Információk

Főmenü

 Aktuális szám: 30. szám 2023. december 

Daróczy Zoltán (1938–2023)

Daróczy Zoltán (1938–2023)

Daróczy Zoltán élete

Daróczy Zoltán egy bihartordai jegyző második gyermekeként 1938-ban született. Református nevelést kapott és igen jól tanult, ezért szülei a Debreceni Református Kollégiumba küldték. Diákként kedvelte az irodalmat, a történelmet és a matematikát. „A matematika az nem más, mint szabatos beszéd.” – hallotta ezt gimnáziumi matematikatanárától, Nagy Gézától. Tanára hatására és biztatására részt vett az Arany Dániel matematikai versenyen és a KöMaL pontversenyében is. Talán ezek miatt választotta Daróczy Zoltán a tanári pályát, és felvételizett 1956-ban a Kossuth Lajos Tudományegyetem matematika-ábrázoló geometria szakára. Maximális pontszámmal is csak fellebbezés után vették fel. Alig kezdődött el az egyetemi oktatás, kitört az 56-os forradalom. Egyetemistaként a nemzetőrséghez csatlakozott, és így próbált tenni valamit az igaz ügyért. A forradalom leverését követően az oktatás csak 1957 tavaszán indult újra és mivel nem zárták ki az egyetemről, így 1961-ben kitüntetéses diplomával végezhetett. Jó tanárai voltak. A matematikai analízist, annak szépségét és szeretetét Rapcsák Andrástól és Aczél Jánostól tanulta. Hamar megértette a hangyabokányi epszilon fogalmát és később, amikor már ő állt a katedrán, tanárgenerációknak adta tovább, amit tanáraitól tanult: tudományt, műveltséget és emberséget. Daróczy Zoltán közel öt évtizeden keresztül volt a KLTE TTK matematika tanárszakos és matematikus hallgatóinak meghatározó és széles körben kedvelt oktatója. Előadásain diákjaival megszerettette a mértékelméletet és a valós függvénytant. Híresek voltak speciálkollégiumai, amelyeken hallgatóit eljuttatta az aktuális kutatási kérdésekig. Igazi reneszánsz ember volt, a tudományokat komplex módon oktatta, rávilágítva a tágabb összefüggésekre, de teret hagyva az önálló gondolkodásnak is.

Tanulmányai befejezése után nem kapott állást a Kossuth Lajos Tudományegyetemen, de az egyik első tudományos dolgozatában rámutatott Rényi Alfréd egy pontatlanságára. Ennek köszönhetően Rényi ösztöndíjasként felvette a Matematikai Kutatóintézetbe. Az itt töltött egy év alatt szerezte meg az egyetemi doktori fokozatot Aczél János irányítása mellett. 1963-tól egy évig a Bécsi Egyetem Matematikai Intézetének munkatársa volt Leopold Schmetterer meghívására. 1964-től dolgozott folyamatosan a KLTE-n, majd a jogutód Debreceni Egyetemen. 29 évesen a matematikai tudomány kandidátusa, 38 évesen a matematikai tudomány doktora lett és kinevezték egyetemi tanárnak. A Magyar Tudományos Akadémia 1985-ben levelező, 1990-ben pedig rendes tagjává választotta.

Az egyetem Analízis Tanszékének vezetését 1968-tól kezdve 16 éven át látta el. Pályája során 5 évig volt a Matematikai Intézet igazgatója, a Természettudományi Kar dékánhelyettese, majd dékánja. A rendszerváltást megelőző időszakban három–három évig volt az egyetem rektorhelyettese, majd rektora. Alapítója, majd 18 éven át vezetője volt a Debreceni Egyetem Matematika és Számítástudományok Doktori Iskolájának. 2008-ban, nyugdíjba vonulásakor, professor emeritusi címet kapott. Fiatalon a legfontosabb eredményeit az információelméletből származó függvényegyenletek vizsgálatában, a Shannon-entrópia karakterizációival kapcsolatban érte el. Az ezeket az eredményeket is bemutató, Aczél Jánossal közösen írt monográfiája a témakör legtöbbet idézett könyvévé vált. Jelentős a hozzájárulása a közepek elméletéhez is. Bevezette az eltérésközepek fogalmát, és alapvető eredményeket ért el a közepekre vonatkozó úgynevezett invariancia-egyenletek vizsgálatában.

 
1. ábra. Daróczy Zoltán (1938–2023)

Aczél János 1965-ben elhagyta Magyarországot, de a vele való baráti kapcsolata és együttműködése sohasem szakadt meg. Innen kezdve több mint ötven évig vezette, tanácsaival irányította a függvényegyenletek és egyenlőtlenségek kutatócsoportot, amely világszerte nagy elismerést szerzett. Lényeglátó képességének köszönhetően a hozzá közel álló kutatók, oktatók mindig a témakör legfontosabb kérdéseire koncentrálhattak. A kutatócsoport nemzetközi kapcsolatai a 70-es években kiszélesedtek, a csoport tagjai innentől kezdve számos fontos nyugati konferenciára kaptak meghívást. Emlékezetesek voltak az ezekre történő kiutazások, az együtt töltött idő és a nehézségeket is megkönnyítő, megértő jó természete. Témavezetése mellett 14 tanítványa (ld. Mathematical Geneaology) szerzett PhD fokozatot, akik többsége ma is aktív, nemzetközileg is elismert oktató- és kutatómunkát végez. Közülük Nagy Béla, Sebestyén Zoltán, Maksa Gyula, Járai Antal, Székelyhidi László, Páles Zsolt az MTA doktori címet is megszerezte. A saját sikereinél is fontosabbak voltak számára tanítványai sikerei. Mindent megtett az ő elismertetésük érdekében és aztán velük örült, ha ez bekövetkezett. Az is nagy örömére szolgált, hogy Bálint fia az ő nyomdokaiba lépett és a matematikusi életpályát választotta.

Az Analízis Tanszék életében fontos szerepet játszottak a tanszéki szemináriumok. Ezek egyik fontos változata a 80-as évek közepétől napjainkig évente megrendezett Síkfőkúti Analízis Szeminárium. Az ilyen összejöveteleken a tanszéki kollégák és a PhD hallgatók mellett azok családtagjai is részt vehettek. Ezek a rendezvények nagyban segítették az emberi, baráti kapcsolatok kialakulását. Daróczy Zoltán 40 éven keresztül családjával együtt szinte állandó résztvevője volt ezeknek az szemináriumoknak. A gyerekek, köztük Orsi és Bálint, együtt játszottak. Olyanok voltunk, és vagyunk ma is, mint egy nagy család. Zolinak, kortól függetlenül, mindenkihez volt egy kedves szava. Humora, empatikussága és tájékozottsága révén mindig a társaság középpontja volt.

Daróczy Zoltán már középiskolás korában elkezdett versenyszerűen sakkozni, egyetemi évei alatt pedig a DEAC sakkcsapatában játszott. A 70-es, 80-as években a mindig felállított sakktáblánál a TTK és BTK számos oktatója vívott schnell partikat vele és a tanszék tagjaival. Csak mostanra tudatosult bennünk, hogy milyen erős közösségformáló ereje volt ennek a tevékenységnek is.

Tudományos pályája mellett a politikai életben is aktívan részt vett. A 80-as évek végén csatlakozott a reformmozgalmakhoz, amelyek végül az egypártrendszer felbomlásához és a rendszerváltáshoz vezettek. Az 1990-es országgyűlési képviselőválasztáson a Magyar Szocialista Párt Hajdú-Bihar megyei területi listájáról, négy évvel később pedig az egyik debreceni egyéni körzetben szerzett mandátumot és lett parlamenti képviselő.

Daróczy Zoltán hazai elismertségét többek között az Akadémiai Díj, a Szele Tibor-emlékérem, a Szent-Györgyi Albert-díj, a Széchenyi-díj és a Magyar Köztársasági Érdemrend középkeresztje mutatja. Tudományos tevékenységét külföldön is felismerték: A világ egyik legrégebbi tudományos szervezete, a Hamburgi Matematikai Társaság 2008-ban tiszteletbeli tagjává választotta.

Tanítványaival, munkatársaival nemcsak szakmai, hanem bensőséges emberi kapcsolatokat ápolt. A vezetésére bízott közösségeket nagy empátiával, hozzáértéssel irányította, tanácsaival, szeretetével mindannyiunk életét segítette. Olvasottsága, műveltsége, nyitottsága és tájékozottsága példaértékű volt. Halálával a Debreceni Egyetem és a Magyar Tudományos Akadémia egy kiváló oktatóját, kutatóját és szellemi vezetőjét veszítette el.

Charles Dickens a „Karácsonyi ének”-ben ezt írja: „A végzet minden emberre kiszabta, hogy szellemével hasson embertársaira, környezetére.” Daróczy Zoltánról ezt biztosan elmondható.

Daróczy Zoltán tudományos eredményei

Az alábbiakban a célunk Daróczy Zoltán néhány alapvető és sokat idézett matematikai eredményének a bemutatása. Ennek a résznek a megírásakor felhasználtuk a szerző és Székelyhidi László [53] dolgozatát.

1. Additív függvények homogenitási tulajdonságai

Daróczy Zoltán egyik első tudományos dolgozata a szegedi Acta Sci. Math.-ban jelent meg és ebben a valós additív függvények homogenitási tulajdonságait tisztázta.

Egy $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ függvényt additívnak nevezünk, ha teljesíti az alábbi Cauchy-féle függvényegyenletet:

$\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y) \qquad(x,y\in\mathbb{R}). $

Az $f(x)=cx$ (ahol $c\in\mathbb{R}$) alakú függvények ennek a függvényegyenletnek a folytonos megoldásai. Hamel 1905-ös [39] dolgozatának köszönhetően tudjuk, hogy ennek az egyenletnek vannak nem folytonos megoldásai is, sőt véve a valós számoknak mint egy a racionális számok teste feletti vektortérnek egy tetszőleges (Hamel) bázisát, bármely ezen a bázison értelmezett valós értékű függvény egyértelműen kiterjeszthető $\mathbb{R}$-re egy additív függvénnyé.

Jól ismert (és nem is nehéz igazolni azt), hogy minden additív függvény $\mathbb{Q}$-homogén, azaz minden $r\in\mathbb{Q}$ esetén teljesül

$\displaystyle f(rx)=rf(x) \qquad (x\in\mathbb{R}). $

Folytonos additív függvények esetén ez az egyenlőség minden $r$ valós számra is fennáll. Természetesnek tűnő probléma tehát az, hogy milyen $s,t$ irracionális számok esetén van olyan $f$ nem azonosan nulla additív függvény, amelyre teljesül

$\displaystyle f(tx)=sf(x) \qquad (x\in\mathbb{R}).$ (1)

Daróczy Zoltán [9] alábbi eredménye ezt a kérdést teljesen megválaszolja.

1.1. tétel. Ha $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ egy olyan nem azonosan nulla additív függvény, amelyre teljesül (1) valamilyen $s,t\in\mathbb{R}$ irracionális számpárra, akkor vagy $s$ és $t$ algebraiak és egymás algebrai konjugáltjai (azaz közös a definiáló polinomjuk), vagy $s$ és $t$ transzcendens.

2. Kiterjesztési tételek

A függvényegyenletek megoldása során nagyon sokszor áll elő az a helyzet, amikor egy valós függvényről az additivitást csak a számpároknak egy részhalmazán lehet igazolni. Az alapkérdés, hogy ilyenkor a függvény milyen közel áll az additív függvényekhez. Ezen a területen Aczél János és Erdős Pál [2] érte el az első eredményt.

2.1. tétel. Legyen $f\colon [0,\infty)\to\mathbb{R}$ egy olyan függvény, amelyre $f(x+y)=f(x)+f(y)$ teljesül minden $x,y\in[0,\infty)$ esetén. Ekkor $f$ egyértelműen terjeszthető ki $\mathbb{R}$-re egy additív függvénnyé, azaz van egy olyan egyértelműen meghatározott $\widetilde{f}\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ additív függvény, hogy $\widetilde{f}(x)=f(x)$ minden $x\in[0,\infty)$ esetén.

A másik alapvető kiterjesztési tételt Daróczy Zoltán és Losonczi László [23] találta meg.

2.2. tétel. Legyen $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ egy olyan függvény, amelyre $f(x+y)=f(x)+f(y)$ teljesül minden olyan $x,y\in[0,1]$ esetén, amelyre $x+y\leq1$. Ekkor $f$ egyértelműen terjeszthető ki $\mathbb{R}$-re egy additív függvénnyé, azaz van egy olyan egyértelműen meghatározott $\widetilde{f}\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ additív függvény, hogy $\widetilde{f}(x)=f(x)$ minden $x\in[0,1]$ esetén.

Ezek az eredmények számos további vizsgálatot indukáltak és a függvényegyenletek megoldásának a mai napig az alapvető eszközei. A teljesség igénye nélkül az olvasó figyelmét a következő dolgozatokra hívjuk fel: [3, 25, 43, 44, 52, 55, 58].

3. Információfüggvények jellemzése

A 60-as–70-es években az információelmélet a függvényegyenletek elmélete számára számos érdekes és mély problémát szolgáltatott. Aczél János és Daróczy Zoltán 1975-ben publikált [1] monográfiája az ezen a területen elért legfontosabb eredményeket foglalta össze. Az alábbiakban az információfüggvényekkel kapcsolatosan elért eredményekből válogatunk.

Legyen $\beta>0$ egy rögzített konstans. Egy $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ leképezést $\beta$-típusú információfüggvénynek nevezünk, ha $f(0)=f(1)$,   $f\big(\frac12\big)=1$, és minden olyan $x,y\in[0,1)$-ra, amelyre $x+y\leq1$, fennáll az

$\displaystyle f(x)+(1-x)^{\beta}f\Big({\frac{y}{1-x}}\Big)=f(y)+(1-y)^{\beta}f\Big({\frac{x}{1-y}}\Big) $

egyenlet. Ha $\beta=1$, akkor $f$-et közönséges információfüggvénynek mondjuk.

A $\beta\neq1$ esetben a fenti függvényegyenlet a megadott mellékfeltételek mellett megoldható, és a következő eredmény igazolható [11]:

3.1. tétel. Ha $\beta\not=1$, akkor $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ pontosan akkor  $\beta$-típusú információfüggvény, ha

$\displaystyle f(x)={\frac1{2^{1-\beta}-1}}\big(x^{\beta}+(1-x)^{\beta}-1\big)\qquad(x\in[0,1]). $

Tehát $\beta\neq1$ esetén a $\beta$-típusú információfüggvények egyértelműen meghatározottak és folytonosak. Ha képezzük a $\beta\to1$ határátmenetet, akkor eredményül az

$\displaystyle S(x):=-x\log_2x-(1-x)\log_2(1-x) \qquad(x\in[0,1]) $

képlettel megadható függvényt kapjuk, amit Shannon-féle információfüggvénynek nevezünk (itt a $0\!\cdot\!\log_20:=0$ konvencióval élünk). Az könnyen látható, hogy a Shannon-függvény $1$-típusú információfüggvény, azaz minden olyan $x,y\in[0,1)$-ra, amelyre $x+y\leq1$, teljesül az

függvényegyenlet.

Az információfüggvényekkel kapcsolatban természetes feltétel a nemnegativitásuk. A Shannon-függvény triviálisan ilyen, de nem nyilvánvaló, hogy van-e más nemnegatív információfüggvény. A következő eredményt Daróczy Zoltán Kátai Imrével [14] együtt találta.

3.2. tétel. Ha $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ egy korlátos és nemnegatív információfüggvény, akkor $f=S$.

Ha a korlátosság feltételét elhagyjuk, akkor a helyzet gyökeresen megváltozik. Ezt Daróczy Zoltán és Maksa Gyula [24] alábbi eredménye mutatja.

3.3. tétel. Ha $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ egy nemnegatív információfüggvény, akkor $S\leq f$. Továbbá léteznek a Shannon-függvénytől különböző nemnegatív információfüggvények.

4. A természetes számok homomorfizmusai kompakt Abel-csoportokba

Daróczy Zoltánnak és Kátai Imrének az egyik fontos közös kutatási területe volt az additív számelméleti függvények aszimptotikus tulajdonságainak a vizsgálata. Ebből az együttműködésükből több mint 10 közös dolgozatuk született. A [15] dolgozat egyik főeredménye az alábbi

4.1. tétel. Legyen $G$ egy kompakt Abel-csoport és legyen $\varphi\colon \mathbb{N}\to G$ egy additív függvény. Ekkor $\varphi$ pontosan akkor teljesíti a

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} (\varphi(n+1)-\varphi(n))=0 $

egyenlőséget, ha minden olyan $(n_k)$ olyan növekvő természetes számsorozat esetén, amelyre a $(\varphi(n_k))$ sorozat konvergens, konvergens a $(\varphi(n_k+1))$ sorozat is.

A direkt implikáció azonnal látható. A fordított irányú implikáció igazolásához viszont nem triviális ötletre van szükség.

Ez az eredmény Daróczy Zoltán és Kátai Imre számos további közös dolgozatának volt a kiindulópontja. A teljesség igénye nélkül csak a következő cikkeket említjük meg: [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22].

5. Közepek homogenitása

Az entrópia fogalmak axiomatikus vizsgálata során Rényi Alfréd az alábbi fogalmat vezette be: Ha adott egy $\varphi\colon (0,1)\to \mathbb{R}$ folytonos és szigorúan monoton függvény, akkor értelmezzük az

$\mathcal{R}_\varphi\colon \bigcup_{n=1}^\infty (0,1)^n\to(0,1)$

 közepet az alábbi képlettel:

$\displaystyle \mathcal{R}_\varphi(x_1,\dots,x_n)=\varphi^{-1}\bigg(\frac{x_1\va... ...phi(x_n)}{x_1+\dots+x_n}\bigg)\qquad(n\in\mathbb{N},\,x_1,\dots,x_n\in (0,1)). $

Rényi azt sejtette, hogyha ez a közép a nemteljes valószínűségeloszlások halmazán homogén, akkor $\varphi$ vagy a logaritmus függvényhez, vagy egy hatványfüggvényhez hasonló. A sejtést Daróczy Zoltán [10] igazolta az alábbi eredményében.

5.1. tétel. Legyen $\varphi\colon (0,1)\to \mathbb{R}$ folytonos és szigorúan monoton függvény. Ha

$\displaystyle \mathcal{R}_\varphi(tx_1,tx_2)=t\mathcal{R}_\varphi(x_1,x_2), $

teljesül minden olyan $x_1,x_2,t\in(0,1)$ esetén, amelyre  $x_1+x_2\leq 1$, akkor léteznek olyan $a,b\in\mathbb{R}$ konstansok, hogy vagy $\varphi(x)=a\log x+b$, vagy pedig $\varphi(t)=ax^p+b$ teljesül minden $t\in (0,1)$ esetén valamilyen $p\not=0$ konstanssal.

A Rényi által vizsgált közepekről kiderült, hogy egy a Bajraktarević [4, 5] által bevezetett középosztálynak egy részosztályát alkotják. Legyen $I\subseteq\mathbb{R}$ egy (nemdegenerált) intervallum, és legyenek $f,g\colon I\to\mathbb{R}$ olyan függvények, hogy $g$ pozitív és az $f/g$ hányadosfüggvény szigorúan monoton és folytonos. Ekkor értelmezzük a $\mathcal{B}_{f,g}\colon \bigcup_{n=1}^\infty I^n\to I$ közepet az alábbi képlettel:

$\displaystyle \mathcal{B}_{f,g}(x_1,\dots,x_n):=\left(\frac{f}{g}\right)^{-1}\b... ...(x_n)}{g(x_1)+\dots+g(x_n)}\bigg) \qquad(n\in\mathbb{N},\,x_1,\dots,x_n\in I). $

Ha $I:=(0,1)$, $f(x):=x\varphi(x)$ és $g(x):=x$, akkor $\mathcal{B}_{f,g}$ egyenlő a fentebb bevezetett Rényi-féle $\mathcal{R}_\varphi$ középpel. Ha pedig $g\equiv1$, akkor látható, hogy $\mathcal{B}_{f,g}$ egy úgynevezett kváziaritmetikai középre egyszerűsödik.

A Bajraktarević-közepek homogenitásának szükséges és elegendő feltételét Aczél János és Daróczy Zoltán az alábbi tételben írták le:

5.2. tétel. Legyenek  $f,g\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ olyan folytonos függvények, hogy $g$ pozitív és $f/g$ szigorúan monoton. Ekkor a $\mathcal{B}_{f,g}$ közép pontosan akkor homogén, azaz teljesül rá a

$\displaystyle \mathcal{B}_{f,g}(tx_1,\dots,tx_n)=t\mathcal{B}_{f,g}(x_1,\dots,x_n) \qquad(n\in\mathbb{N},\,t,x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}_+). $

függvényegyenlet, ha léteznek olyan $p,q\in\mathbb{R}$ számok, hogy $\mathcal{B}_{f,g}$ egyenlő a

$\displaystyle \mathcal{G}_{p,q}(x_1,\dots,x_n):=\begin{cases}\bigg(\dfrac{x_1^p... ..._n^p\log(x_n)}{x_1^p+\dots+x_n^p}\bigg) &\text{ha }p=q\in\mathbb{R}.\end{cases}$

képlettel értelmezett $\mathcal{G}_{p,q}\colon \bigcup_{n=1}^\infty \mathbb{R}_+^n\to\mathbb{R}_+$ Gini-középpel.

Megjegyezzük, hogy az [1] cikkben található tétel arra az esetre is kiterjed, amikor a $\mathcal{B}_{f,g}$ közép a pozitív valós számok halmazának csak egy valódi részintervallumán van értelmezve, és ekkor a jellemzésben a Gini-közepek konjugált komplex $(p,q)$ párokra vonatkozó kiterjesztései is fellépnek.

6. Eltérésközepek és egyenlőtlenségek

Daróczy Zoltán 1971-72-ben megjelent [12, 13] dolgozataiban a közepek egy olyan új osztályát vezette be, amely az addig ismert legfontosabb középosztályokat speciális esetként tartalmazta. Legyen $I\subseteq\mathbb{R}$ egy nemelfajuló nyílt intervallum. Egy olyan kétváltozós $E\colon I\times I\to\mathbb{R}$ függvényt, amely a második változójában folytonos és szigorúan monoton csökkenő, továbbá eltűnik a diagonális elempárokon (azaz $E(x,x)=0$ minden $x\in I$ esetén), eltérésfüggvénynek nevezünk. Ekkor nem nehéz belátni, hogy minden $n\in\mathbb{N}$ és $x_1,\dots,x_n\in I$ esetén az

$\displaystyle E(x_1,y)+\dots+E(x_n,y)=0 $

egyenletnek pontosan egy $y$ megoldása van $I$-ben és ez $\min(x_1,\dots,x_n)$ és $\max(x_1,\dots,x_n)$ közé esik. Ezt az egyértelműen meghatározott $y$ megoldást az $x_1,\dots,x_n$ számok $E$-eltérésközepének (vagy Daróczy-közepének) nevezzük és $\mathcal{D}_E(x_1,\dots,x_n)$-vel jelöljük.

Könnyű belátni, hogy az $E(x,y):=x-y$ függvény eltérésfüggvény, és hogy az általa meghatározott közép a számtani közép. A geometriai közép, a harmonikus közép, általánosabban a hatványközepek, a kváziaritmetikai közepek, a Gini-közepek és a Bajraktarević-közepek az eltérésközepek részosztályait alkotják. A közöttük fennálló tartalmazásokat az alábbi diagram szemlélteti.

 


2. ábra. Közepek

Az eltérésközepekkel kapcsolatos legalapvetőbb probléma az egyenlőség, illetve az összehasonlíthatóság kérdése. De amint látni fogjuk, a Hölder- és Minkowski-típusú egyenlőtlenségek teljesülését is jellemezhetjük. A Daróczy Zoltán által talált eredmények megfogalmazásához valamelyest szűkítjük az eltérésfüggvények osztályát. Azt mondjuk, hogy egy $E\colon I\times I\to\mathbb{R}$ eltérésfüggvény reguláris, ha a második változója szerint differenciálható minden diagonális pontban, és itt a második változó szerinti parciális derivált negatív. Ha $E$ egy reguláris eltérésfüggvény, akkor az $E$ regularizáltján az alábbiak szerint megadott $E^*\colon I\times I\to\mathbb{R}$ függvényt értjük:

$\displaystyle E^*(x,y)=\frac{E(x,y)}{-\partial_2 E(y,y)} \qquad(x,y\in I). $

A fenti jelölések birtokában kimondhatjuk az alábbi tételt, ami a [12] dolgozatból származik.

6.1. tétel. Legyenek $I,J,K\subseteq\mathbb{R}$ nemüres nyílt intervallumok és $E\colon I\times I\to\mathbb{R}$, $F\colon J\times J\to \mathbb{R}$, $G\colon K\times K\to\mathbb{R}$ reguláris eltérésfüggvények és $f\colon I\times J\to K$ egy differenciálható függvény. Ekkor a

$\displaystyle \mathcal{D}_G(f(x_1,y_1),\dots,f(x_n,y_n)) \leq f\big(\mathcal{D}_E(x_1,\dots,x_n),\mathcal{D}_F(y_1,\dots,y_n)\big) $

egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül minden $n\in\mathbb{N}$, $x_1,\dots,x_n\in I$ és $y_1,\dots,y_n\in J$ esetén, ha

$\displaystyle G^*(f(x,y),f(u,v))\leq \partial_1f(u,v)E^*(x,u)+\partial_2f(u,v)F^*(y,v), $

érvényes minden $x,u\in I$-re és $y,v\in J$-re.

Ebből a tételből a Minkowski- és Hölder-típusú egyenlőtlenségek fennállásának szükséges és elegendő feltételeihez lehet jutni az $I:=J:=K:=\mathbb{R}_+$ és $f(x,y):=x+y$, illetve $f(x,y):=xy$ választásokkal. Ha a fenti tételt az $f(x,y)=x$ függvényre alkalmazzuk, akkor a [13] dolgozatban igazolt összehasonlítási tételt kapjuk.

6.2. tétel. Legyen $I$ egy nemüres nyílt intervallum és $E,F\colon I\times I\to\mathbb{R}$ reguláris eltérésfüggvények. Ekkor a

$\displaystyle \mathcal{D}_E(x_1,\dots,x_n)\leq\mathcal{D}_F(x_1,\dots,x_n)$ (2)

egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül minden $n\in\mathbb{N}$ és $x_1,\dots,x_n\in I$ esetén, ha

$\displaystyle E^*(x,y)\leq F^*(x,y) $

érvényes minden $x,y\in I$-re.

A Daróczy Zoltánnal közös [29] dolgozatunkban sikerült az összehasonlítási tételt az eltérésfüggvények regularitásának feltétele nélkül is megtalálni.

6.3. tétel. Legyenek $I$ egy nemüres nyílt intervallum és $E,F\colon I\times I\to\mathbb{R}$ eltérésfüggvények. Ekkor a (2) egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül minden $n\in\mathbb{N}$ és $x_1,\dots,x_n\in I$ esetén, ha létezik egy olyan $p\colon I\to\mathbb{R}$ pozitív függvény, hogy

$\displaystyle E(x,y)\leq p(y)F(x,y) $

érvényes minden $x,y\in I$-re.

Az eltérésközepeknek számos általánosítása, alkalmazása található például a következő dolgozatokban: [7, 8, 30, 31, 47, 48, 49, 50, 51]

7. Invarianciaegyenlet kváziaritmetikai közepekkel

Legyen $I$ egy nemüres nyílt intervallum. Ha $M,N\colon I^2\to I$ kétváltozós közepek, akkor tetszőleges $x,y\in I$ esetén tekintsük az

$\displaystyle x_1$ $\displaystyle :=x,\qquad$ $\displaystyle y_1$ $\displaystyle :=y,$
$\displaystyle x_{n+1}$ $\displaystyle :=M(x_n,y_n),\qquad$ $\displaystyle y_{n+1}$ $\displaystyle :=N(x_n,y_n)\qquad\quad (n\in\mathbb{N})$

képletekkel megadott Gauss-típusú iterációt. Feltételezve, hogy $M$ és $N$ folytonos és szigorú közepek belátható, hogy az $(x_n)$ és $(y_n)$ sorozatok egy közös $K(x,y)$ határértékhez konvergálnak. Ez az eljárás egy olyan $K\colon I\times I\to I$ kétváltozós közepet határoz meg, amely a

                      

függvényegyenlet egyértelműen meghatározott megoldása. Ezt az egyenletet az $(M,N)$ párra vonatkozó invarianciaegyenletnek nevezzük, és az ezt kielégítő $K$ közepet pedig egy $(M,N)$-invariáns középnek mondjuk. Egy egyszerű példa az invarianciaegyenletre az alábbi azonosság

$\displaystyle \sqrt{\dfrac{x+y}2\cdot\dfrac{2xy}{x+y}}=\sqrt{xy}\qquad(x,y\in\mathbb{R}_+). $

ami azt mutatja, hogy a kétváltozós geometriai közép invariáns a kétváltozós számtani és harmonikus közepekre nézve.

Carl Friedrich Gaussnak a számtani-geometriai középpel kapcsolatos alapvető eredménye [37] így fogalmazható:

7.1. tétel. Egy folytonos $K\colon \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ közép pontosan akkor megoldása a

$\displaystyle K\Big(\frac{x+y}{2},\sqrt{xy}\Big)=K(x,y) \qquad(x,y\in\mathbb{R}_+) $

egyenletnek, ha

$\displaystyle K(x,y)=\left( \frac2{\pi}\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{dt}{\sqrt{x^2\cos^2t+y^2\sin^2 t}} \right)^{-1} \qquad(x,y\in\mathbb{R}_+). $

 A [35] dolgozat célkitűzése az olyan kétváltozós kváziaritmetikai középpárok meghatározása, amelyekhez tartozó invariáns közép szintén kváziaritmetikai. Ez a probléma könnyen kitalálható helyettesítések után arra a speciális esetre redukálható, amikor az invariáns közép a kétváltozós számtani közép. Tehát a feladat az olyan $\varphi,\psi\colon I\to\mathbb{R}$ folytonos és szigorúan monoton függvények meghatározása, amelyek teljesítik a

$\displaystyle \varphi^{-1}\left( \frac{\varphi(x)+\varphi(y)}{2}\right)+ \psi^{-1}\left( \frac{\psi(x)+\psi(y)}{2}\right)=x+y\qquad(x,y\in I)$ (3)

függvényegyenletet. Ezt az egyenletet O. Sutô [56, 57] 1914-ben megjelent dolgozataiban az analitikus függvények körében vizsgálta és meghatározta megoldásait. Janusz Matkowski [45] 1999-ben kétszeri folytonos differenciálhatóság feltételezése mellett igazolta, hogy a fenti egyenletnek a megoldásai változatlanok. A probléma természetes regularitási feltételek melletti megoldását a [35] (magyar nyelven a [32]) dolgozatunkban adtuk meg.

7.2. tétel. Legyenek $\varphi,\psi\colon I\to\mathbb{R}$ folytonos és szigorúan monoton függvények. Ekkor a (3) invarianciaegyenlet akkor és csak akkor teljesül a $\varphi,\psi$ függvényekre, ha léteznek olyan $a,b,c,d$ valós konstansok, hogy $ac\neq0$ és vagy $\varphi(x)=ax+b$ és $\psi(x)=cx+d$ teljesül minden $x\in I$ esetén, vagy pedig létezik egy olyan $p\neq0$ valós konstans, hogy fennáll $\varphi(x)=ae^{px}+b$ és $\psi(x)=ce^{-px}+d$, ha $x\in I$.

A tétel bizonyításának lényege annak kimutatása volt, hogy a (3) invarianciaegyenlet fennállásából a $\varphi,\psi$ függvények kétszeri differenciálhatósága következik. Ehhez többek között Lebesgue-nek a monoton függvények majdnem mindenütti differenciálhatóságára vonatkozó tételét, vagy Baire-nek a deriválfüggények folytonossági helyeinek a sűrűségére vonatkozó tételét is fel kellett használni. A további részletek a [35], illetve a [32] dolgozatokban találhatók meg. A témakörrel kapcsolatos további eredmények születtek még a következő cikkekben: [6, 26, 27, 28, 32, 33, 34, 36, 38, 40, 41, 42, 46, 54].

Páles Zsolt
Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet

Irodalomjegyzék

[1] J. Aczél and Z. Daróczy. On Measures of Information and Their Characterizations. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1975. Mathematics in Science and Engineering, Vol. 115.

[2] J. Aczél and P. Erdős. The nonexistence of a Hamel-basis and the general solution of Cauchy's functional equation for nonnegative numbers. Publ. Math. Debrecen, 12:253–263, 1965.

[3] J. Aczél and L. Losonczi. Extension of functional equations. In The mathematics of Paul Erdős, II, page 251–263. Springer, Berlin, 1997.

[4] M. Bajraktarević. Sur une équation fonctionnelle aux valeurs moyennes. Glasnik Mat.-Fiz. Astronom. Društvo Mat. Fiz. Hrvatske Ser. II, 13:243–248, 1958.

[5] M. Bajraktarević. Sur une généralisation des moyennes quasilinéaires. Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.), 3 (17):69–76, 1963.

[6] P. Burai. Matkowski–Sutô type equation on symmetrized weighted quasi-arithmetic means. Results Math., 63(1-2):397–408, 2013.

[7] J. Chudziak. On applications of inequalities for quasideviation means in actuarial mathematics. Math. Inequal. Appl., 21(3):601–610, 2018.

[8] J. Chudziak and M. Chudziak. On some applications of quasideviation means. J. Difference Equ. Appl., 25(9-10):1429–1437, 2019.

[9] Z. Daróczy. Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von nichtkonstanten Lösungen linearer Funktionalgleichungen. Acta Sci. Math. (Szeged), 22:31–41, 1961.

[10] Z. Daróczy. Über die gemeinsame Charakterisierung der zu den nicht vollständigen Verteilungen gehörigen Entropien von Shannon und von Rényi. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 1:381–388, 1962.

[11] Z. Daróczy. Generalized information functions. Information and Control, 16:36–51, 1970.

[12] Z. Daróczy. A general inequality for means. Aequationes Math., 7(1):16–21, 1971.

[13] Z. Daróczy. Über eine Klasse von Mittelwerten. Publ. Math. Debrecen, 19:211–217 (1973), 1972.

[14] Z. Daróczy and I. Kátai. Additive zahlentheoretische Funktionen und das Mass der Information. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math., 13:83–88 (1971), 1970.

[15] Z. Daróczy and I. Kátai. On additive number-theoretical functions with values in a compact Abelian group. Aequationes Math., 28(3):288–292, 1985.

[16] Z. Daróczy and I. Kátai. Additive functions. Anal. Math., 12(2):85–96, 1986.

[17] Z. Daróczy and I. Kátai. On additive arithmetical functions with values in topological groups. I. Publ. Math. Debrecen, 33(3-4):287–291, 1986.

[18] Z. Daróczy and I. Kátai. On additive arithmetical functions with values in the circle group. Publ. Math. Debrecen, 34(3-4):307–312, 1987.

[19] Z. Daróczy and I. Kátai. On additive arithmetical functions with values in topological groups. II. Publ. Math. Debrecen, 34(1-2):65–68, 1987.

[20] Z. Daróczy and I. Kátai. Characterization of additive functions with values in the circle group. Publ. Math. Debrecen, 36(1-4):1–7 (1990), 1989.

[21] Z. Daróczy and I. Kátai. On additive functions taking values from a compact group. Acta Sci. Math. (Szeged), 53(1-2):59–65, 1989.

[22] Z. Daróczy and I. Kátai. Characterization of additive functions with values in the circle group. II. Publ. Math. Debrecen, 44(3-4):391–394, 1994.

[23] Z. Daróczy and L. Losonczi. Über die Erweiterung der auf einer Punktmenge additiven Funktionen. Publ. Math. Debrecen, 14:239–245, 1967.

[24] Z. Daróczy and Gy. Maksa. Nonnegative information functions. In Analytic function methods in probability theory (Proc. Colloq. Methods of Complex Anal. in the Theory of Probab. and Statist., Lajos Kossuth Univ. Debrecen, Debrecen, 1977), page 67–78. North-Holland, Amsterdam, 1979.

[25] Z. Daróczy and Gy. Maksa. Functional equations on convex sets. Acta Math. Hungar., 68(3):187–195, 1995.

[26] Z. Daróczy and Gy. Maksa. On a problem of Matkowski. Colloq. Math., 82(1):117–123, 1999.

[27] Z. Daróczy, Gy. Maksa, and Zs. Páles. Extension theorems for the Matkowski–Sutô problem. Demonstratio Math., 33(3):547–556, 2000.

[28] Z. Daróczy, Gy. Maksa, and Zs. Páles. Functional equations involving means and their Gauss composition. Proc. Amer. Math. Soc., 134(2):521–530, 2006.

[29] Z. Daróczy and Zs. Páles. On comparison of mean values. Publ. Math. Debrecen, 29(1-2):107–115, 1982.

[30] Z. Daróczy and Zs. Páles. Multiplicative mean values and entropies. In Functions, series, operators, Vol. I, II (Budapest, 1980), page 343–359. North-Holland, Amsterdam, 1983.

[31] Z. Daróczy and Zs. Páles. Generalized-homogeneous deviation means. Publ. Math. Debrecen, 33(1-2):53–65, 1986.

[32] Z. Daróczy and Zs. Páles. Középértékek Gauss-féle kompozíciója és a Matkowski–Sutô probléma megoldása. Mat. Lapok (N.S.), 8/9(3-4):1–53, 1998/99 (2003).

[33] Z. Daróczy and Zs. Páles. On means that are both quasi-arithmetic and conjugate arithmetic. Acta Math. Hungar., 90(4):271–282, 2001.

[34] Z. Daróczy and Zs. Páles. A Matkowski–Sutô type problem for quasi-arithmetic means of order $\alpha$. In Z. Daróczy and Zs. Páles, editors, Functional Equations — Results and Advances, volume 3 of Adv. Math. (Dordr.), page 189–200. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2002.

[35] Z. Daróczy and Zs. Páles. Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Sutô problem. Publ. Math. Debrecen, 61(1-2):157–218, 2002.

[36] Z. Daróczy and Zs. Páles. A Matkowski–Sutô-type problem for weighted quasi-arithmetic means. Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput., 22:69–81, 2003.

[37] C. F. Gauss. Bestimmung der Anziehung eines elliptischen Ringes. Akademische Verlagsgesellschaft M. B. H., Leipzig, 1927. Nachlass zur Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels und der Modulfunktion.

[38] R. Grünwald and Zs. Páles. On the invariance of the arithmetic mean with respect to generalized Bajraktarević means. Acta Math. Hungar., 166(2):594–613, 2022.

[39] G. Hamel. Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Math. Ann., 60:459–462, 1905.

[40] J. Jarczyk. Invariance of weighted quasi-arithmetic means with continuous generators. Publ. Math. Debrecen, 71(3-4):279–294, 2007.

[41] J. Jarczyk. Invariance of quasi-arithmetic means with function weights. J. Math. Anal. Appl., 353(1):134–140, 2009.

[42] J. Jarczyk and J. Matkowski. Invariance in the class of weighted quasi-arithmetic means. Ann. Polon. Math., 88(1):39–51, 2006.

[43] K. Lajkó. Applications of extensions of additive functions. Aequationes Math., 11:68–76, 1974.

[44] L. Losonczi. An extension theorem. Aequationes Math., 28(3):293–299, 1985.

[45] J. Matkowski. Invariant and complementary quasi-arithmetic means. Aequationes Math., 57(1):87–107, 1999.

[46] J. Matkowski and Zs. Páles. Characterization of generalized quasi-arithmetic means. Acta Sci. Math. (Szeged), 81(3-4):447–456, 2015.

[47] Zs. Páles. Characterization of quasideviation means. Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 40(3-4):243–260, 1982.

[48] Zs. Páles. Ingham Jessen's inequality for deviation means. Acta Sci. Math. (Szeged), 49(1-4):131–142, 1985.

[49] Zs. Páles. General inequalities for quasideviation means. Aequationes Math., 36(1):32–56, 1988.

[50] Zs. Páles. On a Pexider-type functional equation for quasideviation means. Acta Math. Hungar., 51(1-2):205–224, 1988.

[51] Zs. Páles. On homogeneous quasideviation means. Aequationes Math., 36(2-3):132–152, 1988.

[52] Zs. Páles. Extension theorem for functional equations with bisymmetric operations. Aequationes Math., 63(3):266–291, 2002.

[53] Zs. Páles and L. Székelyhidi. Laudation to Zoltán Daróczy. Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput., 40:9–20, 2013.

[54] Zs. Páles and A. Zakaria. On the invariance equation for two-variable weighted nonsymmetric Bajraktarević means. Aequationes Math., 93(1):37–57, 2019.

[55] J. Rimán. On an extension of Pexider's equation. Zbornik Rad. Mat. Inst. Beograd (N.S.), 1(9):65–72, 1976. Symposium en Quasigroupes et Équations Fonctionnelles (Belgrade-Novi Sad, 1974).

[56] O. Sutô. Studies on some functional equations I. Tôhoku Math. J., 6:1–15, 1914.

[57] O. Sutô. Studies on some functional equations II. Tôhoku Math. J., 6:82–101, 1914.

[58] L. Székelyhidi. An extension theorem for a functional equation. Publ. Math. Debrecen, 28(3-4):275–279, 1981.