Egy feladat és ami róla az eszembe jutott...
A 2019 évi Nemzetközi Magyar Matematikaverseny egyik, 9. osztályosoknak szóló feladatát Erdős Gábor (Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa) javasolta. A feladatra matematika tanárok egy csoportja 20 elemi megoldást adott. A teljes anyag megtalálható a https://matek.fazekas.hu/ portálon a cikkek között, amit Erdős Gábor kollégám jegyez. Most ezek közül 7 megoldást mutatok. Mind a hét a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. A megoldások közül az első három Erdős Gáboré; az utolsó négy megoldást én adtam.
A feladat
Az szabályos háromszög
oldalának felezőpontja
. A
szakasz azon belső pontja a
pont, amelyre az
szög 90 fokos. A
szakasz azon belső pontja az
pont, amelyre a
és a
szakaszok hossza egyenlő. Hány fokos az
szög?
1. megoldás
Legyen a háromszög oldalának hossza 2 egység.
Legyen az szakasz felezőpontja
.
középvonal az
háromszögben, így
![$\displaystyle GD=\frac{AC}{2} =1.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img15.png)
Az háromszög egyenlő szárú és derékszögű, így
![$\displaystyle AF=FD=1.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img17.png)
Az háromszög egyenlő szárú, mivel
![$\displaystyle GD=FD=1
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img19.png)
![$\displaystyle GDF\sphericalangle =ACF\sphericalangle =30^\circ,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img20.png)
hiszen egyállású szögek, ezért
![$\displaystyle GFD\sphericalangle =\frac{180^\circ -30^\circ }{2} =75^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img21.png)
A Thalész-tétel megfordítása miatt az háromszög köré írt kör középpontja
, így az
háromszög is egyenlő szárú, azaz
![$\displaystyle AEF\sphericalangle =GFD\sphericalangle =75^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img24.png)
A kérdezett szög tehát:
![$\displaystyle AEB\sphericalangle =2\cdot AEF\sphericalangle =150^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img25.png)
2. megoldás
Legyen a háromszög oldala 2 egység. Használjuk az ábra jelöléseit.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt
![$\displaystyle CF=2x+y=\sqrt{3}.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img27.png)
az háromszög egyenlő szárú, így
![$\displaystyle DF=x+y=1,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img28.png)
ezért
![$\displaystyle CD=DE=x=\sqrt{3} -1,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img29.png)
és
![$\displaystyle EF=y=\sqrt{3} -2\left(\sqrt{3} -1\right) =2-\sqrt{3}.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img30.png)
az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt
![$\displaystyle AE=z=\sqrt{1+\left(2-\sqrt{3}\right)^2} =2\sqrt{2-\sqrt{3} }.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img31.png)
legyen az -ből az
-re bocsátott merőleges talppontja
.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt
![$\displaystyle 2u^{2} =x^{2} =\left(\sqrt{3} -1\right)^2=4-2\sqrt{3},
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img35.png)
vagyis
![$\displaystyle ET=TD=u=\sqrt{2-\sqrt{3} }.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img36.png)
De akkor az derékszögű háromszögben
![$\displaystyle AE=2\cdot ET,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img38.png)
ez tehát egy félszabályos háromszög, amiből következik, hogy
![$\displaystyle DAE\sphericalangle =30^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img39.png)
Ekkor viszont
![$\displaystyle EAF\sphericalangle =45^\circ -30^\circ =15^\circ,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img40.png)
így
![$\displaystyle AEF\sphericalangle =75^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img41.png)
A kérdezett szög tehát:
![$\displaystyle AEB\sphericalangle =2\cdot AEF\sphericalangle =150^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img25.png)
3. megoldás
Legyen a háromszög oldala 2 egység. Használjuk az ábra jelöléseit.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt
![$\displaystyle CF=2x+y=\sqrt{3}.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img27.png)
Az háromszög egyenlő szárú, így
![$\displaystyle DF=x+y=1,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img28.png)
![$\displaystyle CD=DE=x=\sqrt{3} -1.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img42.png)
Legyen -ből az
-re bocsátott merőleges talppontja
. Ekkor
félszabályos háromszög, így
![$\displaystyle PE=\frac{CE}{2} =x=\sqrt{3} -1,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img46.png)
![$\displaystyle CP=\sqrt{3} \left(\sqrt{3} -1\right) =3-\sqrt{3},
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img47.png)
![$\displaystyle AP=2-\left(3-\sqrt{3}\right) =\sqrt{3} -1=x.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img48.png)
Azt kaptuk, hogy az derékszögű háromszögben
![$\displaystyle AP=EP=x=\sqrt{3} -1,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img50.png)
tehát ez a háromszög egyenlő szárú is, ezért alapon fekvő szöge
![$\displaystyle PAE\sphericalangle =45^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img51.png)
Az háromszög
csúcsnál lévő külső szöge ezért
![$\displaystyle AEF\sphericalangle =30^\circ +45^\circ =75^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img52.png)
A kérdezett szög tehát:
![$\displaystyle AEB\sphericalangle =2\cdot AEF\sphericalangle =150^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img25.png)
4. megoldás
Tükrözzük az háromszöget a
pontra. Ekkor az
tükörképe
.
Az így kapott négyszög egy négyzet, hiszen átlói merőlegesek és egyenlő hosszúak. A négyzet belsejében pedig az
szabályos háromszög – ismert feladathoz jutottunk!
![$\displaystyle CAB' \sphericalangle =90^\circ -60^\circ =30^\circ,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img56.png)
továbbá az háromszög egyenlő szárú, így
![$\displaystyle AB' C\sphericalangle =\frac{180^\circ -30^\circ }{2} =75^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img58.png)
de akkor
![$\displaystyle CB' A' \sphericalangle =90^\circ -75^\circ =15^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img59.png)
Szimmetria-okokból a háromszög egyenlő szárú, így
![$\displaystyle CA' B' \sphericalangle =15^\circ,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img61.png)
ezért
![$\displaystyle B' CA' \sphericalangle =180^\circ -2\cdot 15^\circ =150^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img62.png)
A keresett szög ennek a szögnek a tükörképe a pontra nézve, így
![$\displaystyle AEB\sphericalangle =150^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img63.png)
5. megoldás
Legyen a háromszög oldala 2 egység. Használjuk az ábra jelöléseit.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt
![$\displaystyle CF=2x+y=\sqrt{3}.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img27.png)
az háromszög egyenlő szárú, így
![$\displaystyle DF=x+y=1,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img28.png)
![$\displaystyle CD=DE=x=\sqrt{3} -1,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img29.png)
![$\displaystyle EF=y=\sqrt{3} -2\left(\sqrt{3} -1\right) =2-\sqrt{3}.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img30.png)
az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt
![$\displaystyle AE=z=\sqrt{1+\left(2-\sqrt{3}\right)^2} =\sqrt{2} \sqrt{4-2\sqrt{...
...sqrt{2} \sqrt{\left(\sqrt{3} -1\right)^2} =\sqrt{2} \left(\sqrt{3} -1\right).
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img64.png)
Legyen az pont tükörképe az
oldalra nézve
.
Az háromszög szabályos,
![$\displaystyle EE' =2x=2\left(\sqrt{3} -1\right).
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img67.png)
Az háromszögben
![$\displaystyle AE^{2} +\left(AE'\right)^2=2z^{2} =4\left(\sqrt{3} -1\right)^2=\left(2\left(\sqrt{3} -1\right)\right)^2=\left(EE'\right)^2,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img69.png)
ezért ez a háromszög a Pitagorasz-tétel megfordítása miatt derékszögű. Mivel egyenlő szárú is, ezért
![$\displaystyle AEE' \sphericalangle =45^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img70.png)
Mivel az
![$\displaystyle AEC\sphericalangle =60^\circ +45^\circ =105^\circ,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img71.png)
ezért az
![$\displaystyle AEF\sphericalangle =180^\circ -105^\circ =75^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img72.png)
A kérdezett szög tehát:
![$\displaystyle AEB\sphericalangle =2\cdot AEF\sphericalangle =150^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img25.png)
6. megoldás
Legyen a háromszög oldala 2 egység. Használjuk az ábra jelöléseit.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt
![$\displaystyle CF=2x+y=\sqrt{3}.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img27.png)
az háromszög egyenlő szárú, így
![$\displaystyle DF=x+y=1,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img28.png)
ezért
![$\displaystyle CD=DE=x=\sqrt{3} -1,
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img29.png)
![$\displaystyle EF=y=\sqrt{3} -2\left(\sqrt{3} -1\right) =2-\sqrt{3}.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img30.png)
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt
![$\displaystyle AE=z=\sqrt{1+\left(2-\sqrt{3}\right)^2} =\sqrt{2} \sqrt{4-2\sqrt{...
...sqrt{2} \sqrt{\left(\sqrt{3} -1\right)^2} =\sqrt{2} \left(\sqrt{3} -1\right).
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img64.png)
Forgassuk el az háromszöget 60 fokkal az
pont körül.
Legyen az pont elforgatottja
. Az
háromszög szabályos,
![$\displaystyle EE' =z=\sqrt{2} \left(\sqrt{3} -1\right).
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img74.png)
A háromszögben
![$\displaystyle \left(CE'\right)^2+\left(EE'\right)^2=2z^{2} =4\left(\sqrt{3} -1\right)^2=\left(2\left(\sqrt{3} -1\right)\right)^2=\left(2x\right)^2=CE^{2},
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img76.png)
ezért ez a háromszög a Pitagorasz-tétel megfordítása miatt derékszögű. Mivel ez a háromszög egyenlő szárú is, ezért
![$\displaystyle E' EC\sphericalangle =45^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img77.png)
Mivel az , ezért az
. A kérdezett szög tehát:
![$\displaystyle AEB\sphericalangle =2\cdot AEF\sphericalangle =150^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img25.png)
7. megoldás
Tekintsük az szabályos sokszöget, amelynek középpontja
pont.
Az szakasz
körüli 90 fokos elforgatottja az
szakasz, így ez a két szakasz merőleges. Mivel az említett két szakasz egymás tükörképe az
egyenesre, így
metszéspontjuk illeszkedik a tükörtengelyre, tehát
![$\displaystyle A_{8} PA_{6} \sphericalangle =90^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img85.png)
Hasonlóan az szakasz
körüli 30 fokos elforgatottja az
szakasz, így ennek a két szakasznak a hajlásszöge
. Mivel az említett két szakasz egymás tükörképe az
egyenesre, így
metszéspontjuk illeszkedik a tükörtengelyre, tehát
, azaz
![$\displaystyle A_{8} RA_{6} \sphericalangle =150^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img91.png)
Mivel egy szabályos hatszög, ezért minden oldala egyenlő a köré írt kör sugarával (
), továbbá belső szögei 120 fokosak, tehát az
háromszög szabályos, ezért
![$\displaystyle MA_{11} =r.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img95.png)
Az négyszög rombusz, mivel minden oldala
hosszúságú, ezért szemközti oldalai,
és
párhuzamosak. Ez viszont azt jelenti, hogy egy
középpontú kicsinyítéssel az
szakasz képe lehet az
szakasz, akkor a vele egyenlő hosszú
szakasz képe ugyanezen kicsinyítés során az
szakasz, így
![$\displaystyle OP=RP.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img103.png)
Mivel , így megjelent az ábrán a feladatban szereplő valamennyi pont és vonal: legyen
,
,
,
,
.
A kérdezett szög tehát:
![$\displaystyle AEB\sphericalangle =A_{8} RA_{6} \sphericalangle =150^\circ.
$](/images/stories/latex/erinto202001szoldatics/img110.png)
Megjegyzés: Természetesen a megoldás során tett állítások kerületi és középponti szögek tételére való hivatkozással is indokolhatók.
Zárszó
Kedves Olvasó! Ha egy másik „szép” megoldást talál, kérem küldje el nekem a Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. e-mail címre. Ezeket az újabb megoldásokat összegyűjtve időnként (terveim szerint) szintén megmutatnám.
Szoldatics József
Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium