A matematika érettségi követelményeinek változása 2024-től

A cikksorozat első részében közölt feladatok megoldása itt található. A mostani, második részben a Számelmélet, algebra témakör változásairól lesz szó. Először bemutatjuk az érettségi követelmények változását táblázatos formában. A táblázatban (piros színnel) jelezzük az újonnan megjelenő követelményeket és a törölt ismereteket is. (Ha egy követelmény átkerült középszintről emelt szintre, akkor azt csak a középszinten jelöljük kihúzással, hiszen eddig is része volt az emelt szintű követelményeknek.) A táblázat után a legfontosabb változásokat röviden megmagyarázzuk, értelmezzük, indokoljuk. Ezután a középszinten is újdonságnak számító ismeretek esetén mutatunk néhány olyan feladatot, amit a követelmények alapján el tudnánk képzelni egy feladatsorban. Hangsúlyozzuk, hogy ezek személyes elképzelések, az érettségi feladatokat összeállító bizottság nyilvánvalóan saját ötletei és szakmai meggyőződése szerint fog dolgozni.

2. Számelmélet, algebra


TÉMÁK	VIZSGASZINTEK
	Középszint	Emelt szint
2.1 Alapműveletek	Tudjon alapműveleteket biztonságosan elvégezni (zsebszámológéppel is). Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás).
2.2 A természetes számok halmaza, számelméleti ismeretek	Ismerje, tudja definiálni és alkalmazni az oszthatóság alapvető fogalmait (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám). Tudjon természetes számokat prímtényezőkre bontani, tudja adott számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét kiszámítani; tudja mindezeket egyszerű szöveges (gyakorlati) feladatok megoldásában alkalmazni. Definiálja és alkalmazza feladatokban a relatív prímszámokat.	Tudja megfogalmazni a számelmélet alaptételét. Bizonyítsa, hogy végtelen sok prímszám van.
2.2.1 Oszthatóság	Ismerje a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályokat, tudjon egyszerű oszthatósági feladatokat megoldani.	Tudjon összetett oszthatósági feladatokat megoldani. Tudja meghatározni természetes számok pozitív osztóinak számát.
2.2.2 Számrendszerek	Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből n alapú (n ≤ 9) számrendszerbe és viszont. Ismerje a helyiértékes írásmódot.	Tudjon n alapú (n ≤ 9) számrendszerben felírt számokat összeadni és kivonni.
2.3 Racionális és irracionális számok	Tudja definiálni a racionális és irracionális számokat, és ismerje ezek kapcsolatát a tizedestörtekkel.	Adott n (n ∈ N) esetén tudja eldönteni, hogy irracionális szám-e. Bizonyítsa, hogy irracionális szám. Tudja meghatározni tizedestört alakban megadott racionális szám közönséges tört alakját.
2.4 Valós számok	Ismerje a valós számkör felépítését (N, Z, Q, Q*, R), valamint a valós számok és a számegyenes kapcsolatát. Tudjon ábrázolni számokat a számegyenesen. Ismerje és használja a nyílt és zárt intervallum fogalmát és jelölését. Ismerje az abszolútérték definícióját. Ismerje adott szám normálalakjának felírási módját, tudjon számolni a normálalakkal. Tudjon adott helyiértékre vonatkozóan helyesen kerekíteni.	Tudja, hogy mit értünk adott műveletekre zárt számhalmazokon.
2.5 Hatvány, gyök, logaritmus	Tudja értelmezni a hatványozást racionális kitevő esetén.	Ismerje a permanencia elvet. Tudja szemléletesen értelmezni az irracionális kitevőjű hatványt.
	Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Bizonyítsa a hatványozás azonosságait konkrét alap és pozitív egész kitevő esetén.	Bizonyítsa a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén.
	Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Definiálja és használja a fogalmát.	Bizonyítsa a négyzetgyökvonás azonosságait. Ismerje és alkalmazza a gyökvonás azonosságait.
	Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát. valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra. Tudja kiszámolni tetszőleges alapú logaritmus értékét 10-es alapú logaritmus segítségével.	Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza a szorzat, a hányados és a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságokat. Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza a más alapú logaritmusra való áttérés szabályát.
2.6 Betűkifejezések		Ismerje a polinom fokszámát, fokszám szerint rendezett alakját.
2.6.1 Nevezetes azonosságok	Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá alakítását: (a + b)², (a – b)², a² – b². Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása).	Tudja alkalmazni feladatokban az aⁿ – bⁿ, illetve az a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ kifejezés szorzattá alakítását.
2.7 Arányosság	Tudja az egyenes és a fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat. Ismerje és tudja feladatokban alkalmazni az arányosság fogalmát. Ismerje és tudja feladatokban alkalmazni a százalék fogalmát.
2.7.1 Százalékszámítás
2.8 Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek	Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata. Tudja meghatározni szöveges feladatban szereplő változók értelmezési tartományát és a feladat eredményét összevetni a feladat szövegével.
2.8.1. Algebrai egyenletek, egyenletrendszerek	Alkalmazza az egyenleteket, egyenletrendszereket szöveges feladatok megoldásában.
Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek	Tudjon elsőfokú, egyismeretlenes egyenleteket és elsőfokú, kétismeretlenes egyenletrendszereket megoldani.	Tudjon paraméteres elsőfokú egyenleteket megoldani. Tudjon elsőfokú, háromismeretlenes egyenletrendszereket megoldani.
Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek	Ismerje az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakját. Ismerje a másodfokú egyenlet diszkriminánsának fogalmát, és a diszkrimináns előjele és a (valós) megoldások száma közötti összefüggést. Ismerje és alkalmazza a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Használja a teljes négyzetté alakítás módszerét. Alkalmazza feladatokban a gyöktényezős alakot. Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatokat megoldani. Tudjon egyszerű másodfokú egyenletrendszereket megoldani.	Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Igazolja és alkalmazza a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. Tudjon másodfokú paraméteres egyenleteket megoldani. Tudjon törtes egyenleteket megoldani. Tudjon egyszerű másodfokú egyenletrendszereket megoldani.
Magasabb fokú egyenletek	Tudjon egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenleteket megoldani.	Tudjon másodfokúra visszavezethető egyenletet, egyenletrendszereket megoldani. Tudjon értelmezési tartomány, illetve értékkészlet-vizsgálattal, valamint szorzattá alakítással megoldható összetett feladatokat megoldani.
Négyzetgyökös egyenletek	Tudjon típusú egyenleteket megoldani.	Tudjon legfeljebb két négyzetre emeléssel megoldható egyenleteket megoldani.
2.8.2 Nem algebrai egyenletek
Abszolútértékes egyenletek	Tudjon \| ax + b\| = cx + d típusú egyenleteket megoldani.	Tudjon összetett egyszerű abszolútértékes egyenleteket algebrai úton megoldani.
Exponenciális egyenletek Logaritmusos egyenletek	Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő exponenciális egyenleteket megoldani. Tudjon exponenciális folyamatokkal kapcsolatos problémákat felismerni, modellezni és megoldani.	Tudjon összetett exponenciális egyenleteket, egyenletrendszereket megoldani. Tudjon egyszerű logaritmusos egyenleteket megoldani.
Trigonometrikus egyenletek	Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani.	Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő, és másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenleteket megoldani.
2.8.3 Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségrendszerek	Tudjon egyszerű első- és másodfokú, valamint törtes egyenlőtlenségeket és egyszerű egyenlőtlenség-rendszereket megoldani.	Tudjon első és másodfokú egyenlőtlenség-rendszereket megoldani. Tudjon egyszerű négyzetgyökös, abszolútértékes, törtes, exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlőtlenségeket megoldani.
2.9 Középértékek, egyenlőtlenségek	Ismerje két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalmát, kapcsolatát, használatát.	Ismerje n két pozitív szám számított középértékeit (számtani, mértani, négyzetes, harmonikus), valamint a nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételeket. Bizonyítsa, hogy Tudjon megoldani feladatokat számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján.

Mint látható, kevés érdemi változás történt ebben a témakörben. Kikerült a követelmények közül, vagy egyszerűsödött több megoldandó egyenlet-típus. Középszinten valódi újdonságot a kettestől eltérő alapú számrendszerek ismeretének megjelenése jelent. Hangsúlyozni kell, hogy a logaritmus fogalma továbbra is fontos, tanítandó ismeret, csak a logaritmus azonosságai nem képezik a követelmények részét. Az exponenciális folyamatok, ezek modellezése és megoldása eddig is (kimondatlan) része volt a követelmények, 2024-től várhatóan gyakrabban fognak ilyen feladatok megjelenni a középszintű érettségin. (De már az idei, 2023. évi májusi magyar nyelvű feladatsor 15. feladata is jó példa, középszinten ehhez hasonló problémákra kell számítani a jövőben.)

Egy további példa az exponenciális folyamatokkal kapcsolatos feladatokra szintén idén májusban az idegen nyelvű (és így talán kevesebb figyelmet kapó) középszintű feladatsor 17. feladata:

1. A 2018-as esztendőben az A kisüzem 500 millió forint, a B kisüzem 400 millió forint értékű terméket állított elő. A hosszú távú fejlesztési tervek szerint az A üzem évi 5%- kal, a B üzem évi 6%-kal növeli a termelési értékét.

a) Számítsa ki, hogy a tervek szerint a következő 20 év alatt (2019-től 2038-ig) összesen hány millió forint értékű terméket állítanak elő az A üzemben!

Egy gazdasággal foglalkozó portálon nyilvánosságra hozták a fenti terveket. A cikkhez kapcsolódó fórumon vita bontakozott ki. Az egyik hozzászóló szerint a következő időszakban évről évre egyre kisebb lesz a két üzem éves termelési értéke közötti különbség.

b) Számítsa ki a megadott táblázat hiányzó adatait, és igazolja, hogy ez a kijelentés nem igaz!

	2018	2019	2020	2021
A üzem termelésének értéke (millió Ft)	500
B üzem termelésének értéke (millió Ft)	400

A vitafórum egy másik résztvevője szerint éppen ellenkezőleg: a két üzem éves termelési értéke közötti különbség az évek múlásával egyre nagyobb lesz, és a B üzem termelési értéke soha nem fogja meghaladni az A üzem termelési értékét. Egy harmadik hozzászóló szerint ez sem igaz.

c) Számítsa ki, hogy melyik évben éri utol a B üzem termelésének értéke az A üzem termelésének értékét! (Feltételezzük, hogy a termelések értéke valóban a tervek szerint alakul.)

Egy idei (szintén az idegen nyelvű feladatsorban szereplő) emelt szintű feladat alapján annak akár középszinten is szerepeltethető változata:

Az interneten található adatok alapján a napenergiát elektromos energiává alakító eszközök maximális összteljesítményének magyarországi alakulását az alábbi táblázat szemlélteti (megawattban mérve).

év	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
összteljesítmény (MW)	12	35	77	168	225	300	640	1277

a) Tételezzük fel, hogy az összteljesítmény évről évre ugyanannyiszorosára nőtt. 2013-tól 2019-ig évente hány százalékkal kellett volna növekednie az összteljesítménynek ahhoz, hogy 12 MW-ról 1277 MW-ra emelkedjen ezen időtartam alatt?

A maximális összteljesítmény alakulását exponenciális növekedésűnek feltételezve egy táblázatkezelő program a táblázatban megadott adatok alapján a

közelítő összefüggést adja, ahol x a 2012 óta eltelt évek száma (x természetes szám), c(x) pedig MW-ban adja meg a maximális összteljesítményt a modell szerint.

b) A kapott modell alapján hány százalékkal nő évről évre a maximális összteljesítmény?

c) Hány százalékkal tér el a 2018. évi 640 MW-os adattól a modell alapján kiszámítható 2018-as érték?

d) Ha a modellt hosszútávon is érvényesnek gondoljuk, akkor melyik évben éri el a maximális összteljesítmény a 40 000 MW-ot?

Ezekből az adatokból más típusú feladatot is készíthetünk, amely emelt szinten biztosan kitűzhető lenne, de talán a középszintű követelményeknek is megfelel:

Rendelkezésünkre állnak az alábbi adatok a napenergiát elektromos energiává alakító eszközök maximális összteljesítményének magyarországi alakulásáról.

év	2013	2019
összteljesítmény (MW)	35	1277

Tételezzük fel, hogy az összeteljesítmény exponenciálisan alakul a

hozzárendelés alapján, ahol x a 2012 óta eltelt évek száma (x természetes szám), c(x) pedig MW-ban adja meg a maximális összteljesítményt. Számítsa ki a és b értékét!

A feladatok megoldása hamarosan megjelenik az Érintő Facebook-oldalán.

Csapodi Csaba

ELTE TTK Matematikatanítási és Módszertani Központ

Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet Módszertani Osztály