Számolni tudni kell?

1990 előtt Magyarországon elitképzés folyt az egyetemeken, ahova csak az érettségizők 8 százalékát vették fel. 1990 után egyre többen kerültek be a felsőoktatásba. Ezzel minőségileg megváltozott az egyetemi hallgatóság befogadóképessége. Rontotta a helyzetet, hogy a műszaki és természettudományok presztízse leértékelődött. A jó hallgatók egy jelentős része jogot, közgazdaságtant vagy bölcsészeti tárgyat kívánt tanulni. Mindezt azonban nem követte a tanítás módszereinek változása. 1998-ra már világos volt, hogy súlyos problémák vannak [V]. Az egyetemi oktatás didaktikai elemzése és az oktatók ilyen irányú továbbképzése szervezett formában azóta sem merült fel.

2016 őszén belső vita robbant ki a kérdésről a BME Matematika Intézetében. Bár konkrét tanulság nem kristályosodott ki, világossá vált, hogy a téma el van hanyagolva. Vélelmezhető, hogy más, hazai műszaki egyetemeken a helyzet hasonló.

Az előzmények sorába tartozik, hogy a többszintű képzésre való áttéréskor az ELTE két lényeges újítást vezetett be 2005 táján. Az egyik, hogy minden matematika szakos hallgatónak tanulmányai megkezdése előtt le kell vizsgáznia a középiskolai anyagból, s ha eredménye nem megfelelő, akkor egy kredit nélküli tárgyat is el kell végeznie, ami pótolni hivatott a hiányokat. Ebben az ELTE némileg az amerikai  Rutgers Egyetem gyakorlatát követi, ahol minden hallgatónak le kell vizsgáznia angol nyelvből és matematikából. A másik újítás hogy az egyes tárgyakat több szinten hirdetik meg, s a hallgató a saját befogadási szintje szerinti változat óráit látogathatja.

Bizonyos elemeket, különösen az ellenőrzésre és annak tanítására vonatkozóakat, felhasználok egykori középiskolás tanárom, Bánhegyi László módszereiből, leírva, hogy  azokat hogyan próbáltam átültetni a gyakorlatba az oktatás során. 

Az alábbiakban egy nem magyarországi nemzetközi egyetem mérnöki karán szerzett tapasztalatokról lesz szó. Az egyetemről előzetesen annyit érdemes megemlíteni, hogy az oktatást amerikai mintára tervezték és szervezték meg. A hallgatóság összetétele minden szempontból rendkívül vegyes. Nepáltól Marokkóig és Dániától Dél-Afrikáig vannak hallgatók. Szorosabban véve az ipari mérnök (industrial engineer) BSc hallgatókról lesz szó. Az ipari mérnök kifejezés szokatlan a magyar nyelvben annak ellenére, hogy használják. A tartalmát tekintve talán kifejezőbb lenne a „szervező mérnök” megnevezés. Az ipari mérnöki szakma igen nagy átfedést mutat az operációkutatással, tekinthető az utóbbi ipari környezetben való alkalmazásának, beleértve ennek mind a műszaki, mind a gazdasági oldalát. A karon a szakok ABET (Accreditation Board for Engineering and Technology) akkreditációval rendelkeznek. Ennek nagy előnye, hogy aki ABET akkreditációval rendelkező programban végzett, az könnyen folytathatja tanulmányait magasabb szinten az Egyesült Államokban.

 A hallgatóság vegyes összetétele a diákok egyéni színvonalában is megmutatkozik. Vannak kiemelkedő képességűek, és olyanok is, akik igen lassan tudnak csak haladni. Egy tantárgy egy csoportján belül mindkettő előfordul, ami külön nehézzé teszi a tanítást, hiszen az okosat is szórakoztatni kell, és a szerény képességűnek is el kell magyarázni az anyagot. A csoportok korlátozott létszámúak, 50-nél több hallgató nincs egy csoportban. Ha ennél több hallgató vesz fel egy tárgyat, új csoportot nyitnak, illetve már eleve többet hirdetnek meg. Azonban az átlagos létszám jóval 50 alatt van. Minden tárgyhoz tartozik gyakorlat (tutorial) vagy számítógépes laboratórium, esetleg mindkettő. Ezeket mester és doktori szintű hallgatók tartják, de nem tilos magának az oktatónak a kezébe vennie a dolgokat. A tárgyakat a Magyarországon is használatos tantervi háló szerint lehet felvenni.

A tanítás nyelve az angol. Az esetek többségében amerikai tankönyveket használnak. Az amerikai piacon nagy a verseny. Így csak nagyon jól megírt tankönyvek jelenhetnek meg. Van azonban az amerikai tankönyveknek egy témánk szempontjából közös hiányossága. Bár az elmélet tárgyalása során bemutatnak kidolgozott példákat, de témánként kifejezetten kevés a megoldandó feladat, és nincsenek közöttük olyanok, amelyeknél a megoldás menetét is közölnék a könyv végén. Több tárgyhoz tartozik projekt vagy prezentáció. Van félévközi írásbeli vizsga, ismert a röpdolgozat és természetesen a félév végén van még egy további írásbeli vizsga. Szóbeli vizsga nincs. Egy vizsgaidőszak három hét. A vizsgák időpontját a rektori hivatal határozza meg, abba sem a tárgy előadójának, sem a hallgatóknak nincs beleszólása.

Sokszor esünk abba a hibába, hogy valamennyi tanárt, például az összes matematikatanárt, egy kalap alá veszünk. Egyetlen sorrendet állítunk fel közöttük, mintha egyetlen egy szerepük lenne csak. Pedig a tanárok nagyon sok különböző környezetben működnek, például igen eltérő korosztályokat tanítanak. Ennek megfelelően más és más befogadóképességű csoportokkal találkoznak. Kinek az egyik, kinek a másik tanítása megy könnyebben. Aki jó az általános iskolában, nem feltétlenül jó az egyetemen, pedig diplomája feljogosíthatja mindkét helyen való oktatásra. De még az egyetemen belül is, valaki kitűnő lehet a matematika egyes fejezeteinek tárgyalására, másvalaki pedig jobban be tudja vezetni a hallgatóit a kutatásba. Ezek intellektuálisan és emberileg nagyon eltérő tevékenységek. Nem szabad az egyiket a másik fölé helyezni. A fontos az, hogy mindenki saját képességeinek legjobban megfelelő közegben tudjon oktatni.

 Egy tárgy tanításának története, feltételezve, hogy ugyanaz a tanár adja elő többször, fokozatosan bontakozik ki. Függetlenül attól, hogy az adott témakörben mennyire gyakorlott illetőről van szó, először az alkalmazott tankönyv feldolgozási módszerét kell magáévá tennie. Az első csoport vizsgái jelentik a kezdeti visszajelzéseket arra vonatkozóan, hogy mit értenek és mit nem a hallgatók. A későbbi osztályok hasonló visszajelzései jelentősen pontosíthatják vagy módosíthatják a képet. Azonban általános elvként fogalmazható meg, hogy: 

     1. Meg kell érteni, hogy mit nem értenek a diákok, s miért nem értik.

Különösen az utóbbi nem nyilvánvaló. Ennek egyik oka lehet, hogy az előadó és a hallgató az absztrakt gondolkodás egészen más szintjén állnak: ami az egyiknek természetes, tökéletesen ismeretlen a másiknak. Erre példa, hogy egy zambiai hallgató kérdéséből megértettem, hogy külön el kell magyarázni, hogy egy változó indexe nem más, mint a változó neve. Az eset után mindig használtam betűvel való indexelést is, és számmal valót is, és persze az index név voltát is elmagyaráztam.

A tárgy többszöri tanítása során fel fognak tűnni bizonyos típushibák. Ezekhez kapcsolódik a

     2. A típushibákat gyűjteni kell, és később felhasználni a tanításban.

A későbbiekben még részletesen szó lesz a kritikus gondolkodásról (critical thinking), illetve ennek tanításáról. A típushibák itt használhatók fel.

Ugyancsak az absztrakt gondolkodáshoz kötődik, hogy tanítani kell a matematikai formulák összekötését a valósággal. Középiskolás szinten ez a szöveges feladatok megoldásának képességét jelenti. Ipari környezetben pedig annak tudatosítását jelenti, hogy:

     3.Minden egyenletnek és formulának gyakorlati (műszaki vagy gazdasági) értelme van, ami szavakkal elmondható.

A matematikusoknak tudomásul kell vennie, hogy a mérnökök nem azért tanulják a matematika egyes fejezeteit, mert azok intellektuálisan szépek, hanem mert felhasználhatók valamire. A 3. elv könnyen megvalósítható szaktárgyakban abban az értelemben, hogy a dolgok jelentését az ember elmondja, esetleg fel is írja. Például egymáshoz kapcsolódó diszkrét időegységekben való ütemezés esetén az anyagfelhasználás egyenletének jelentése

amink van = amit felhasználunk.

Ez még mindig kifejthető szavakkal:

az induló készlet + a gyártott mennyiség = a felhasználás + a befejező készlet.

A matematikai formulák bevezethetők ezen magyarázatok után.

Tágabb értelemben itt a matematikai modellek tanításáról van szó. A modellek vonatkozásában a szakma nagyon kétarcú. Egyrészt mindenki igyekszik hangsúlyozni a modellek hasznosságát és ezen keresztül bizonyítani a matematika fontosságát. Másrészt azonban egy új modellt nem tekintenek egyenértékűnek egy bizonyított tétellel, és azt gondolják, hogy modellt mindenki tud készíteni. Mindkét utóbbi felfogás helytelen.

A tárgyalt programban 4–5 olyan tárgy is van, amelyben hangsúlyos a modellek oktatása. A modellezés intellektuális nehézségét mutatja, hogy a végzéskor még vannak, akiknek ez nem megy könnyen. A problémát a külső valóság és belső reprezentációjának összekötése okozza, ami bizonyos fokú absztrakt gondolkodást kíván. A vizsgált szakterületen fontos szerepet játszik az utazó ügynök feladat (Traveling Salesman Problem, TSP). Eredeti megfogalmazása a XIX. század első feléből származik, amikor még az utazás időigényes és költséges volt [TSP]. Egy kereskedő saját városából elindul. Néhány várost meglátogat, mindegyiket csak egyszer. Végül visszatér a saját városába. Az útját úgy kell megszervezni, hogy az a lehető legrövidebb legyen. Ez a feladat számos alkalmazásban merül fel. Az oktatás kritikus pontja annak felismertetése, hogy sok esetben a városok szerepét olyan objektumok játsszák, amelyeknek semmiféle köze valódi városokhoz nincs. Ennek megfelelően a közöttük lévő távolság sem utazási idő, hanem valami más. Például a városok lehetnek azonos gépen gyártott termékek, a távolságuk pedig közöttük szükséges átszerszámozás ideje.  Ez azonban egy olyan „távolság”, ami nem szimmetrikus.

A vizsgáztatás a hallgató tudásának mérése. Több módja lehetséges. A Magyarországon egykor és részben a mai napig használatos német rendszerben a mérés egyetlen (idő)pontban történt, illetve történik. A hallgató ezen időpontban mutatott szerencsés vagy szerencsétlen szereplése és az oktató szintén pillanatnyi beállítottsága jelentősen befolyásolta az eredményt. A szóbeli vizsgák részbeni kiszorulásával az oktató szubjektív torzítása csökken.

Ezzel szemben a kérdéses egyetemen a fentebb vázolt, számos különféle elemet tartalmazó számonkérési rendszer tulajdonképpen egy integrál jellegű mérés. Bár lehetővé teszi, hogy a hallgató átmenjen súlyos hiányosságokkal, az én megítélésem szerint pontosabb és igazságosabb, mint az egyszeri mérés. Folyamatos munkára készteti a hallgatót. A rendszert kiegészíti a pótlás (make-up) intézménye, ami pótvizsga valamely elmaradt vagy rosszul sikerült vizsga helyett. A tanár megítélésétől függ, hogy ad-e pótlásra lehetőséget. Megfigyelésem szerint a pótlás újabb mód arra, hogy a hallgatót munkára serkentsük, mert azt már komolyan kell venni.

A vizsgákkal kapcsolatban kimondható egy fontos szabály.

     4. Vizsgán csak olyat szabad kérdezni, amire a hallgatót felkészítettük.

Az elv megsértését talán legegyszerűbben egy orvosi példával lehet bemutatni. Ha egy szövetről a félév során kivetített képek mindig hosszanti metszetben mutatták a szövetet, akkor nem helyes a vizsgán kereszt irányú metszetet mutatni és elvárni, hogy felismerjék, feltéve, hogy a két metszet szerinti kép jelentősen különböző.

Az amerikai típusú oktatásnak megfelelően az előadások közelebb állnak a gyakorlatokhoz, mint Magyarországon, mert a tankönyvekhez hasonlóan, azokon is folyik feladatok megoldása. Egy mérnöki beállítottságú ember számára ez fontos. Sok évtizeddel korábbi élményem a következő. Egy eredetileg elektromérnök kollégám estin elvégezte a matematikus szakot is. Ő Karvasz Gyula[1] analízis előadását dicsérte, mert Karvasz kiszámolta egy gyufásdoboz optimális, azaz legkisebb anyagfelhasználású méretét adott gyufaszál mellett. Karvasz arra adott példát, hogy hogyan lehet a differenciálszámítást felhasználni, és egyben összekötötte az absztrakt matematikát a valósággal. A magam részéről ezt azzal egészítem ki, hogy az előbbi történethez képest sok évvel később kétszer is olyan számításra lett volna szükségem, ami nem tartozott a szűkebb matematikai szakterületemhez. Nem találtam olyan, az adott területen jártas kollégát egyik esetben sem, aki a számítás menetét meg tudta volna világosítani. Itt üt vissza az elméletnek és alkalmazásának éles szétválasztása.

     5 Az előadásokon kereszthivatkozásokat kell mondani arról, hogy az adott téma hol fog még előjönni, illetve hol jött már elő.

A gyakorlatokat illetően fennáll egy probléma. Nevezetesen sok hallgató esetében pszichikai gát van a feladatmegoldás útjában. Szívesen veszik, ha az előadó vagy a gyakorlatvezető a táblánál bemutatja a megoldást, de nehezen kezdenek neki maguk. Ezt a gátat le kell dönteni, aminek radikális, de legjobb módja „Gerlits János-típusú”[2] gyakorlatot tartani. Vagyis ki kell osztani a feladatokat a gyakorlat kezdetekor, és a hallgatókat egyenként kell felkeresni, irányt mutatni nekik és a megoldásokat ellenőrizni. Tapasztalatom szerint nagyon hamar rákapnak a dolog ízére, lelkesen dolgoznak, különösen, ha az órán ők maguk is szabadon mozoghatnak, és a megoldásokat megbeszélhetik. És esetleg kis csoportokban dolgoznak.

 Képzeljük el a hallgatót néhány évvel később, amikor magasabb végzettségénél fogva főnök lesz. Jelentéseket, számításokat fog kapni, amelyekről el kell tudni döntenie, hogy felhasználhatók-e. Vagyis ránézésre meg kell tudnia mondani egy eredményről, hogy gyanús-e. Ha pedig további tanulmányok után tervezőmérnök lesz, hasonló a helyzet, csak akkor saját magát és a számítógépet is ellenőrizni kell tudnia.

     6. Az elfogadott és felhasznált részeredményekért a döntéshozó a felelős.

Ennek az elvnek azonnali következménye, hogy a végzett hallgatónak rendelkeznie kell az ellenőrzés képességével. Az ellenőrzés tanítható. Rengeteg módszere van, feladata válogatja, hogy melyiket lehet alkalmazni.

Az egyik általános módszer a számított végeredmény nagyságrendjének becslése, illetve a végeredményből kiindulva további, a nagyságrendeken alapuló számítások végzése. Például egy 10 évre szóló 10000 dolláros kölcsön havi részlete nem lehet 80 dollár, mert még a nominális érték visszafizetésére sem elég , de 200 dollár már irreálisan jó üzlet volna a bank számára (24000 USD). Ehhez kapcsolódóan tanítható a

     7. Ha valamely gyakorlati dologgal kapcsolatban legalább két numerikus értéket ismerünk, akkor a két adat között legalább egy olyan alapművelet elvégezhető, amely értelmes eredményt ad.

Egy másik igen általános és egyszerű ellenőrzési mód az, hogy ha sok objektumra kell egyenként hasonló számítást végezni, akkor megszámláljuk, hogy hány objektumra hajtottuk végre a műveleteket, nem hagytunk-e ki eseteket.

Az ellenőrzés tanítása először példákon keresztül történhet. Ehhez lehet felhasználni a gyűjtött típushibákat, amelyeket a megfelelő ellenőrzési módszer kiszűr. Az ellenőrzés tanításának másik fontos eleme, hogy a dolgozatokban meg is kell követelni, hogy minden feladat megoldását ellenőrzés kövesse.

Az ellenőrzéshez fontos eszköz a számítások végzésében  – vagyis a számolásban  – való jártasság. A modern számítástechnikai környezet hajlamos ezt megölni, úgy kulturálisan – ki merne ellentmondani egy precíz számítógépnek – mint technikailag – hiszen nem kell már a számításokat magunknak végeznünk. Az utóbbira volt példa az alábbi eset; a sokkot a mai napig nem tudtam teljesen feldolgozni. A táblánál magyarázva mondtam, hogy ez 7, az meg 8, tehát összesen 15. Egy – hangsúlyozom – okos diák előkapta a kalkulátorát, beütötte, hogy 7+8, és meglepve tapasztalta, hogy valóban 15. Bár az eset kirívó, egyáltalán nem egyedi, s ne gondolja senki, hogy Magyarországon nem fordulhat elő. Azt gondolom, hogy 10 éven belül szükségessé válik, hogy mérnök hallgatóknak olyan tárgyat vezessünk be, ahol számolni tanulnak. A műszaki tudományok több ágához érdemes tudni hatványokat, prímszámokat. Fontos, hogy valaki gyorsan tudjon megbecsülni mennyiségeket. A jelenlegi helyzetet némileg enyhítheti, ha versenyt szervezünk ilyen témában. A verseny tudatosítja a számolás fontosságát, de sajnos azt is, hogy jól számolni csak kiváló emberek tudnak.

A hallgatók szintjén van az önellenőrzésnek egy természetes módja. Ez pedig az, ha létezik olyan feladatgyűjtemény, ami minden feladat megoldását tartalmazza lépésenként. Ebben a feladatgyűjteményben használhatók fel a begyűjtött típushibák olyan megfogalmazásban, hogy például miért nem fogadható el egy ilyen javasolt megoldás, vagy miért kér a menedzser azonnal korrekciót stb.

***

A végére hagytam két negatív jellegű megjegyzést.

Surányi Lászlóval, a Fazekas Gimnázium volt vezető tanárával interjú készült abból az alkalomból, hogy az MIT kitüntette [SUR]. Egy rövid részlet az írásból: „Volt olyan diák, még a matekszakon is, aki szabotált mindent, és semmit sem lehetett neki megtanítani. “Egy kollégámmal egymásra néztünk, és azt mondtuk, ez a mi hibánk.”” Nagyon szép, emberi megnyilatkozás, de nem értek egyet vele. Nincs mindenkihez kulcsunk. Tudomásul kell venni, hogy vannak emberek, akikkel nem találjuk meg a közös hangot. Ennek következménye a diák rossz eredménye. Nem arról van szó, hogy bárki is hibás volna. Egy jó tanár esetében az ilyen esetek száma kevés, de nem nulla. Azt kell figyelni, hogy ki mire reagál, hol lehet felvenni a kontaktust. Extrém ruházatú vagy extrém hajviseletű hallgatók ezzel – sokszor tudtukon kívül – provokálják a környezetüket. Nagyon sokat segíthet, hogy jelét adjuk annak, hogy elfogadjuk őket olyannak, amilyenek. Például feltűnően sokszor nekik magyarázunk. Megfigyelésem szerint ilyen esetben az extrém megjelenés is megszelídül.

Némileg ehhez kapcsolódik a következő. Amikor egy tárgyat sok hallgató vesz fel, esetleg számos csoportban, akkor elkerülhetetlen, hogy legyenek olyanok, akik ismételten buknak. Egy magára adó, igényes egyetemnek azokat, akik már kétszer megbuktak, egy ekvivalens, de teljesen más didaktikát alkalmazó tárgyra kell átirányítani.

Irodalom

[SUR] Interjú Surányi Lászlóval, a Fazekas Gimnázium kitüntetett tanárával, http://444.hu/2013/05/30/suranyi-laszlo-fazekas/

[TSP] Alexander Schrijver, Szemelvények a kombinatorikus optimalizálás történetéből 1960-ig, (ford.: Bernáth Attila, Fleiner Tamás, Pap Gyula), Alkalmazott Matematikai Lapok 25 (2008), 1-74.

[V] Vizvári Béla, Új didaktikai és erkölcsi dilemmák a matematika tanításában, A matematika tanítása, 1998. No. 5, pp. 11-14.

Vizvári Béla