Mi is a… Legendre-csomó?

A Legendre-csomók elmélete az általános csomóelmélet és a kontakt topológia egy határterülete. Legendre-csomókkal akkor találkozunk, amikor a kontakt topológia extra struktúrájával együtt vizsgálunk általános csomókat, vagy amikor csomóelméleti ötleteket használunk fel a kontakt topológia, illetve alkalmazásainak megértéséhez. Írásunkban először bemutatjuk, mik is a Legendre-csomók, majd motivációt adunk tanulmányozásukhoz.

Egy (általános/sima) csomó a körvonal egy sima beágyazása $\mathbb{R}^3$ -ba (vagy bármilyen más 3-sokaságba, de ebben a cikkben elsősorban $\mathbb{R}^3$ -mal foglalkozunk). Egy kontakt struktúra egy speciális típusú síkmező – ahogy egy vektormező a tér minden pontjában megad egy vektort, egy síkmező minden ponthoz egy egész síkot rendel. Az 1. ábrán a sztenderd kontakt struktúra, $\xi_0$ látható $\mathbb{R}^3$ -on, amit alább részletesebben is bemutatunk majd. Bár precízen nem definiáljuk a kontakt struktúrákat, a fogalom lényege az, hogy a kontakt struktúra síkjai úgy forognak, hogy nem létezhet olyan felület, amelynek érintői mind részei a kontakt síkmezőnek. Ennek ellenére vannak olyan görbék, amelyek érintővektorai belesimulnak a kontakt struktúrába; az ilyen görbéket nevezzük Legendre-típusúnak. Az olyan csomók, amelyek egyben Legendre-típusú görbék is, a Legendre-csomók.

LegendrianWhatIs fig1

1.ábra. A sztenderd kontakt struktúra $\mathbb{R}^3$ -on (az ábra Mathematica használatával készült).

A továbbiakban $(\mathbb{R}^3, \xi_0)$ -ban, a sztenderd kontakt térben vizsgálunk Legendre-csomókat. Hogy megértsük a sztenderd kontakt struktúrát, először képzeljünk el egy egykerekűt például egy parkolóban, majd tekintsük a pályát, amit az egykerekű járna be azzal a megkötéssel, hogy a kerék sosem áll észak-déli irányba. Az egykerekű helyzete $\mathbb{R}^3$ -ban leírható a $(q,p,z)$ koordinátákkal, ahol $(q,z)$ az egykerekű pozíciója a parkolóban, $p$ pedig a kerék $q$ és $z$ tengelyekre vonatkozó meredeksége, fentről nézve. Az egykerekű bármelyik pillanatban helyben elfordulhat, elmozdulhat előre vagy hátra – abba az irányba, amelybe a kereke néz –, vagy megteheti ezen mozgások tetszőleges lineáris kombinációját. Ekkor az egykerekű pályáját leíró $\gamma(t)=(q(t),p(t),z(t))$ görbe érinti a $\partial_p$ és $\partial_q+p\partial_z$ vektormezők által kifeszített síkmezőt, így kielégíti a következő egyenletet:

$\displaystyle z^\prime(t)-q^\prime(t)p(t)=0.$

(1)

Ez a síkmező a korábban említett sztenderd kontakt struktúra, amiben a $\gamma(t)$ görbe Legendre-típusú.

LegendrianWhatIs fig2

2. ábra. (a) Legendre-típusú triviális csomó hátul a frontális, lent a Lagrange-vetületével; (b) Egy másik Legendre-típusú triviális csomó frontális vetülete; (c) A Chekanov–Eliashberg példák

A feltétel, amit az (1) egyenlet jelent a csomóra nézve, a $qz$ és $qp$ síkokra való vetületen a legszemléletesebb, ezeket mutatja a 2. ábra. Az (1) egyenlet szerint egy Legendre-típusú görbe $p$ koordinátáját egyértelműen meghatározza a görbe $qz$ síkra vett frontális (elülső) vetületének meredeksége. Az egykerekű példájánál maradva a frontális vetület a parkolóban hagyott keréknyom. A 2. ábrán néhány Legendre-csomó frontális vetülete látható.

Figyeljük meg, hogy a vetületen minden kereszteződés ugyanúgy néz ki: a kisebb meredekségű ív halad el a nagyobb meredekségű fölött. Minden olyan $qz$ síkbeli zárt görbe, amely véges sok „csúcsos”, úgynevezett cusp kivételtől eltekintve immerzió, és nincsenek függőleges érintői, előáll egy Legendre-csomó frontális vetületeként.

Az (1) egyenletből az is következik, hogy egy Legendre-típusú görbe $z$ koordinátája (konstans erejéig) egyértelműen meghatározható a $q^\prime(t)p(t)$ mennyiség integrálásával a görbe $qp$ síkra vett, úgynevezett Lagrange-vetülete mentén. Mivel egy csomón végighaladva annak $z$ koordinátája vissza kell térjen a kiindulási értékébe, Green tétele szerint egy Legendre-csomó Lagrange-vetülete nulla előjeles területű részt határol. Tehát a sima körvonal nem lehet egy Legendre-csomó Lagrange-vetülete.

A csomóelmélet két alapvető célja, hogy megértsük a csomók „geográfiáját” – azaz hogy megkülönböztessük, avagy osztályozzuk a csomókat –, és hogy tanulmányozzuk a csomó helyzetét a háromdimenziós térben. E célkitűzések vonatkoznak a Legendre-csomóelméletre is. Két sima csomót ekvivalensnek tekintünk, ha sima mozgatásokkal, sima csomókon keresztül egymásba vihetők; hasonlóan, két Legendre-csomó ekvivalens, ha egymásba mozgathatók Legendre-csomókon keresztül.

Két ekvivalens Legendre-csomó sima csomóként is ekvivalens egymással, ám ez fordítva nem igaz. Hogy erről meggyőződhessünk, bevezetünk két „klasszikus” invariánst.

A Thurston–Bennequin-szám a Legendre-csomó, és annak egy olyan (például a $\partial_z$ irányba) eltolt példányának hurkolódási számát méri, amely mindenhol transzverzálisan metszi $\xi_0$ -t.

A 2. (a) ábrán lévő csomó Thurston–Benneqin-száma $tb=-1$ , míg a 2. (b) ábrán lévő (szintén triviális!) csomóé $tb=-2$ . A rotációs szám egy irányított Legendre-csomó Lagrange-vetületén méri az érintővektorok körülfordulási számát. Ez is megkülönbözteti a 2. (a) és (b) ábrák csomóit.

A klasszikus invariánsok segítségével pontosíthatjuk a Legendre-csomók helyzetének kérdését egy rögzített sima csomóosztályon belül: Mely $(tb;r)$ invariánspárok realizálhatók Legendre-csomóval, és hány Legendre-csomóosztály rendelkezik azonos klasszikus invariánspárral?

A triviális csomóra Eliashberg és Fraser bizonyították, hogy pontosan az olyan $(tb;r)$ párok érhetők el, amelyek tagjai ellentétes paritásúak, valamint kielégítik a $tb+\vert r\vert \leq -1$ Benneqin-korlátot; és hogy minden ilyen invariánspárhoz pontosan egy Legendre-csomóosztály tartozik. Eszerint minden Legendre-típusú triviális csomó előállítható a 2. (a) ábra frontális diagramjából néhány cikkcakk hozzáadásával (ezt a műveletet stabilizációnak nevezzük).

Tóruszcsomókra, a 8-as csomóra, és egyes tóruszláncokra hasonló osztályozás ismert, de a helyzet általában bonyolultabb: Eliashberg és Chekanov felfedezte, hogy a 2. (c) ábrán látható két Legendre-csomó azonos csomóosztályhoz tartozik, invariánsaik $tb=1$ és $r=0$ , mégsem ekvivalensek. Számos olyan „nem klasszikus” invariánst ismerünk, amely képes megkülönböztetni ezeket (illetve más csomókat) is: ilyen a Legendre-féle kontakt homológia, mely speciális esete Eliashberg, Givental és Hofer szimplektikus mezőelméletének (Symplectic Field Theory); Chekanov, Pushkar és Traynor generátorcsalád-elmélete; vagy Ozsváth, Szabó és Thurston Legendre-invariánsa a csomó-Floer-homológiában. Ezek az újonnan kifejlesztett invariánsok a Legendre-csomók, illetve komplementumuk olyan finom kontakt topológiai tulajdonságait is ki tudják mutatni, amelyekről alkotott képünk csak napjainkban kezd kirajzolódni.

A Legendre-csomók nemcsak önmagukért érdekesek, hanem egyben eszközöket szolgáltatnak a kontakt topológia és a csomóelmélet tanulmányozásához. Kontakt topológiában gyakran Legendre-csomók segítségével vizsgáljuk a környező kontakt struktúrát. Erre az első példát Benneqin szolgáltatta az $\mathbb{R}^3$ -on lévő $\xi^\prime$ „egzotikus” kontakt struktúra felfedezésekor: olyan Legendre-típusú triviális csomót talált $(\mathbb{R}^3,\xi^\prime)$ -ben, amelyre nem teljesült a Benneqin-korlát, így különböztetve meg $\xi^\prime$ -t $\xi_0$ -tól. Legendre-csomókat használunk új kontakt sokaságok létrehozásakor is, a műtétek leírásához.

A Legendre-csomók elméletének fejlődése nagy hatással van a sima csomóelméletre is, hiszen szoros kapcsolatban állnak az ismert geometriai (4-génusz) és kvantum (HOMFLY, Kauffman, Khovanov, …) csomóinvariánsokkal, valamint alkalmazhatók olyan új invariánsok megalkotásánál, mint például Ng csomó kontakt homológiája, ami magasabb dimenziós Legendre-csomókat használ. Mindemellett a Legendre-csomók (illetve az ezekkel analóg módon definiálható, a kontakt struktúrát mindenhol transzverzálisan metsző csomók) mentén végzett műtétek jelentős szerepet játszottak Kronheimer és Mrowka bizonyításában, amikor igazolták, hogy minden nemtriviális csomóra fennáll a P tulajdonság.

Nemrég Chekanov és Pushkar az Arnold-féle „4 cusp” sejtésre adott bizonyításukban ismét eredeti környezetükben, a geometriai optikában alkalmazta a Legendre-csomókat (hullámfrontokként).

Mindezek ellenére a Legendre-csomók geográfiájának, geometriájának és alkalmazásainak megértéséhez vezető útnak csupán a legelején járunk.

Irodalomjegyzék

[1] D. Bennequin, Entrelacements et équations de Pfaff, Asterisque 107–108 (1983), 87–161.

[2] J. Etnyre, Legendrian and Transversal Knots, Handbook of Knot Theory, Elsevier, 2005, pp. 105–185.

[3] H. Geiges, An Introduction to Contact Topology, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 109, Cambridge University Press, 2008.

Joshua M. Sabloff, Harverdord College

A cikk az Amerikai Matematikai Társaság Notices folyóiratának 2009. novemberi számában jelent meg, ezúton köszönjük az AMS és a szerző szíves engedélyét a fordítás közléséhez. Fordította: Földvári Viktória.