Egy feladat és ami róla az eszembe jutott...
A mai számban egy geometriai feladatot járunk körbe, amelyet Laczkó László kollégám dolgozott fel. Az anyag megtalálható a Budapesti Fazekas Gimnázium matematikaoktatási portálján (http://matek.fazekas.hu) a cikkek között, „Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!” címmel. A cikk címe nagyon találó, pont ez van a cikk készítésének ötlete mögött. Az ott szereplő megoldások közül válogatok és mutatok meg néhányat.
A feladat
Az hegyesszögű háromszög
-nél levő szöge
.
a háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy
!
1. megoldás
Használjuk az ábra jelöléseit!
A háromszög derékszögű és egyenlő szárú, hiszen
![$\displaystyle T_BBC\sphericalangle=T_BCB\sphericalangle=45^\circ
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img8.png)
Ezért
![$\displaystyle CT_B=T_BB
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img9.png)
Az háromszög is derékszögű és egyenlő szárú, hiszen
![$\displaystyle T_BAM\sphericalangle=T_BMA\sphericalangle=45^\circ
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img11.png)
Ezért
![$\displaystyle AT_B=T_BM
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img12.png)
A és
háromszögek egybevágók, mert két-két oldaluk (
és
) és közbezárt szögük egyenlő (
).
Ezért a harmadik oldaluk is megegyezik, azaz
![$\displaystyle AB=CM.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img18.png)
2. megoldás
Használjuk az ábra jelöléseit!
és
merőleges szárú hegyesszögek, ezért
![$\displaystyle T_BBA\sphericalangle=ACM\sphericalangle
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img21.png)
Az és
háromszögek derékszögűek.
A szög (és a derékszög) közös ebben a két háromszögben, tehát hasonlóak.
A és
egymásnak megfelelő oldalak egyenlőek, mert a
háromszög egyenlő szárú derékszögű (1. megoldás) ezért a két háromszög egybevágó, azaz
![$\displaystyle AT_BB\triangle \cong CMT_B\triangle
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img26.png)
Ebből következik, hogy minden megfelelő oldal egyenlő, azaz
![$\displaystyle CM=AB.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img27.png)
3. megoldás
Használjuk az ábra jelöléseit!
Tükrözzük tengelyesen az pontot a
oldalra, a tükörképet
jelöli.
Ismeretes, hogy a magasságpontot az oldalra tengelyesen tükrözve a tükörkép () pont a háromszög köré írt körön van.
A tükrözés miatt
![$\displaystyle CM=CM'.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img31.png)
Ugyanakkor
![$\displaystyle CAM\sphericalangle=CAM'\sphericalangle =45^\circ.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img32.png)
Az és
húrok ugyanabban a körben vannak és mind a kettőhöz
-os kerületi szög tartozik, tehát
![$\displaystyle AB=CM'.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img35.png)
Mivel , így
![$\displaystyle CM=AB.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img27.png)
4. megoldás
Használjuk az ábra jelöléseit!
![](/images/2020_szept/tanora/utonmodon4/fig-04.png)
A szakaszt
oldal felezőpontjára (
) tükrözve kapjuk
-t. Ismeretes, hogy
a körülírt körön van.
A középpontosan tükrözött szakasz párhuzamos a képével. A magasság merőleges az
alapra, tehát
![$\displaystyle M'BA\sphericalangle=90^\circ.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img41.png)
, mert az
ívhez tartozó kerületi szög.
egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért
![$\displaystyle BM'=AB
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img44.png)
A tükrözés miatt
![$\displaystyle CM=BM',
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img45.png)
ezért
![$\displaystyle CM=AB.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img27.png)
5. megoldás
Használjuk az ábra jelöléseit!
Legyen a háromszög köré írható körének középpontja.
Az vektort jelölje
, az
,
,
és
vektorokat rendre
,
,
és
.
Felhasználjuk, hogy a magasságpontba mutató vektorra
![$\displaystyle \mathbf{m}=\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img57.png)
Ebből a vektorra kapjuk, hogy
![$\displaystyle \mathbf{d}=\mathbf{m} - \mathbf{c}=\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} - \mathbf{c}=\mathbf{a} + \mathbf{b}.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img58.png)
Az és
vektorok által kifeszített paralelogramma egyik átlója
, a másik
.
A kerületi és középponti szögek tétele miatt
![$\displaystyle BOA\sphericalangle= 90^\circ.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img59.png)
Így az és
vektorok által kifeszített paralelogramma négyzet, mert az
,
vektorok hossza a köré írt kör sugarával egyenlő.
A négyzet átlói egyenlőek, így
![$\displaystyle \left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert=\left\vert\overrightarrow{CM}\right\vert~\Rightarrow~AB=CM.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img60.png)
6. megoldás
Használjuk az ábra jelöléseit!
![](/images/2020_szept/tanora/utonmodon4/fig-06.png)
A oldalra tükrözzük az
háromszöget,
tükörképe legyen
.
és a tükörképe,
is
, valamint
is annyi.
Ezért a szakasz
-os látókörén van
és
is.
a tükrözés miatt, ezért
szakasz párhuzamos
szakasszal, így
húrtrapéz, melynek szárai
és
egyenlőek. Ezért
![$\displaystyle AB=CM
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img72.png)
7. megoldás
Tegyük koordinátarendszerbe a feladatot úgy, hogy a csúcs az origóba, az
csúcs az
tengelyre essen. Használjuk az ábra jelöléseit!
![](/images/2020_szept/tanora/utonmodon4/fig-07.png)
A csúcsok koordinátái:
, hiszen az
tengelyen van.
, hiszen az
egyenes egy pontja.
, hiszen az origóban van.
Az egyenes merőleges
-re, aminek a meredeksége 1, ezért egyenlete
![$\displaystyle y=-x+a.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img80.png)
Az pont esetén
és innen az
,
pont koordinátája
![$\displaystyle M(b,a-b).
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img83.png)
Az és
pontok távolsága
![$\displaystyle AB=\sqrt{(a-b)^2+b^2},
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img84.png)
a és
pontok távolsága
![$\displaystyle CM=\sqrt{b^2+(b-a)^2}.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img85.png)
Látható, hogy
![$\displaystyle AB=CM.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img18.png)
8. megoldás
Legyen a háromszög köré írható kör középpontja,
az
oldal felezőpontja,
a háromszög súlypontja.
a háromszög magasságpontja.
Tudjuk, hogy harmadolja az
szakaszt, valamint
harmadolja a
súlyvonalat.
A kerületi és középponti szögek tétele miatt háromszög derékszögű és egyenlő szárú.
Mivel az
Thalész-körének sugara,
![$\displaystyle 2OF=AB,
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img91.png)
pedig az átmérője.
Tudjuk, hogy az -re vonatkozó (
) -szeres nagyítás az
szakaszt a
szakaszba viszi. Így
![$\displaystyle CM=2FO=AB.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img94.png)
9. megoldás
Helyezzük el a háromszöget a Gauss-féle komplex számsíkon úgy, hogy a háromszög köré írt kör középpontja () az origó legyen. Használjuk az ábra jelöléseit!
A kerületi és középponti szögek tétele miatt , és
ezért
![$\displaystyle \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot i.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img98.png)
Ekkor
![$\displaystyle AB=\left\vert\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right\vert=\...
...htarrow{OA}(1-i)\right\vert=\sqrt{2}\left\vert\overrightarrow{OA}\right\vert.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img99.png)
Ismert, hogy , így
![$\displaystyle MC=\left\vert\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}\right\vert=\...
...htarrow{OA}(1+i)\right\vert=\sqrt{2}\left\vert\overrightarrow{OA}\right\vert,
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img101.png)
ami azt jelenti, hogy
![$\displaystyle AB=MC.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img102.png)
Visszacsatolás
Az Úton-módon 1. cikkében levő feladattal kapcsolatban ismét kaptam megoldásokat. Most Tatár Zsuzsanna Mária kolléganő írt 6 megoldást. A megoldások „nem vágnak teljesen bele” az eredeti elképzelésbe, hogy elemi megoldást adjunk a feladatra. Azért a küldött megoldások küzül – szubjektíven – egyet kiválasztottam, amit most megmutatok.
Tatár Zsuzsanna Mária, Esztergom megoldása
Tegyük koordinátarendszerbe az ábránkat! Az alapháromszög oldala legyen egység.
![](/images/2020_szept/tanora/utonmodon4/fig-10.png)
Ekkor a pontok koordinátái (rövid számolással adódnak):
![$\displaystyle A\left(-1;0\right),\quad B\left(1;0\right),\quad C\left(0;\sqrt 3...
...ad D\left(0;1\right),\quad E\left(0;2-\sqrt 3\right),\quad F\left(0;0\right).
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img105.png)
Forgassuk el az vektort 90 fokkal az óramutató járásával megegyező irányba. Így megkapjuk az
vektort.
![$\displaystyle \overrightarrow{EB}\left(1;\sqrt 3-2\right),
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img108.png)
![$\displaystyle \overrightarrow{EL}\left(\sqrt 3-2;-1\right).
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img109.png)
helyvektor végpontja megadja az
pont koordinátáit.
![$\displaystyle \overrightarrow{FL}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EL},
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img112.png)
![$\displaystyle \overrightarrow{FL}\left(\sqrt 3-2;1-\sqrt 3\right),
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img113.png)
![$\displaystyle L\left(\sqrt 3-2;1-\sqrt 3\right).
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img114.png)
Tekintsük az háromszög oldalainak hosszát:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Tehát az háromszög szabályos,
háromszög derékszögű.
![$\displaystyle AEB\sphericalangle=60^\circ +90^\circ =150^\circ.
$](/images/stories/latexuj/2020-09/2020-09-szoldaticsjozsefutonmodon4/img123.png)
Zárszó
Kedves Olvasó! Ha egy másik „szép” megoldást talál, kérem küldje el nekem a Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. e-mail címre. Ezeket az újabb megoldásokat összegyűjtve időnként (terveim szerint) szintén megmutatnám.
Megemlékezés
65 éves korában elhunyt Petz György szerkesztő, író, költő, tanár, a Szépírók Társasága tagja. A nyugdíjbavonulása előtti években a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium tanára volt, kollégámat tisztelhettem benne.
Miért írom mindezt?
Amikor e cikksorozatnak címet kerestem, hozzá fordultam ötletekért. Elmondtam neki, hogy mi lenne a cikkekben, hogyan is gondolom. Persze – akik ismerték, tudják róla, mindig viccelt – néhány tréfás megjegyzést tett némi mosoly kíséretében a felvetésre. Ám rövid időn belül sok javaslatot tett elém, végül is az „Úton–módon” cím nyert. Szóval e sorozat nevének ő volt az ötletgazdája. Emlékére írtam ezt a pár sort.