Matematika a fizikaórán

A matematika és fizika tudománya évszázadok óta kart karba öltve fejlődik. A fizika a matematika nyelvén fogalmazza meg törvényeit, igényei pedig hatással vannak a matematika fejlődésére. Hogyan jelenik meg ez a szoros kapcsolat az oktatásban? Támaszkodik-e a két tantárgy a másikban született „eredményekre”? Hogyan, mely területeken kapcsolódik, kapcsolható össze a két tárgy oktatása? A kapcsolódási lehetőségek ismerete segíthet-e a hatékonyabb tanításban? Ezekre a kérdésekre keresem a választ ebben a cikkben.

A matematikaórákon tanult ismeretek alkalmazására leginkább a fizikaórákon nyílik lehetőség a középiskolában. A matematika szinte minden területéről előkerülnek az ismeretek. A fizika támaszkodik ezekre, egyben segíti is a matematikaoktatást, gyakoroltatja a tanultakat. Eközben megtanít a különböző tananyagrészekben elsajátítottak összekapcsolására.

Ideális esetben a két tantárgy oktatása szinkronizálható abban a tekintetben, hogy fizikából csak a tanult matematikai ismeretekre alapozzunk. A gyakorlatban ez nem mindig működik így. Több területen találkozunk azzal a problémával, hogy fizikaórán már alkalmazás szinten kellene használni a tanulónak olyan matematikai összefüggéseket, amelyekkel a matematikaórán még alig, vagy egyáltalán nem találkozott. Mivel a fizika sok esetben „megelőzi” a matematikát, a fizikatanár rákényszerül arra, hogy bevezesse a hiányzó matematikai ismereteket, még ha kicsit nagyvonalúbban, kevésbé pontosan teszi is meg. A matematikatanítás szempontjából ez előnyös is lehet, időt nyerhetünk az alapozásnál, ha tudjuk, hogy fizikából milyen előismeretekkel rendelkeznek diákjaink. Melyek tehát ezek az ismeretek, amelyek alapozásában építhetünk a fizikaórán tanult előismeretekre? A teljesség igénye nélkül néhány terület:

Hetedik osztály elején a sebesség fogalmához kapcsolódóan találkozunk az első problémával. Matematikából hatodik osztály végén még csak ismerkedünk a mérlegelvvel, mindkét oldal azonos mennyiséggel történő növelését és csökkentését gyakorolva. A szorzás és osztás műveletekre még nem fektetünk hangsúlyt. Fizikaórán viszont a $v=\frac{s}{t}$ képlet alkalmazása során meg kell tanítanunk a diákot a képlet átrendezésére, hogy az $s$ és $t$ értékeket ki tudjuk számítani. A tanévben több ehhez hasonló szerkezetű képlettel ismerkednek meg a tanulók, így a kapcsolódó feladatokban a tanult egyenletrendezési ismeretek elmélyülhetnek.

Ugyancsak hetedik osztály elején a mozgások vizsgálata során grafikont készítünk, konstans és lineáris függvény grafikonját elemezzük, sőt a változó mozgásokra térve a négyzetes úttörvény szemléltetésére a parabola grafikonját is felrajzoljuk.

A fordított arányosság a sebesség mértékegységeinek átváltása során már előkerül, de legkésőbb félévkor a forgatónyomaték fogalmát bevezetve foglalkozunk vele.

Ugyancsak kezdetektől foglalkozunk az átlag fogalmával, sőt a súlyozott átlaghoz és a harmonikus középhez vezető feladatokkal is találkoznak a tanulók.

Kilencedik osztályban a gyorsuló mozgás kapcsán a gyökvonással megoldható egyenletekkel ismerkedünk.

A vektor fogalma hetedik osztálytól nagyon fontos a fizika számára, és tizedik osztály végéig a fizika igényei megelőzik ebben a témában a matematikaórán tanultakat. Ezt a későbbiekben részletezni fogom.

Ugyancsak kilencedik osztályban év elejétől szükség van a negatív kitevőjű hatvány ismeretére.

Milyen matematikai fogalmakat, módszereket használunk tehát a fizika tanítása során? Szinte minden matematikaórán tanult ismeretet. Íme néhány főbb témakör, ami rendszeresen megjelenik a fizikaórákon:

– Középértékek, statisztikai fogalmak

– Műveletek törtekkel, reciprok fogalma

– Hatványok, normál alak, hatványozás azonosságai, exponenciális kifejezések

– Arányosságok

– Algebrai összefüggések: nevezetes szorzatok, zárójelfelbontás

– Lineáris, másodfokú, négyzetgyök, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus függvények

– Első-, másodfokú, négyzetgyökös, exponenciális, egyszerű trigonometrikus egyenletek, elsőfokú egyenletrendszerek

– Geometriai ismeretek: terület-, térfogatszámítás, Pitagorasz-tétel, hasonlóság, egyenlő nagyságú szögek speciális helyzetei, hegyesszögek szögfüggvényei

– Vektorok

A fentieket a középszintű fizika tananyag elsajátításához szükséges ismeretekből válogattam, de minél magasabb szinten tanuljuk a fizikát, annál komolyabb matematikai ismeretekre lesz szükségünk (differenciál- és integrálszámítás, valószínűségszámítás, statisztika, stb.)

A továbbiakban konkrét példákon keresztül mutatom be, hogy milyen lehetőségeket ad hozzá a matematika tanításához a fizika.

Fogalmak alapozása, előkészítése

Több területet is említettem, ahol a fizika olyan matematikai fogalmakat használ, amelyeket a matematikaoktatás még nem alapozott meg kellőképpen. Mivel ilyenkor a fizikatanár rákényszerül ezek valamilyen szintű bevezetésére, ezekre az előismeretekre a matematikaórán már építhetünk. Ebből a szempontból külön figyelmet érdemes fordítani a vektorok témakörre. Szinte minden alapfogalma, művelete, minden ide kapcsolódó módszere előbb jelenik meg a fizikaoktatásban, mint matematikaórákon. Ha megismerjük, hogy a fizika az ide tartozó fogalmakat, szabályokat milyen folyamatokon keresztül vezeti be, akkor a matematikaórákon ennek már csak a pontosítása a feladatunk. Tapasztalatból mondhatom, hogy ezzel rengeteg időt tudunk megspórolni. Nézzük ezért lépésről lépésre, hogy fizikaórán milyen mélységig foglalkoznak a tanulók a vektorokhoz kapcsolódó ismeretekkel!

A sebesség és az erő fogalmainak ismertetésekor a diákok már hetedik osztályban találkoznak a vektor fogalmával. A vektor nekik ekkor egy olyan fizikai mennyiséget jelent, aminek nem csak nagysága, hanem iránya is van. Ezeket a mennyiségeket az ábrákon nyíllal jelöljük. Az erőfogalom megismerésekor bevezetjük az erő hatásvonala (az erővektorra illeszkedő egyenes) és támadáspontja fogalmakat. Később ebből matematikaórákon származhat bonyodalom. A vektoroknak ugyanis kezdő- és végpontjuk nincsen, ebből adódóan a párhuzamos, egyenlő hosszúságú, megegyező irányú vektorok hatása matematikában ugyanaz. Fizikában viszont nagy hangsúlyt kell fektetnünk arra, hogy az erővektornak hol van a támadáspontja, hiszen ettől függően más hatást eredményezhet.

Az ábra két egyenlő erővektor (F_a, ill. F_b) hatását mutatja ugyanazon a testen, ha a támadáspontjuk (T_a, ill. T_b) különböző. Az a) esetben az erő csak gyorsítja a testet, míg a b) esetben az erőnek forgató hatása is van. (TKP jelöli a tömegközéppontot.)

Amíg fizikaórán azt tanítjuk, hogy az erővektor hatásvonala mentén eltolható, mert ugyanazt a hatást eredményezi, addig matematikaórán a tetszőleges eltolással egymásba mozgatható vektorokat tekintjük egyenlőnek. Amikor a középiskolai oktatásban a vektorok témához érkezünk, tudnunk kell, hogy a vektorfogalom általánosítását megnehezíthetik ezek az eltérések. Fontos tehát, hogy ismerjük és tisztázzuk ezeket a különbségeket.

Ahogy a sebesség- és erővektorokkal megismerkednek a diákok, szinte azonnal szembetalálkoznak a vektorok összeadásának szabályával is. Kezdetben a párhuzamos vektorok összeadását ismerik meg, de hamarosan érzékeltetjük a (jellemzően a merőleges) szöget bezáró vektorok összeadására vonatkozó szabályt. Tipikus feladat erre a következő:

Egy folyó sebessége teljes szélességében $2~$ m $/$ s nagyságúnak tekinthető. Egy úszó a partra merőleges irányban $3~$ m $/$ s-os sebességgel úszik át rajta.

a) Hol fog a túloldalon partot érni, ha a folyó 60 m széles?

b) Szerkesszük meg milyen irányban kell az úszónak úsznia, hogy a legrövidebb úton átjusson a túlsó partra?

A megoldást az alábbi ábra szemlélteti.

Kp1

Ebben a feladatban a diákok alkalmazzák a vektorok összeadásának szabályát (olykor már általános iskolában is). Középiskolában viszont kilencedik osztály őszén meg is fogalmazzuk a paralelogramma-szabályt.

Kp2 Tanév elején a vonatkoztatási rendszerekben a mozgások leírása a vonatkoztatási pontból kiinduló vektorokkal történik. Ekkor találkozik a diák először a helyvektor fogalmával. Az elmozdulásvektort a mozgás kezdő és végpontjába mutató helyvektorok különbségeként határozzuk meg, így a vektorok különbségének definiálása legkésőbb kilencedik osztály elején megtörténik.

Az összetett mozgások vizsgálata során a vektorokat egymásra merőleges komponensekre bontjuk. Ezt gyakorolják a tanulók a hajítások esetén, amikor a sebességvektort vízszintes és függőleges komponensekre kell bontaniuk. A lejtőn lecsúszó test mozgását vizsgálva viszont lejtővel párhuzamos és lejtőre merőleges komponensekre bontjuk az erővektort.

Kp3 Kp4

A munkát az erő- és elmozdulásvektor skaláris szorzataként határozzuk meg, amit a tanulók tizenegyedik osztályban tanulnak matematikából. Fizikából a fogalmat 7. osztályban kezdjük el kialakítani, majd kilencedik osztályban pontosítjuk, végül tizenegyedik osztályban fakultáción mondjuk ki a fenti formában. A következő feladat azt mutatja be, hogy milyen lépéseken keresztül zajlik ez a folyamat.

Mekkora munkát végez a 80 N nagyságú erő a testen, ha a munkavégzés során az elmozdulás 300 m és az elmozdulás

a) az erővel megegyező irányú,

b) merőleges az erőre,

c) 60 fokos szöget zár be az erővel?

Megoldás:

a) Hetedik osztályban még csak abban az esetben számolunk munkát, amikor az erőhatás irányában történik az elmozdulás. Ilyenkor egyszerűen az erő és elmozdulás nagyságának szorzatával számolhatunk:

$\displaystyle W=F\cdot s=80~$ N $\displaystyle \cdot 300~$ m $\displaystyle =24\,000~$ J $\displaystyle .$

b) Kilencedik osztályban már komolyabban foglalkozunk az erő merőleges összetevőkre bontásával. A munka definícióját ekkor úgy pontosítjuk, hogy az erő és az erő irányú elmozdulás szorzataként számolható ki. Az elmozdulást felbontjuk erőirányú és arra merőleges összetevőkre. Ebben a feladatban az erő irányában nem történik elmozdulás, csak arra merőlegesen, így munkavégzés nem történik. A munkáról alkotott kép tehát kiegészül azzal, hogy az elmozdulásra merőleges erő nem végez munkát a testen.

c) Tizenegyedik osztályban fakultáción a szögfüggvények ismeretében ki tudjuk számolni az elmozdulásvektor erő irányú összetevőjének hosszát az $s\cdot \cos\gamma$ képlettel, ha $\gamma$ az erő és az elmozdulás által bezárt szög. Így a munkát a következőképpen számoljuk:

$\displaystyle W=F\cdot s\cdot \cos\gamma.$

Matematika tanulmányainkat felhasználva ekkor már kimondhatjuk, hogy a munka az erő és az elmozdulás skaláris szorzataként számolható. A feladatban szereplő adatokkal:

$\displaystyle W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{s}=F\cdot s\cdot \cos 60^{\circ}=80~$ N $\displaystyle \cdot 300~$ m $\displaystyle \cdot 0{,}5=12\,000~$ J .

Látható, hogy párhuzamos egyirányú vektorokra ez a képlet visszaadja a hetedikben tanultakat, merőleges elhelyezkedés esetén pedig nincs munkavégzés, hiszen $\cos90^{\circ}=0$ . Ez a feladat is rávilágít arra, hogy mennyire fontos az erő felbontása az elmozdulásra merőleges és azzal párhuzamos összetevőkre. (Az mindegy, hogy az erőt bontjuk fel összetevőkre, vagy az elmozdulást.)

A tizedikes fizikaórákon a vektorok vektoriális szorzásának előkészítése is megtörténik. Annak ellenére, hogy matematikából ez nem tananyag, érdemes erről tudnunk, így tudunk válaszolni azokra a kérdésekre, hogy a függvénytáblázatban a fizikai képletekben miért jelölik kétféleképpen a szorzást ( $\cdot$ és $\times$ jelekkel) és miért kell a skaláris jelző a skaláris szorzathoz, miért nem beszélhetünk egyszerűen csak szorzásról.

Ezekre a kérdésekre adott válaszban támaszkodjunk a fizikai előismeretekre. Vegyük a munka képletét: $W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{s}$ . Ebben a vektormennyiségeket vastagon szedve jelöljük. Látszik, hogy két vektor szorzata nem vektor eredményre vezet. Nézzük meg, milyen jelenségkörben találkozhatnak a diákok olyan vektorszorzással, aminek eredménye is vektor!

Ha egy $Q$ töltéssel rendelkező részecske a mágneses tér erősségét jellemző $\mathbf{B}$ mágneses indukcióvektorra merőlegesen $\mathbf{v}$ sebességgel mozog, akkor a töltött részecskére erő hat, aminek nagysága:

$\displaystyle F=Q\cdot v\cdot B.$

Az erő iránya merőleges a $\mathbf{v}$ és $\mathbf{B}$ vektorra, irányát „jobbkézszabállyal” határozzuk meg.

Ha a részecske az indukcióvonalakkal párhuzamosan mozog, akkor nincs erőhatás. Általános esetben célszerű a sebességvektort az indukcióvonalakra merőleges és azzal párhuzamos összetevőkre bontani, amivel az erő nagyságára az

$\displaystyle F=Q\cdot v\cdot B\cdot sin\alpha$

összefüggést kapjuk, ahol $\alpha$ a $\mathbf{v}$ és $\mathbf{B}$ vektorok által bezárt szög. Ha az erő irányát a „jobbkézszabálynak” megfelelően meghatározzuk, már a vektoriális szorzat fogalmánál tartunk. Emelt szintű fizika csoportban ezt meg is mondhatjuk és megmutathatjuk, hogy a függvénytáblázatban szereplő

$\displaystyle \mathbf{F}=Q\cdot \mathbf{v}\times \mathbf{B}$

képlet ezt jelenti, amiben a $\times$ jel a vektoriális szorzat jele.

Látjuk, hogy itt két vektor szorzása vektort eredményez. Emiatt tehát szükség van a kétféle jelölésre és a megkülönböztető skaláris (és itt elmondhatjuk, hogy vektoriális) jelzőre.

Ismétlés, elmélyítés, komplex gondolkodás fejlesztése

A fizikaórák jó színterei a tanult matematikai összefüggések gyakorlásának, elmélyítésének. Az órák zömében a diáknak rutinosan kell kezelnie a mértékegységek átváltását, a hatványozás azonosságait, a törtekkel való műveleteket, az egyenletrendezési lépéseket. A bevezetőben a teljesség igénye nélkül felsoroltam néhány területet, amelyek ismeretére szükségünk lehet a különböző fizikai problémák megoldásakor. Sok esetben a matematikaórán előforduló példáknál összetettebb feladatokban kell összekapcsolni az ezekről tanultakat. Egy közép- és egy emelt szintű fizika érettségi példán keresztül bemutatom, hogy milyen feladatokkal kell megbirkózniuk a diákoknak.

Egy gömb alakú, gömbszimmetrikus anyageloszlású, 9000 km sugarú bolygó körül két űrszonda kering körpályán. Az egyik szonda sebessége $4800~$ m $/$ s, a pályájának sugara $50\,000$ km. A másik szonda pályájának sugara $30\,000$ km. Mekkora a bolygó átlagsűrűsége? A gravitációs állandó: $\gamma=6{,}67\cdot 10^{-11}\frac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2}$ .

Középszintű fizika érettségi 2014. május 19. 2. feladat a) része

Megoldás:

A körpályán keringő űrszonda mozgásához szükséges centripetális erőt a Föld és a szonda között fellépő gravitációs erő biztosítja, így az $m\cdot\frac{v^2}{r}=\gamma\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$ képlettel számolhatunk, ahol:

a bolygó tömege: $M$ ,

az űrszonda tömege: $m$ ,

az űrszonda sebessége: $v=4800~\frac{\text{m}}{\text{s}}=4{,}8\cdot 10^3~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ ,

a körpálya sugara: $r=50\,000~$ km $=5\cdot 10^7~$ m,

a bolygó sugara: $R=9000~$ km $=9\cdot 10^6~$ m.

A sűrűség kiszámításához először számoljuk ki a bolygó tömegét!

Az egyenletet egyszerűsítve és rendezve, illetve felhasználva hogy $1~$ N $=1~$ kg $\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ , azt kapjuk, hogy:

$\displaystyle M=\frac{v^2\cdot r}{\gamma}=\frac{\left(4{,}8\cdot 10^3~\frac{\te... ...t{kg}^2}} \approx 17{,}3\cdot 10^{24}~\text{kg}=1{,}73\cdot 10^{25}~\text{kg}.$

A bolygó átlagsűrűsége:

$\displaystyle \rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4R^3\pi}{3}} =\frac{1{,}73\cdot 1... ...566\cdot 10^7~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} =5660~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}.$

A feladat megoldásánál alkalmazott matematikai ismeretek: mértékegység-átváltás (fordított arányosság), normálalak, műveletek normálalakban megadott számokkal, műveletek törtekkel, hatványozás azonosságai, gömb térfogata, egyenletrendezés lépései, kerekítés. A diákok számára a feladatmegoldást nehezíti, hogy a tanult azonosságokat számok mellett a mértékegységekre is kell alkalmazni. Olykor könnyítésként az SI egységekben megadott mértékegységeket nem írjuk be az egyenletbe, csak megállapítjuk, hogy a végeredményt milyen egységben kapjuk.

A rendszeresen használt matematikai összefüggések (hatványozás, törtek, arányosság) mellett szinte minden ismeretre mutathatunk gyakorlati alkalmazást a fizika területéről. Ezek ismerete segítheti a tanulókat az emelt szintű érettségire készülésben, és elkerülhetjük vele azokat a kérdéseket, hogy „Mire fogom én ezt használni?” Természetesen ehhez szükséges, hogy az alkalmazási lehetőségekkel a matematikatanár is tisztában legyen és ha lehet, minél többel találkozzon a diák a matematikaórákon.

A második példa az emelt szintű fizika érettségi szóbeli részének egy mérési feladatából származik.

Különböző magasságokból leeső acélgolyó esési idejének mérésével határozza meg a nehézségi gyorsulás értékét!

Emelt szintű fizika érettségi szóbeli mérési feladata

Elméleti háttér: A szabadesést leíró $s=\frac{g}{2}t^2$ képlet alapján az $s$ egyenesen arányos $t^2$ -tel, így az $s(t^2)$ függvény meredekségének kétszerese adja $g$ értékét.

$s$ (m)	$t_{1}$ (s)	$t_{2}$ (s)	$t_{3}$ (s)	$t$ (s)	$t^2$ (s²)	$g~\left(\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right)$
$0{,}423$	$0{,}296$	$0{,}277$	$0{,}286$	$0{,}286$	$0{,}082$	$10{,}319$
$0{,}613$	$0{,}353$	$0{,}356$	$0{,}361$	$0{,}357$	$0{,}127$	$9{,}638$
$0{,}885$	$0{,}428$	$0{,}435$	$0{,}441$	$0{,}435$	$0{,}189$	$9{,}368$
$1{,}068$	$0{,}46$	$0{,}47$	$0{,}467$	$0{,}466$	$0{,}217$	$9{,}850$

$\displaystyle g=\frac{10{,}319+9{,}638+9{,}368+9{,}850}{4}~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx 9{,}79~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.$

Kp5 levgva

t²(s²)

A megoldást egy konkrétan elvégzett mérés adatai alapján adtam meg kétféle módon. Az első módszerben a különböző esési magasságokhoz mért időadatok átlagolása után az első és hatodik oszlop adataiból a $g=\frac{2s}{t^2}$ képletbe való behelyettesítéssel minden magasság mellett számoltunk egy $g$ értéket, majd ezeket átlagoltuk.

A második módszerben a táblázat 1. és 6. oszlopa alapján ábrázoltuk az $s(t^2)$ függvényt. A vízszintes tengelyen a $t$ értékeket ábrázolva a négyzetes úttörvényt mutatná a grafikonunk, így viszont egyenes arányosságot fedezhetünk fel a tengelyeken jelölt mennyiségek között. Ez jól látszik abból, hogy a mérési adatokra illesztett egyenes meghosszabbítása átmegy az origón.

A $g$ értékét a grafikon meredekségének kétszerese adja, ami a pontokra illesztett egyenes alapján:

$\displaystyle g=\frac{\left(0{,}96-0{,}72\right)~\text{m}}{\left(0{,}2-0{,}15 \right)~\text{s}^2}\cdot 2=9{,}6~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.$

(A két érték közötti eltérés legfőbb oka, hogy a grafikon felbontása nem elég jó, a leolvasott értékek pontatlanok, de a módszer szemléltetésére alkalmasak.)

A fent ismertetett függvényábrázolási technikával matematikaórákon nem találkoznak a diákok. A technika azért hasznos, mert a pontokra parabolát szabad kézzel nem tudunk illeszteni, egyenes viszont egész könnyen illeszthető, amelynek a meredekségét is könnyen le tudjuk olvasni. Fizikaórán több állandó értékét határozhatjuk meg hasonló módon előállított lineáris függvény meredekségéből (például a rugóállandót a rugón függőlegesen rezgő test periódusidejének és a rezgő test tömegének kapcsolatát vizsgálva).

Mint láthattuk, a fizika feladatok megoldása általában összetett gondolkodást igényel. A fizikai ismeretek mellett a tanulónak a matematika több területén addig szeparáltan tanított ismereteit kell összekapcsolnia. Ezek a feladatok hozzájárulnak a komplex gondolkodás fejlesztéséhez, amire a matematika érettségi feladatok megoldásához is szükség lesz.

A bemutatott példákból látható, milyen fontos a számológép rutinos használata. Míg matematikaórán sok esetben törekszünk arra, hogy a tanuló fejben próbálja kiszámítani a végeredményt, addig fizikaórán már hetedik osztálytól tanítjuk a gyerekeket a számológép használatra. Ennek természetesen az az oka, hogy a mérésekből nyert adatok nem olyan kerek eredményekre vezetnek, mint amivel a matematikaórákon dolgoznak, így fejszámolásra kevésbé alkalmasak (mint az érettségi mérési feladatnál is láthattuk). A normálalak használatánál megbeszéljük, hogyan jelenik meg a számológép kijelzőjén, hogyan kell beírni a gépbe a hatványokat. Gyakoroljuk a műveleti sorrendnek megfelelően történő műveletsor beírását, a hatványokkal való számításokat, a szögfüggvények számítását, a fok és a radián közötti átváltást, stb. Ezek a gyakorlatok a matematikaórákon is nagyon hasznosnak bizonyulnak.

Egy-egy fizikafeladatot érdemes időnként matematikaórára, vagy szakkörre bevinni. Ezt tehetjük például úgy, hogy az aktuális matematikai problémát összekapcsoljuk az aktuális, vagy a már tanult fizikai problémával. Ennek előnye, hogy a tanulók szövegértése, a szakmai szövegben való eligazodása, komplex gondolkodása fejlődik. Emellett szakköröseink, versenyzőink a várhatóan emelt szintű matematika érettségijükre készülve konkrétan találkozhatnak különböző alkalmazási területekkel, miközben problémamegoldó képességük fejlődik.

Tantárgyunk tanítása során mindannyian hasonló problémákkal küzdünk. Az óraszám kevés, a tananyag sok és gyakran változik. Problémát okoz, hogy a diákok érdeklődését egyre nehezebb felkelteni, fenntartani. A széttagolt ismeretek integrálására nem marad idő. A problémák egy részére talán megoldást adhat a tantárgyak közötti összefonódások feltérképezése, és az ebből adódó lehetőség felismerése. A matematika és fizika között különösen sok kapcsolódási pont van. A cikk kereteibe ebből csak egy kis töredék fért bele. A Pázmány Péter Katolikus Egyetemen 2019. novemberében tartott előadásomhoz készített háttéranyag ennél jóval több lehetőségre is rámutat: https://tovabbkepzes.itk.ppke.hu/content/Matematika/2019/4_Fizika.pdf.

A cikkhez válogatott néhány példából talán kiderül, hogy érdemes belelátni ezekbe a kapcsolatokba. Fontos ismerni, hogy például a fizika tantárgy a matematikának milyen alkalmazási területeit mutatja be, mit és milyen életkorban használ fel a matematikai ismeretekből, továbbá milyen matematikai módszerekkel, fogásokkal ismerteti meg a tanulókat, amelyekkel a matematikaórákon nem találkoznak. Ennek ismeretében tanításunk színesíthető, időbeosztásunk hatékonyabbá tehető. A tantárgyi kapcsolódások ismeretében a nem matematikai irányban továbbtanuló diákjaink számára is rávilágíthatunk a tanított ismeretek fontosságára, alkalmazási lehetőségeire az élet különböző területein.

Bakosné Novák Andrea
Kempelen Farkas Gimnázium, Budapest