A Tingley-sejtés

Ebben a cikkben valós normált terekről és azok távolságtartó leképezéseiről lesz szó. A szükséges fogalmak bevezetése után ismertetünk egy nagyon szép tételt, a Mazur–Ulam-tételt, majd rátérünk annak egy nagyon természetes általánosítására (Mankiewicz tétele). Ezek után teszünk néhány megjegyzést arra vonatkozóan, hogy hogyan néz ki egy gömb és a felülete, és kimondjuk Tingley sejtését, ami amennyire egyszerűnek hangzik, annyira nehéz. (És a mai napig megoldatlan.)

1. Normált terek

Elsőként fel kell idéznünk, mik a valós vektorterek. A cikkben lévő állítások szemléltetéséhez elég lenne a valós síkra, azaz az $\mathbb{R}^2=\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$ térre gondolni, és azt különböző struktúrákkal ellátni. De ahhoz, hogy az állításokat az eredeti formájukban mondjuk ki (rámutatva a nehézségekre), szükség van az absztrakt definíciókra, és néhány bonyolultabb példára. Azok, akik „csak a nagy képre kíváncsiak”, az alábbihoz hasonló szürke keretes bekezdéseket nyugodtan átugorhatják, és vektortér/normált tér helyett gondolhatnak $\mathbb{R}^2$ -re, és azokra a konkrét normákra, amiket említeni fogunk.

Valós vektortér alatt egy olyan $X$ halmazt értünk, ami el van látva egy összeadás nevű kétváltozós $+$ művelettel, és $X$ elemeit meg lehet szorozni valós számokkal. Az $X$ elemeit vektoroknak fogjuk nevezni. Az összeadásnak és a valós számmal szorzásnak (ahogy azt az $\mathbb{R}^2$ esetében megszokhattuk) az alábbi tulajdonságokkal kell rendelkezni:

1) Asszociatív, azaz minden $u,v,w\in X$ vektorhármasra $u + (v + w) = (u + v) + w$ .

2) Kommutatív, azaz minden $u, v \in V$ vektorpárra $u + v = v + u$ .

3) Létezik neutrális elem, azaz olyan 0-val jelölt elem, amelyre minden $v\in X$ esetén $v + 0 = v$ .

4) Minden $v\in X$ elemhez található olyan $u\in X$ , amelyre $v+u=0$ . (Az $u$ elemet $v$ ellentettjének, vagy additív inverzének nevezzük.)

A skalárral való szorzásra vonatkozó zárójelezési szabályok pedig az alábbiak:

5) Minden $c\in\mathbb{R}$ számra és $u,v\in X$ vektorokra $c(u+v)=cu+cv$ .

6) Minden $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ számra és $v\in X$ vektorra: $(c_1+c_2)v =c_1v +c_2v$ .

7) Minden $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ számra és $v\in X$ vektorra igaz, hogy $c_1(c_2v) = (c_1c_2)v$ .

8) Minden $v\in X$ vektorra $1v=v$ .

Példák valós vektorterekre: Ahogy már említettük, a korábbról ismert $\mathbb{R}$ (valós számegyenes), $\mathbb{R}^2$ (valós sík) struktúrák vektorterek a megszokott műveletekkel. Vektorteret alkotnak a $[0,1]$ intervallumon értelmezett valós értékű függvények, ha két függvény összegét pontonkénti értelmezzük, azaz $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ , és függvényt számmal a $(cf)(x):=cf(x)$ pontonkénti szabály szerint szorzunk. Ennek a továbbiakban $F[0,1]$ -gyel jelölt vektortérnek a neutrális eleme a konstans nulla függvény, egy $f$ függvény ellentetje pedig a $-f$ függvény. Ez utóbbi struktúra sokkal bonyolultabb $\mathbb{R}^2$ -nél. Jelentős eltérés, hogy míg $\mathbb{R}^2$ minden eleme felírható két előre rögzített vektor $e_1=(1,0)$ , $e_2=(0,1))$ kombinációjaként: $(x,y)=x(1,0)+y(0,1)$ , addig $F[0,1]$ -ben ilyen felírás nem létezik. Nem csak kettőre, semmilyen $n$ számra nem lehet találni $n$ darab olyan $g_1,\ldots,g_n$ elemet, amelyre minden $f\in F[0,1]$ felírható a $g_1,\dots,g_n$ vektorokkal összeadás és számmal szorzás segítségével. Ugyanez elmondható az $F[0,1]$ tér egy részhalmazára, a $[0,1]$ -en értelmezett folytonos függvények halmazára. Ez a $C[0,1]$ -gyel jelölt halmaz maga is egy vektortér ugyanazokkal a műveletekkel. (Minden stimmel, két folytonos függvény összege is folytonos, tehát tudunk összeadni, és egy folytonos függvény számszorosa is folytonos, tehát tudunk számmal szorozni.)

Most bevezetjük a norma fogalmát, ami a hossznak egy természetes általánosítása. Mielőtt megadjuk a precíz definíciót, megemlítünk három konkrét példát az $\mathbb{R}^2$ síkon. Ezekről az olvasó megpróbálhatja igazolni, hogy valóban teljesítik a lenti definícióban szereplő a)-b)-c) feltételeket. Egy $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ vektor normájára az $\Vert(x,y)\Vert _*$ jelölést használjuk, ahol alsó indexben a $*$ helyére írt jelekkel mondjuk meg, hogy a három ismertetett norma közül melyikre gondolunk. Nézzük tehát a három példát $\mathbb{R}^2$ -en:

n1) $\Vert(x,y)\Vert _1:=\vert x\vert+\vert y\vert$ . Ha ebben a normában számoljuk ki például a $(-1,2)$ vektor hosszát, akkor azt kapjuk, hogy $\Vert(-1,2)\Vert _1=\vert-1\vert+\vert 2\vert=3$ . Érdemes megfigyelni, hogy ez a hosszfogalom nem invariáns az origó körüli forgatásra. Ha a vektort beforgatjuk az $y$ tengelyre, akkor a $(0,\sqrt{5})$ vektort kapjuk, aminek a hossza $\sqrt{5}$ .

n2) $\Vert(x,y)\Vert _2:=\sqrt{\vert x\vert^2+\vert y\vert^2}$ . Ebben a normában ugyanannak a $(-1,2)$ vektornak a hossza $\Vert(-1,2)\Vert _2=\sqrt{\vert-1\vert^2+\vert 2\vert^2}=\sqrt{5}$ . Ez a középiskolából ismert euklideszi hosszfogalom.

n3) $\Vert(x,y)\Vert _{m}:=\max\{\vert x\vert,\vert y\vert\}$ , azaz a két koordináta abszolútértéke közül a nagyobb. Ebben a normában a $(-1,2)$ vektor hossza $\Vert(-1,2)\Vert _{m}=\max\{\vert-1\vert,\vert 2\vert\}=2$ .

Általában, egy $\Vert\cdot\Vert\colon X\to\mathbb{R}$ nemnegatív függvényt normának (vagy ha úgy tetszik: hosszfüggvénynek) nevezünk az $X$ vektortéren, ha teljesíti az alábbi három tulajdonságot:

a) $\Vert v\Vert=0\Leftrightarrow v=0$ , azaz a nulla vektor hossza 0, és csak a nulla vektornak 0 a hossza.

b) Minden valós $c$ számra és $v\in X$ vektorra $\Vert cv\Vert=\vert c\vert\Vert v\Vert$ , azaz ha megnyújtunk egy vektort, és megmérjük a hosszát, akkor ugyanazt kapjuk, mintha először megmérnénk a hosszát, és vennénk a kapott szám $\vert c\vert$ -szeresét.

c) Minden $x,y,z\in X$ -re $\Vert x+y\Vert\leq\Vert x\Vert+\Vert y\Vert$ . Ez az úgynevezett háromszög-egyenlőtlenség.

Mint az n1)-n2)-n3) példákban láttuk, ugyanazon az $X$ vektortéren több különböző normát is be lehet vezetni, ezért a félreértések elkerülése végett, ha $X$ vektortérről mint normával ellátott térről akarunk beszélni, mindig feltüntetjük, hogy pontosan melyik normára gondolunk. Tehát ha a középiskolában megszokott módon akarunk hosszat számolni, akkor ezt úgy jelöljük, hogy $\mathbb{R}^2$ helyett $(\mathbb{R}^2,\Vert\cdot\Vert _2)$ -t írunk. Egy $X$ vektorteret a $\Vert\cdot\Vert$ normával ellátva normált térnek hívunk, és $(X,\Vert\cdot\Vert)$ -val jelölünk.

A normált tér fogalma az 1920-as években kristályosodott ki. Természetesen az emberek korábban is dolgoztak olyan struktúrákban (főleg függvényterekben), amikben volt hosszfüggvény, és többen is megfogalmaztak feltételrendszereket, amelyek az a)-b)-c) tulajdonságokra hasonlítanak, de a fenti axiomatikus bevezetés Stefan Banach 1932-es Théorie des opérations linéaires című könyvében jelent meg először. Ugyanitt jelent meg először a modern analízis egyik legfontosabb fogalma, a teljesség. Az $(X,\Vert\cdot\Vert)$ -t teljes normált térnek, vagy Banach-térnek nevezzük, ha minden olyan $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ $X$ -beli sorozathoz, amelyre igaz, hogy $\lim\limits_{n,m\to\infty}\Vert x_n-x_m\Vert=0$ , van egy olyan $x$ pontja az $X$ térnek, amelyre $\lim\limits_{n\to\infty}\Vert x_n-x\Vert=0$ . Minden véges dimenziós normált tér teljes, ezért ha szeretnénk nem teljes teret látni, akkor végtelen dimenziós terek között kell keresgélnünk. Vegyük ismét $C[0,1]$ -et, a $[0,1]$ intervallumon értelmezett folytonos függvények vektorterét. Egy $f$ függvénynek az úgynevezett $L^1$ -normája $\Vert f\Vert _{L^1}=\int_0^1\vert f(x)\vert\,dx$ . Azt állítjuk, hogy ez a tér nem teljes. Definiáljuk a következő sorozatot: az $f_n$ függvény legyen 0 a $[0,\frac{1}{2}-\frac{1}{n}]$ halmazon, legyen $1$ az $[\frac{1}{2}+\frac{1}{n},1]$ halmazon, az $[1/2-1/n,1/2+1/n]$ halmazon pedig legyen a függvény $f_n(x)=\frac{n}{2}\left(x-(\frac{1}{2}-\frac{1}{n})\right)$ . Az alábbi ábrán azt látjuk, hogy különböző $n$ és $m$ értékekre az $\Vert f_n-f_m\Vert _{L^1}$ nem más, mint két kis háromszög területe. Ahogy $n$ és $m$ egyre nagyobb, ez a terület tart 0-hoz.

De nem találunk olyan $f\in C[0,1]$ függvényt, amire $\Vert f_n-f\Vert _{L^1}\to0$ . Ugyanis $f$ -nek a $[0,1/2]$ intervallumon 0-nak, az $[1/2,1]$ -en pedig $1$ -nek kellene lennie, csakhogy ilyen folytonos függyvény nincs. Bevezetünk egy másik normát is $C[0,1]$ -en, az úgynevezett ∞-normát: $\Vert f\Vert _{\infty}=\max\{\vert f(x)\vert\mid x\in[0,1]\}$ . Nem nehéz bebizonyítani, hogy a tér ezzel a normával ellátva teljes.

2. A Mazur–Ulam-tétel és Mankiewicz tétele

Az előző szekcióban bevezettük a normált tér fogalmát. A norma segítségével beszélhetünk két vektor távolságáról is: egy $(X,\Vert\cdot\Vert)$ normált tér két $u,v\in X$ pontjának távolsága a különbségük hossza, azaz az $\Vert u-v\Vert$ szám. Az a1)-a2)-a3) példákon szemléltetve az $(-1,-1)$ és $(1,1)$ pontoknak a távolsága a különböző normákban: $\Vert(-1,-1)-(1,1)\Vert _1=4$ , $\Vert(-1,-1)-(1,1)\Vert _2=\sqrt{8}$ , és $\Vert(-1,-1)-(1,1)\Vert _m=2$ .

Tehát egy normált téren tudunk elemeket összeadni, tudunk számmal szorozni, tudunk hosszat mérni, és tudunk távolságot mérni. Vegyünk két normált teret, $(X,\Vert\cdot\Vert _X)$ -et és $(Y,\Vert\cdot\Vert _Y)$ -t. Egy $f\colon X\to Y$ függvényt izometriának nevezünk, ha minden $u,v\in X$ -re $\Vert f(u)-f(v)\Vert _Y=\Vert u-v\Vert _X$ . Szavakkal elmondva, $f(u)$ és $f(v)$ távolsága $Y$ -ban ugyanannyi, mint az $u$ és $v$ távolsága $X$ -ben, akárhogy is választjuk az $u,v$ . Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy $f(0)=0$ .

Felmerül a kérdés, hogy egy olyan függvény, ami megőrzi a távolságot, vajon megőrzi-e a lineáris struktúrát (azaz az összeadást és a számmal szorzást) is? Általában semmi okunk ebben reménykedni, hiszen a lineáris struktúra $X$ -en egy dolog, a hosszfogalom az $X$ elemein pedig egy másik dolog. Stanisław Mazur és Stanisław Ulam gyönyörű tétele [7] azt mondja, hogy ha a szóban forgó izometria szürjektív, akkor mégis ez a helyzet!

Mazur–Ulam-tétel (1932)

Legyenek $(X,\Vert\cdot\Vert _X)$ és $(Y,\Vert\cdot\Vert _Y)$ valós normált terek, legyen $f\colon X\to Y$ egy kölcsönösen egyértelmű leképezés, amelyre

$\bullet$ $f(0)=0$ ,

$\bullet$ minden $u,v\in X$ -re $\Vert f(u)-f(v)\Vert _Y=\Vert u-v\Vert _X$ .

Ekkor $f$ lineáris, azaz $f(u+v)=f(u)+f(v)$ minden $u,v\in X$ -re, és $f(cv)=cf(v)$ minden $v\in X$ -re és minden $c$ valós számra.

A Mazur–Ulam-tételre számtalan bizonyítás ismert, az egyik legszebb és legelemibb Jussi Väisälä bizonyítása [11]. A tételben feltettük, hogy $f$ kölcsönösen egyértelmű. Azaz $f$ injektív (ha $u\neq v$ , akkor $f(u)\neq f(v)$ ) és $f$ szürjektív (minden $w\in Y$ -hoz van olyan $u\in X$ , amelyre $f(u)=w$ ). Mennyire fontosak ezek a feltételek? Az injektivitás automatikusan teljesül, hiszen ha $u\neq v$ , akkor $u-v$ nem az $X$ nullvektora, akkor viszont a norma a) tulajdonsága miatt $\Vert u-v\Vert _X\neq0$ . Mivel $f$ izometria, ezért $0\neq\Vert u-v\Vert _X=\Vert f(u)-f(v)\Vert _Y$ , így megint az a) tulajdonságot használva $f(u)-f(v)$ nem az $Y$ tér nullvektora, és így $f(u)\neq f(v)$ . Mit mondhatunk a szürjektivitásra vonatkozó feltevésről? Nem hagyható el? Az alábbi egyszerű példa azt mutatja, hogy nem.

Ha $(X,\Vert\cdot\Vert _X)$ a számegyenes az abszolútértékkel, $(Y,\Vert\cdot\Vert _Y)$ pedig az n3)-ban bevezetett tér, akkor az $f(x):=(x,\vert x\vert)$ függvény egy izometria. Valóban, minden $x,y\in\mathbb{R}$ -re

$\displaystyle \Vert f(x)-f(y)\Vert _{m}=\Vert(x,\vert x\vert)-(y,\vert y\vert)\... ...{m}=\max\{\vert x-y\vert,\vert\vert x\vert-\vert y\vert\vert\}=\vert x-y\vert.$

Az is teljesül, hogy az $\mathbb{R}$ nullelemének képe az $\mathbb{R}^2$ nulleleme: $f(0)=(0,\vert\vert)=(0,0)$ . De az nem igaz, hogy $f$ lineáris! Az $u=-1$ , $v=1$ választással $f(-1+1)=f(0)=(0,0)$ , míg $f(-1)+f(1)=(-1,\vert-1\vert)+(1,\vert 1\vert)=(0,2)$ . Tehát $f(-1+1)\neq f(-1)+f(1)$ . Ez a példa valóban ellenpélda, de eléggé elfajult abban az értelemben, hogy az $\mathbb{R}$ $f$ -általi képe $\mathbb{R}^2$ -ben az abszolútérték függvény grafikonja, ami egy nagyon sovány halmaz.

Piotr Mankiewicz megmutatta, hogy el lehet hagyni a szürjektivitást, ha feltesszük, hogy az izometria képe egy szép kövér halmaz [6]. Az egyszerűség kedvéért a tételt csak egy speciális esetben mondjuk ki. Elsőként fel kell idézzük a 0 körüli zárt egységgömb fogalmát: $B_X$ jelöli azon $v\in X$ pontok halmazát, amelyeknek nullától vett távolsága legfeljebb $1$ , azaz $B_X=\{v\in X\mid \Vert x-0\Vert _X\leq 1\}$ .

Mankiewicz tétel (1972)

Legyenek $(X,\Vert\cdot\Vert _X)$ és $(Y,\Vert\cdot\Vert _Y)$ valós normált terek, $f\colon B_X\to B_Y$ egy kölcsönösen egyértelmű izometria. Ekkor van olyan $F\colon X\to Y$ szürjektív lineáris izometria, amelyre $F(x)=f(x)$ minden $x\in B_X$ -re. Más szóval, $f$ kiterjeszthetó az egész $X$ -re úgy, hogy a kiterjesztés egy szürjektív lináris izometria.

3. Hogy néz ki egy gömb?

Mielőtt továbbmennénk, gondoljuk át, hogy mit mond az előző állítás. Először is jegyezzük meg, hogy egy bijektív lineáris izometria létezése $(X,\Vert\cdot\Vert _X)$ és $(Y,\Vert\cdot\Vert _Y)$ között azt mondja, hogy pusztán a metrikus és lineáris szerkezetük alapján nem tudjuk $X$ -et és $Y$ -t megkülönböztetni. Mankiewicz tétele azt mondja, hogy ha meg akarjuk tudni, hogy két tér megkülönböztethető-e, akkor elég ha megnézzük a gömbjeiket. De mit látunk, ha ránézünk egy normált tér gömbjére? Hogy néz ki egy gömb?

Kezdjünk megint az a1)-a2)-a3) példákkal. Az alábbi ábrán az $(\mathbb{R}^2,\Vert\cdot\Vert _1)$ , $(\mathbb{R}^2,\Vert\cdot\Vert _2)$ , és $(\mathbb{R}^2,\Vert\cdot\Vert _m)$ terek egységgömbjeit (vagy ha úgy tetszik, egységkörlapjait) látjuk egymás mellett.

Rögtön látszik, hogy a két szélső gömb sok dologban különbözik a középen lévő „szokásos gömbtől”. A $\Vert\cdot\Vert _1$ - és $\Vert\cdot\Vert _m$ -gömböknek vannak csúcsai, ami elsőre szokatlannak hathat. Sőt, a gömb felülete tartalmaz szakaszokat. (Az $\Vert\cdot\Vert _1$ -gömb felülete tartalmazza például az $(1,0)$ és $(0,1)$ közti szakaszt, az $\Vert\cdot\Vert _m$ -gömb pedig tartalmazza például a $(-1,1)$ és $(1,1)$ pontok közti szakaszt. Ennek van egy meglehetősen kellemetlen következménye. A $\Vert\cdot\Vert _2$ -norma esetén bármely két $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ pont esetén egyetlen olyan $(u,v)$ pont van, amelyik mindkettőtől $\frac{1}{2}\Vert(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\Vert _2$ távolságra van, nevezetesen az őket összekötő szakasz felezőpontja, $(u,v)=~\frac{1}{2}(x_1+x_2,y_1+y_2)$ ). Ez amiatt van, hogy két pont köré rajzolt megfelelő sugarú gömb egyetlen pontban metszi egymást. Míg például a $\Vert\cdot\Vert _m$ esetben a határon lévő szakaszok rengeteg ilyen pontot generálhatnak. Könnyen látszik, hogy $\Vert(-1,0)-(1,0)\Vert _m=2$ , és minden $t\in[0,1]$ -re $\Vert(-1,0)-(0,t)\Vert _m=\Vert(1,0)-(0,t)\Vert _m=\max\{1,\vert t\vert\}=1$ .

Már a fenti példák is mutatják, hogy normált terek gömbjei általában egzotikusabbak, mint a megszokott euklideszi gömb, tehát az ember nem hagyatkozhat az euklideszi szemléletére. Nézzünk még egy példát arra, hogy egy vektortéren két különböző norma gömbje mennyire eltérő lehet. A fent említett gömbök az $\mathbb{R}^2$ tér origóra szimmetrikus szép konvex részhalmazai, és bizonyos kérdések vizsgálatánál teljesen mindegy, hogy melyikkel dolgozunk. Így például egy $\mathbb{R}^2$ -beli sorozat ponosan akkor konvergens az egyik norma szerint, ha konvergens a másik kettő szerint. Ennek az az oka, hogy mindegyik gömbbe bele lehet rajzolni a többi gömb egy kicsinyített mását. (Sőt, bármelyik gömb bármelyik nem $1$ -normájú pontja köré be lehet rajzolni a többi gömb egy kicsinyített mását.)

Ez is egy olyan tulajdonság, amit az ember csak véges dimenziós tereket ismerve természetesnek vesz. Azonban ez a tulajdonság végtelen dimenzióban általában nem teljesül. Térjünk vissza a $C[0,1]$ térhez. Hogy néz ki az egységgömb a $\Vert\cdot\Vert _{\infty}$ norma szerint? Egy $f$ függvény pontosan akkor van benne, ha $\max\{\vert f(x)\vert\mid x\in[0,1]\leq 1\}$ , azaz ha a grafikonja a konstans $-1$ és konstans $1$ függvények közé van beszorítva. Az ilyen függvények összessége adja ki a gömböt. Ha ebbe a gömbbe bele lehetne zsugorítani az $\Vert\cdot\Vert _{L^1}$ -egységgömböt, az azt implikálná, hogy az abban lévő függvények is mind be vannak szorítva valamilyen konstans $C$ és $-C$ függvények közé. De ez nem lehet, mert a $\Vert\cdot\Vert _{L^1}$ gömbben bármilyen nagy $K$ számhoz van olyan $f_K$ nemnegatív függvény, aminek az integrálja legfeljebb $1$ , a maximuma pedig $K$ . (Gondoljunk egy olyan $f_K$ üggvényre, aminek a grafikonja a $[0,1]$ intervallummal egy $1/K$ alapú $K$ magas egyenlő szárú háromszöget zár be. Ekkor $\Vert f_K\Vert _{\infty}=K$ , $\Vert f_K\Vert _{L^1}=\frac{1}{2}$ .)

4. A Tingley-sejtés

Mankiewicz tételét látva felmerül a kérdés, hogy nem elég-e az egységgömbök helyett csak az egységgömbök felületét megnézni, ha el akarjuk dönteni, hogy két normált tér megkülönböztethető-e. Jelöljük a továbbiakban $S_X$ -szel az $(X,\Vert\cdot\Vert)$ tér egységgömbjének felületét

$\displaystyle S_X=\{x\in X\mid \Vert x\Vert=1\}.$

Tingley azt sejtette, hogy ha adott egy $f\colon S_X\to S_Y$ kölcsönösen egyértelmű izometria két normált tér gömbfelületei között, akkor azt mindig ki lehet terjeszteni $X$ és $Y$ közötti szürjektív izometriává. (Tingley véges dimenziós normált terekkel foglalkozott, de a sejtés dimenziótól függetlenül érdekes.)

Ami az embernek rögtön eszébe jut, mint természetes kiterjesztés, az az alábbi:

$\displaystyle F(0):=0$ és $\displaystyle \qquad F(x):=\Vert x\Vert\cdot f\left(\frac{x}{\Vert x\Vert}\right)$ , ha $\displaystyle \quad x\neq0.$

De mi garantálja, hogy ez a leképezés egy szürjektív izometria? Ne felejtsük el, hogy a Mazur–Ulam-tétel értelmében ennek az $F$ kiterjesztésnek lineárisnak kéne lenni!

Tingley az 1987-es [10] cikkében megmutatta, hogy a gömbfelület átellenes pontjai átellenes pontokba mennek, de már ennek a látszólag nyilvánvaló állításnak a bizonyítása is rendkívül bonyolult. Érdemes megjegyezni, hogy ennek az állításnak mély mondanivalója van. Nevezetesen, hogy az átellenességnek (ami egy algebrai tulajdonság, azt mondja, hogy az egyik pont a másik $(-1)$ -szerese) van valami metrikus tartalma is. A síkon a $\Vert\cdot\Vert _2$ norma esetében nem nehéz meglátni a metrikus tartalmat. Az egységgömbön lévő pontok távolsága legfeljebb $2$ lehet, és $\Vert(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\Vert _2=2$ pontosan akkor, ha $(x_2,y_2)=-(x_1,y_1)$ . De ugyanez az állítás a $\Vert\cdot\Vert _m$ normára nem igaz. A gömb átmérője továbbra is $2$ , de bármely $(x_1,y_1)$ ponthoz végtelen sok olyan $(x_2,y_2)$ pont van, amire $\Vert(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\Vert _2=2$ . (Emlékezzünk vissza, hogy a gömbfelület ebben az esetben egy négyzet, és annak bármely pontjától a szemközti oldal minden pontja $2$ távolságra van a $\Vert\cdot\Vert _m$ normából származtatott távolság szerint.)

A nehézséget az okozza, hogy egy normált tér egységgömbjének felülete nagyon elvadult lehet, és általában, ha csak annyit mondanak, hogy van egy függvényünk két normált tér gömbfelülete között, akkor nincs mibe kapaszkodnunk. Ha a kérdést nem úgy tesszük fel, hogy tetszőleges $X$ és $Y$ normált terekre igaz-e, hanem konkrétan meg is nevezzük a teret (vagy esetleg tereknek egy szép osztályát), akkor a kérdés egyszerűbbé válhat, mert a konkrét terek konkrét gömbfelületéről már lehetnek információink. Így például Kadets és Martín 2012-ben [5] bebizonyította Tingley sejtését olyan véges dimenziós terekre, ahol a gömb egy poliéder. Szintén igazolták a sejtést bizonyos függvényalgebrákra, operátoralgebrákra, és egyéb szép struktúrákra (lásd [3,2,4,8,9], a teljesség igénye nélkül.)

Az általános sejtés a mai napig nyitott, sőt, megdöbbentő módon még kétdimenziós terekre sem volt megválaszolva egeszen mostanáig. Taras Banakh az 2022-ben publikált [1] cikkében megmutatta, hogy Tingley sejtése igaz, ha a szóban forgó terek kétdimenziósak.

Érdemes megjegyezni, hogy ahogy Kadets és Martín, úgy Tingley is véges dimenziós normált tereket vizsgált. Az eredményeik erősen támaszkodnak arra, hogy a gömböknek bizonyos értelemben sok extremális pontja van. (Egy $H$ halmaznak a $h\in H$ pont extremális pontja, ha nem található olyan $h_1,h_2\in H$ , amelyre $h_1\neq h_2$ és $h=\frac{1}{2}h_1+\frac{1}{2}h_2$ .) Az $\mathbb{R}^2$ esetben az $\Vert\cdot\Vert _1$ -gömb és a $\Vert\cdot\Vert _m$ -gömb extremális pontjai a négyzet csúcsai, míg a $\Vert\cdot\Vert _2$ esetén a körvonal minden pontja extremális pont. A probléma az, hogy végtelen dimenziós terekben előfordulhat, hogy a zárt egységgömbnek egyáltalán nincs extremális pontja. Jelölje $c_0$ az összes olyan $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ valós számsorozat halmazát, amelyre $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$ . Könnyű látni, hogy $c_0$ egy vektortér. Vezessük be ezen a téren a max normát: $\Vert(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\Vert _{\max}:=\max\{\vert x_n\vert\mid n\in\mathbb{N}\}$ . Megmutatjuk, hogy $B_{c_0}$ egyik pontja sem extremális pont. Legyen $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ egy tetszőleges elem $B_{c_0}$ -ban. Mivel a sorozat nullához tart, biztosan van olyan $x_k$ tagja, amire $-\frac{1}{2}\leq x_k\leq\frac{1}{2}$ . Definiáljuk az $(y'_n)_{n\in\mathbb{N}}$ és $(y''_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sorozatokat úgy, hogy ha $j\neq k$ , akkor legyen $y'_j=x_j=y''_j$ . A $k$ -adik tagok pedig legyenek $y'_k=x_k-\frac{1}{2}$ , $y''_k=x_k+\frac{1}{2}$ . Az így definiált sorozatok $B_{c_0}$ -ban vannak, és Tehát $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ valóban nem extremális pont.

Daryl Tingley a University of New Brunswick nyugalmazott professzora. Fő kutatási területe a funkcionálanalízis, azon belül is Banach terek elmélete (geometriája). A nevéhez fűződő sejtés mellett érdemes néhány szót ejteni kertészeti sikereiről is: feleségével (aki szintén matematikus) Maureen Tingley-vel díjat díjra halmoznak óriástök növesztésben. Erről itt és itt lehet többet olvasni.

Tingley és felesége a neguaci óriástök fesztivál első díjával. (Fotó: Camille Breau)

Irodalomjegyzék

[1] T. BANAKH, Every 2-dimensional Banach space has the Mazur–Ulam property, Linear Algebra and its Applications, 632 (2022), 268–280.

[2] M. CUETO-AVELLANEDA, A. M. PERALTA, The Mazur–Ulam property for commutative von Neumann algebras, Linear and Multilinear Algebra, 68 (2020), 337–362.

[3] F. J. FERNáNDEZ-POLO AND A.M.PERALTA, On the extension of isometries between the unit spheres of a $C^{*}$ -algebra and , Transactions of the American Mathematical Society, 5 (2018), 63–80.

[4] O. HATORI, S. OI, R. S. TOGASHI, Tingley's problem on uniform algebras, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 503 (2021), Paper No. 125346.

[5] V. KADETS, M. MARTíN, Extension of isometries between unit spheres of finite-dimensional polyhedral Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 396 (2012), 441–447.

[6] P. MANKIEWICZ, On extension of isometries in normed linear spaces. Bulletin L'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques 20 (1972), 367–371.

[7] S. MAZUR, S. ULAM, Sur les transformations isométriques d'espaces vectoriels normés, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 194 (1932), 946–948.

[8] M. MORI, Tingley’s problem through the facial structure of operator algebras, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 266 (2018), 1281–1298.

[9] A. M. PERALTA, A survey on Tingley’s problem for operator algebras, Acta Scientiarum Mathematicarum, 84 (2018), 81–123.

[10] D. TINGLEY, Isometries of the unit sphere, Geometriae Dedicata, 22 (1987), 371–378.

[11] J. VäISäLä A Proof of the Mazur-Ulam Theorem, The American Mathematical Monthly, 110 (2003), 633–635.

Titkos Tamás
Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet, Budapesti Gazdasági Egyetem

Információk

Főmenü