A négyzetes és téglalapos cövekek problémájáról

Tekintsük a következő (nem igazán életszerű) problémát: adott egy gödrünk, és azt kérdezzük, hogy készíthető-e hozzá egy olyan négyzet keresztmetszetű cövek, amely épp befér a gödrünkbe, vagyis alapjának csúcsai épp a gödör szélén vannak. Mi a helyzet, ha téglalap keresztmetszetű cövekekkel szeretnénk dolgozni?

A fenti (a gyakorlati életben azért, valljuk be, ritkán előforduló) probléma vezethette Otto Toeplitz neves német matematikust a következő, nagyon egyszerűen megfogalmazható, de meglepően mély eszközöket kívánó probléma felvetéséhez. Legyen $f$ egy, az $S^1$ körvonalról az $\mathbb{R}^2$ síkba mutató folytonos, injektív függvény, vagyis az $f(S^1)$ kép egy egyszerű (önátmetszések nélküli) folytonos zárt görbe $\mathbb{R}^2$ -ben. Az ilyen $f$ függvényt (injektivitása okán) néha beágyazásnak is hívjuk, a képként előálló görbét pedig Jordan-görbének is szokás nevezni. (Ez a görbe jelképezné a kiásott gödrünk peremét kertünkben, amelyet síknak képzelünk.)

Négyzetes cövek sejtés (Topelitz [10], 1911): Minden fenti $f$ esetén létezik négy különböző olyan $t_1, t_2, t_3, t_4\in S^1$ pont, hogy $f(t_1), f(t_2), f(t_3), f(t_4)$ képük egy négyzet négy csúcsát határozzák meg, lásd az alábbi ábrát.

Az $f(t_1)f(t_2)f(t_3)f(t_4)$ négyzetet (a fogalmat kicsit tágítva) a továbbiakban beírt négyzetnek is fogjuk hívni, bár nemkonvex $f(S^1)$ Jordan-görbe esetén ez a négyzet nem lesz feltétlen része a görbe által határolt körlapnak – de legalább csúcsai a görbén vannak. (A gödrökkel megfogalmazott analógiában általában konvex görbékre gondolunk; a cövek nem feltétlenül fér be a gödörbe a nemkonvex esetben.) A fenti matematikai problémában az $f(S^1)$ -ről konvexitást nem tételezünk fel.

A matematikai feladat gyengíthető úgy, hogy a négy képponttól azt követeljük meg, hogy egy (nemelfajuló, tehát nem szakasznak kinéző) téglalap négy csúcsát alkossák.

A feladat nehezíthető is: megkérdezhetjük, hogy rögzített görbére és tetszőlegesen rögzített téglalapra van-e négy olyan pont, amely a rögzített téglalapunkhoz hasonló téglalap négy csúcsát alkotja. Emlékezzünk, hogy két téglalap pontosan akkor hasonló, ha az oldalhosszaik aránya (amiről az oldalak felcserelése árán feltehető, hogy legalább 1) egyenlőek. A négyzet esetét kapjuk akkor, amikor ez az arányszám 1-gyel egyenlő. A sejtés utóbbi két változatát téglalapos cövek problémának szokás hívni.

Az alábbiakban ezen problémák rövid története és a megoldásukban a közelmúltban történt áttörések kerülnek bemutatásra. (A probléma jóval részletesebb tárgyalását Benjamin Matschke kitűnő cikkében [5] lehet megtalálni.)

1. A négyzetes cövek probléma

A probléma megoldását már 1913-ban megtalálta Arnold Emch [2] abban az esetben, ha az $f$ függvény szakaszonként analitikus. A simasági feltételt gyengítette Schnirelman [8] egy 1929-ben írt dolgozatában (melynek javított változata 1944-ben jelent meg). Mindkét bizonyítás alapötlete megtalálható Matschke fent említett [5] cikkében. Első pillantásra az ember azt gondolhatná, hogy a sima (differenciálható) eset kezelésével a probléma megoldódik: egy tetszőleges $f$ beágyazást közelítsünk $g_n$ sima beágyazások egy sorozatával, melyekre már tudjuk, hogy léteznek a megkívánt beírt négyzetek. Vegyük ilyen négyzetek egy sorozatát, és érveljünk úgy, hogy ennek a négyzetsorozatnak van konvergens részsorozata. Valójában ez az érvelés percízzé tehető; az egyetlen probléma az, hogy a kapott négyzetsorozat könnyen elképezelhetően egy degenerált (0 oldalhosszúságú) négyzethez fog konvergálni (amikor is a sejtésben megkívánt $t_1,\ldots , t_4$ pontok egybeesnek). Mivel ezt a sejtés kizárja, így a fenti gondolatmenet nem visz közelebb a megoldáshoz.

Mint kiderült, a probléma nehézsége valóban az $f$ beágyazás analitikus tulajdonságaiban rejlik. Napjaink egyik kiemelkedő matematikusa, Terence Tao is egy hosszú cikket szentelt a problémának [9] abban az esetben, ha az $f$ képeként előálló görbe két (további tulajdonságoknak is eleget tevő) Lipschitz-függvény grafikonjából rakható össze. Az általános, folytonos $f$ -re vonatkozó négyzetes cövek sejtés még ma is nyitott.

2. A téglalapos cövek probléma

Látványosabb volt a fejődés a téglalapos cövek probléma terén. Az egyszerűbb kérdésre, hogy vajon mindig létezik-e egy beírt téglalap, Vaughan már a 70-es években megtalálta a megoldást (ez Meyerson [6] cikkében jelent meg). Érdekes módon, a bizonyítás topológiai alapgondolatokon nyugszik. (A megoldás egy animált változata megtekinthető a youtube-on.)

Téglapos cövek tétel: Legyen $f\colon S^1\to \mathbb{R}^2$ egy folytonos beágyazás. Ekkor létezik négy különböző olyan $t_1, t_2, t_3, t_4$ pont, hogy képük egy téglalap négy csúcsát adja.

Bizonyítás: Vegyük azt a körvonal pontpárjain értelmezett

$\displaystyle F\colon S^1 \times S^1\to \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_{\geq 0}$

függvényt, mely a $(t, s)\in S^1\times S^1$ pontpárhoz az

$\displaystyle F(t, s)=\Big( \frac{f(t)+f(s)}{2}, \vert f(t)-f(s)\vert\Big) ,$

a háromdimenziós tér felső félterébe eső vektort rendeli. Könnyen látható, hogy $F$ szimmetrikus a két változóban, így valójában az $S^1\times S^1/{\mathbb{Z}}_2$ faktoron is értelmezhető (ahol a faktorizálással egybeejtjük a $(t,s)$ és $(s,t)$ alakú párokat). Vegyük észre, hogy a $(t,t)$ alakú elemeknek nincs párja. Nem teljesen triviális, de nem is nehéz látni, hogy az $S^1\times S^1/{\mathbb{Z}}_2$ faktor épp a nevezetes $M$ Möbius-szalaggal lesz azonos, melynek körvonal pereme épp a $(t,t)$ alakú elemekből áll. (Például, ha az $(x,y)$ pontpárból azon az $(u_1(t), u_2(t))$ úton indulunk, amelynél $u_1(t)$ az $x$ -ből $y$ -ba mutató egyik köríven megy végig, míg $u_2(t)$ az $y$ -ből $x$ -be mutató másikon, így érve $(y,x)$ -be, akkor az $S^1\times S^1/{\mathbb{Z}}_2$ faktorban egy irányításfordító hurkon haladunk végig.)

Ilymódon $F$ helyett nézhetjük az ${\overline {F}}\colon M \to \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ indukált leképezést. Vegyük észre, hogy pontosan akkor létezik az $f$ által adott görbe esetén beírt téglalap, ha ${\overline {F}}$ nem beágyazás: valóban, ha $(t_1, s_1)$ és $(t_2, s_2)$ is ugyanoda képződik ${\overline {F}}$ mentén, akkor az ${\overline {f(t_1)f(s_1)}}$ és ${\overline {f(t_2)f(s_2)}}$ szakaszok egyforma hosszúak és közös a felezőpontjuk, tehát egy téglalap két átlóját adják.

Tegyük fel indirekten tehát, hogy egy adott $f$ esetén nincs beírt téglalapunk. Ekkor ${\overline {F}}$ beágyazás, mely a Möbius-szalag peremét (a $(t,t)$ alakú párokat) viszi csak az $\mathbb{R}^2\times \{ 0\}$ síkba, és ezeket a párokat épp az $f(t)$ pontokba képezi. A topológia egy ismert tétele szerint az $f(S^1)$ Jordan-görbe a síkot két részre bontja: egy körlapra, és egy nemkompakt részre. (Ezt a tételt Jordan görbetételeként ismerhetjük.) Ilymódon a beágyazott ${\overline{F}}(M)$ Möbius-szalaghoz hozzáragaszthatjuk a körlapot, amivel egy beágyazott projektív síkot kapunk a szokásos ${\mathbb{R}}^3$ háromdimenziós terünkben. (Azt nem részletezzük, hogy miért igaz az, hogy a körlap és a Möbius-szalag összeragasztása az ${\mathbb{RP}}^2$ projektív síkot adja, de megjegyezzük, hogy ezt nem nehéz belátni.) Az algebrai topológia standard eszközeivel (például egész együtthatós homológiacsoportokkal, és az azokra vonatkozó Mayer-Vietoris hosszú egzakt sorozattal) azonban belátható, hogy $\mathbb{R}^3$ -ba nem lehet a projektív síkot beágyazni, vagyis hogy egy folytonos $g\colon {\mathbb{RP}}^2\to \mathbb{R}^3$ függvény soha nem lehet injektív. (Többszörös pontokkal rendelkező függvényt persze lehet találni, egy nevezetes ilyen leképezést ad a Boy-felület, melynek szobrászati megvalósítása az oberwolfachi konferenciaközpont előtt is megcsodálható.)

Forrás: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Boysche_Fl%C3%A4che_in_Oberwolfach.jpg

A talált ellentmondás szerint ${\overline {F}}$ nem lehet injektív, így megvan a téglalapunk. Mivel a projektív sík folytonosan sem ágyazható be háromdimenziós terünkbe, a fenti gondolatmenetben $f$ -ről csak folytonosságát kellett feltegyük.

3. Újabb fejlemények

Vegyük észre, hogy a fenti bizonyítás semmifajta információt nem adott arra nézve, hogy a görbe milyen téglalapot tartalmaz (hasonlóság erejéig). A téglalapos cövek probléma erős változata szerint (hasonlóság erejéig) minden téglalapnak elő kellene fordulnia egy $f\colon S^1\to \mathbb{R}^2$ injektív függvény beírt téglalapjai között. Ebbe az irányba indult el Cole Hugelmeyer (első éves doktoranduszként) a következő eredményével:

Tétel (Hugelmeyer, [4]) Ha $f\colon S^1\to \mathbb{R}^2$ egy differenciálható beágyazás, akkor van olyan beírt téglalapunk, mely oldalainak aránya $\sqrt{3}$ .

(Hugelmeyer eredménye ennél valamivel általánosabb, de ez a leglátványosabb, legegyszerűbben megfogalmazható eset, egyben bizonyítása tartalmazza az összes alapötletet.)

Hugelmeyer bizonyításának fő ötlete egyrészt az, hogy (az $\mathbb{R}^2\cong {\mathbb{C}}$ azonosítást használva) a korábbi $F$ függvény egy $G\colon M\to{\mathbb{C}}^2$ függvényre cserélhető, melyet a

$\displaystyle G(t,s)=\Big( \frac{f(t)+f(s)}{2}, (f(t)-f(s))^6 \Big)$

formula ad meg. Ismét, $G$ injektivitása azt eredményezné, hogy nincs megfelelő téglalap – vegyük észre, hogy most a második koordináta egy komplex szám (alkalmas hatványa), így $G$ két pontban való egyezősége nemcsak a szakaszok hosszát teszi egyenlővé, de információt ad a lehetséges bezárt szögükről is. Persze a projektív sík ${\mathbb{C}}^2\cong \mathbb{R}^4$ -be már beágyazható, így a korábbi ellentmondás itt nem várható. Itt következik Hugelmeyer másik ötlete: a beágyazást egy a ${\mathbb{C}}\times \{ 0\}$ egy kis környezetének $N$ peremével (ami az $\mathbb{R}^2\times S^1$ háromdimenziós térrel azonosítható) elmetszve egy csomót kapunk, amely egy Möbius-szalagot határol. Ezt a csomót (a Möbius-szalagjával együtt) aztán úgy tudja az $(S^3, D^4)$ (a háromdimenziós gömb és az általa határolt négydimenziós golyó) párba beágyazni, hogy a $G(M)\cap N$ metszet olyan csomóba képződik, amely nem határol Möbius-szalagot a négydimenziós térben. Az utóbbi állítást (nevezetesen, hogy egy, a háromdimenziós térben lévő csomó nem határol beágyazott Möbius-szalagot a négydimenziós térben) nem is olyan egyszerű belátni. Erre igazán effektív módszert J. Batson talált 2013-ban [1], majd (hasonló, csomó Floer homológiai módszereket alkalmazva) Ozsváth, Szabó, és a jelen írás szerzője fejlesztették módszerét tovább [7].

A $G$ definíciójában a második koordinátában levő kitevőt azért választottuk 6-nak, hogy épp a $\sqrt{3}$ oldalarányú téglalapokra vonatkozó eredmény jöjjön ki; magasabb páros kitevők választásával hasonló (de gyengébb) eredmények következnek.

4. A téglalapos cövek sejtés megoldása

A fenti okoskodást további (nagyon komoly felkészülést igénylő) technikákkal ötvözve Joshua Greene és Andrew Lobb [3] látta be a következő tételt, pontot téve a téglalapos cövek probléma erős változatának sima esete végére.

Tétel (Greene–Lobb, [3]): Legyen $f\colon S^1\to \mathbb{R}^2$ egy sima Jordan-görbe, és legyen $r\in \mathbb{R}$ pozitív szám. Ekkor van $S^1$ -ben négy olyan $t_1, t_2, t_3, t_4$ pont, hogy képük egy olyan téglalapot határoz meg, melyre az oldalak aránya épp $r$ .

Bizonyításuk mélyén egy új technika lapul, ami azon alapszik, hogy Hugelmeyer Möbius-szalagból ${\mathbb{C}}^2$ -be mutató leképezésének képterét szimplektikus sokaságnak tekintik. (Egy $M^{2n}$ $2n$ -dimenziós sokaságon egy szimplektikus struktúra nem más, mint egy zárt, nemelfajuló 2-forma, vagyis egy olyan $\omega \in \Omega ^2 (M)$ , amelyre $d\omega =0$ és $\wedge^n \omega \neq 0$ teljesül.) A szimplektikus topológia és geometria a matematika egy fiatal ága, és komplex analitikus eszközök továbbfejlesztésével speciális, a szimplektikus struktúrát is figyelembe vevő leképezéseket vizsgál. Ezen eszközök segítségével lehet megmutatni például azt, hogy a Klein-kancsó (mely $\mathbb{R}^4$ -be beágyazható) nem ágyazható be a szimplektikus ${\mathbb{C}}^2$ -be mint Lagrange-féle részsokaság. (Egy $L\subset (M, \omega )$ szimplektikus sokaság-beli $L$ részsokaság Lagrange-féle, ha $\omega\vert _{TL}\equiv 0$ .) A fenti fogalmak bőven a jelen dolgozat keretein túl mutatnak, bemutatásukra itt nincs lehetőség, de talán felemlegetésük és az itt tárgyalt egyszerű(nek látszó) probléma megoldásában játszott szerepük alapján felkeltik a kedves olvasó érdeklődését.

Irodalomjegyzék

[1] J. Batson: Nonorientable slice genus can be arbitrarily large, Math. Res. Lett. 21 (2014), no. 3, 423–436.

[2] A. Emch: Some properties of closed convex curves in a plane, Amer. J. Math. 35 (1913), 407–412.

[3] J. Greene, A. Lobb: The Rectangular Peg Problem, arXiv:2005.09193

[4] C. Hugelmeyer: Every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle with aspect ratio equal to $\sqrt{3}$ , arXiv:1803.07417

[5] B. Matschke: A survey on the square peg problem, Notices Amer. Math. Soc. 61 (2014), no. 4, 346–352.

[6] M. Meyerson: Balancing acts, Topology Proc. 6 (1981), no. 1, 59–75.

[7] P. Ozsváth, Z. Szabó, A. Stipsicz: Unoriented knot Floer homology and the unoriented four-ball genus, Int. Math. Res. Not. IMRN 2017, 17, 5137–5181.

[8] L. Schnirelman: On some geometric properties of closed curves, (in Russian) Usp. Mat. Nauk 10 (1944), 34–44.

[9] T. Tao: An integration approach to the Toeplitz square peg problem, Forum Math. Sigma 5 (2017), Paper No. e30, 63 pp.

[10] O. Toeplitz: Über einige Aufgaben der Analysis situs, Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn 4 (1911), 197.

5. Appendix: a Greene–Lobb bizonyítás alapelemei

Nem nehéz megadni a Greene–Lobb tételben szereplő függvényeket sem. Lássuk el a ${\mathbb{C}}$ komplex egyenest a szokásos $z=x+iy$ valamint a $w=re^{i\theta}$ polárkoordinátákkal. Ekkor ${\mathbb{C}}^2$ -en az $\omega =dx\wedge dy +r\cdot dr\wedge d\theta$ forma adja majd a megkívánt szimplektikus formát. Adjuk meg az $l,g\colon{\mathbb{C}}^2\to {\mathbb{C}}^2$ függvényeket az

$\displaystyle l(z,w)=\Big( \frac{z+w}{2}, \frac{z-w}{2}\Big) \qquad g(z,r,\theta )=(z, \frac{r}{\sqrt{2}}, 2\theta )$

formulákkal. Legyen $L=l (f(S^1), f(S^1))$ tórusz, és legyen $M$ ennek $g$ -menti képe. Nem nehéz látni, hogy $g(l(z,w))=g(l(z',w'))$ pontosan akkor, ha $\{ z, w\}=\{ z',w'\}$ , vagyis $M$ továbbra is egy Möbius-szalag.

Vegyük az $R_{\phi}(z,r, \theta )= (z,r,\theta +\phi )$ leképezést, mely tehát ${\mathbb{C}}^2$ -ből ${\mathbb{C}}^2$ -be mutat. Megmutatható, hogy $M$ és $M_{\phi}=R_{\phi}(M)$ a peremüktől különböző metszéspontjai épp olyan, az $f(S^1)$ görbébe írt tégalapoknak felelnek meg, amelyekre az átlók által bezárt szög épp $\phi$ . (Téglalapok hasonlósága az átlók bezárt szögével is megragadható.)

Ha azonban $M$ és $M_{\phi}$ valamilyen $\phi$ -re nem metszik egymást a peremükön kívül, akkor az $M\cup M_{\phi}$ unió egy beágyazott Klein-kancsót ad. (A simasághoz a perem mentén simítani kell, ami egy messze nem triviális, lokális modellen való számítást igényel.)

Annak belátása, hogy az $M\cup M_{\phi}$ Klein-kancsó (illetve simítása) Lagrange-féle, még nem nehéz. Annak belátása azonban, hogy a szimplektikus $({\mathbb{C}}^2, \omega )$ térben nincs beágyazott Lagrange-féle Klein-kancsó, nagyon komoly technikai előkészületeket igényel.