Bátkai András (Budapest, Wuppertal), Marjeta Kramar Fijavž (Ljubljana) és Abdelaziz Rhandi (Salerno) Nemnegatív operátor-félcsoportok (a végestől a végtelen dimenziókig) című 379 oldalas monográfiája 2016 második felében jelent meg elektronikusan a Birkhäuser Kiadó gondozásában. A könyv nyomtatott formában várhatóan ez év februárjától lesz elérhető. Az eBook ára 56, míg a nyomtatott változat 72 dollárért lesz kapható.
A monográfia a nemnegatív (a könyvben a positive angol szó utal erre a tulajdonságra) operátor-félcsoportok tulajdonságait vizsgálja, és különböző alkalmazási feladatokon bemutatja az elméleti eredmények több felhasználási lehetőségét. Mik is azok a nemnegatív operátor-félcsoportok, és miért fontos ezek vizsgálata? Ismert, hogy az exp(x) exponenciális függvény előállítható hatványsor formájában. Ezen hatványsor segítségével négyzetes mátrixokra is definiálható az exponenciális függvény. Így egy tetszőleges A négyzetes mátrix esetén minden nemnegatív t paraméterre definiálható a T(t):=exp(tA) mátrix, és az így kapott mátrixok rendelkeznek az alábbi két alapvető tulajdonsággal: (1) T(0)=I (I az egységmátrix), (2) T(s+t)=T(s)T(t) tetszőleges s és t nemnegatív paraméterek esetén. Az exp(tA) kifejezés hatékony számolásának és tulajdonságainak fontos szerepe van a gyakorlati alkalmazásokban. Példaként említhetjük, hogy a számtalan valós folyamat modellezésére alkalmas y’(t)=Ay(t) (y(0) adott vektor) kezdetiérték-feladat megoldása az y(t)=exp(tA)y(0) alakban írható. Így a megoldás tulajdonságait az exp(tA) függvény tulajdonságai határozzák meg. Több alkalmazásban garantálnunk kell, hogy a megoldás komponensei ne legyenek negatívok (például mert koncentrációt, valószínűséget stb. jelentenek). Nyilvánvalóan igaz, hogy a megoldás pontosan akkor lesz nemnegatív minden nemnegatív y(0) kezdővektor esetén, ha az exp(tA) mátrix minden t-re nemnegatív. Ez a követelmény feltételt szab az A mátrixra, így fontos kérdés ezen feltételek feltárása. Az operátorfélcsoportokhoz az előző – mátrixokra végiggondolt – fogalmak általánosításával jutunk. Legyen X egy Banach-tér, és minden nemnegatív t paraméterhez rendeljük hozzá az X tér egy korlátos lineáris operátorát. Jelöljük ezt a hozzárendelést T(t)-vel. A T(t) leképezést operátorfélcsoportnak nevezzük, ha teljesíti az (1) T(0)=I (I az identitás operátor) és a (2) T(s+t)=T(s)T(t) ún. félcsoport-tulajdonságokat. A mátrixok nemnegativitása pedig így általánosítható operátor-félcsoportokra: egy Banach-hálókon értelmezett operátor nemnegatív, ha megőrzi a nemnegatív kúpokat.
A szerzőket azon kívül, hogy ugyanazon kutatási területen dolgoznak, az is összeköti, hogy közösen szervezték a 2013/14-es tanévben a 17. Nemzetközi Internet-szemináriumot Nemnegatív operátor-félcsoportok és alkalmazásaik címmel. Az erre a szemináriumra készített anyagokat – kiegészítve több, differenciálegyenletekre vonatkozó fontos alkalmazással, ill. a tárgyalás egységességét elősegítő bevezető fejezetekkel – olvashatjuk most könyv alakban. Mindhárom szerző mentorának tekinti a könyv ajánlását is író Rainer Nagel és Ulf Schlotterbeck (Tübingen) professzorokat. Ők mindketten nemzetközileg elismert kutatói a félcsoportok elméletének, és szerzői több, a témával kapcsolatos, alapműnek tekinthető könyvnek. Az 1986-os kilencszerzős monográfiájuk részletesen bemutatta a nemnegatív operátor-félcsoportok elméletét. Már akkor felmerült a monográfia kibővítése az elmélet hatékonyságát jól mutató, gyakorlati alkalmazásokból vett példákkal. Ennek megvalósulására egészen mostanáig kellett várniuk, így nem csoda, hogy erősen ösztönözték a könyv létrejöttét.
A monográfia lényegében három nagy és megközelítően egyforma hosszúságú részből áll.
Az I. részben a véges dimenziós eset tárgyalására kerül sor, azaz a fejezet a fent említett mátrixfélcsoportokról szól. Ezt a részt – amely jól előkészíti a későbbi fejezeteket – az ajánlást írók egy korábbi, nemnegatív mátrixokról írt, befejezetlen jegyzete inspirálta. Az I. rész csak a lineáris algebra alapvető fogalmainak ismeretét feltételezi. A szerzők az állításokat praktikus – de az irodalomban ritkán követett – módon koordinátafüggetlen alakban fogalmazzák meg, ami jól segíti majd a véges és végtelen dimenziós esetek közti eltérések és párhuzamok megértését. Ebben a részben megismerkedünk a nemnegatív mátrixokkal és alapvető tulajdonságaikkal. Bevezetik a vektor- és mátrixnormákat, ill. a mátrixok spektrális jellemzőit. Megtudjuk, hogy bizonyos valós-valós függvények hogyan értelmezhetők mátrixokra, ill. hogy hogyan viselkednek a mátrixok, ha hatványozzuk őket és a kitevővel végtelenhez tartunk. A kiemelkedően fontos mátrixexponens számításának külön fejezetet szenteltek a szerzők. Megtudhatjuk, hogy exp(tA) pontosan akkor lesz nemnegatív, ha A főátlón kívüli elemei nemnegatívok, ill. hogy milyen állítások érvényesek A spektrumára, ill. a félcsoport aszimptotikájára abban az esetben, ha exp(tA) nemnegatív. A nemnegatív mátrixokról szóló fejezet részletesen bemutatja a Perron-, Frobenius- és Wielandt-tételeket, melyek nemnegatív mátrixok spektrális tulajdonságait jellemzik. Például a Perron-tétel szerint egy nemnegatív mátrix spektrálsugara egyben sajátérték is, és a hozzá tartozó sajátvektor (ez az ún. Perron-vektor) választható nemnegatívnak. Ezen tételek segítségével leírható például a kezdetiérték-feladatok megoldásának viselkedése abban az esetben, ha a t paraméterrel végtelenhez tartunk, így számtalan alkalmazásukat találhatjuk meg különböző gyakorlati feladatokban. Az alkalmazási lehetőségekre a szerzők is mutatnak példákat. Nemnegatív mátrixok esetén bemutatják például, hogy hogyan használja a Google a honlapok rangsorolására a Google-mátrix Perron-vektorát. Ezen kívül láthatunk példákat gráfokkal, Markov-láncokkal, ill. életkor-strukturált populációs modellekkel kapcsolatban. A nemnegatív mátrixfélcsoportok alkalmazására is látunk példákat többek között betegségterjedési, versenypiaci, ill. sorbanállási modellek esetén.
A II. rész – az első rész által alaposan előkészített – végtelen dimenziós eset tárgyalását adja. Ez a rész tartalmazza a könyv fő mondanivalóját. Olvasásához már lineáris algebrai és funkcionálanalízisbeli ismeretekre is szükség van, de a szerzők sikerrel törekednek arra, hogy a könyv önmagában is jól olvasható legyen. Ennek megfelelően a II. rész egy gyorstalpalóval indul az operátor-félcsoportok, a Banach-hálók és a nemnegatív operátorok elméletéről. Ezek után részletesen tárgyalják a generálási tételeket, a spektrálelméletet és a nemnegatív operátor-félcsoportokra vonatkozó perturbációs tételeket.
A III. rész tovább folytatja a mélyebb elméleti vizsgálatokat. Megtudhatjuk, hogy a Perron–Frobenius-elmélet hogyan általánosítható a végtelen dimenziós esetre, és hogy milyen fontos tulajdonságai vannak az irreducibilis félcsoportoknak. Azt láthatjuk, hogy a mátrixfélcsoportokra érvényes állítások végtelen dimenzióban is érvényben maradnak. Ezen kívül a szerzők bemutatják, hogy hogyan lehet a félcsoportok generátorának spektrális tulajdonságaiból következtetni a félcsoport aszimptotikus tulajdonságaira, például az aszimptotikus periodicitásra vagy a kiegyensúlyozott exponenciális növekedésre. A III. rész második fele a korábban bemutatott elmélet gyakorlati alkalmazásait veszi sorra. A szerzők saját érdeklődési körüknek megfelelően összeválogattak olyan differenciálegyenletekkel leírt matematikai modelleket, melyeknél a félcsoportelméletre támaszkodva hatékonyan lehet a megoldás tulajdonságait vizsgálni. Így részletesen tárgyalják a késleltetett differenciálegyenletek témakörét, a nemlineáris közönséges differeniálegyenlet-rendszerekhez tartozó Koopman-félcsoport tulajdonságait és alkalmazásait, a lineáris Boltzmann-féle transzportegyenleteket, hálózatok transzportfolyamatait és a diffúziós populációs egyenleteket.
Minden fejezet egy irodalmi kitekintéseket és megjegyzéseket tartalmazó résszel és egy megoldani javasolt feladatsorral zárul. A feladatokhoz nem közölnek megoldásokat a szerzők. Az Appendix tartalmazza a könyv megértéséhez szükséges legfontosabb definíciókat és összefüggéseket a lineáris algebra és a funkcionálanalízis témaköréből. A könyvet 158 művet felsoroló, átfogó irodalomjegyzék és részletes szószedet zárja.
Összefoglalva elmondható, hogy a monográfia következetesen felépített, jó angolsággal megírt és könnyen olvasható munka. A könyv a nemnegatív operátor-félcsoportok terén eljut az alapoktól a legfrissebb tudományos eredményekig, így széleskörű érdeklődésre tarthat számot a matematikával foglalkozók körében. Haszonnal forgathatják az egyetemi hallgatók, de a matematika különböző alkalmazási lehetőségei és szép elméletei iránt nyitott kutatók is.
A. Bátkai, M. Kramar Fijavž, A. Rhandi, Positive Operator Semigroups, From Finite to Infinite Dimensions, Series: Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 257, Birkhäuser, Basel, 2016, 364 p.
Horváth Róbert