Gördülő akrobatikus eszközök

Az akrobatika egyik népszerű ága, amikor akrobaták egy nagy fémkeret mozgását a testsúlyuk fémkereten belüli mozgatásával egyensúlyozva gurítják a fémkeretet a színpadon. Az egyik népszerű akrobatikus eszköz a német kerék. Két párhuzamos gyűrűből áll, amelyet fokok és fogantyúk kötnek össze (lásd 1. ábra), ezeket fogják az akrobaták.

1. ábra

Egy kevésbé ismert változata ezeknek az eszközöknek a cikk-cakk-gördülő, amely Toni Vighetto találmánya (lásd 2. ábra).

2. ábra

Mozgását a https://bit.ly/3wgmvEP oldal videója mutatja. Lényegében ugyanúgy mozog, mint a gömbicsavartkúp ([3]), amelyet a 3. ábrán látható módon konstruálunk két derékszögű egyenes kúpból.

3. ábra

A 4. ábrán a gömbicsavartkúp mozgását látjuk a síkon.

4. ábra

A cikk-cakk-gördülő eszköz esetében a gömbicsavartkúp félköríveit hurkok helyettesítik, amelyek szorosan közelítik a félköríveket. Az eszköznek azon részeit, amelyek kapcsolatba kerülnek a színpaddal, miközben az eszköz mozog, síneknek fogjuk nevezni. A maradék struktúra a síneket kapcsolja össze, és biztosítja a művésznek, hogy lépjen vagy megtartsa magát rajtuk.

Marco Paoletti, világhírű zsonglőr és cirkuszi artista a következő kérdést vetette fel a cikk-cakk-gördülő eszközzel kapcsolatban: jóllehet az eszköz cikk-cakk alakban mozog a színpadon, egy teljes fordulat után ugyanabba az irányba néz, mint a mozgás kezdetén. Nagy léptékben így egyenes vonalban mozog, akárcsak a német kerék. Ezért az akrobatának, hogy ki ne fusson a színpadról, meg kell állítania az eszközt és visszafelé haladnia vele, megtörve ezzel az előrehaladó mozgás lendületét. Marco azt kérdezte, lehetne-e konstruálni olyan eszközt, amelyik kiküszöböli ezt a problémát: például ha a cikk-cakk-gördülő két félköre különböző méretű lenne, akkor az eszköz kört írna le, miközben cikk-cakkban mozog? Henry Segerman a ([2]) cikkben ennek a kérdésnek a megválaszolásával foglalkozik, és javaslatot tesz néhány alternatív eszközre. A guruló eszközre a következő feltevést tesszük:

1. feltevés. Az eszköz tömegközéppontja nem változtatja a magasságát mozgás közben.

Ha ez a feltevés nem teljesül, akkor az eszköz mozgása során lesznek pillanatok, amikor a tömegközéppont magassága egy lokális minimumnál lesz. Egy ilyen pontból való elmozdulás munkát igényel az akrobata részéről. Ehhez elegendő súrlódás szükséges a keret és a színpad között a csúszás elkerülése érdekében. Az előadónak nem könnyű megtartania az eszközt egy bizonyos egyensúlyi pontnál, és nincs más választása, mint hagyja, hogy tovább guruljon. Mindezek korlátozzák, milyen módon használhatja az akrobata az eszközt. Ha az 1. feltevés teljesül, akkor az előadó minden konfigurációban kontrollálni tudja az eszköz mozgását. Elég, ha egy kicsit változtat a pozicióján, eltolva a keret és a saját közös tömegközéppontját, és így egyensúlyozza az eszközt.

Marco kérdésére válaszolva megmutatjuk, hogy egy kevésbé szimmetrikus cikk-cakk-gördülő eszköz, amelynek két félköre különböző méretű, a 8. ábrán látható mozgást ír le a porondon, azaz három ciklus után visszatér az eredeti helyzetébe. Sajnos egy ilyen eszköz fizikai megvalósítása problémába ütközik, mivel ha állandó sűrűségű fémcsövekből készítjük el, akkor tömegközéppontja nem teljesíti az 1. feltevést. Ez a probléma elvileg kiküszöbölhető, ha a keretre bizonyos helyeken plusz súlyokat helyeznek el. Az 5. és a 6. tételek azt mutatják, hogy szükségszerűen nehéz olyan eszközt konstruálni, amely a színpadon marad, anélkül, hogy az akrobata megállítaná és visszafordítaná. Ha általánosítjuk a konstrukciónkat, és megengedünk többszörös hurkokat, akkor azonban lehetővé válik, hogy az 5. és a 6. tétel is teljesüljön. Két ilyen eszközt fogunk bemutatni. Az első (lásd 10/a. és 10/b. ábrák) az egyenes vonalú mozgáson kívül $270^{\circ}$ -os elfordulásra is képes (lásd 10/c. ábra). A második eszközzel (lásd 11/a. és 11/b. ábrák) a 11/c. ábrán látható köröket írhatjuk le a porondon.

A gördülő eszköz konstrukciója, megvalósításának feltételei

Az 1. feltevéssel élve egy képzeletbeli gömböt rögzítünk a kerethez, amelynek sugara a tömegközéppont színpadtól mért távolsága. Ezt hívjuk gördülő gömbnek. Az eszköz mozgásának minden pillanatában a gördülő gömb egyetlen pontban érinti a színpadot. Ezeknek a pontoknak a nyomon követése két görbét állít elő: $\sigma$ -t a gördülő gömbön és $\rho$ -t a színpad síkján. Az 5. ábra azt a példát mutatja, ahol $\sigma$ a teniszlabdagörbe, ami négy egybevágó félkörből áll.

5. ábra

Általában, fel fogjuk tenni, hogy $\sigma$ egy szakaszonként sima egyszerű zárt görbe. Mostantól feltesszük, hogy a gördülő gömb sugara egységnyi. Legyen $s(t)$ a $\sigma$ görbe természetes paraméterezése (egység sebességű paraméterezése). Legyen $r(t)$ a megfelelő síkbeli $\rho$ görbe természetes paraméterezése. Ha az eszközhöz rögzített vonatkoztatási rendszerben dolgozunk, nem a színpadhoz rögzítettben, akkor úgy választhatjuk a rendszert, hogy a gördülő gömb középpontja legyen az origó.

Az eszköz számára a sínek halmazát a következőképpen konstruáljuk meg. Először egy, a gördülő gömböt érintő $S(t,u)$ vonalkázott felületet konstruálunk, ami olyan vonalakból áll, amelyek merőlegesek mind $s(t)$ -re (a gömb centrumából a felszínére mutató vektor), mind $s'(t)$ -re, ahol $s'(t)$ az $s(t)$ görbe első deriváltja (sebesség), és hasonlóképpen jelöljük a második deriváltat (gyorsulás). Azaz minden rögzített $t_0$ esetén $S(t_0,u)$ a következő egyenes:

$\displaystyle S(t_0,u)=s(t_0)+ u b(t_0),$

(1)

ahol $b(t_0)=s(t_0) \times s'(t_0)$ egy egységvektor. Felhasználva, hogy $s(t) \times s''(t)=0$ , direkt számolás mutatja, hogy az $S(t,u)$ felület normálisa nem függ $u$ -tól. Ebből következik, hogy Gauss-görbülete 0, így fejleszthető felület ([4], 91. old.).

Ha $\sigma$ egy elegendően szép görbe, megcsonkítva az $S(t_0,u)$ egyeneseket, ahol ezek metszik a $\sigma$ más pontjaiból jövő egyeneseket, egy $S$ zárt felületet kapunk. Az 5. ábrán mutatott példában, a teniszlabdagörbe által generált zárt felület a gömbicsavartkúp (lásd 6/a. ábra). Egy zárt felület jól funkcionál egy szilárd objektum, mint a gömbicsavartkúp, határaként. Az akrobatikus eszköz számára az $S$ vonalkázott felületet helyettesíthetjük egy-dimenziós sínek egy $K$ halmazával, amely ugyanilyen módon gördül $\sigma$ mentén. A $K$ halmaznak vehetjük az $S(t,u)$ felület önmagával vett metszéspontjainak halmazát. A 6/a. ábrán ezek a gömbicsavartkúp félkörei. A cikk-cakk-gördülő hurkai a $\sigma$ mentén gördülő síneknek másik halmaza.

6/a. ábra

Általában $K$ -ra az a megszorítás, hogy minden $S(t_0,u)$ vonal esetén, a $K \cap S(t_0,u)$ halmaz tartalmazzon egy pontot a $\sigma \cap S(t_0,u)$ valamelyik oldalán. Ez biztosítja, hogy az eszköz ne boruljon fel a gördülő gömb centrumát és az egyenest tartalmazó síkban.

Eszközünk konstrukciójához szükségünk van még olyan extra struktúra hozzáadásához, amely összeköti a két félköríves sínt. A 6/b. ábrán ez a vonalkázott felület négy vonala, amely egy négyzetet alkot.

6/b. ábra

A teljes méretű fizikai eszköz esetén ezek a vonalak nem szükségesek. A 2. ábrán ezeket azok a csatlakozó ívek helyettesítik, amelyek az eszköz közepe felé görbülnek. Ezek megkönnyítik az akrobatának, hogy megkapaszkodjon, és megakadályozzák, hogy megragadjon egy rudat, amely a padlót érintve balesetet okozhat.

Milyen nagy legyen a porond?

Marco kérdésének a megválaszolásához meg kell értenünk a színpad síkján történő mozgást az eszköz gurulásakor. Azt akarjuk tudni, hogy a $\rho$ görbe korlátos-e? Mivel a $\sigma$ görbe zárt, ehhez meg kell értenünk az eszköz helyezetében és irányában fellépő különbségeket, miközben egyszer végiggördül $\sigma$ -n. A síknak ezt az izometriáját $\sigma$ holonómiájának hívjuk és $I(\sigma)$ -val jelöljük.

2. lemma. A $\rho$ görbe akkor és csak akkor nem korlátos, ha az $I(\sigma)$ holonómia egy nemzérus vektor általi eltolás.

Bizonyítás: Először tegyük fel, hogy $I(\sigma)$ egy transzláció. Ekkor az eszköz ismétlődő gördülése $\sigma$ mentén megismétli a transzlációt, így az eszköz végül eléri akármilyen porond szélét. Másrészről, ha $I(\sigma)$ rotáció, akkor bár a $\rho$ út soha nem tér vissza ugyanabba a helyzetbe és irányba, mint a mozgás kezdetén, nem kerülhet távolabb a forgás centrumától, mint a $\sigma$ menti első mozgás során. Így egy véges sugarú porond tartalmazni fogja $\rho$ -t. $\qedsymbol$

Így Marco kérdésének a megválaszolásához meg kell értenünk a kapcsolatot a $\sigma$ görbe és a között a szög között, amellyel az eszköz elfordul, mialatt $\sigma$ mentén gördül.

3. tétel. Az eszköz elfordulási szöge, mialatt egyszer végiggördül a $\sigma$ egyszerű zárt görbén, $2 \pi$ és a gömb $\sigma$ által határolt valamelyik komponensének felszíne közötti különbség.

Megjegyzés: A gömb felszíne $4 \pi$ . A tételben szereplő két különbség előjeltől eltekintve megegyezik. A bizonyítás során a Gauss-Bonnet tételt alkalmazva megmutatjuk, hogy a tételben szereplő felszín különbség $\sigma$ teljes geodetikus görbületével egyenlő. Ez megegyezik a $\rho$ egy periódus alatti teljes geodetikus görbületével, amely akkor és csak akkor 0, ha a holonómia transzláció.

Bizonyítás: Miközben a gördülő gömb gurul a síkon, ezzel együtt gurul a vonalkázott felületet is. Így síkbeli egyenesek $R(t,u)$ egy-paraméteres családja jön létre, amelyet az $S(t,u)$ egyenesekből kapunk, amikor azok a síkot érintik. Például, ha $\sigma$ egy körív, akkor az megfelelő részhalmaza része egy kúpnak. Az egy-paraméteres család megfelelő részhalmaza egy körszelet (lásd 7. ábra).

7. ábra

Ekkor világos, hogy $S(t,u)$ izometrikus $R(t,u)$ -val, és ez általánosan is igaz: a fejleszthető felület izometrikus a síkkal ([4]).

Legyen $c(t)$ egy sima természetes paraméterezésű görbe az $\mathbb{R}^3$ tér $F$ felületén. Legyen $n(t)$ normális $F$ -hez $c(t)$ -ben. Ekkor $c'(t)$ és $n(t)$ merőlegesek és így $\{c'(t), n(t), n(t) \times c'(t)\}$ $\mathbb{R}^3$ ortonormált bázisát alkotja. Így $c''(t)$ -t felírhatjuk, mint $c'(t)$ , $n(t)$ és $n(t) \times c'(t)$ lineáris kombinációját. Sőt, merőleges $c'(t)$ -re mivel $c(t)$ természetes paraméterezésű. Így

$\displaystyle c''(t)=\kappa_n (t) n(t)+ \kappa_g(t)( n(t) \times c'(t)).$

(2)

Itt $\kappa_n (t)$ a normál görbülete, $\kappa_g(t)$ a geodetikus görbülete $c$ -nek a $t$ pillanatban. A geodetikus görbület belső, azaz invariáns a felület izometriáival szemben. Továbbá, $S(t,u)$ -n az $s(t)$ geodetikus görbülete megegyezik $R(t,u)$ -n az $r(t)$ geodetikus görbületével. Mivel $\sigma$ egyszerű, a gördülő gömböt két részre bontja. Legyen $P$ a $\sigma$ bal oldali, $Q$ a jobb oldali része. Alkalmazzuk a Gauss-Bonnet tételt $P$ -re:

$\displaystyle \int \limits _P K dA+ \int \limits_{\partial P} \kappa_g ds= 2 \pi \chi(P).$

(3)

A második integrál összege a $\partial P$ sima darabjai mentén vett integráloknak plusz azoknak a szögeknek az összege, amelyeket a sima darabok zárnak be a találkozásuknál. A $K$ Gauss görbület $1$ , a $P$ felület $\partial P$ határa $\sigma$ , a $\chi (P)$ Euler karakterisztika $1$ . Így átrendezve (3)-at azt kapjuk:

$\displaystyle 2 \pi - A(P)= \int \kappa_g ds.$

(4)

Mivel $\sigma$ geodetikus görbülete $S(t,u)$ -n egyenlő $\rho$ geodetikus görbületével $R(t,u)$ -n, tekinthetjük $\kappa_g$ -t geodetikus görbületének. $\rho$ síkgörbe, ezért normál görbülete 0. Így $\kappa_g$ éppen a $\rho$ síkgörbe előjeles görbülete. Ismét, az integrál megkapható, mint a sima darabok mentén vett integrálok összege, plusz azon szögek összege, amelyeket a sima darabok a sarkoknál bezárnak. Tetszőleges saroknál a szögek összege ugyanaz a síkon és a gömbön. Így a (4) egyenlet jobb oldala a $\rho$ görbe irányának teljes változását adja, amint egyszer körbefutunk $\sigma$ -n. Ebből következik a 3. tétel. $\qedsymbol$

A 3. tételt alkalmazva, a fordulási szög 0, ha a $P$ felszíne $2 \pi$ , azaz pontosan a gördülő gömb felszínének a fele. A fordulási szög nem lehet $2 \pi$ valamely más egész többszöröse, hiszen ekkor a $P$ vagy a $Q$ felszíne kisebb vagy egyenlő mint 0. Ez lehetetlen anélkül, hogy $\sigma$ vagy önmagát metszené vagy triviális lenne.

Ennélfogva:

4. következmény: Egy gördülő eszköz korlátlan porondot kíván akkor és csak akkor, ha a $\sigma$ görbe két egyforma területű részre bontja a gördülő gömb felszínét.

Ez történik a cikk-cakk-gördülő eszköz esetében, ahol $\sigma$ a teniszlabdagörbe (lásd 5. ábra). A deformált teniszlabdagörbék egy-paraméteres családjába négy félkörből álló görbék tartoznak, amelyek végpontjai a gördülő gömb egyik főkörét egy téglalap csúcsaiban metszik (lásd 8. bal oldali ábra).

8. ábra

Ekkor két különböző, $a$ , $b$ sugarú félkörünk van úgy, hogy $a^2+b^2=1$ . Így a gömb két komponensének felületét a következőképpen kapjuk: A gömb $4 \pi$ felszíne a következőkből áll: két gömbsüvegből, amelyek határa az $a$ sugarú körvonal, két gömbsüvegből, amelyek határa a $b$ sugarú körvonal és a maradékból, ami két görbült téglalap. Az $a$ sugarú körvonal által határolt gömbsüveg felszíne: $2 \pi (1- \sqrt{1-a^2})=2 \pi (1-b)$ . Ezért a két görbült téglalap felszíne:

$\displaystyle 4 \pi - 2 (2 \pi(1-b))-2 (2 \pi(1-a))= 4 \pi(a+b-1).$

(5)

Így az $a$ sugarú körvonal által határolt gömbsüveget tartalmazó komponens felszíne:

$\displaystyle 2(2 \pi(1-b))+ \frac{1}{2}(4 \pi(a+b-1))= 2 \pi(1+a-b).$

(6)

Ezért az eszköz elfordulási szöge $2 \pi (b-a)$ . Megadva egy kívánt elfordulási szöget, $a$ -ra és $b$ -re megoldhatjuk az egyenletet. Például ha $\frac{2 \pi}{3}$ elfordulási szöget akarunk, akkor $a=(\sqrt{17}-1)/6$ , $b=(\sqrt{17}-1)/6$ . A 8. jobb oldali ábra egy ilyen paraméterű eszközt és mozgását mutatja. Ez az eszköz azonban nem teljesíti azt a feltevésünket, hogy tömegközéppontja a gördülő gömb centruma. A következő tétel egy szimmetrián alapuló kritériumot ad arra, hogy a végső fizikai eszköz tömegközéppontja az origó legyen:

5. tétel: Ha az eszköz szimmetriacsoportja csak a gördülő gömb origóját hagyja pontonként fixen, akkor az eszköz tömegközéppontja .

Bizonyítás: Definició szerint egy objektumot a szimmetriacsoportjának minden eleme fixen hagyja. Így az objektum tömegközéppontja is fix. A tétel feltétele mellett a tömegközéppontnak az $O$ -ban kell lennie. $\qedsymbol$

Egy korlátos háromdimenziós objektum szimmetriáinak talán legismertebb jelölési rendszere a Conway-Thurston jelölés ([1]). Ez a jelölés az $O(3)$ ortogonális csoport véges részcsoportjait írja le, $\mathbb{R}^3$ azon izometriáit, amelyek az origót fixen hagyják. A 9. ábra néhány példát mutat szimmetrikus objektumokra a Conway-Thurston jelölésükkel.

9. ábra

Minden objektumot felül- és oldalnézetből látunk. A forgatások fixpontjai kékkel vannak jelölve, a tükrözéssel szemben fix síkok pirossal. A jelölés egész számok egy sorozata, ami tartalmazhatja a $\ast$ vagy a $\times$ szimbólumot. Ha nem tartalmazza ezeket a szimbólumokat, akkor egy $n$ szám azt mutatja, hogy a gömbnek van egy pontja, amely fix az $n$ -szeri ( $360/n$ szögű) forgatással szemben. A 9 (A) ábrán két különböző pont van, amely fix a $8$ -szoros forgatással szemben, így a jelölés $88$ . A $\ast$ szimbólum jelenléte azt mutatja, hogy létezik tükrözéssel szemben fix szimmetriasík. Egy $n$ szám a $\ast$ jel után azt jelenti, hogy létezik egy pont a gömbön, amelyen keresztül $n$ különböző tükrözéssel szemben fix sík halad. A 9 (B) ábrán két különböző pont létezik, amelyeken keresztül $4$ szimmetriatükör-sík halad, így a jelölés $\ast 44$ . Egy szám a $\ast$ szimbólum előtt azt jelenti, hogy létezik egy pont a korábban leírt forgatási szimmetriával. Végezetül, egy tükrözéstől különböző irányításváltó szimmetria létezését a $\times$ jelöli. A 9 (E) ábrán van egy pont, amely fix a $8$ -szoros forgatással szemben, és létezik egy olyan szimmetria, amely egy forgatás és egy tükrözés kompozíciója. A gömbi szimmetriatípusok teljes listáját, és ennek a bizonyítását megtaláljuk ([1])-ben. Azok a szimmetriatípusok, amelyeknek több fixpontjuk van, mint az origó, az $1$ , $nn$ és a $\ast nn$ , $n \ge 1$ . Példaként, az eredeti cikk-cakk-gördülő eszköz szimmetriatípusa $2 \ast 2$ (lásd 9 (C) ábra), így a tömegközéppontja az origóban van. A módosított teniszlabdagörbéhez tartozó cikk-cakk-gördülő eszköz szimmetriatípusa $\ast 22$ (lásd 9 (F) ábra), így nem lehet a tömegközéppontja az origó. A következő tétel azt mutatja, hogy más egyszerű zárt görbe esetén is lehetetlen az, hogy nem egyenlő felületű részekre osztja a gömböt de a tömegközéppont az origó.

6 tétel: Tegyük fel, hogy $\sigma$ egy szakaszonként sima egyszerű zárt görbe a gömbön. Ha $\sigma$ a gömböt két nem izometrikus részre bontja, akkor $\sigma$ szimmetriacsoportja nemcsak a gömb origóját rögzíti pontonként.

Bizonyítás: Legyen $H$ a $G$ irányítástartó részcsoportja. Először tegyük fel, hogy $H$ triviális. Ha $G=H$ akkor $G$ mindent fixen hagy és készen vagyunk. Egyébként, $G$ -t egy másodrendű elem generálja: vagy egy tükrözés vagy egy antipoláris leképezés. Az első esetben (szimmetriatípusa $\ast$ ) $G$ fixen hagyja a tükrözés szimmetriasíkját, így készen vagyunk. A második esetben (szimmetriatípusa $\times$ ) az antipoláris leképezés felcseréli a $\sigma$ által határolt két kiegészítő komponenst. Így ezek izomorfak, ellentétben a feltevéssel.

Segédállítás: Legyen $g \in H \setminus \{ 1\}$ . Ekkor egy rotáció. A $\sigma$ hurok nem tartalmazza fixpontjait.

Bizonyítás: Euler tétele szerint a gömb minden nemtriviális irányítástartó izometriája rotáció. Indirekt tegyük fel, hogy $p \in \sigma$ $g$ egy fixpontja. Mivel $\sigma$ egyszerű, így $p$ egy kis környezetét két komponensre bontja. De $g$ nem cserélheti fel a két komponenst, mivel a $\sigma$ által határolt kiegészítő részek nem izometrikusak. $\qedsymbol$

Következőnek tegyük fel, hogy $H$ véges és nemtriviális. Megmutatjuk, hogy $H$ ciklikus. A Segédállítás miatt és mivel $H$ véges, $H$ hatása a $\sigma$ hurkon szabad, és sehol sem folytonos. Ebből következik, hogy a $\sigma \to \sigma /H$ egy fedő leképezés. Az egyetlen tér, amely a kört lefedi a kör. A $H$ csoport ekkor a kör fundamentális csoportjának egy faktorcsoportja, így ciklikus. Ennélfogva a $H$ csoport egy tengelyt pontonként fixen hagy, és így fixen hagy a gömbön egy antipoláris pontpárt, $a$ -t és $a'$ -t . A Segédállítás miatt $\sigma$ sem $a$ -t sem $a'$ -t nem tartalmazza. Megmutatjuk, hogy $\sigma$ szeparálja $a$ -t és $a'$ -t. Ehhez tekintsük az $S^2/H$ hányadosteret. Ez ismét egy kétdimenziós gömbfelület két speciális ponttal, $\bar{a}$ és $\bar{a'}$ -vel. Ha $\sigma/H$ szeparálja $\bar{a}$ -t $\bar{a'}$ -től, akkor készen vagyunk. Ha nem, akkor válasszunk egy $\lambda$ utat $\bar{a}$ -ból $\bar{a'}$ -be, ami nem metszi $\sigma/H$ -t. A $\lambda$ ősképe szétvágja a gömböt legalább két komponensre, amelyek mindegyike metszi $\sigma$ -t. Ez ellentmond annak, hogy $\sigma$ összefüggő.

Ha $G=H$ (szimmetriatípusa $nn$ ) akkor készen vagyunk. Egyébként, $G$ -t megkapjuk $H$ -ból, ha hozzáadunk egyetlen irányításváltó izometriát, és vesszük a csoport lezártját. Az új elemnek a tengelyt mint halmazt fixen kell hagynia, sőt a tükrözés általi konjugálás új forgatásokat hoz létre. Az új elem sem cserélheti fel $a$ -t és $a'$ -t, mivel azok a $\sigma$ két nem izometrikus kiegészítő komponensére esnek. Így $G$ ismét fixen hagyja a tengelyt. (Az új szimmetriatípus $\ast nn$ . Mivel és $a'$ nem felcserélhető, ez kizárja a $\ast n$ és a $n \times$ típusokat).

Végül tegyük fel, hogy $H$ végtelen. Ekkor $H$ zárt végtelen részcsoportja $SO(3)$ -nak. Így vagy a teljes $SO(3)$ csoport, vagy izomorf $SO(2)$ -vel. Az első lehetetlen, mivel egy szakaszonként sima görbe nem metszheti a gömb minden pontját. Így $H$ izomorf $SO(2)$ -vel és $\sigma$ egy körvonal. Mivel $\sigma$ nem egyforma részekre bontja a gömböt, így nem főkör. Így $\sigma$ $G$ szimmetriacsoportja fixen hagyja $\sigma$ tengelyét. $\qedsymbol$

Ha általánosítjuk a konstrukciónkat, megengedve többszörös hurkokat, kielégíthetjük az 5. és 6. tételeket. Az ötlet, az, hogy a $\sigma$ görbét a gördülő gömbbe ágyazott $\Sigma$ gráffal helyettesítjük. A $\Sigma$ gráf változatos hurkokat tartalmazhat, amelyek egyenletlenül osztják fel a gömböt, mégis a teljes gráf (és így az eszköz) szimmetriatípusa teljesíti az 5. tételt. Két ilyen eszközt mutatunk be:

$270^{\circ}$ -os forduló eszköz: Ez az eszköz mozoghat egyenes vonalon, mint a német kerék, de $270^{\circ}$ -os elfordulást is megenged, innen kapta a nevét. Ezért a $\Sigma$ gráf tartalmaz egy főkört és két kisebb kört olyan sugárral, amely lehetővé teszi a $270^{\circ}$ -os elfordulást. A 3. tétel szerint a gömbsüveg felülete mindkét kis kör esetén $\frac{\pi}{2}$ . Ebből adódik, hogy a kis kör sugara $r=\frac{\sqrt{7}}{4}$ (lásd a 10/a. ábrát).

10/a. ábra

Az eszköz szimmetriája $2 \ast$ (9 (G) ábra). Követve a korábban leírt konstrukciót, az eszköz modellje a 10/b. ábrán látható. Az eszköz sínpárja két, az ábrán zölddel jelölt ellipszis.

10/b. ábra

Ismét összekapcsoljuk a síneket bizonyos vonalakkal. Ezek a vonalak 10/b. ábrán a szürke paralelogrammát alkotják. A 10/c. ábrán az eszközzel megtehető utakat látjuk. A szemléltetett helyzetben, feltéve, hogy az eszköz távolodik tőlünk, folytathatja a gördülést egyenes vonalban, vagy $270^{\circ}$ -kal elfordulhat balra. Ha így tesz, akkor visszatér az eredeti állapotban (annak a pontnak a tekintetében, ahol a gömb érinti a padlót), de elmozdult és megváltoztatta az irányát a padlón. Másik lehetőség, hogy fél fordulatot előre gurul és ott $270^{\circ}$ -kal elfordul jobbra. Ezek együttesen lehetővé teszik, hogy az eszköz többé-kevésbé mindenütt mozogjon végtelen porondon vagy elforduljon, és ezzel egy (elegendően nagy) korlátos területen maradjon.

10/c. ábra

Három gyűrű eszköz: A következő eszköz a gördülő gömbbe ágyazható kör alakú hurokról tett megfigyelésen alapszik, amely $180^{\circ }$ -os fordulatnak felel meg. Alkalmazva a 3. tételt, a körök által határolt gömbsüveg felülete $\pi$ . Így a körök sugara $r=\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Három ilyen kör pontosan elfér a gördülő gömb egy főköre körül (lásd 11/a. ábra).

11/a. ábra

A három kör érinti egymást, az eszköz szimmetriatípusa $\ast 223$ (lásd 9 (H) ábra). A korábban leírt módon generálva síneket ehhez az eszközhöz, megkapjuk a 11/b. ábrán mutatott modellt. A síneket ismét zölddel jelöltük. Ismét vonalakat adunk az eszközhöz a sínek összekapcsolására. Ezek végpontjai a három kör, mint alapkör által meghatározott kúp csúcsai. Itt a vonalak sokkal nagyobbá teszik az eszközt, mint csupán a sínek. Mint korábban, a teljes eszköz megépítéséhez ezek a vonalak nem szükségesek.

11/b. ábra

A kúpok csúcsait ki lehet cserélni a kúpon áthaladó kör keresztmetszetű sínekre, amelyek párhuzamosak $\Sigma$ köreivel. Félpályát gurulva a körök egyike mentén a sínpálya egyik csúcsából a másikba, a porondon egy negyed körívű forgás történik. A jobbra és balra történő fordulások váltakozásával ez az eszköz közelíti egy cikk-cakk-gördülő eszköz mozgását, bár az artista természetesen más utat is választhat a sínpálya bármely csúcsában. Az eszköz néhány lehetséges elmozdulását a 11/c. ábra mutatja.

11/c. ábra

Irodalomjegyzék

[1] J. H. Conway, H. Burgiel and C. Goodman-Strauss, The symmtries of things, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2008.

[2] H. Segerman, Rolling Acrobatic Apparatus, Notices in AMS, 68, no. 7 (2021), 1106–1118.

[3] I. Stewart, Cone with a twist, Scientific American 281, no. 4 (1999), 116–117.

[4] D. J. Struik, Lectures on classical differential geometry, Addison-Wesley Press, Inc., Cambridge, Mass., 1950.

Munkánkat a Nemzeti Kutatási, Fejlesztési és Innovációs Hivatal (NKFI) K132951 és az EFOP-3.6.1-16-2016-00022 projekt támogatta. A második projektet az Európai Unió és az Európai Szociális Alap finanszírozza.

Henry H. Segerman, Rolling Acrobatic Apparatus, Notices in AMS, 68, no. 7 (2021), 1106–1118. cikkét fordította, átdolgozta: Figula Ágota, Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet.