Hosszú évek óta tanítok matematikatörténetet, de mindig tanulok valami újat. A napokban láttam a Netflixen egy filmet, 21 – Las Vegas ostroma, amelyben elhangzott egy abszurd állítás: Newton ellopta az érintőmódszert Raphsontól. Kicsit utánanéztem a történetnek. A magyar nyelvű wikipédia Newton-módszer szócikke a lényeget vázolja, de számomra nem eléggé érthetően. Az ott ajánlott [2] forrás segítségével sikerült a lényeget megértenem, és ez alapján tájékoztatom az Érintő olvasóit.
A közfelfogás szerint (amit eddig én is elfogadtam) a nemlineáris egyenletek numerikus megoldásának új korszakát nyitotta meg a Newton-féle érintőmódszer (1671).
1. ábra. Az érintőmódszer működése
Ha skalár–skalár függvény, amelynek
gyöke, azaz
, akkor egy közelítő
gyök ismeretében megpróbálkozhatunk az érintőegyenes
metszéspontját adó
egyenletből adódó
![$\displaystyle x_{n+1}=x_n-{{f(x_n) }\over {f'(x_n)}}
$](/images/stories/latexuj/2020-11/2020-11-simonovitsandrasazerintomodszer/img7.png)
iterációval. Ez a módszer nem mindig konvergál, de jó esetben nemcsak konvergál, hanem nagyon gyorsan konvergál. Ha nem ismerjük a függvény deriváltját, akkor a következő közelítéssel élhetünk:
![$\displaystyle f'(x_n)\approx \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}.
$](/images/stories/latexuj/2020-11/2020-11-simonovitsandrasazerintomodszer/img8.png)
A legegyszerűbb alkalmazás a szám négyzetgyökének megkeresése, ekkor
:
![$\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{\beta}{x_n}\right).
$](/images/stories/latexuj/2020-11/2020-11-simonovitsandrasazerintomodszer/img11.png)
Külön érdekesség, hogy ezt a módszert már az ókori babilóniaiak is ismerték [1]. Vélhetőleg ennek segítségével határozta meg Arkhimédész jó közelítő értékét i.e. 240 körül, amikor az egységátmerőjű kör kerületét szoros alsó–felső korlátok közé szorította.
A valóság azonban bonyolultabb, és visszavezet az 1960-as években még a középiskolában oktatott speciális négyzetgyökvonási algoritmushoz, amelyet a matematikatörténet Vieta nevéhez fűz (1600 előtt). Az egyszerűség kedvéért itt is a babiloni -es példát vesszük, és a 100-szoros
-zal folytatjuk. Kezdő lépésként egy olyan természetes számot választunk, amely alulról jól közelíti a
-at:
, amelynek négyzete 196.
Ahhoz, hogy pontosítsuk ezt a becslést, jelölje az első tizedesjegyet , azaz
-gyel próbálkozunk. Elvégezve a négyzetre emelést, a
közelítést kapjuk, amelyből eldobjuk a négyzetes tagot, és csak az első értékes jegyet tartjuk meg:
![$\displaystyle 4=2{,}8y_1,$](/images/stories/latexuj/2020-11/2020-11-simonovitsandrasazerintomodszer/img20.png)
![$\displaystyle y_1=1.
$](/images/stories/latexuj/2020-11/2020-11-simonovitsandrasazerintomodszer/img21.png)
Még egy lépéssel tovább lépünk: , azaz újbóli négyzetreemeléssel
![$\displaystyle 200\approx (14{,}1+0{,}01y_2)^2\approx 198{,}81+0{,}282y_2,
$](/images/stories/latexuj/2020-11/2020-11-simonovitsandrasazerintomodszer/img23.png)
azaz . A közelítő eredmény
.
Sem Newton 1671-ben, sem Raphson 1690-ben nem tudott elszakadni a Vieta-módszer algebrai hatókörétől, bár ők nem ragaszkodtak a tizedesjegyek egymás utáni meghatározásához. Valóban, a fenti módszerben már az első közelítésben megkaphattuk volna a 0,14-ot.
A korra jellemző, hogy nem általános, hanem speciális polinomokat vizsgáltak, mi azonban kedvelt harmadfokú egyenletüket paraméteresen írjuk föl:
![$\displaystyle f(x)=x^3 -px-q=0.
$](/images/stories/latexuj/2020-11/2020-11-simonovitsandrasazerintomodszer/img26.png)
Itt a fokozatos megközelítésnél nincs szükség explicit deriválásra, elegendő az lineáris közelítése:
![$\displaystyle 0\approx f(x_{n+1})=(x_n+e_n)^3 -p(x_n+e_n)-q\approx x_n^3-px_n-q+(3x_n^2-p)e_n,
$](/images/stories/latexuj/2020-11/2020-11-simonovitsandrasazerintomodszer/img28.png)
azaz
![$\displaystyle e_n=\frac{x_n^3-px_n-q}{3x_n^2-p}.
$](/images/stories/latexuj/2020-11/2020-11-simonovitsandrasazerintomodszer/img29.png)
Csak az (és az
) jelölés bevezetésével kapjuk meg az érintőmódszert.
A Principia III. kiadásában (1726-ban) a Kepler-feladat megoldásával kapcsolatban Newton nem algebrai egyenletet is megoldott módszerével, ez azonban 1882-ig észrevétlenül maradt. Ezt leszámítva, mindkét szerző kizárólag polinomiális egyenletekre szorítkozott.
2. ábra. Godfrey Kneller festménye: IsaacNewton –1689 (Forrás:https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Isaac_Newton&oldid=23210874)
Simpson volt az első (neve az integrálási szabályáról maradt fenn), aki 1740-ben nem algebrai (négyzetgyökös) függvényeket vizsgált, és a levezetésnél explicite differenciálta a függvényeket. De az igazi érintőmódszert, az általunk is alkalmazott jelöléssel csak Lagrange publikálta 1798-ban, ő Newton mellett még Raphson nevét is megemlítette. Fourier 1831-ben már csak Newtonra hivatkozott, és ez okozhatta azt, hogy Raphsont és Simpsont sokáig elfeledték.
3. ábra. Raphson aláírása felvételekor a Királyi Társaságba (Forrás: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Raphson.gif)
Zárásként megemlítjük, hogy bár Newton valóban évtizedekkel Raphson után publikálta kezdetlegesebb módszerét, nem lopott el semmit sem Raphsontól, és nem is volt köztük prioritási vita. De a matematika vonzerejét mutatja, hogy hollywoodi filmekben is megjelennek komoly matematikai problémák, még ha időnként eltorzítva is.
Irodalomjegyzék
- [1] Boyer, C. B. (1968): A History of Mathematics, Princeton, Princeton University Press. Kiegészített kiadás: Revised by Uta C. Merzbach (1991), Wiley.
[2] Ypma, T. (1995): Historical development of the Newton–Raphson-method, SIAM Review, 37:4, 531–551.
Simonovits András