Martin Gardner: Legkedvesebb matematikai és logikai fejtörőim, Typotex, Budapest, 2024. Fordította: Kepes János, lektorálta: Fried Katalin. Eredeti kiadás, amelyből a fordítás készült: My Best Mathematical and Logical Puzzles, Dover, New York, 1994.
Két éve jelent meg a szerző egy korábbi kötetének magyar fordítása Szórakoztató matematikai fejtörők címmel. Ezt folytatja a most ismertetendő könyv. A múltkori kötet eredeti amerikai illusztrátorát egy másikra cserélték. A jelen kötet esetében nincs feltüntetve, ki az illusztrátor. A kiadó mentségére szolgál, hogy az amerikai könyv sem közli, hogy ki ő, és a magyar kiadás ugyanazokat az ábrákat használja, mint az eredeti amerikai kiadás. Sőt, a Pirulásnyi idő rejtvénynél egy fényképet is közöl a magyar változat, ami nem szerepel az eredeti könyvben.
Szándékosan nem közöljük, kit vagy mit ábrázol ez a fénykép. Hadd rágja a kíváncsiság a nyájas olvasót, főleg akkor, ha az angol nyelvű változat már megvan neki a könyvespolcán (vagy a merevlemezén)! Vegye meg a magyar fordítást, és elégítse ki a kíváncsiságát! Az illusztrációkra tekintve még egy dolgot szóvá kell tennünk: Az Egy váltós feladat ábrája meglehetősen csúnya. Ez nem a magyar fordítás hibája, mert az amerikai kiadásban is ugyanolyan elmosódott a rajz. Elméletileg kellene látnunk egy keskeny mozdonyt és két különböző, széles vasúti kocsit. Gyakorlatilag látunk három egyforma, téglalap alakú fekete pacnit. Pedig eléggé egyszerű lett volna egy rendesebb vasúti szerelvényt megalkotni.
A szerzővel folytatjuk: Martin Gardner (1916–2010) talán a legismertebb rejtvényszerkesztő a világban az utolsó 100 évből. Szándékosan írtam azt, hogy rejtvényszerkesztő, és nem azt, hogy matematikus. Bár a magyar nyelvű Wikipédia matematikusnak mondja, de ez téves adat. Akinek nincs orvosi diplomája, azt nem nevezhetjük orvosnak, esetleg csak természetgyógyásznak. Martin Gardner nem volt tanult tudós; csak BSc szintű diplomát szerzett, de azt sem matematikából, hanem filozófiából, 24 évesen. Az angol nyelvű Wikipédia alapján azt mondhatjuk, hogy Gardner egyik foglalkozása: matematikai író. Ebbe beleértjük azt is, hogy rejtvényszerkesztő újságíró. A másik foglalkozása: matekbűvész. Az angol nyelvű Wikipédia jelenleg tucatnyi személyt sorol fel a mathemagician foglalkozásnál, és ezek egyike éppen Martin Gardner. Híres idézet Gardnertől: „Mathemagical mathematics combines the beauty of mathematical structure with the entertainment value of a trick.” (Azon keveseknek, akik nem olvasnak angolul, megadjuk a magyar fordítást: „A matekbűvészkedés egyesíti a matematikai struktúrák szépségét és a bűvésztrükkök lenyűgöző hatását.”)
Donald Ervin Knuth, a világhírű matematikus és számítógéptudós így vélekedik Gardnerről: „More people have probably learned more good mathematical ideas from Gardner than from any other person in the history of the world.” (Magyarul: „Valószínűleg több ember tanult jobb matematikai alapokat Gardnertől, mint bárki mástól a világtörténelemben.”) Sokra tartjuk Knuth véleményét, de azért kiigazítjuk: Eukleidész után valószínűleg Gardner a legjobb ezen a téren. Azonban Eukleidész 22 évszázados előnnyel indult, miközben a jelen könyvismertető tárgya is Gardner malmára hajtja a vizet.
Gardner sikerének egyik titka, hogy egyfajta rafinált naivitással, huncut humorral fordult a nehéz matematikai és feladvány-logikai témák felé, és ezt a gondolkodásmódot olvasóinak tömege szerette meg, hiszen a nagyképű tudós kinyilatkozásoktól senkinek sem az agya bizsereg kellemesen, hanem csak a bőre viszket idegesítően. A rejtélyek megfejtésében Gardner nem egy Sherlock Holmes, nem is egy Maigret felügyelő, vagy Poirot magándetektív, vagy Marple vénkisasszony, hanem egy Columbo hadnagy. Annál is inkább nem Poirot, hanem Columbo, mert nem kristálytiszta logikával és csalhatatlan megérzéssel jut végül sikerre, hanem sok-sok próbálkozással és a dolgok lényegébe való vesződséges beletanulással.
Ugyanaz a személy magyarította ezt a kötetet is, mint az előzőt. A fordító – Kepes János – sem matematikus. Ennek meglett az előnye és a hátránya is. Ahogy Gardner is ritkán használt matematikai szakkifejezéseket, úgy a fordítónak sem azok jutottak elsőként az eszébe. Az eredeti szövegben sok a szójáték, és ezek a fordítónak feladták a leckét. Nem volt könnyű dolga, hiszen az ötvenes, hatvanas, hetvenes években használatos amerikai kifejezésformákat kellett átültetni a huszonegyedik század második negyedében használatos magyar nyelvre. Nézzünk egy példát: A 2. fejtörő címe: Különleges póker. Ugyanakkor a tartalomjegyzékben már Ötlapos póker szerepel. Az eredeti cím viszont ez: Draw Poker. A helyzet az, hogy a póker kártyajáték különböző változatai széles körben elterjedtek voltak az Egyesült Államokban a huszadik században. De ezek Magyarországon nem annyira közismertek már a huszonegyedik században. Amerikában pár évtizede még minden okos ember tudta, hogy a Draw Poker ötlapos, de véletlenül kiválasztott 10 mai magyar matematikatanár közül vajon hányan tudnák ezt? De nem is kell tudniuk!
A kiadó és a fordító munkáját segítette a lektor: Fried Katalin. A jelen könyvismertető írója szerencsés helyzetben van, mert már öt évtizede személyesen ismeri őt. Igazi matematikus és vérbeli pedagógus. Értesüléseink szerint nagyon keményen harcolt a matematikai színvonal és a pedagógiai hatékonyság fenntartásáért. Az ő érdeme például a fent említett fénykép beillesztése is a Pirulásnyi idő feladatánál. Az egyik esetben Gardner eredeti bizonyítását egy könnyebben követhető változatra cseréltette le.
Itt az ideje, hogy rátérjünk a könyv tartalmára. A 66 témakörből most csak néhányat szemrevételezünk. Ha egy jó amerikai vagy angol krimit nézünk, már érdemes figyelnünk a film legelején is, mert nem tudjuk, nem tűnik-e fel egy olyan arc, nem hangzik-e el egy olyan név, nem látszik-e egy olyan tárgy csak úgy mellékesen, háttérként, hangulati felvezetésként, aminek a bűnügy felderítésében majd lényeges szerepe lesz. Pedig lehet, hogy a bűntény majd csak később történik meg a filmben. A jelen könyvismertetés írója tudja ezt, és az ismertetendő könyvből már a legelső fejtörő esetében észrevesz egy bakit a magyar fordításban: „Egy utazó egy kilométert halad egyenesen dél felé, ott elfordul, és megtesz egy kilométert egyenesen kelet felé, majd ott ismét elfordul, és egy kilométert halad egyenesen észak felé. Visszaérkezik oda, ahonnan elindult.” Itt háromszor szerepel az egyenesen szó, de a középső szereplése súlyos matematikai hiba. Arról van szó, hogy az utazó három kilométeres sétája közben lő egy medvét, és ez a medve logikai szükségszerűségből csak jegesmedve lehet, hiszen az idézett feltételek csak a sarkvidéken teljesülhetnek. Ha az Északi-sarkról indulunk délre, aztán keletre fordulunk, és folyamatosan tartjuk a keleti irányt, akkor északra fordulva visszajutunk az Északi-sarkra.
Ha olvasónk már kezd ránk dühös lenni, miért nem bökjük már ki, hogy miben áll a matematikai hiba lényege, akkor már jó úton járunk, mert biztosan tovább fogja olvasni ezt a könyvismertetőt. Mivel a szerző tengerésztisztként – pontosabban fogalmazva: tiszthelyettes haditengerészként – védte a hazáját a második világháború idején, stílszerűnek látszik, ha a következő párbeszéddel fokozzuk a feszültséget:
– Teljes gőzzel előre! – kiáltotta a kapitány. – Lapátolni gyorsabban, fűtők!
– De már majdnem szétrobbanik a kazán! – kiált vissza a tizedes.
A robbanás elkerülése érdekében gyorsan közöljük, hogy a három egyenesen szó közül a középsőt ki kellett volna hagyni. Ugyanis az Északi-sarktól egy kilométer távolságban folyamatosan keletre haladva nem lehet egyenesen menni. Aki ugyanis folyamatosan tartja a keleti irányt, az egy 2 kilométer átmérőjű körön egy 1 radián nagyságú körívet ír le a lépteivel. Tudjuk, hogy a Sarkvidéken az iránytű használhatatlan, tehát valamiféle dzsí-pí-esz-féleség (a csak az angol rövidítést ismerők kedvéért: GPS) is kell, hogy minden egyes lépés pontosan keletre történjen. (Természetesen Gardner feladatának kitűzésekor még nem volt dzsí-pi-esz; nem tudjuk, az utazó hogyan tartotta az irányt.) Aki viszont a keletre fordulás pillanatában nézi ki azt az egyenest, amerre tovább indul, akkor 1 kilométer egyenes vonalú megtétele után körülbelül 1414 méter távolságra kerül az Északi-sarktól. Újabb 1 kilométer megtétele után tehát nem érhetne vissza a kiindulási helyre. Akár találkozik jegesmedvével, akár nem, bármilyen irányba is indul.
Na jó, kihagyjuk a középső egyenesen szót, és megkérdezzük: Biztos, hogy csak az Északi-sark környéke jön szóba? Ez a könyv első fejtörője. Egészen jó fejtörő! A jelen sorok írójának hat évtizedes tapasztalata van a hasonló rejtvények megfejtésében, és még neki is majdnem egy egész percig kellett gondolkodnia, mire meglett a teljes megoldás. Megnyugtató, hogy a könyv hivatalos megfejtése is lényegében ugyanaz. Viszont szomorúságra ad okot, hogy Gardner végtelenül sok megoldást emleget. Ha hitelt adnánk neki, akkor azt is el kellene fogadnunk, hogy az utazónk végtelenül kicsi lépésekkel is toporoghat és közben végtelenül sebesen is foroghat, miközben állandóan keletre fordul. Ne rám haragudjon, nyájas olvasó, nem én találtam ki a végtelenül sok kifejezést! Annyi gyakorlati érzékem már van, hogy én ilyen butaságot nem mondanék! Főleg akkor nem, ha bárhol ólálkodhat egy hatalmas medve egy hóbucka mögött, amit még gyors forgolódás közben el is kellene találni!
De ne legyünk igazságtalanul kegyetlenek Gardnerrel szemben! Értsük úgy a végtelenül sok kifejezést, hogy megszámlálni is nehéz az összes lehetőségeket, kivitelezni pedig még nehezebb. Sikerült a nyájas olvasót felmérgesítenünk? Ez volt a célunk! Vegye meg a könyvet, és döntse el maga, hogy jól okoskodott-e Gardner, és hibázott-e a megoldás ismertetésében!
A második fejtörő a fent említett Ötlapos póker. Sajnos, nem érthető a kérdés! Én még elboldogulok valahogy, mert éltem pár évig Amerikában, tudom, hogy milyen lapok vannak az 52 lapos kártyacsomagban, pókerezésről is hallottam már, és kétszemélyes játékokról szóló PhD-értekezést is bíráltam pár éve. Az olvasó joggal várja, hogy tisztázzam a helyzetet. De semmi értelmét nem látom most az érthetetlen kérdés és a még érthetetlenebb megoldás leírásának. Helyette inkább leírom a feladvány egy egyszerűsített változatát, és aki nem boldogulna a megfejtéssel, annak leírom az egyik lehetséges megoldást is a sok közül. Így már akár a 7 éves unokámnak is lesz esélye, hogy élvezze a rejtvényt, és tanuljon a megoldásból.
Adott 40 darab kártyalap, rajtuk számok; 10 darabra pirossal, 10 darabra feketével, 10 darabra kékkel és 10 darabra zölddel írták fel a számokat 1-től 10-ig. A kártyákat mind számmal felfelé helyezték az asztalra. Két játékos felváltva vesz fel tetszőlegesen kiválasztva öt-öt lapot, majd ezt megismétlik, így összesen 10–10 lap lesz a kezükben. Ezután a játékosok a náluk lévő azonos színű számokat összeadják, de legfeljebb 5 darabot egy-egy színből.. A nyolcféle összeg közül a legnagyobb nyer. Bizonyítandó, hogy az okosan játszó kezdő tud nyerni.
Egy jó kezdés például ez lesz: elsőre felvenni a négy 10-est és a kék 1-est. Ha a második játékos nem vesz fel első választásakor négy különböző színű kártyát, akkor a kezdő játékos el tudja érni a 10+9+8+7+6=40 összeget. Ezzel nyer, hiszen a 10-esek hiányában csak 9+8+7+6+5=35 vagy kisebb lehet az összeg. Ha viszont a második játékos mind a négy színből vesz fel kártyát, legjobban teszi, ha a legnagyobb számokat veszi fel, azaz felveszi a négy darab 9-est és mondjuk a fekete 8-ast. Ekkor a kezdő játékos el tudja érni piros színből a 10+8+7+6+5=36 összeget, a másik játékos pedig bármely színből legfeljebb a 9+8+7+6+5=35 összeget.
Az a gond, hogy az ismertetendő könyvből a feladatoknak még csak a 3 százalékával foglalkoztunk. A többi rejtvény közül most kiválasztunk egyet, egy olyat, ami nehézség szempontjából közepesnek tekinthető. Legyen ez a szórakozott banki alkalmazottról szóló példa: Egy csekk beváltásakor a bankpénztáros tévedésből a dollárok helyett centeket, a centek helyett dollárokat adott ki. Mr. Brownnak, aki a bankból kijövet 5 centért vett egy újságot, és éppen kétszer annyi pénze maradt, mint amennyiről a beváltott csekkje eredetileg szólt. Mennyi volt az?
A feladatnak az a szépsége, hogy két ismeretlen van benne, de ezekre csak egyetlen egyenletet tudunk felírni. De a két ismeretlen szám mindegyike – abból, hogy a pénztáros egyáltalán felcserélhette azokat – az 1,2,...,99 számok közül kerül ki. Az eredeti csekken legyen a dollárok száma x, a centeké pedig y. Az egyenletünk ez lehet: 2(100x+y)+5=100y+x. Átrendezve: 3x+5=98(y-2x). A bal oldal legalább 8 és legfeljebb 302, továbbá 3-mal osztva 2 maradékot ad. Mivel osztható 98-cal, ezért csak 98 lehet. Ebből x=31 és y=63. Büszkén jelenthetem, ez a megoldás rövidebb a könyvben közölt megoldások mindegyikénél.
Valamikor meg kell szakítanunk a könyvismertetést, de kijelenthetjük: a könyvben tárgyalt további 63 rejtvény ugyanolyan érdekes, mint ez a három, amit kiveséztünk. A nyájas olvasó vegye meg a könyvet, gondolkozzon a rejtvényeken! Ha kérdése van, forduljon hozzám bizalommal!
Hujter Mihály
kandidátus
MTA Tudomány- és Technikatörténeti Bizottság tagja