Egy geometriai kapcsolat a Fibonacci-sorozat és a Lucas-számok sorozata között

1. Bevezető

A híres Fibonacci-sorozat évszázadok óta magával ragad matematikusokat, művészeket, tervezőket és tudósokat. A Fibonacci-sorozat kezdő tagjai a következők:

$\displaystyle F_0=0,\qquad F_1=1,\qquad F_2=1,\qquad F_3=2,\qquad F_4=3,\qquad F_5=5,\qquad \dots$

és definiciója rekurzívan adható meg a következő módon:

$\displaystyle F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\qquad n >1.$

(1)

A Lucas-számokból álló sorozat ugyanezzel az (1) rekurzív képlettel adható meg, de a kezdő tagja eltér a Fibonacci-sorozatétól. Így a Lucas-számok sorozatának első néhány tagja:

$\displaystyle L_0=2,\qquad L_1=1,\qquad L_2=3,\qquad L_3=4,\qquad L_4=7,\qquad L_5=11,\qquad \dots$

A Fibonacci-számsorozatot alaposan tanulmányozták és több példa van arra, hogy a természetben felfedezhetők olyan jelenségek, amelyekben ennek a számsorozatnak a tagjai megjelennek. A 2. fejezetben bemutatjuk, hogy a méhek családfájában megfigyelhető az (1) rekurzió. Ezt Fibonacci, Leonardo da Pisa (1170–1250) olasz matematikus is tanulmányozta. A 3. fejezetben a Fibonacci-sorozat tagjait megadó explicit formulát, a Binet-formulát vezetjük le, ami kapcsolatot teremt a sorozat és az aranymetszés arányszáma között. Továbbá levezetünk néhány olyan összefüggést a Fibonacci-sorozat és a Lucas-számokból álló sorozat tagjai között, amelyet alkalmazni fogunk a 4. fejezetben. A 4. fejezetben egy geometriai kapcsolatot mutatunk be a Fibonacci-sorozat és a Lucas-számokból álló sorozat között.

2. A Fibonacci-sorozat és a méhek családfája

A Fibonacci-sorozatot önmagában is különlegesen érdekes tanulmányozni, ugyanakkor rádöbbent annak a világnak az összetettségére és rendjére, amelyben élünk ([4]). Amikor Fibonaccit megkérdezték, hogy miért vizsgálja ezeket a számokat és a hányadosukat, ő ezt válaszolta: „Egy napon ezek a számok felfedik a természet titkát és érthetővé teszik, hogy egy hím méhnek miért nincs apja” ([2]). A hím méhek ugyanis a megtermékenyítetlen petesejtekből kelnek ki. Ezzel ellentétben a nőstény méhek – amelyek lehetnek anyaméhek, azaz királynők, vagy dolgozók – a hímek által megtermékenyített petesejtekből jönnek a világra. Az 1. ábra a méhek érdekes családfáját mutatja be.

1. ábra. A méhek száma a különböző generációs szinteken és a Fibonacci-sorozat tagjai

Az ábra egy kiválasztott hím méh felmenőinek számát szemlélteti. Az ábrán alul, a 0. generációs szinten van a kiválasztott hím. Neki csak anyja van, egy nőstény méhkirálynő, az 1. generációban. Ennek a nőstény méhnek két szülője van, egy hím méh és egy nőstény méhkirálynő. Ők találhatók a 2. generációs szinten. Ők ketten a kiválasztott hím méh nagyszülei. A 2. generációs szinten álló nőstény méhkirálynőnek, két szülője van, míg ezen a szinten a hímnek csak egy (a királynő), így két nőstény méh és egy hím méh áll a 3. generációs szinten, és így tovább (lásd [5]). A méhek családfája egyedülálló, hiszen mind a méhkirálynők mind pedig a hímek generációiban a Fibonacci-sorozat tagjai szerepelnek. Jelölje $K_n$ , illetve $H_n$ az $n$ -ik generációban a méhkirálynők, illetve a hím méhek számát, ha $n > 0$ . Legyen $K_0=0$ , $H_0=1$ . Ekkor az $(n+1)$ -ik generációban a méhkirálynők száma, illetve a hím méhek száma

$\displaystyle K_{n+1}=K_n+H_n,$ illetve $\displaystyle \qquad H_{n+1}=K_n.$

(2)

Mivel a (2) második egyenlőségéből tudjuk, hogy $H_n=K_{n-1}$ , így az első egyenlőségből azt kapjuk, hogy $K_{n+1}=K_n+ K_{n-1}$ , azaz a méhkirálynők számára az (1) rekurzió érvényes. Mivel

$\displaystyle H_{n+1}=K_n=K_{n-1}+H_{n-1}=H_{n}+H_{n-1},$

ezért $n \ge 1$ -től az egymást követő generációs szinteken a hím méhek száma is a Fibonacci-számok sorozata szerint növekszik.

3. A Binet-formula

A Fibonacci-sorozat a matematikában az egyik legismertebb másodrendben rekurzív sorozat. Tekintsük egy mértani sorozatot, jelölje $a_1$ a sorozat első tagját és $q$ a hányadosát. A sorozat $n$ -edik tagját az $a_n=a_1 q^{n-1}$ összefüggés adja meg. Határozzuk meg, hogy milyen $q$ esetén kapunk Fibonacci-sorozatot, azaz milyen $q$ esetén teljesíti egy mértani sorozat az (1) rekurziós képletet ([3]). Ekkor igaz, hogy

$\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},$

azaz

$\displaystyle a_1 q^{n-1}=a_1 q^{n-2}+a_1 q^{n-3}.$

Ha $a_1 \neq 0$ , $q \neq 0$ , akkor egyszerűsítés után a

$\displaystyle q^2=q+1$

(3)

másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek két irracionális valós gyöke van: $\alpha :=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ , ami a híres aranymetszés arányszáma, és $\beta :=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . A [6] forrás alapján a Fibonacci-sorozat és az aranymetszés közötti kapcsolat Kepler egy 1608-ban írt levelében szerepelt, illetve már a 16. század elején ismert volt.

Jacques Philippe Marie Binet (1786–1856) francia matematikus a Fibonacci-sorozat tagjaira egy explicit formulát adott. Felhasználva a $q^2=q+1$ összefüggést $q$ hatványaira, azt nyerjük, hogy

$q^3=q \cdot q^2=q(q+1)=q^2+q=q+1+q=2q+1$

$q^4=q(2q+1)=2q^2+q=2(q+1)+q=3q+2$

$q^5=q(3q+2)=3q^2+2q=3(q+1)+2q=5q+3$

$q^6=q(5q+3)=5q^2+3q=5(q+1)+3q=8q+5$ .

3.1. Lemma. Tetszőleges pozitív egészre $q^n=F_n \cdot q+F_{n-1}$ .

Bizonyítás. A bizonyítást teljes indukció alkalmazásával végezzük el. $n=1$ esetén a $q=q$ azonosságot kapjuk. $n=2$ esetén a $q^2=q+1$ összefüggéshez jutunk. Tegyük fel, hogy $n=k$ -ra igaz az állítás, azaz teljesül, hogy $q^k=F_k \cdot q+F_{k-1}$ . Ekkor

$\displaystyle q^{k+1}=q \cdot q^k=q(F_k \cdot q+F_{k-1})=F_k \cdot q^2+F_{k-1} \cdot q=$

$\displaystyle =F_k(q+1)+F_{k-1} \cdot q=(F_k+F_{k-1})q+F_k=F_{k+1} \cdot q+F_k.$

Ezzel megkaptuk az állítást $n=k+1$ esetén. Ez bizonyítja a lemmát. $\qedsymbol$

Mivel $\alpha$ és $\beta$ megoldása a (3) másodfokú egyenletnek, ezért a 3.1. Lemma miatt igaz, hogy

$\displaystyle \alpha^n=F_n \alpha+F_{n-1}, \quad \beta^n=F_n \beta+F_{n-1}.$

A második egyenlet kivonása az első egyenletből a következő eredményt adja:

$\displaystyle \alpha^n- \beta^n=F_n(\alpha -\beta).$

Mivel $\alpha -\beta=\sqrt{5}$ ebből adódik a Binet-formula:

$\displaystyle F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n).$

(4)

A következő lemma analóg összefüggést ad a Lucas-számokból álló sorozat tagjai valamint az $\alpha$ és $\beta$ számok között ([1], Lemma 3.3.2, p. 14).

3.2. Lemma. Minden $n \ge 0$ esetén teljesül, hogy $L_n=\alpha^n+\beta^n$ .

Bizonyítás. A bizonyítást teljes indukcióval végezzük el. Ha $n=0$ , akkor $L_0=\alpha^0+\beta^0=1+1=2$ . Ha $n=1$ , akkor $L_1=\alpha^1+\beta^1=1$ .

Tegyük fel, hogy $n=k$ esetén igaz az $L_k=\alpha^k+\beta^k$ összefüggés. Belátjuk, hogy $n=k+1$ -re is érvényes, azaz $L_{k+1}=\alpha^{k+1}+\beta^{k+1}$ teljesül. Felhasználva az (1) rekurziót, azt kapjuk, hogy:

$\displaystyle L_{k+1}=L_k+L_{k-1}=\alpha^k+\beta^k+\alpha^{k-1}+\beta^{k-1}=\alpha^k (1+\alpha^{-1})+\beta^k (1+\beta^{-1}).$

(5)

Mivel $\alpha$ és $\beta$ megoldásai a (3) egyenletnek, ezért $\alpha^2=\alpha+1$ , illetve $\beta^2=\beta+1$ . Osztva $\alpha$ -val, illetve $\beta$ -val rendezés után nyerjük, hogy

$\displaystyle \alpha^{-1}=\alpha -1$ és hasonlóan $\displaystyle \qquad \beta^{-1}=\beta -1.$

(6)

Ezt alkalmazva az (5) azonosság jobb oldalára, kapjuk, hogy

$\displaystyle \alpha^k (1+\alpha -1)+\beta^k (1+\beta -1)=\alpha^{k+1}+\beta^{k+1}.$

Így az állítást bebizonyítottuk. $\qedsymbol$

A következőkben megvizsgálunk két, az utolsó fejezetben felhasznált összefüggést a Fibonacci-számok és a Lucas-számok kapcsolatára, amelyek bebizonyítására alkalmazzuk a (4) Binet-formulát.

3.3. Lemma. Minden $n \ge 1$ esetén teljesül, hogy

$\displaystyle L_n=F_n+2 F_{n-1}.$

(7)

Bizonyítás. Az állítás jobb oldalát felírjuk a (4) Binet-formula segítségével:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}} (\alpha^n- \beta^n)+2 \frac{1}{\sqrt{5}} (\alp... ...sqrt{5}} (\alpha^n+2 \alpha^{n-1})- \frac{1}{\sqrt{5}} (\beta^n+2 \beta^{n-1}).$

(8)

Alkalmazva (6)-ot a (8) jobb oldalára, kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n(2\alpha-1)-\frac{1}{\sqrt{5}}\beta^n(2\beta-1).$

Mivel $2 \alpha-1=\sqrt{5}$ és $2 \beta -1=-\sqrt{5}$ , ezért a jobb oldal egyenlő $\alpha^n+\beta^n$ -nel, ami a 3.2. Lemma szerint bizonyítja az állítást. $\qedsymbol$

3.4. Lemma. Minden $n \ge 2$ esetén teljesül, hogy

$\displaystyle L_n=F_{n+2}-F_{n-2}.$

(9)

Bizonyítás. Az állítás jobb oldalát felírjuk a (4) Binet-formula segítségével:

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2})-\frac{1}{\sqrt{5}}(\... ...rt{5}}(\alpha^{n+2}-\alpha^{n-2})-\frac{1}{\sqrt{5}}(\beta^{n+2}-\beta^{n-2})$ =

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n(\alpha^2-\alpha^{-2})-\frac{1}{\sqrt{5}}\beta^n(\beta^2-\beta^{-2}).$

(10)

A (6) felhasználásával kapjuk, hogy $\alpha^2-\alpha^{-2}=(\alpha+\alpha^{-1})(\alpha-\alpha^{-1})=(2 \alpha -1)=\sqrt{5}$ és $\beta^2- \beta^{-2}=(\beta+\beta^{-1})(\beta-\beta^{-1})=(2 \beta -1)=-\sqrt{5}$ . Így (10)-re azt nyerjük, hogy $\alpha^n+\beta^n$ , ami a 3.2. Lemmát felhasználva éppen $L_n$ . Ez bizonyítja az állítást. $\qedsymbol$

4. Egy geometriai kapcsolat a Fibonacci-sorozat és a Lucas-számok sorozata között

2. ábra. A Fibonacci- és a Lucas-számok egy geometriai interpretációja: a $B_{n}=(n,L_n)$ , illetve az $A_{n}=(n,F_n)$ koordinátájú pontok

Érdekes geometriai kapcsolat fedezhető fel a 2. ábrán a Fibonacci- és a Lucas-számok felhasználásával létrehozott háromszögek sorozata között. Ha a derékszögű koordináta-rendszerben kijelöljük azokat a pontokat, amelyeknek $x$ koordinátája $0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots,$ $y$ koordinátája pedig a megfelelő indexű Fibonacci-, illetve Lucas-szám, akkor a pontokat az ábrán látható módon összekötve háromszögeket kapunk: A 2. ábrán jelölje $B_{n}$ az $(n,L_n)$ , illetve $A_{n}$ az $(n,F_n)$ koordinátájú pontokat. Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyek csúcspontjai $B_{n-1}$ , $A_n$ , és $A_{n+1}$ .

3. ábra. A $B_{n-1}$ , $A_n$ ,, $A_{n+1}$ csúcspontú háromszög, amelynek $\theta_n$ a $B_{n-1}$ csúcsnál levő szöge.

Jelölje rendre $\bar{a}$ , $\bar{b}$ és $\bar{c}$ a $\overline{B_{n-1} A_{n+1}}$ , $\overline{B_{n-1} A_n}$ , $\overline{A_n A_{n+1}}$ vektorokat (lásd 3. ábra). Legyen $n \ge 3$ . A (9) összefüggést felhasználva kapjuk, hogy

$\displaystyle \bar{a}=\overline{B_{n-1} A_{n+1}}=(n+1, F_{n+1})-(n-1, L_{n-1})=(2, F_{n+1}-L_{n-1})=$

$\displaystyle =(2, F_{n+1}-F_{n+1}+F_{n-3})=(2,F_{n-3}).$

Az (1) és a (7) összefüggéseket alkalmazva

$\displaystyle \bar{b}=\overline{B_{n-1} A_n}=(n, F_n)-(n-1, L_{n-1})=(1, F_n-L_{n-1})=(1,F_n-F_{n-1}-2F_{n-2})=$

$\displaystyle =(1,F_n-F_{n-1}-2 F_n+2 F_{n-1})=(1,-F_n+F_{n-1})=(1,-F_{n-2}).$

Alkalmazva az (1) összefüggést azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \bar{c}=\overline{A_n A_{n+1}}=(n+1, F_{n+1})-(n, F_n)=(1, F_{n+1}-F_n)=(1, F_{n-1}).$

A $B_{n-1} A_n A_{n+1}$ háromszög $B_{n-1}$ csúcsánál levő $\theta_n$ szögének koszinuszára a koszinusztétel és az (1) segítségével azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \cos\theta_n=\cos(B_{n-1}A_nA_{n+1}\sphericalangle)=\frac{\vert\b... ...b}\vert}=\frac{2-F_{n-3}\cdot F_{n-2}}{\sqrt{4+F_{n-3}^2}\sqrt{1+F_{n-2}^2}}.$

A $B_{n-1} A_n A_{n+1}$ háromszögek, ahol $n \ge 3$ , a következő állításokat elégítik ki ([7]).

4.1. Tétel. (i) A $B_{n-1}$ csúcsnál lévő $\theta_n$ szögek határértéke

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\theta_n=\pi.$

(ii) A $B_{n-1} A_n A_{n+1}$ háromszögek oldalhosszainak hányadosai a következő határértékekhez tartanak:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\overline{A_{n}A_{n+1}}\vert}{\vert\o... ...\vert\overline{A_{n}A_{n+1}}\vert}{\vert\overline{B_{n-1}A_{n}}\vert}=\alpha.$

Bizonyítás. Meghatározzuk a $\lim_{n\to\infty}\cos (\theta_n)$ határértéket:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos (\theta_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{2-F_{n-3}... ...ot F_{n-2}}-1}{\sqrt{\frac{4}{F_{n-3}^2}+1} \sqrt{\frac{1}{F_{n-2}^2}+1}}=-1.$

Mivel a $[0, \pi]$ intervallumon $\cos (\pi)=-1$ , ezért $\lim_{n\to\infty}\theta_n=\pi$ . Ez bizonyítja az (i) állítást.

Most kiszámítjuk a $\lim_{n\to\infty}\frac{\vert\overline{A_{n}A_{n+1}}\vert}{\vert\overline{B_{n-1}A_{n+1}}\vert}$ határértéket:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\overline{\vert A_n A_{n+1}\vert}}{\overli... ...3}^2}+\frac{F_{n-3}^2}{F_{n-3}^2}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_{n-3}}.$

Felhasználva a (4) Binet-formulát és azt, hogy $\left\vert\frac{\beta}{\alpha}\right\vert<1$ azt kapjuk, hogy

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_{n-3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\... ...}=\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}}{\alpha^{n-3}-\beta^{n-3}}=$

$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\alpha^{n-1}}{\alpha^{n-3}}-\frac{\... ...a}{\alpha}\right)^{n-3}}{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{n-3}}=\alpha^2.$

Tehát az állítás (ii) részében szereplő első határérték valóban $\alpha^2$ .

Hasonlóan kapjuk, hogy

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\overline{\vert B_{n-1} A_{n}\vert}}{\over... ...3}^2}+\frac{F_{n-3}^2}{F_{n-3}^2}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-2}}{F_{n-3}}=$

$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\alpha^{n-2}-\beta^{n-2}}{\sqrt{5}}... ...{n-3}}}{\frac{\alpha^{n-3}}{\alpha^{n-3}}- \frac{\beta^{n-3}}{\alpha^{n-3}}}=$

$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha-\beta \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{n-3}}{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{n-3}}=\alpha.$

Tehát az állítás (ii) részében szereplő második határértéket is kiszámítottuk.

Végezetül meghatározzuk az (ii) rész harmadik, $\lim_{n\to\infty}\frac{\vert\overline{A_{n}A_{n+1}}\vert}{\vert\overline{B_{n-1}A_{n}}\vert}$ határértékét:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\overline{A_{n}A_{n+1}}\vert}{\vert\o... ...2}^2}+\frac{F_{n-2}^2}{F_{n-2}^2}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_{n-2}}=$

$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}}{\sqrt{5}}... ...^{n-2}}}{\frac{\alpha^{n-2}}{\alpha^{n-2}}-\frac{\beta^{n-2}}{\alpha^{n-2}}}=$

$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha-\beta\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{n-2}}{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{n-2}}=\alpha.$

Így a tétel állítását bebizonyítottuk. $\qedsymbol$

Irodalomjegyzék

: [1] B. Barik, Lucas sequence, its properties and generalization. MSc Thesis, National Institute of Technology Rourkela (2013), http://ethesis.nitrkl.ac.in/5270/1/411MA2130.pdf.

[2] Bees and Fibonacci Sequence, Beekeeping and aquaculture, Module 6, Livestock, Unit 18, New Agriways, EDISCO Editrice, 1-3,

https://www.edisco.it/newagriways/wpcontent/uploads/sites/101/2019/07/36_Bees_and_Fibonacci_sequence.pdf

[3] B. Énekes, G. Kós, Néhány érdekesség a Fibonacci- és a Fibonacci-típusú sorozatokról, KöMaL, 2000/december, 517–523, http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=200117.

[4] A. Grigas, The Fibonacci Sequence: Its History, Significance, and Manifestations in Nature, Senior Honors Theses. 334 (2013), https://digitalcommons.liberty.edu/honors/334.

[5] T. Gross, A secret of bees, https://www.bristol.ac.uk/media-library/sites/engineering/engineering-mathematics/documents/modelling/teacher/bees_t.pdf

[6] R. Herz-Fischler, Letter to the Editor, Fibonacci Quart. 24 (4) (1986) 382.

[7] I. M. Radu, A geometric approach to Fibonacci and Lucas sequences. Parabola, 56 (1) (2020) 1–5.

Munkánkat a Nemzeti Kutatási, Fejlesztési és Innovációs Hivatal (NKFI) K132951 támogatta.

Figula Ágota
Debreceni Egyetem, TTK, Matematikai Intézet

Silling Szintia Adriána
Debreceni Egyetem, GTK, Turizmus-vendéglátás szakos BSc hallgató

Információk

Főmenü