Mi is ... egy egzotikus 4-dimenziós euklideszi tér?

Egy $X$ topologikus teret sokaságnak hívunk, ha lokálisan olyan mint egy euklideszi tér; pontosabban, ha $X$ minden $x\in X$ pontjának van egy olyan $U$ nyílt környezete, mely valamely ${\mathbb{R}}^n$ -nel homeomorf (egy $\varphi _U$ homeomorfizmus mentén). Az $(U, \varphi _U)$ pár az $x\in X$ pont körül egy térkép. (Technikai okokból két további tulajdonságot (a topologikus tér $T_2$ és $M_2$ tulajdonságát) is bele szokás érteni a sokaság definíciójába.) Összefüggő $X$ esetén a fenti $n$ egész konstans, és ez lesz a sokaság dimenziója.

Ha két fenti $U_1, U_2$ környezet metszete nemüres, akkor a $(\varphi _{U_2}\vert _{U_1\cap U_2})\circ (\varphi _{U_1}\vert _{U_1\cap U_2})^{-1}$ átmenő-függvény (mely most ${\mathbb{R}}^n$ két nyílt része közötti leképezés lesz) mutatja meg, hogy a két térképet hogyan kell a sokaságban "összepasszítani". Ahhoz azonban, hogy az analízis jól ismert fogalmait és módszereit (pl. a differenciálhatóságot) használni tudjuk, további feltételekre van szükségünk. Egy $f\colon X\to {\mathbb{R}}$ függvény az $x\in X$ pontban differenciálható, ha egy $(U, \varphi _U)$ térképre az $f\circ \varphi _U ^{-1}$ kompozíció (mint ${\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}$ függvény) a $\varphi _U (x)$ pontban differenciálható. Sajnos ez a tulajdonság függhet az $x$ -et tartalmazó térkép választásától. Ennek elkerülésére azt mondjuk, hogy az ${\mathcal {A}}=\{ (U_i , \varphi _{U_i} )\mid i\in I\}$ térkép-halmaz egy differenciálható atlasz, ha $\cup _{i\in I}U_i=X$ (vagyis a térképek lefedik $X$ -et), és a halmazhoz tartozó térképek párjaira az átmenő-függvények (mint ${\mathbb{R}}^n$ nyílt részei közötti leképezések) differenciálhatóak. Ekkor az ${\mathcal {A}}$ halmazból vett térképeket használva függvények pontonkénti differenciálhatósága már probléma nélkül definiálható, és valójában az analízis sok eredménye átemelhető ebbe a topologikus kontextusba. Ugyanígy egy $F\colon X_1\to X_2$ leképezés differenciálhatósága is egyszerűen definiálható, amennyiben a sokaságokon ${\mathcal {A}}_1$ és ${\mathcal {A}}_2$ differenciálható atlaszokat rögítünk. (Ezen atlaszok választását ezentúl beleértjük az $X$ differenciálható sokaság definíciójába.) Egy $F\colon X_1\to X_2$ leképezést diffeomorfizmusnak hívunk, ha homeomorfizmus, és mind $F$ , mind $F^{-1}$ differenciálhatóak.

Természetes kérdés az, hogy mely sokaságokra létezik differenciálható atlasz, és mikor egyértelmű ez. Ismert például, hogy legfeljebb 3 dimenziós sokaságokra mindig létezik differenciálható atlasz, és az diffeomorfizmus erejéig egyértelmű — ez a tétel fontos lépés például Perelmannak a Poincaré-sejtésre adott megoldásában. Magasabb dimenzióban ez az elv általában nem teljesül: vannak olyan sokaságok (már 4-dimenzióban is) melyeken nem létezik differenciálható atlasz, és rengeteg olyan van, amin több (sőt 4-dimenzióban végetelen sok) különböző is létezik. A továbbiakban csak euklideszi terekre (vagyis ${\mathbb{R}}^n$ -ekre) szorítkozunk. Ezeken a tereken természetesen mindig van egy differenciálható atlasz: maga az egész tér (az identitás-függvénnyel). Az egyértelműség tekintetében a következő klasszikus eredmény ismert:

Tétel: Ha az $X$ differenciálható sokaság ${\mathbb{R}}^n$ -nel homeomorf, és $n\neq 4$ teljesül, akkor $X$ és ${\mathbb{R}}^n$ diffeomorfak. Vagyis minden olyan ${\mathbb{R}}^n$ -en, amire $n\neq 4$ teljesül, (diffeomorfizmus erejéig) egyetlen differenciálható struktúra létezik.

A 4-dimenziós eset azonban ettől jelentősen különbözik. Egy olyan differenciálható sokaságot, amely ${\mathbb{R}}^4$ -gyel homeomorf, de nem diffeomorf, egzotikus ${\mathbb{R}}^4$ -nek hívjuk.

Tétel: Minden $r\in {\mathbb{R}}$ valós számhoz létezik egy olyan $X_r$ sokaság, mely homeomorf ${\mathbb{R}}^4$ -gyel, de $X_r$ és $X_s$ csak akkor diffeomorfak, ha $r=s$ . Másképpen szólva, kontinuum sok kölönböző egzotikus ${\mathbb{R}}^4$ létezik.

Nem könnyű egy ilyen sokaságot elkészíteni, vagy éppenséggel elképzelni. A továbbiakban egy konstrukciót adunk egy egzotikus ${\mathbb{R}}^4$ -re. Ennek során egy bizonyos tulajdonságú, a 3-dimenziós terünkben lévő csomó létezését fogjuk feltételezni. Ez utóbbi létezésének bizonyítása messze nem egyszerű feladat; így az alább ismertetendő módszer nem igazán egyszerűbbé, inkább szemléletesebbé, "hihetőbbé'' teszi egzotikus euklideszi terek létezését. A végső lépésben az egzotikusság bizonyításához (természetesen) a 4-dimenziós topológia csúcseredményeire lesz szükségünk.

Legyen tehát $K$ egy csomó ${\mathbb{R}}^3$ -ban (vagy, ekvivalens módon a 3-dimenziós $S^3$ gömbfelületben): vagyis vegyük az $S^1$ körvonalnak $S^3$ -ba egy differenciálható beágyazását. Az $S^3$ gömbfelületet a $D^4=\{ x\in {\mathbb {R}}^4 \mid \vert \vert x \vert \vert \leq 1\}$ 4-dimenziós golyó peremeként tekintve a $K$ csomónak két tulajdonságát definiálhatjuk: $K$ topologikus metszet ha a $D^2\times D^2$ szorzattérnek van olyan folytonos beágyazása $D^4$ -be, hogy $\partial D^2 \times D^2$ a $D^4$ golyó $S^3$ peremébe képződik, és a $\partial D^2\times \{0\}$ középkör épp $K$ -t adja. A csomó sima metszet, ha a $D^2\times D^2$ -nek létezik fenti tulajdonságú differenciálható beágyazása. (Ez a két tulajdonság fogja tehát a csomók szintjén a folytonos és differenciálható közötti különbséget mérni — éppen azt a tulajdonságot, amitől egy tér egzotikus lesz majd.)

Egy olyan $K$ csomó, mely topologikus metszet, de nem sima metszet, egy egzotikus ${\mathbb{R}}^4$ -et ad a következő módon. Képzeljük el a 4-dimenziós $S^4$ gömbfelületet mint két 4-dimenziós $D^4$ golyó ( $D_1$ és $D_2$ ) uniója, melyek az $S^3$ peremük mentén vannak összeragasztva. Ebben az $S^3$ -ban van a fenti tulajdonságú $K$ csomónk. Emlékezzünk még, hogy ha $S^4$ -ből elhagyunk egy pontot, akkor épp az ${\mathbb{R}}^4$ Euklideszi teret kapjuk.

Legyen a folytonosan beágyazott $D^2\times D^2$ (melyre $\partial D^2\times \{0\}$ épp $K$ -t adja) képe $U\subset D_1$ . (Ennek létezése következik abból, hogy választott csomónk topologikus metszet.) Ilymódon az $S^4$ gömbfelület felbontható a $D_1-{\rm {int}}U$ és a $D_2\cup U$ részeinek uniójára, melyek egy 3-sokaság mentén vannak összeragasztva. (Ezt a 3-sokaságot a $K$ menti 0-műtét adja meg, de ez a mostani konstrukció szempontjából lényegtelen.) Szemléletesen szólva, az $S^4=D_1\cup D_2$ felbontást úgy változtatjuk meg, hogy $U$ -t áttesszük $D_1$ -ből $D_2$ -be.

A $D_2\cup U$ peremes 4-sokaság valójában úgy keletkezik, hogy a 4-dimenziós golyóhoz egy ún. 4-dimenziós 2-fogantyút ragasztunk, így ennek a résznek természetesen adódik egy differenciálható struktúrája. Vegyük most a $D_1-{\rm {int}}U$ részt (ami szintén egy kompakt 4-dimenziós peremes sokaság), és hagyjunk el belőle egy pontot. A kapott peremes, nem-kompkat 4-sokaság Freedman és Quinn egy nevezetes és mély tétele miatt ellátható egy differenciálható struktúrával. (Ebben a tételben a nem-kompaktság nagyon fontos — szemléletesen az történik, hogy a problémás pontokat el tudjuk küldeni a "végtelenbe'', ami nem-kompakt esetben egy lehetőség, a kompakt esetben azonban nem. Ennek a heurisztikus gondolatnak szigorú matematikai tétellé formálása meghökkentően nehéz apparátust igényel.) Mivel egy 3-dimenziós sokaságon a differenciálható struktúra egyértelmű, a kapott két differenciálható sokaság ( $D_2\cup U$ és $(D_1-{\rm {int}}U) -\{ {\rm {pont}}\}$ ) egy differenciálható sokasággá — nevezzük $R_K$ -nak — ragad össze.

Mivel topologikusan pusztán egy pontot hagytunk el $S^4$ -ből, az összeragasztott sokaság homeomorf lesz ${\mathbb{R}}^4$ -gyel. Azonban abból a tulajdonságból, hogy $K$ nem sima metszet, az következik, hogy $R_K$ nem diffeomorf ${\mathbb{R}}^4$ -gyel. Valóban, ha $R_K$ és ${\mathbb{R}}^4$ diffeomorfak, akkor $R_K$ -hoz egy pontot adhatunk úgy, hogy $S^4$ -et kapjuk, és ekkor az $U$ rész képe egy sima metszet körlap lenne $K$ számára, ami ellentmond a feltett tulajdonságnak.

Egy egzotikus ${\mathbb{R}}^4$ létezésének belátásához azonban szükségünk van egy megfelelő $K$ csomóra: egy olyanra, ami simán nem metszet, de topologikusan az. Az alábbi rajzon bemutatott csomóra egyszerűen kiszámolható, hogy Alexander polinomja azonosan 1. (Mind egy csomó Alexander polinomja, mind az előbb említett számolás meglehetősen elemi módszereket igénylő egyszerű feladat.) Ebből Freedman egy (Fields medállal díjazott) mély eredménye szerint következik, hogy a csomó topologikus metszet. Ezzel szemben Donaldson (szintén Fields medállal díjazott) módszerét alkalmazva belátható, hogy a csomó nem sima metszet. (Ez utóbbi eredmény most már aránylag elemi eszközökkel is bebizonyítható — egy ilyen bizonyítás található meg Ozsváth, Szabó és a szerző Grid homology for knots and links című könyvében.)

Tehát a fenti módszert a rajzon látható csomóra alkalmazva egy egzotikus ${\mathbb{R}}^4$ adódik. Arra azonban fel szeretnénk hívni a figyelmet, hogy ennek az objektumnak (a létezésén kívül) nem sok tulajdonságát ismerjük. A fenti módszerben két olyan lépés is volt (az egyik Freedman tételén alapult, és $U$ létezését garantálta, a másik Freedman és Quinn tétele volt, mely a nem-kompakt 4-sokaságon lévő differenciálható struktúrát adta), melyek messze nem konstruktívak.