Nagy veszteség érte a magyarországi matematikus közösséget: 2018. február 6-án elhunyt Petz Dénes professzor, a matematikai fizika, a kvantum-információelmélet, a nemkommutatív valószínűségelmélet és mátrixanalízis nemzetközileg kiemelkedő kutatója, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem nyugalmazott egyetemi tanára és a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet volt tudományos tanácsadója.
Tudományos eredményeinek jelentőségét, hatását hűen tükrözi, hogy a Mathematical Reviews MathSciNet adatbázisában az általa írt 158 tudományos munkára (cikk, könyv, egyéb publikáció) 1856 hivatkozás szerepel, a Google Scholar vonatkozó adata 7859, ebből a 2017-ben kapott hivatkozások száma 794.1
Petz Dénes egyetemi tanulmányait 1972–77 között az ELTE-n végezte matematikus szakon. 1977. szeptemberétől két évig az MTA Matematikai Kutatóintézetében (ma MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet), a Topológia Osztályon volt ösztöndíjas. Első tudományos vizsgálatait Császár Ákos irányításával végezte, azok a topológia területére estek. Már hallgatóként publikált saját eredményeket és mind szakdolgozatát, mind egyetemi doktori disszertációját (1979) ebben a témában írta.
Ezután Szegedre került aspiránsnak. Szűcs József mellett Neumann-algebrákkal kívánt foglalkozni. Szűcs József azonban rövidesen külföldre távozott. Petz Dénes 1982-ben benyújtotta és sikeresen megvédte a témában írt kandidátusi értekezését „Vizsgálatok operátoralgebrák körében: A redukcióelmélet alkalmazásai” címmel. Ezután visszakerült az MTA Matematikai Kutatóintézetébe.
A Neumann-algebrák tisztán matematikai elméletével (többek között az ergodikusság kérdésével) még évekig foglalkozott, de érdeklődése fokozatosan az operátoralgebrák kvantummechanikai alkalmazásai felé fordult. Ebben a folyamatban elmondása szerint fontos szerepet játszott egy 1984-ben Fritz József és Szász Domokos főszervezésével rendezett magyarországi konferencia (aminek lebonyolításában egyébként titkárként vett részt), ahol megismerkedett Luigi Accardival, Elliot Liebbel és Huzihiro Arakival, a terület vezető, meghatározó kutatóival. Luigi Accardi meghívására utazott először külföldre, Olaszországba, ahol aztán intenzív munkakapcsolata alakult ki Carlo Cecchinivel (6 közös cikk).
Kutatási tevékenységének fentebb említett új és számára a következőkben meghatározó területén az első időszakban főként az entrópiával és relatív entrópiával foglalkozott operátoralgebrai kontextusban. 1984-ben bevezette a kvázi-entrópia fogalmát, először véges dimenziós operátoralgebrákra, majd általánosan, Neumann-algebrákra vonatkozóan, ami az Araki-féle relatív entrópia fogalmának jelentős általánosítása. A cikkek 1985–86-ban jelentek meg, a MathSciNet 75 + 17, a Google Scholar pedig 244 + 73 hivatkozást tart számon ezekkel kapcsolatban. A Petz Dénes-féle koncepció hátterében a Csiszár Imre által bevezetett nevezetes 
-divergenciafogalom áll, annak egyfajta nemkommutatív kiterjesztését jelenti. Elindította ezen mennyiség (pontosabban kétparaméteres mennyiség-család) tanulmányozását, ami azóta is intenzíven vizsgált kutatási irány.
Ekkoriban kezdődött egy jelentős matematikai fogalom, az operátormonoton és operátorkonvex függvények kiterjedt elméletével kapcsolatos tevékenysége is.
1985–86-ban másfél évig Humboldt-ösztöndíjas volt Tübingenben, ahol fizikai indíttatású kutatásai az ottani tudományos környezet hatására még jobban kiteljesedtek. Itt vezette be az elégségesség tőle származó kvantumstatisztikai fogalmát, ami jelentős általánosítása az Umegaki-féle hasonló fogalomnak. Egy 1986-ban és egy 1988-ban megjelent cikkben (MathSciNetben 31 + 20, Google Scholarban 147 + 121 hivatkozás) megmutatta, hogy egy kvantumoperáció (teljesen pozitív nyomtartó leképezés) hatása pontosan akkor fordítható meg egy adott állapotpáron, ha a leképezés megőrzi az állapotpár egy speciális kvázi-entrópiáját, az átmeneti valószínűséget (ezt később általánosította számos más kvázi-entrópiára, melyek közül a legfontosabb az Umegaki-féle relatív entrópia). Ráadásul a megfordító operációnak egy kanonikus alakját is megadta; ezt ma „Petz recovery map” néven széles körben használják a kvantum-információelméletben.
A 1988–89-es akadémiai évet a Leuveni Egyetem Elméleti Fizikai Intézetében töltötte Mark Fannes és André Verbeure meghívására. Ennek során előadássorozatot tartott a kanonikus felcserélési reláció operátoralgebrai hátteréről. Jegyzeteiből André Verbeure javaslatára könyvet írt — D. Petz, An invitation to the algebra of canonical commutation relations, Leuven Notes in Mathematical and Theoretical Physics. Series A: Mathematical Physics, 2. Leuven University Press, Leuven, 1990. iv+104 pp. ISBN: 90-6186-360-0 —, ami az első ilyen jellegű publikációja.
1989-ben „Operátoralgebrák sztochasztikus vonatkozásai” című disszertációjával elnyerte a matematikai tudomány doktora fokozatot, majd 1992-ben egyetemi tanári kinevezést kapott a Budapesti Műszaki Egyetemre.
A 90-es években többször volt Japánban vendégkutató hosszabb-rövidebb időre. Ott-tartózkodásai során több helyi kutatóval került közeli munkakapcsolatba. 1991-ben jelent meg első közös dolgozata Fumio Hiaival, amit aztán 32 további közös munka követett. Ez a cikk az egyik legnagyobb hatású munkája (a MathSciNet 84, a Google Scholar 333 hivatkozást tart erre vonatkozóan számon). A cikkben szereplő fő eredmények egyike szerint az Umegaki-féle kvantum relatív entrópia megkapható a klasszikus relatív entrópiák aszimptotikus határértéként, egy másik pedig az ún. kvantum Stein-lemma, ami az Umegaki-féle relatív entrópia kvantum-hipotézisvizsgálatban betöltött megkülönböztetett szerepét (aszimptotikus hibakorlát) mutatja.
1993-ban jelent meg második könyve, a Masanori Ohyaval közös alapvető munka — M. Ohya and D. Petz, Quantum entropy and its use, Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, Berlin, 1993. viii+335 pp. ISBN: 3-540-54881-5 —, ami a kvantumentrópiáról szóló első könyv volt, és a mai napig a terület standard referenciája (2004-ben megjelent a második kiadása is). A MathSciNet adatbázisában 252, a Google Scholarban 1205 hivatkozás szerepel a könyvre vonatkozóan.
1996-ban újabb nagy hatású cikket publikált monoton metrikákról (MathSciNetben 84, Google Scholarban 387 hivatkozás). Az ebben vizsgált kérdés információgeometriai indíttatású, a dolgozatban a sűrűségmátrixok sokaságán Riemann-metrikáknak egy igen széles családját adta meg, amely metrikák monotonak a kvantumcsatornák hatásai alatt. Megállapította ezen metrikáknak operátormonoton függvényekkel való kölcsönösen egyértelmű kapcsolatát, ami az operátorközepek Kubo–Ando-féle elméletével mutat szoros párhuzamot.
1997-től kezdődően több mint egy évtizedig foglalkozott szabad valószínűségelmélettel. Ezen vizsgálatait jelentős részben Fumio Hiaival közösen végezte, amelyek során többek között különféle véletlen mátrixok tapasztalati sajátérték-sűrűségére vonatkozó nagyeltérés-tételeket nyertek. A cikkek mellett egy monográfiát is publikáltak — F. Hiai and D. Petz, The semicircle law, free random variables and entropy, Mathematical Surveys and Monographs, 77. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. x+376 pp —, amire a MathSciNet 232, a Google Scholar 666 hivatkozást jegyez.
A 2000-es években újabb jelentős eredményeket ért el a kvantumstatisztikai elégségesség terén. Egy 2003-as egyszerzős cikkben (MathSciNet 24, Google Scholar 113 hivatkozás) megkezdett vizsgálatait egy 2004-es többszerzős cikkben (MathSciNet 49, Google Scholar 280 hivatkozás) teljesítette ki, amelyben a fő eredmény a kvantum Markov-láncok konstruktív leírása az elégségesség karakterizációjára kimunkált eszközök segítségével. Ezeket az eredményeket fejlesztette tovább Anna Jenčovával közös 2006-os cikkében, amelyben általános Neumann-algebrákban és állapotok tetszőleges halmazára kötötték össze a kvantumstatisztikai elégségesség fogalmát az elégségesség klasszikus szorzatfelbontásos karakterizációjával. Az elégségesség témakörében végzett munkássága alapvető hatást gyakorolt a kvantum-információelméletre. Eredményeinek kiterjesztése különböző kvázi-entrópiákat közelítőleg megőrző leképezésekre jelenleg a terület egyik legintenzívebben kutatott témaköre.
2008-ban a Springer Kiadó megjelentette tankönyvét — D. Petz, Quantum information theory and quantum statistics, Theoretical and Mathematical Physics. Springer-Verlag, Berlin, 2008. x+214 pp. ISBN: 978-3-540-74634-8 —, ami a BME-n és a CEU-n tartott kapcsolódó kurzusainak anyagából nőtt ki.
2011-ben több társszerzővel hosszú cikket közölt kvantum -divergenciákkal kapcsolatban (MathSciNetben 30, Google Scholarban 115 hivatkozás). Ez a fogalom a korábban említett kvázi-entrópiánál speciálisabb, de így is (egyrészt visszaadja kommutatív esetben a Csiszár-féle -divergenciát, valamint) jó néhány fontos megkülönböztetési mérték ennek speciális eseteként adódik. A cikkben a szerzők számos korábbi monotonitási eredményt terjesztettek ki illetve egyesítettek ezen általános mennyiséggel kapcsolatban. Analizálták a monotonitás elfajulását, kiterjesztették Petz Dénes korábban említett, kvantumcsatornák megfordíthatóságára vonatkozó tételét, és az eredmények alkalmazását adták a kvantumhibajavítás problémájával kapcsolatban.
A fent vázolt területeken, eredményeken kívül, illetve sokszor azokhoz szorosan kapcsolódóan igen értékes és fontos eredményeket ért el mátrixközepekre, mátrixegyenlőtlenségekre vonatkozóan. Fumio Hiaival közösen 2014-ben publikálta monográfiáját — F. Hiai and D. Petz, Introduction to matrix analysis and applications, Universitext. Springer, Cham; Hindustan Book Agency, New Delhi, 2014. viii+332 pp. ISBN: 978-3-319-04149-0; 978-3-319-04150-6; 978-93-80250-60-1 —, ami részben a Tohoku Universityn és a BME-n tartott kapcsolódó kurzusainak anyagát tartalmazza.
Petz Dénes nagyon szeretett fiatalokkal foglalkozni. A 90-es évek végétől számos tanítványa volt, akiket sikeresen bevont kutatásaiba, elindította őket a tudományos karrier felé2. Kilencen szereztek PhD fokozatot témavezetésével. A közvetlen tanítványokon kívül számos fiatal kollégát is megnyert közös kutatásra. Általában is elmondható, hogy szeretett másokkal együttműködve közösen alkotni, ezt meggyőzően bizonyítja társszerzőinek 54 elemű listája, melyen megtalálhatók az említett tanítványok és fiatal kollégák is. Társzerzői közül kiemelkedik a már többször említett Fumio Hiai, akivel messze a legtöbb közös munkát, szám szerint 33-at publikált, melyek között két könyv is szerepel, lásd fentebb.
Nehéz lenne felsorolni azon rangos nemzetközi konferenciákat, nyári iskolákat, amelyeken meghívott előadó volt szerte a világon. Maga is aktív konferenciaszervező volt, ilyen jellegű tevékenységei közül kiemelkedő példaként említendő a 2003-ban a Matematikai Fizikai Világkongresszus operátoralgebrák- és kvantum-információelmélet-szekciójának szervezése, valamint ugyancsak 2003-ban az ő főszervezésével Neumann János születésének 100. évfordulójára rendezett emlékkonferencia. Hozzá kötődik a Rényi Intézet nevezetes Neumann Szemináriuma, aminek előadói között számos nemzetközileg kiemelkedő matematikus is szerepelt.
Tudományos közéleti tevékenységéhez hozzátartoztak a különböző folyóiratoknál végzett munkák, több jelentős nemzetközi periodikának (pl. Open Systems and Information Dynamics, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, Linear and Multilinear Algebra, Journal of Mathematical Physics) volt szerkesztője.
Tudományos munkásságának igen komoly hatása van a magyarországi matematikai életre. Számos új kutatási területet (úm. kvantum-információelmélet, kvantumstatisztika, szabad valószínűségelmélet) honosított meg hazánkban. Tevékenységét számos elismeréssel jutalmazták. Többek között 1982-ben a Bolyai János Matematikai Társulat Grünwald Géza Díjában, 1988-ban az MTA Ifjúsági Díjában, 1998-ban az MTA Bolyai Farkas Díjában, 2008-ban az MTA Akadémiai Díjában, 2009-ben az Oktatási Minisztérium Szent-Györgyi Albert Díjában részesült. „Lineáris analízis” c. tankönyve Akadémiai Nívódíjat kapott.
A fénykép Petz Dénes 50. születésnapján készült a BME-n: balról jobbra tanítványa, Andai Attila, Petz Dénes, és kollégái: Szász Domokos és Lángné Lázi Márta.
Petz Dénes tudományterületének kiemelkedő, nagyhatású kutatója volt. Emlékét szerte a világon munkatársai, tanítványai, egyetemi és kutatóintézeti kollégái tisztelettel és szeretettel megőrzik.
Molnár Lajos
egyetemi tanár
SZTE, TTIK Analízis Tanszék és
BME, TTK Analízis Tanszék
- 1
- Természetesen a hivatkozási adatok ezen megemlékezés írásának idejére vonatkoznak.
- 2
- A KöMaL archívumában, a db.komal.hu/KomalHU oldalon Petz Dénes nevére keresve található és tölthető le Kovács Veronikával, egyik tanítványával közösen írt cikke Számtani közép, mértani közép, meg ilyenek címmel (KöMaL, 2006. március, 130-136.o).