-1}$ inverz leképezést kapjuk. Az ilyen invertálható $\Phi \colon M_1 \dashrightarrow M_2$ racionális leképezéseket biracionális leképezéseknek hívjuk.

Általában egy inverzzel rendelkező leképezés izomorfizmus, de ebben az esetben ez az elv nem érvényesül, hiszen sem $\Phi$ sem $\Phi ^{-1}$ nincs mindenhol definiálva. Egy tipikus példát kaphatunk a következő módon. Legyen $Q^2\subset {\mathbb{CP}}^3$ az $x^2+y^2+z^2=t^2$ egyenlettel megadott másodfokú felület. (Gondolhatunk rá úgy is, mint a komplexifikált gömbre.) Legyen

$\begin{displaymath} \pi \colon (x:y:z:t) \dashrightarrow (x:y:t-z) \end{displaymath}$

a $(0:0:1:1)$ északi sarkból, a $(z=0)$ egyenlítői síkra való vetítés. Ennek $\pi ^{-1}$ inverze az

$\begin{displaymath} (x:y:t) \dashrightarrow (2xt:2yt:x^2+y^2-t^2:x^2+y^2+t^2) \end{displaymath}$

formulával adható meg. Ezek a leképezések azt mutatják, hogy a $Q^2$ -n és a ${\mathbb{CP}}^2$ -n levő meromorf függvények elmélete azonos. Másrészt viszont $Q^2$ és ${\mathbb{CP}}^2$ meglehetősen különböző sokaságok. Például a $\pi$ leképezés az $(s: \pm \sqrt{-1}s:1:1)$ egyeneseket az $(1:\pm \sqrt{-1}:0)$ pontokra ejti össze, míg a $\pi ^{-1}$ inverz a $(t=0)$ végtelen távoli egyenest ejti össze a $(0:0:1:1)$ pontra. Következésképp sem $Q^2$ sem ${\mathbb{CP}}^2$ nem egyszerűbb mint a másik.

Egy $\Phi \colon M_1 \dashrightarrow M_2$ biracionális leképezésről akkor mondjuk, hogy egy $D\subset M_1$ 1 kodimenziós részhalmazt összeejt, ha $\Phi (D)\subset M_2$ legalább 2 kodimenziós. $\Phi$ egy kontrakció, ha ő maga összeejt valamilyen 1 kodimenziós részhalmazt, de $\Phi ^{-1}$ nem ejt össze semmilyen 1 kodimenziósat.

Kontrakciókra legegyszerűbb példák a lefújások. Legyen $Z\subset M$ egy $d$ kodimenziós részsokaság, $d\geq 2$ , és legyen $E_Z$ az összes $Z$ -hez normális irány. Minden $p\in Z$ esetén a $p$ -beli normális irányok egy ${\mathbb{CP}}^{d-1}$ -et alkotnak. Ilymódon a $\pi _Z\colon E_Z\to Z$ projekció egy ${\mathbb{CP}}^{d-1}$ -fibrumú nyaláb, és így $\dim E_Z=\dim M -1$ . Belátható, hogy a $B_ZM=E_Z\cup (M\setminus Z)$ tér természetes módon egy kompakt komplex sokaság, melyet $Z\subset M$ felfújtjának nevezünk. $E_Z$ -nek $Z$ -re való projekciója és $M\setminus Z$ identitás-leképezése egy $\pi \colon B_ZM\to M$ leképezéssé ragad össze, amit lefújásnak hívunk. Ez a leképezés az $E_Z$ totális terű ${\mathbb{CP}}^{d-1}$ -nyalábot $Z$ -re ejti össze. Vegyük észre, hogy $\pi ^{-1}(Z)=E_Z$ 1 kodimenziós, következésképp $\pi$ egy kontrakció. Első közelítésben gondolhatunk úgy kontrakciókra, mint olyan leképezésekre, melyek lefújások kompozícióiként állnak elő.

$M$ -et egymás után többször is felfújva egyre bonyolultabb olyan sokaságokat állíthatunk elő, melyeknek ugyanaz a függvénytestje. Így tehát az azonos függvénytestű sokaságok között maximális nem létezik, de kereshetünk minimálisat.

A tartomány minimalitása: $M$ egy minimális modell ha minden $\Phi \colon M_1 \dashrightarrow M$ biracionális leképezés vagy kontrakció vagy egy legalább 2 kodimenziós részen kívül izomorfizmus. Ekkor azt is mondjuk, hogy $M$ minimális modellje minden ilyen $M_1$ -nek.

Az első esetben (amikor tehát $\Phi$ egy kontrakció) az $M$ sokaság, legalábbis 1 kodimenzióban, egyszerűbb mint $M_1$ . A második esetben $M$ nagyjából ugyanannyira bonyolult mint $M_1$ .

A $\pi \colon Q^2 \dashrightarrow {\mathbb{CP}}^2$ leképezés azt mutatja, hogy sem $Q^2$ sem ${\mathbb{CP}}^2$ nem minimális modell. Valójában egy olyan sokaságnak, mely biracionális ${\mathbb{CP}}^1\times Y$ -nal, nincs minimális modellje. Még általánosabban, kizárunk minden olyan $X$ $n$ -sokaságot, mely vonalazott (angolul uniruled), vagyis amelyikhez van egy olyan $Y$ $(n-1)$ -sokaság és egy ${\mathbb{CP}}^1\times Y \dashrightarrow X$ meromorf leképezés melynek képe sűrű. Ezen sokaságok tanulmányozására más módszereink vannak, lásd [2].

1901-ben Castelnuovo és Enriques belátták, hogy minden olyan $S$ sima, kompakt, komplex 2-dimenziós algebrai sokaságnak, mely nem vonalazott, létezik egy egyértelmű $S^{\rm {min}}$ minimális modellje. Az elmúlt 25 évben számos algebrai geométer próbálta ezt az eredményt magasabb dimenziós sokaságokra általánosítani.

Sejtés: (Mori és Reid minimális modell sejtése). Legyen $M$ egy olyan kompakt, sima, algebrai n-dimenziós komplex sokaság, mely nem vonalazott. Ekkor

$M$ -nek van egy $M^{\rm {min}}$ minimális modellje, és
$M^{\rm {min}}$ minimális modellen van egy olyan Kähler metrika, melynek Ricci görbülete $\leq 0$ .

Két fontos dologra fel kell hívjuk a figyelmet. Elsősorban, meg kell engednünk, hogy $M^{\rm {min}}$ valamilyen enyhe (úgynevezett terminális) szingularitásokkal rendelkezhessen. Az algebrai geométerek megtanultak ezekkel a szingularitásokkal együttélni, noha ezek differenciálgeometriáját még kevéssé értjük. Másodsorban, a minimális modell nem egyértelmű, viszont léteznek biracionális leképezések különböző minimális modellek között, melyek legalább 2 kodimenziós részhalmazokon kívül izomorfizmusok. A 2-dimenziós esetben egy ilyen leképezés értelemszerűen izomorfizmus, magasabb dimenzióban azonban egy flip vagy egy flop lehet [1].

A 3-dimenziós esetben a fenti sejtés első állítása már egy tétel, melynek bizonyítása nagyrészt Mori nevéhez fűződik. Egy általános bevezetés ehhez [3]-ban található. Egy magasabb dimenziós ``általános típusú'' sokaságra az első állítás következik Hacon, McKernan és Siu eredményeiből, a második állítás pedig Eyssidieux, Guedj és Zeriahi azon munkájából következik, melyben Aubin és Yau, a Monge-Ampère egyenletekre vonatkozó eredményeit általánosították.

Alkalmazások során különösen a sejtés második része hasznos. Amellett, hogy a minimális modellen a lehető legegyszerűbb 1 kodimenziós geometriánk van, még egy nagyon erős, globális differenciálgeometriai tulajdonság is a rendelkezésünkre áll.

Algebrai geométerek általában a sejtésnek egy gyengébb változatát vizsgálják, mely a kanonikus osztályt használja; ez utóbbit mint a $c_1(M)\in H^2 (M^{\rm {min}}; {\mathbb{Q}})$ első Chern osztály $(-1)$ -szeresét definiálhatjuk.

2.' Az $M^{\rm {min}}$ minimális modell kanonikus osztálya nem-negatív, vagyis minden $C\subset M^{\rm {min}}$ algebrai görbének a kanonikus osztállyal vett sapka-szorzata nem-negatív. Másképp kifejezve ezt, $M^{\rm {min}}$ Ricci görbületének integrálja minden $C\subset M^{\rm {min}}$ algebrai görbén nem-pozitív.

Ez utóbbi állítás 3-dimenzióban, illetve általános típusú sokaságokra minden dimenzióban ismert.

Felhasznált irodalom:

[1] Alessio Corti: What is ... a flip?, Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), 1350-1351.

[2] János Kollár: Which are the simplest algebraic varieties?, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38 (2001), 409-433.

[3] János Kollár és Shigefumi Mori, Birational geometry of algebraic varieties, Cambridge University Press, 1998.

____________

Kollár János a Princeton University (USA) professzora. A fenti dolgozat eredetije 2007 márciusában jelent meg a Notices of the American Mathematical Society folyóiratban. Ez a fordítás a szerző és az AMS engedélyével jelenik meg. Fordította Stipsicz András (Szabó Endre segítségével)