A 2020-as Kürschák és Schweitzer versenyekről

Online Kürschák-verseny

A Bolyai János Matematikai Társulat a 2020. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt október 2-án rendezte meg – a verseny történetében először, a járványügyi helyzetre való tekintettel – online formában. A Társulat elnöksége a verseny lebonyolítására az alábbi bizottságot kérte fel: Biró András, Frenkel Péter, Harangi Viktor, Kós Géza, Maga Péter (titkár), Pach Péter Pál (elnök), Tóth Géza.

A bizottság a következő feladatokat tűzte ki:

1. Legyenek $n$ és $k$ pozitív egészek. Adott $n$ zárt körlap a síkon úgy, hogy közülük bárhogyan is választunk $k+1$ körlapot, mindig van két olyan kiválasztott körlap, amelyeknek nincs közös pontja. Bizonyítsuk be, hogy az $n$ körlap besorolható legfeljebb $10k$ osztályba úgy, hogy azonos osztályba eső két körlapnak sosincs közös pontja.

2. Határozzuk meg azokat a racionális számok halmazán értelmezett, nemnegatív valós értékű $f$ függvényeket, melyekre teljesül, hogy tetszőleges $x$ , $y$ racionális számokra

$\bullet$ $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ ,

$\bullet$ $f(xy)=f(x)f(y)$ ,

$\bullet$ $f(2)=1/2$ .

3. Egy városban $N$ ház van. Télapó minden karácsonykor végigjárja a házakat valamilyen sorrendben. Mutassuk meg, hogy ha $N$ elég nagy, akkor teljesül, hogy három egymást követő évben mindig található 13 olyan ház, amit (a három közül) két évben is ugyanabban a sorrendben látogatott meg. Határozzuk meg a legkisebb $N$ számot, melyre ez fennáll.

Az eredmények ismertetése előtt bemutatjuk, mit is jelentett a gyakorlatban az online lebonyolítás. Az online verseny azt jelenti, hogy mindenki az általa választott helyen – jellemzően otthon – dolgozik a feladatokon, a feladatokat elektronikusan kapja meg, és a megoldásokat interneten kereszül küldi be. A Kürschák-verseny technikai lebonyolításához felhasználtuk a július 25. és 30. között, szintén online formában megrendezett IMC (International Mathematics Competition for University Students) tapasztalatait, ahol a bizottság tagjai közül Kós Géza szervezőként vett részt.

Biztosítanunk kellett, hogy a verseny kezdetén a feladatok időben, a biztonság kedvéért lehetőleg többféle csatornán eljussanak a versenyzőkhöz. A feladatokat elküldtük e-mailben, és közzétettük a Bolyai Társulat és a KöMaL honlapján is.

A versenyzők felügyeletét Google Meet videókonferenciákkal oldottuk meg. A versenyt megelőző napon egy technikai főpróbát is tartottunk, amelyen a versenyzők és a felügyelők is részt vehettek, ez egyben a lebonyolítással kapcsolatos kérdések megválaszolására is lehetőséget nyújtott. A versenyzőknek a verseny helyszínén fel kellett állítaniuk egy webkamerát – ez lehetett kinyitott laptop vagy állványra szerelt okostelefon is – úgy, hogy a kamera oldalról mutassa az asztalt, ahol dolgoznak. A Meet egyszerre legfeljebb 49 résztvevő videóképét képes megmutatni, ezért a versenyzőket előzetesen két virtuális terembe osztottuk szét, és a két termet két böngészőablakban figyeltük egyszerre. A felügyelő tanárok szerepét a versenybizottság tagjai töltötték be.

A Budapesti Fazekas Mihály Gimnázium 18 diákja az iskolában írta meg a dolgozatot Hujter Bálint tanár úr személyes felügyeletével, de a videókonferencián is részt vettek.

A dolgozatok digitalizálására a CamScanner telefonos applikációt ajánlottuk. Ezzel nincs szükség külön szkennerre, a program mobiltelefonon fut, és alkalmas többoldalas dolgozat fényképezésére, vágására és átalakítására PDF formátumra. A dolgozatok beküldésére minden versenyző kapott egy személyes Dropbox File Request linket. A linket megnyitva, a dolgozat néhány másodperc alatt feltölthető. A különböző versenyzők fájljai a szerveren különböző könyvtárba kerültek, így az esetleges keveredéseket is ki lehetett zárni. A verseny végén a résztvevők többsége önállóan, gyorsan boldogult a feltöltés feladatával, akinek pedig technikai segítségre volt szüksége, bejelentkezve maradt, amíg a feltöltés nem sikerült. Körülbelül negyed órával az idő lejárta után minden dolgozat sikeresen beérkezett.

A versenybizottság tagjai a szokásos feladataikon túl azzal kezdték a munkát, hogy ellenőrizték, tényleg olyanoktól érkeztek-e be dolgozatok, akik a videókonferenciák egyikén részt is vettek. Természetesen mindent rendben találtak. A dolgozatok javítása, értékelése, és végül a díjakról döntő ülés is mind online formában zajlott.

A 73 regisztrált versenyzőtől összesen 58 dolgozat érkezett be.

Az idei versenyen a második feladatot 5-en oldották meg helyesen vagy lényegében helyesen, a harmadik feladatra szintén 5 helyes megoldás érkezett. A legnehezebbnek bizonyult első feladatnál két helyes megoldás mellett egy versenyző jutott a megoldás közelébe.

Egyetlen versenyző oldotta meg lényegében mindhárom feladatot. Ezért

I. díjban és 45 000 Ft pénzjutalomban részesült

Gyimesi Péter, a Békásmegyeri Veres Péter Gimnázium érettségizett tanulója (tanárai Varga Mária, Szűcs Gábor és Pósa Lajos).

Három versenyző oldott meg helyesen két feladatot. Ezért a teljesítményért

II. díjban és 25 000 Ft pénzjutalomban részesült

Beke Csongor, Békásmegyeri Veres Péter Gimnázium érettségizett tanulója (tanárai Varga Mária és Szűcs Gábor) a második és a harmadik feladat megoldásáért,

Tóth Balázs, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium érettségizett tanulója (tanárai Gyenes Zoltán, Kiss Géza, Dobos Sándor és Nikházy László) a második és a harmadik feladat megoldásáért,

Várkonyi Zsombor, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Fazakas Tünde, Kocsis Szilveszter, Pósa Lajos és Dobos Sándor) az első és a harmadik feladat megoldásáért.

Dicséretben és 10 000 Ft pénzjutalomban részesült

Füredi Erik, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Fazakas Tünde, Kocsis Szilveszter és Dobos Sándor), mert az első feladatban a megoldás közelébe jutott és félig megoldotta a harmadik feladatot,

Szabó Kornél, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Fazakas Tünde, Kocsis Szilveszter, Dobos Sándor, Gyenes Zoltán, Surányi László és Pósa Lajos) a harmadik feladat helyes megoldásáért,

Weisz Máté Barnabás, a Szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium érettségizett tanulója (tanárai Schultz János és Tigyi István) a második feladat helyes megoldásáért.

A versenybizottság ezúton köszöni meg minden versenyző, felkészítő tanár és a lebonyolításban közreműködő kolléga munkáját, a díjazottaknak pedig további sikereket kívánva gratulál.

A feladatok megoldásai megjelentek a KöMaL folyóirat 2021. februári számában.

Pach Péter Pál

A 2020. évi Schweitzer Miklós Matematikai Emlékversenyről

A Bolyai János Matematikai Társulat 2020. október 22. és 2020. november 2. között rendezte meg a Schweitzer Miklós Matematikai Emlékversenyt. A versenyen középiskolai tanulók, egyetemi és főiskolai hallgatók, továbbá azok vehettek részt, akik egyetemi vagy főiskolai tanulmányaikat 2020-ban fejezték be.

A verseny lebonyolítására a Társulat a következő bizottságot kérte fel: Keleti Tamás (elnök), Harangi Viktor (titkár), Ágoston Tamás, Elekes Márton, Károlyi Gyula, Kiss Viktor, Kós Géza, Kun Gábor, Maga Balázs, Nagy János, Pálvölgyi Dömötör, Ráth Balázs, Terpai Tamás.

A bizottság október 16-i ülésén kiválasztotta a 11 kitűzendő feladatot. A bizottság köszönetét fejezi ki mindazoknak, akik feladatot javasoltak a versenyre. A kitűzött feladatokat javasolták: 1. Csernák Tamás, 2. Totik Vilmos, 3. Carl Schildkraut, 4. Eyal Ackerman, Keszegh Balázs és Pálvölgyi Dömötör, 5. Laczkovich Miklós és Totik Vilmos, 6. Laczkovich Miklós és Halász Gábor, 7. Ráth Balázs, 8. Carl Schildkraut és Brandon Wang, 9. Maga Balázs és Maga Péter, 10. Szabó Csaba és Zábrádi Gergely, 11. Balogh M. Zoltán.

A feladatok és a megoldások a Bolyai Társulat honlapján a Versenyek menüpontban tekinthetők meg, innen tölthetők le.

A verseny eredményes volt; 16 versenyző összesen 73 megoldást nyújtott be. A versenybizottság december 2-i ülésén a következő díjakat ítélte oda.

$\blacktriangleright$ Két versenyző oldott meg tíz feladatot. Ennek alapján

I. díjban és 100 000 Ft pénzjutalomban részesül

Borbényi Márton, az ELTE matematikus mesterszakos hallgatója,

Gáspár Attila, az ELTE harmadéves, matematika alapszakos hallgatója.

Borbényi Márton megoldotta az 1., 5., 6., 7., 8., 9., 10., 11., illetve apró pontatlanságoktól eltekintve a 2. és 3. feladatot, valamint fontos részeredményeket ért el a 4. feladatban. A bizottság szeretné kiemelni, hogy a 10. feladatra egyedül ő adott be teljes megoldást, továbbá a 7. feladatra adott megoldása különösen szép és egyszerű.

Gáspár Attila tíz feladatra – az első kilencre valamint az utolsóra – adott be megoldást. Minden megoldása precíz és hibátlan. Különösen elegáns a 8. feladatra adott megoldása.

$\blacktriangleright$ Egy versenyző oldott meg hét feladatot (1., 2., 4., 5., 6., 7., 8.), valamint fontos részeredményeket ért el a 3. feladatnál. Ennek alapján

II. díjban és 50 000 Ft pénzjutalomban részesül

Matolcsi Dávid, az ELTE másodéves, matematika alapszakos hallgatója.

$\blacktriangleright$ Egy versenyző oldott meg lényegében hat feladatot (1., 4., 5., 8., 11., illetve apró pontatlanságoktól eltekintve a 3. feladatot), valamint fontos részeredményeket ért el a 2. feladatnál. Kiemelendő továbbá, hogy a 4. feladatra különösen elegáns megoldást adott. Ennek alapján

III. díjban és 40 000 Ft pénzjutalomban részesül

Schweitzer Ádám, az ELTE harmadéves, matematika alapszakos hallgatója.

$\blacktriangleright$ Három versenyző oldott meg három feladatot. Ennek alapján

dicséretben és 20 000 Ft pénzjutalomban részesül

Szabó Kristóf, az ELTE másodéves, matematika alapszakos hallgatója.

Kovács Benedek, az ELTE matematikus mesterszakos hallgatója,

Schwarcz Tamás, az ELTE idén végzett, matematikus mesterszakos hallgatója.

Szabó Kristóf megoldotta az 1. és 8., illetve apró pontatlanságoktól eltekintve a 3. feladatot, valamint fontos részeredményeket ért el a 2., 4. és 7. feladatban.

Kovács Benedek megoldotta az 1., 3. és 8. feladatot, valamint fontos részeredményeket ért el a 2. feladatban.

Schwarcz Tamás megoldotta az 1., 2. és 8. feladatot. Különösen elegáns az 1. és 8. feladatra adott megoldása.

$\blacktriangleright$ Legalább egy feladatot teljesen vagy lényegében teljesen megoldott

Csahók Tímea, az ELTE matematikus mesterszakos hallgatója,

Forman Balázs Attila, az ELTE matematikus mesterszakos hallgatója,

Gehér Boglárka, az ELTE matematikus mesterszakos hallgatója,

Geng Máté, az ELTE matematikus mesterszakos hallgatója,

Imolay András, az ELTE harmadéves, matematika alapszakos hallgatója,

Kocsis Anett, az ELTE elsőéves, matematika alapszakos hallgatója,

Marsi Viktor, az SZTE elsőéves, matematika alapszakos hallgatója.

A versenybizottság köszönetét fejezi ki a Morgan Stanley Magyarország Elemző Kft-nek és A Matematika Oktatásáért és Kutatásáért Alapítványnak a pénzjutalmakhoz való hozzájárulásukért.

Harangi Viktor

Mindkét eredményhirdetés megtekinthető a Bolyai Társulat Youtube-csatornáján is, az alábbi linkeken:

- Kürschák József Matematikai Tanulóverseny: https://youtu.be/PrzM_nE5VLo

- Schweitzer Miklós Emlékverseny: https://youtu.be/aWncPvmlJsA