Centrális egyszerű algebrák és Galois-kohomologia

1. Kvaternióktól a centrális egyszerű algebrákig

A történet ott kezdődik, hogy a legenda szerint az 1840-es évek elején Hamilton ír matematikus azon gondolkozott, hogyan tudna a háromdimenziós vektorokon egy „jól működő” szorzást definiálni (a kétdimenziós sík és a komplex számok azonosításának mintájára). Hosszas gondolkozás után 1843 októberében rájött, hogy ugyan ez három dimenzióban nem lehetséges, négy dimenzióban viszont igen. A Hamilton-féle kvaterniók a $t+xi+yj+zk$ alakú formális kifejezések, ahol $t,x,y,z\in\mathbb{R}$ , az $i,j,k$ szimbólumokkal pedig a következőképpen kell számolni:

$\displaystyle ij=-ji=k,\quad jk=-kj=i,\quad ki=-ik=j,\quad i^2=j^2=k^2=-1.$

Láthatóan a fenti szorzás nem kommutatív, ugyanakkor a disztributivitás megtartásával ki lehet terjeszteni az összes $t+xi+yj+zk$ alakú kifejezésre úgy, hogy az asszociativitást megőrizzük. A Hamilton-féle kvaterniók egy $\mathbb{H}$ ferdetestet alkotnak (az alapműveletek: összeadás, kivonás, szorzás, és $\neq 0$ elemmel való osztás elvégezhetők azzal a kitétellel, hogy a szorzás, mint láttuk, nem kommutatív). Ráadásul a „tisztán képzetes” kvaterniókat azonosíthatjuk a háromdimenziós tér vektoraival és a kvaterniószorzás segítségével kifejezhető a skaláris és vektoriális szorzás is. Hamiltont a fizikai alkalmazások érdekelték, de hogy jön ide az aritmetika?

Ahhoz, hogy elinduljunk ezen az úton, az első észrevétel a következő: a $t,x,y,z$ együtthatókat nemcsak a valós, hanem tetszőleges testből vehetjük. Ha például komplex együtthatókat választunk, akkor a kapott gyűrű izomorf lesz a $\mathbb{C}$ feletti $2\times 2$ -es mátrixok $M_2(\mathbb{C})$ gyűrűjével a

$\displaystyle t+xi+yj+zk\leftrightarrow \begin{pmatrix}t+xi & y+zi\\ -y+zi & t-xi\end{pmatrix}$

azonosításon keresztül (vegyük észre, hogy a mátrixban szereplő $i$ egy komplex szám — melynek négyzete $-1$ —, ami nem tévesztendő össze az $i$ kvaternióval: a történeti hűség kedvéért most megengedjük ezt a pici jelölésbeli következetlenséget). Mint látni fogjuk, a $\mathbb{H}$ gyűrű a valósak felett egy csavart formája a kétszer kettes mátrixok gyűrűjének: $\mathbb{C}$ fölött már izomorffá válnak.

A centrális egyszerű algebrák (melyek a könyv fő témáját alkotják) nem mások, mint az $n\times n$ -es mátrixgyűrűk csavart formái nem feltétlenül algebrailag zárt testek felett (tetszőleges $n\geq 1$ -re). A precíz definíció a következő: Legyen $K$ test, $A$ pedig végesdimenziós $K$ -algebra (azaz $A$ olyan egységelemes gyűrű, aminek $K$ részgyűrűje úgy, hogy $K$ minden eleme felcserélhető $A$ minden elemével, és $A$ végesdimenziós, mint $K$ feletti vektortér). Az $A$ algebrát akkor hívjuk centrális egyszerű algebrának ( $K$ felett), ha $(i)$ egyszerű (azaz nincs nemtriviális kétoldali ideálja) és $(ii)$ a centruma (azaz a minden $A$ -belivel felcserélhető elemek részgyűrűje) megegyezik $K$ -val. Wedderburn klasszikus tétele szerint minden centrális egyszerű algebra izomorf egy $D$ ferdetest feletti $M_n(D)$ teljes mátrixgyűrűvel (alkalmas $n\geq 1$ -re). Sőt, ha a $K$ alaptest algebrailag zárt, akkor $D=K$ , azaz algebrailag zárt test fölött csak a teljes mátrixgyűrűk a centrális egyszerű algebrák. Viszont ha $K$ nem algebrailag zárt (és az egyszerűség kedvéért a továbbiakban tegyük fel, hogy karakterisztikája $\neq 2$ ), akkor léteznek úgynevezett nem hasadó centrális egyszerű algebrák: a $2\times 2=4$ -dimenziós esetben az összes ilyen algebrát megkaphatjuk a szokásos kvaterniókhoz hasonló konstrukcióval: Vegyünk két nullától különböző $a,b\in K$ elemet, és tekintsük a $t+xi+yj+zk$ alakú formális kifejezéseket, ahol $t,x,y,z\in K$ , az $i,j,k$ szimbólumokra pedig legyen:

$\displaystyle ij=-ji=k,\quad jk=-kj=-bi,\quad ki=-ik=-aj,\quad i^2=a,\quad j^2=b,\quad k^2=-ab.$

Az így konstruált ún. (általánosított) kvaternióalgebrát $(a,b)$ -vel, vagy ha a $K$ alaptestet is hangsúlyozni akarjuk, akkor $(a,b)_K$ -val jelöljük. Azt mondjuk, hogy az $L/K$ testbővítés felhasítja az $(a,b)_K$ kvaternióalgebrát (vagy általánosabban az $A$ centrális egyszerű algebrát), ha $(a,b)_L$ izomorf $M_2(L)$ -lel (illetve ha $A\otimes_K L$ izomorf $M_n(L)$ -lel valamilyen $n$ -re).¹ Nem nehéz belátni (a komplex együtthatós kvaterniókhoz hasonlóan), hogy minden kvaternióalgebrát felhasít egy alkalmas másodfokú bővítés: elegendő $a$ -ból (vagy $b$ -ből, esetleg $-ab$ -ből) négyzetgyököt vonni. Az is világos, hogy az $a$ és $b$ struktúrakonstansokat nem határozza meg egyértelműen a kvaternióalgebra izomorfiaosztálya: pl. $(a,b)\cong (au^2,bv^2)\cong (b,a)$ , sőt $(a,b)\cong (a,-ab)$ ( $0\neq u,v\in K$ tetszőleges).

Ahhoz, hogy ezt a jelenséget mélyebben megértsük és osztályozni tudjuk az adott $K$ test feletti centrális egyszerű algebrákat, segítségül kell hívnunk a Galois-elméletet.

2. Galois-kohomológia kommutatív együtthatókkal

Motivációként kezdjük egy klasszikus példával. Az egyenletek gyökjelekkel való megoldhatóságának elméletéből ismeretes a következő

Tétel. Legyen $K$ olyan test, melyben van primitív $n$ -edik egységgyök (speciálisan $K$ karakterisztikája nem osztja $n$ -et), továbbá legyen $L/K$ olyan Galois-bővítés, melynek $G$ Galois-csoportja² az $n$ -edrendű ciklikus csoport. Ekkor $L$ nem más mint egy alkalmas $0\neq\alpha\in K$ elem (egyik) $n$ -edik gyökével való bővítése.

Hogyan bizonyítjuk ezt koncepciózusan? A gondolatmenet a következő: egy olyan $\alpha\in K$ elemet szeretnénk találni, ami $K$ -ban nem $n$ -edik hatvány, sőt nem is $k$ -adik hatvány semmilyen $1<k\mid n$ -re, viszont $L$ -ben már $n$ -edik hatvány. Fordítsuk ezt le a testek nemnulla elemeinek szorzáscsoportjára! Az $L^\times$ multiplikatív csoporton az $n$ -edik hatványra emelés egy csoporthomomorfizmus, ezért az $n$ -edik hatványok egy $(L^\times)^n$ részcsoportot alkotnak. Tehát $\alpha$ -nak egyszerre kell $(L^\times)^n$ -ben és a $K^\times\leq L^\times$ részcsoportban is benne lennie. Mit jelent ugyanakkor, hogy $K$ -ban még nem $n$ -edik hatvány az $\alpha$ elem? Azt, hogy nincs benne a $(K^\times)^n$ részcsoportban. Sőt, az is kellene, hogy $\alpha$ semmilyen $1<k\mid n$ -re sincs benne $(K^\times)^k$ -ban, hiszen ha $\alpha=\beta^k$ akkor az $\sqrt[n]{\alpha}=\sqrt[n/k]{\beta}$ -val való bővítés $n$ -nél kisebb ( $\leq n/k$ ) fokú lenne. Vegyük észre, hogy ezt átfogalmazhatjuk úgy is, hogy $\alpha^{\frac{n}{k}}$ sem $n$ -edik hatvány $K$ -ban. Ez pedig másszóval azt jelenti, hogy $\alpha$ mellékosztálya az $((L^\times)^n \cap K^\times)/(K^\times)^n$ faktorcsoportban egy $n$ -edrendű elem (az világos, hogy az $n$ -edik hatványa benne van $(K^\times)^n$ -ben). Tehát az $n$ -edik hatványra emelés, mint $K^\times\overset{\cdot^n}{\to} (L^\times)^n\cap K^\times$ leképezés komagját szeretnénk megérteni, azaz a kérdés az, hogy a

$\displaystyle 1\to \mu_n\to K^\times\overset{\cdot^n}{\to} (L^\times)^n\cap K^\times\to ?$

(1)

sorozatban mit kell a $?$ helyére írnunk, hogy egzakt³ sorozatot kapjunk (itt $\mu_n$ az $n$ -edik egységgyökök csoportját jelöli, ami nem más, mint az $n$ -edik hatványra emelés magja). A $G$ Galois-csoport a Galois-elmélet főtételén keresztül jön a képbe: ennek segítségével tudjuk karakterizálni $L$ azon elemeit, melyek benne vannak a szűkebb $K$ testben: ezek pontosan azok az elemek, melyeket a $G$ csoport minden eleme (mint $L$ automorfizmusa) helybenhagy. (Ez annak az általánosítása, hogy egy komplex szám pontosan akkor valós, ha megegyezik a konjugáltjával.) Tehát az ([1]) sorozatot megkaphatjuk úgy, hogy a

$\displaystyle 1\to \mu_n\to L^\times\overset{\cdot^n}{\to} (L^\times)^n\to 1$

(2)

rövid egzakt sorozat elemeinek vesszük a $G$ -invariánsait (a $G$ -invariáns elemek részcsoportját a továbbiakban $(\cdot)^G$ -vel jelöljük). Így a kérdést arra a problémára fordítottuk le, hogy a $G$ -invariánsok képzése mennyire rontja el az egzaktságot: ezt méri a $H^1(G,\mu_n)$ Galois-kohomológia csoport. Hogyan tudjuk ezt a kohomológiacsoportot megkonstruálni? Miért csak $\mu_n$ -től (és nem $L^\times$ -től vagy $(L^\times)^n$ -től) „függ” a $?$ helyére írandó csoport?

Ennek megválaszolásához kicsit általánosabban vegyük $G$ -hatással ellátott (additívan írt) Abel csoportoknak egy $0\to A\to B\to C\to 0$ rövid egzakt sorozatát, azaz $A$ egy $G$ -invariáns részcsoport $B$ -ben, $C\cong B/A$ pedig a faktorcsoport. Ha veszünk egy $c\in C^G$ invariáns elemet, mi az oka annak, hogy az nem egy $B$ -beli invariáns elemből jön? Az egzaktság miatt van egy $b\in B$ elem, ami erre a $c\in C$ -re képződik, de csak annyit tudunk, hogy $b$ csak modulo $A$ lesz $G$ -invariáns, azaz tetszőleges $g\in G$ -re $gb-b\in A$ . Tehát ez definiál egy $f_b\colon G\to A$ leképezést, mégpedig $f_b(g):=gb-b$ .

Hogy viselkedik ez a függvény $G$ -beli művelettel?

$f_b(gh)=ghb-b=g(hb-b)+(gb-b)=gf_b(h)+f_b(g)$ : az ilyen tulajdonsággal bíró függvényeket hívják $1$ -kociklusnak vagy keresztezett homomorfizmusnak. Ha $c$ rögzített, mennyire függ $f_b$ a $b$ őskép választásától? Ha $b'$ egy másik őskép, akkor $b'-b=:a\in A$ , és $f_{b'}=f_b+f_a$ , tehát egy $a\in A$ elemmel definiált $f_a$ függvényben térnek el (ún. principális keresztezett homomorfizmus). A $H^1(G,A)$ első kohomológiacsoportot tehát a

$\displaystyle H^1(G,A):=\left\{\begin{matrix}G\to A~{\rm keresztezett}\\ {\rm h... ...cute{\rm a}{\rm lis}\\ {\rm keresztezett~homomorfizmusok}\end{matrix}\right\}$

faktorcsoportként definiálhatjuk.

A mi esetünkben tehát milyen csoport lesz $H^1(G,\mu_n)$ ? Mivel a $K$ alaptestünk tartalmazza az $n$ -edik egységgyököket, ezért a $G$ -hatás triviális $\mu_n$ -en. Speciálisan minden keresztezett homomorfizmus egy igazi homomorfizmus, hiszen $gf_b(h)=f_b(h)$ , sőt, a principális keresztezett homomorfizmusok mind triviálisak. Viszont $\mu_n$ és $G$ is $n$ -edrendű ciklikus, ezért $H^1(G,\mu_n)=\operatorname{Hom}(G,\mu_n)$ is az. Ahhoz, hogy az eredeti problémára választ adjunk, már csak azt kell látni, hogy a sorozat következő tagja, jelesül $H^1(G,L^\times)$ triviális — ez pedig nem más, mint Hilbert $90$ -es tétele.⁴ Így azt kaptuk, hogy az $((L^\times)^n \cap K^\times)/(K^\times)^n$ faktorcsoport izomorf $H^1(G,\mu_n)$ -nel, azaz az $n$ -edrendű ciklikus csoporttal. Speciálisan létezik a kívánt $\alpha$ elem.

A homologikus algebra eszközeivel definiálhatók a magasabb fokú $H^i(G,A)$ ( $i\geq 0$ ) kohomológiacsoportok is, mint a $H^0(G,\cdot)=(\cdot)^G$ funktor ún. derivált funktorai. Itt $A$ olyan Abel csoport, melyen a $G$ csoport automorfizmusokkal hat. Az általános elméletből következik, hogy minden $0\to A\to B\to C\to 0$ rövid egzakt sorozathoz tartozik egy

$\begin{multline*} 0\to A^G\to B^G\to C^G\to H^1(G,A)\to H^1(G,B)\to H^1(G,C)\to... ...s\to H^i(G,A)\to H^i(G,B)\to H^i(G,C)\to H^{i+1}(G,A)\to \cdots \end{multline*}$

kohomologikus hosszú egzakt sorozat.

3. Centrális egyszerű algebrák és a Brauer-csoport

A fentiek mintájára klasszifikálhatjuk az $n$ -edfokú (azaz a $K$ alaptest felett $n^2$ -dimenziós) centrális egyszerű algebrákat is. Vegyünk egy $A$ centrális egyszerű algebrát $K$ fölött. Ekkor van olyan $L$ véges Galois-bővítés ( $K\leq L$ ), melyhez létezik $f\colon M_n(L)\overset{\sim}{\to} A\otimes_K L$ izomorfizmus. Vegyük észre, hogy ez a — nemkanonikus — azonosítás (általában) nem $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ -ekvivariáns a két oldalon levő $G$ -hatásra nézve! Ugyanis $A\otimes_K L$ -ben a $G$ -invariáns rész épp $A\otimes 1$ , az $M_n(L)$ teljes mátrixgyűrűben viszont $M_n(K)$ — melyek nemizomorfak, hacsak $A$ nem hasad már $K$ fölött is. Éppen a $G$ -ekvivarianciának ez a hiánya definiál egy $f_A\colon G\to \operatorname{Aut}(M_n(L))$ keresztezett homomorfizmust: Ha van egy $g\in G$ elemünk, akkor megnézhetjük, mennyiben tér el a $g$ -hatás a két oldalon: az

$\displaystyle f_A(g)\colon M_n(L)\overset{g^{-1}}{\to} M_n(L)\overset{f}{\to} A... ...set{\operatorname{id}\otimes g}{\to} A\otimes_K L\overset{f^{-1}}{\to} M_n(L)$

izomorfizmus már $L$ -lineáris lesz, azaz egy automorfizmusát adja $M_n(L)$ -nek. Node $M_n(L)$ minden automorfizmusa belső, azaz $\operatorname{Aut}(M_n(L))\cong \operatorname{GL}_n(L)/Z(\operatorname{GL}_n(L))=\operatorname{PGL}_n(L)$ , ahol $\operatorname{GL}_n(L)$ az $n$ -edfokú általános lineáris csoportot jelöli (tehát az $n\times n$ -es $L$ -beli együtthatós invertálható mátrixok csoportját), $Z(\operatorname{GL}_n(L))$ pedig ennek a centrumát, azaz a skalármátrixok részcsoportját. A technikai probléma itt az, hogy mivel $\operatorname{PGL}_n(L)$ nem kommutatív, a $G\to \operatorname{PGL}_n(L)$ keresztezett homomorfizmusok nem alkotnak csoportot! Viszont ekvivalenciarelációt megadhatunk rajtuk: két keresztezett homomorfizmus ekvivalens, ha egy principális keresztezett homomorfizmusban térnek el. Az ekvivalenciaosztályok csak egy halmazt alkotnak, amin az egyetlen struktúra, hogy van egy kitüntetett eleme: jelesül a triviális keresztezett homomorfizmus osztálya. Ha $CSA_L(n)$ -nel jelöljük azon $K$ feletti $n$ fokú centrális egyszerű algebrák izomorfiaosztályait, melyek $L$ fölött trivializálódnak, akkor a fenti megfeleltetés megad egy $CSA_L(n)\leftrightarrow H^1(G,\operatorname{PGL}_n(L))$ pontozott terek közti bijekciót. (Itt $CSA_L(n)$ -ben a kitüntetett elem az $M_n(K)$ mátrixgyűrű osztálya.)

Viszont mi nemcsak azon centrális algebrákat szeretnénk osztályozni, melyeket egy konkrét $L$ bővítés felhasít, sőt az $n$ fokot sem szeretnénk rögzíteni. Továbbá szeretnénk az $M_n(K)$ mátrixgyűrűt minden $n$ -re triviálisnak tekinteni. A cél az, hogy egy (Abel-)csoport klasszifikálja ezeket az objektumokat. A természetes művelet a centrális egyszerű algebrákon a $K$ feletti tenzorszorzás, melyre nézve a centrális egyszerű algebrák izomorfiaosztályai egy $\widetilde{CSA/K}$ kommutatív egységelemes félcsoportot alkotnak. Az $A$ és $B$ centrális egyszerű algebrákat Brauer-ekvivalensnek hívjuk, ha van olyan $n$ , illetve $n'$ pozitív egész, melyekre $A\otimes_K M_n(K)$ izomorf $B\otimes_K M_{n'}(K)$ -val. A $\operatorname{Br}(K)$ csoportot a $K$ fölötti centrális egyszerű algebrák ekvivalenciosztályai alkotják a tenzorszorzásra nézve. Ezt nevezzük a $K$ test (abszolút) Brauer-csoportjának, mely rendelkezik azzal az „univerzális” tulajdonsággal, hogy $\widetilde{CSA/K}$ minden Abel-csoportba képező félcsoporthomomorfizmusa, mely az $M_n(K)$ mátrixgyűrűket az egységelembe küldi, átfaktorizálódik $\operatorname{Br}(K)$ -n. Az olvasóban felmerülhet a kérdés, miért lesz $\operatorname{Br}(K)$ csoport: miért van inverz? Ezt viszonylag könnyű látni: egy $A$ centrális egyszerű algebra Brauer-osztályának az inverze az $A^\circ$ oppozit algebra lesz (az az algebra, ami az összeadásra nézve ugyanaz az Abel csoport, mint $A$ , de a szorzást „fordítva” értelmezzük, azaz $a$ és $b$ szorzata $A^\circ$ -ben $ba$ lesz). Ennek az az oka, hogy $A$ hat saját magán a bal- és a jobb szorzással is, ami megad egy $A\otimes_K A^\circ\to \operatorname{End}_K(A)\cong M_{n^2}(K)$ gyűrűhomomorfizmust — ez pedig dimenzióokokból bijektív.

A Brauer-csoport kohomologikus interpretációjához a következő módon juthatunk el. Ha $G_K:=\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$ jelöli a $K$ test abszolút Galois-csoportját⁵, akkor

$\displaystyle \operatorname{Br}(K)\cong H^1(G_K,\operatorname{PGL}_\infty(\overline{K}))= \bigcup_{L,n} H^1(\operatorname{Gal}(L/K),\operatorname{PGL}_n(L)).$

A jobb oldalon álló kohomológiateret — ami a priori csak egy pontozott halmaz, nincs rajta csoportstruktúra — vagy a $G_K$ provéges csoport folytonos $1$ -kociklusainak ekvivalenciaosztályaiként, vagy felszálló unióként interpretálhatjuk. A kommutatív együtthatós kohomológiacsoportokkal ellentétben nemkommutatív együtthatókkal csak az alacsony fokú kohomológiákat tudjuk definiálni, ráadásul, azok sem alkotnak csoportot, csak pontozott teret. Ugyanakkor — ameddig definiálva van, addig — létezik egy kohomologikus hosszú egzakt sorozat is nemkommutatív együtthatókkal. Ahhoz, hogy ezt értelmezni tudjuk, meg kell mondanunk, mit értünk pontozott terek egy

$\displaystyle (X,x_0)\overset{f}{\to} (Y,y_0)\overset{g}{\to} (Z,z_0)$

sorozatának egzaktságán. Ezt a lehető legnaivabb módon definiáljuk: az $Y$ -nál való egzaktság azt jelenti, hogy egy $y\in Y$ -ra $g(y)=z_0$ (azaz $y$ benne van $g$ magjában) akkor és csak akkor, ha van olyan $x\in X$ , amire $f(x)=y$ (azaz $y$ benne van $f$ képében). Vegyük észre, hogy a mag trivialitásából — csoportok közti leképezésekkel ellentétben — még nem következik, hogy a leképezés injektív. Az $1\to A\to B\to C\to 1$ rövid egzakt sorozathoz akkor tartozik kohomologikus hosszú egzakt sorozat, ha $A$ benne van $B$ centrumában (speciálisan $A$ kommutatív). Viszont a

$\displaystyle 1\to \overline{K}^\times\to \operatorname{GL}_n(\overline{K})\to \operatorname{PGL}_n(\overline{K})\to 1$

rövid egzakt sorozat valóban teljesíti ezt a feltételt, és a hozzá tartozó $G_K$ -kohomológiák hosszú egzakt sorozata az

$\begin{multline*} 1\to K^\times \to \operatorname{GL}_n(K)\to \operatorname{PGL... ...ratorname{PGL}_n(\overline{K}))\to H^2(G_K,\overline{K}^\times) \end{multline*}$

alakot ölti. Így $n$ -nel tartva a végtelenbe és felszálló uniót véve kapunk egy

$\displaystyle H^1(G_K,\operatorname{PGL}_\infty(\overline{K}))\overset{\delta}{\to} H^2(G_K,\overline{K}^\times)$

leképezést, melyről megmutatható⁶, hogy bijektív. Ebben a bijekcióban az a szerencsés, hogy mivel $\overline{K}^\times$ kommutatív, ezért a jobb oldal Abel-csoport. Továbbá a $\operatorname{Br}(K)\to H^1(G_K,\operatorname{PGL}_\infty(\overline{K}))\to H^2(G_K,\overline{K}^\times)$ bijekció csoportizomorfizmus!

4. Ciklikus algebrák és a Merkurjev—Szuszlin-tétel

Szamuely Tamás és Philippe Gille könyvének (egyik) fő tétele (mely Merkurjev és Szuszlin nevéhez fűződik⁷) egyfajta struktúratétel centrális egyszerű algebrákra. Kimondásához szükségünk lesz az ún. ciklikus algebrák fogalmára, melyek speciális centrális egyszerű algebrák, bizonyos szempontból a kvaternióalgebrák magasabb dimenziós közvetlen általánosításai. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a $K$ alaptest tartalmaz egy $\omega$ primitív $n$ -edik egységgyököt valamilyen $n$ -re. Ekkor az $a,b\in K^\times$ konstansokkal definiált $n$ -edfokú $(a,b)_\omega$ ciklikus algebrát az

$\displaystyle \langle x,y\mid x^n=a,\quad y^n=b,\quad xy=\omega yx\rangle$

prezentációval adhatjuk meg. Valóban, a kvaternióalgebrák ennek speciális esetei $n=2$ és $\omega=-1$ választással. Amennyiben $K$ nem tartalmaz primitív $n$ -edik egységgyököt, akkor olyan $L/K$ bővítést kell választanunk ( $a$ helyett), melynek a Galois-csoportja $n$ -edrendű ciklikus csoport valamely $\sigma$ generátorral, a ciklikus algebránk pedig az $L[y,\sigma]$ algebra azokkal a relációkkal, hogy $y^n=b$ , és $y$ nem felcserélhető $L$ elemeivel: jelesül az $y$ -nal való konjugálás $L$ -en épp a $\sigma$ testautomorfizmus.

Tétel. (Merkurjev—Szuszlin) Tegyük fel, hogy $K$ -ban van egy $\omega$ primitív $n$ -edik egységgyök, és $A$ egy centrális egyszerű $K$ -algebra úgy, hogy $A$ Brauer-csoportbeli osztályának rendje (azaz $A$ periódusa) osztja $n$ -et. Ekkor $A$ Brauer-ekvivalens néhány $n$ -edfokú ciklikus algebra

$\displaystyle (a_1,b_1)_\omega\otimes_K\cdots \otimes_K (a_r,b_r)_\omega$

(3)

tenzorszorzatával.

A fenti tétel következménye, hogy (legalábbis 0 karakterisztikában) minden centrális egyszerű algebra felhasad egy alkalmas feloldható Galois-bővítés felett (azaz olyan Galois bővítés felett, melynek Galois-csoportja feloldható). Ehhez először azt kell látnunk, hogy $\operatorname{Br}(K)$ torziócsoport: nincs benne végtelen rendű elem. Ugyanis ha $A\cong M_n(D)$ centrális egyszerű algebra, ahol $D$ foka $m$ (ezt a számot hívjuk $A$ indexének), akkor megmutatható, hogy $A$ $m$ -edik tenzorhatványa felhasad, azaz $A$ periódusa osztója az indexének. Tehát ha $A$ $n$ indexű centrális egyszerű algebra, akkor a $K(\omega)$ bővítés fölött (ahol $\omega$ primitív $n$ -edik egységgyök) $A\otimes_K K(\omega)$ Brauer-ekvivalens lesz egy ([5]) alakú algebrával, ami pedig a $K(\omega,\sqrt[n]{a_1},\dots,\sqrt[n]{a_r})$ bővítés fölött hasad, így persze $A$ is. A $\operatorname{Gal}(K(\omega,\sqrt[n]{a_1},\dots,\sqrt[n]{a_r})/K)$ Galois csoport viszont feloldható. Megjegyezzük, hogy erre a — viszonylag elemien megfogalmazható — következményre nem ismert elemi bizonyítás.

A Merkurjev—Szuszlin-tétel bizonyítása nagyon mély eszközöket használ: algebrai geometriai-, és algebrai $K$ -elméleti technikákat is, melyeket Szamuely és Gille — sokszor az eredeti forrástól eltérő módon — felépítenek a könyvben. Az első lépésként ugyanakkor az alábbiakban vázoljuk a kapcsolatot a 2. fejezetben a feloldható bővítésekre alkalmazott Kummer-elmélettel. Ha a ([2]) sorozatban az $L$ bővítés helyére a $\overline{K}$ algebrai lezártat írjuk (és feltesszük, hogy $K$ -ban van primitív $n$ -edik egységgyök), akkor a $G_K$ -kohomológiák hosszú egzakt sorozata az

$\begin{multline*} 1\to \mu_n\to K^\times\overset{\cdot^n}{\to} K^\times\to H^1(... ...e{K}^\times)\overset{\cdot^n}{\to} H^2(G_K,\overline{K}^\times) \end{multline*}$

alakot ölti. Hilbert 90-es tételét újfent alkalmazva a $H^1(G_K,\overline{K}^\times)$ csoport triviális, ezért $H^2(G_K,\mu_n)$ megegyezik a $H^2(G_K,\overline{K}^\times)\cong \operatorname{Br}(K)$ Brauer-csoporton az $n$ -edik hatványra emelés magjával, tehát az $n$ -et osztó rendű elemek részcsoportjával. A Merkurjev-Szuszlin tétel pont ezekről szól: olyan centrális egyszerű algebrákról, melyek Brauer osztálya ebben a részcsoportban van. Tehát míg a $H^1(G_K,\mu_n)$ csoport explicit megadása viszonylag elemi, a $H^2(G_K,\mu_n)$ leírásához a Merkurjev—Szuszlin tétel szükséges.

5. Alkalmazások és kapcsolatok más területekkel

A Brauer-csoportnak létezik egy harmadik, geometriai interpretációja is. Vegyünk először egy $(a,b)$ kvaternióalgebrát a ( $2$ -től különböző karakterisztikájú) $K$ test fölött. Láttuk, hogy $(a,b)$ felhasad (legalább) két másodfokú bővítés fölött: akár $a$ , akár $b$ négyzetgyökét elegendő adjungálni $K$ -hoz. Hogy lehetne ezt egy ennél uniformabb módon megfogalmazni? Tekintsük a $\mathbb{P}^2$ projektív síkon a $C(a,b)\colon ax^2+by^2=z^2$ homogén koordinátákkal megadott görbét. Az alapvető észrevétel a következő: $C(a,b)$ -nek pontosan akkor van $K$ felett pontja (azaz $C(a,b)(K)\neq\emptyset$ ), ha az $(a,b)$ centrális egyszerű algebra $M_2(K)$ -val izomorf. Sőt, ha $L$ egy tetszőleges bővítése $K$ -nak, akkor $C(a,b)(L)\neq\emptyset$ ekvivalens azzal, hogy $L$ felhasítja $(a,b)$ -t. Továbbá algebrailag zárt test fölött $C(a,b)$ a $\mathbb{P}^1$ projektív egyenessel izomorf. Általában Severi—Brauer-varietásnak nevezzük az $X$ algebrai varietást a $K$ test fölött, ha $X$ valamilyen $n$ -re az $n$ -dimenziós projektív tér egy csavart formája, azaz $X(\overline{K})\cong \mathbb{P}^n(\overline{K})$ . Mivel $\mathbb{P}^n(\overline{K})$ automorfizmuscsoportja $\operatorname{PGL}_{n+1}(\overline{K})$ — akárcsak $M_{n+1}(\overline{K})$ -nak —, ezért az $n$ -dimenziós Severi—Brauer-varietásokat ugyanaz a kohomológiacsoport klasszifikálja, mint az $n+1$ -edfokú centrális egyszerű algebrákat. Ez az észrevétel rendkívül fontos szerepet játszik a Merkurjev—Szuszlin-tétel bizonyításában, és általában a centrális egyszerű algebrák elméletében, hiszen ezen keresztül geometriai módszerek is alkalmazhatók.

A Brauer-csoport alapvető fontosságú az algebrai számelméletben is, azon belül az osztálytestelméletben. Az osztálytestelmélet fő célja általános reciprocitási tételek igazolása. Ezen kapcsolat megértéséhez vegyünk $\mathbb{Q}$ felett egy $(a,b)$ kvaternióalgebrát. Ez pontosan akkor hasad, ha $C(a,b)(\mathbb{Q})\neq\emptyset$ . Mivel ez egy homogén másodfokú egyenlet, alkalmazhatjuk a Hasse—Minkowski-tételt, mely szerint a $C(a,b)(\mathbb{Q})\neq\emptyset$ pontosan akkor, ha $C(a,b)(\mathbb{R})\neq\emptyset$ , és minden $\ell$ prímszámra $C(a,b)(\mathbb{Q}_\ell)\neq\emptyset$ . Másszóval az $(a,b)$ kvaternióalgebra pontosan akkor hasad $\mathbb{Q}$ fölött, ha hasad $\mathbb{Q}_\ell$ fölött minden $\ell$ -re (beleértve az $\ell=\infty$ -t is, melyre $\mathbb{Q}_\infty:=\mathbb{R}$ ). Utóbbi nemcsak kvaternióalgebrákra igaz, hanem tetszőleges centrális egyszerű algebrára: tehát ez esetben teljesül a Hasse-féle lokális—globális elv. A kohomológiacsoportok nyelvén ez annyit tesz, hogy a

$\displaystyle \operatorname{Br}(\mathbb{Q})\to \bigoplus_{\ell\leq \infty~\operatorname{prim}}\operatorname{Br}(\mathbb{Q}_\ell)$

természetes leképezés injektív. Ahhoz, hogy $\operatorname{Br}(\mathbb{Q})$ képét megértsük, meg kell határoznunk először a lokális testek Brauer-csoportját. Megmutatható⁸, hogy amennyiben $\ell$ véges, akkor $\operatorname{Br}(\mathbb{Q}_\ell)\cong H^2(G_{\mathbb{Q}_\ell},\overline{\mathbb{Q}_\ell}^\times)\cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ , illetve az $\ell=\infty$ esetben $\operatorname{Br}(\mathbb{R})\cong H^2(G_\mathbb{R},\mathbb{C}^\times)\cong \frac{1}{2}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ másodrendű ciklikus csoport⁹. Ez az azonosítás kanonikus (nem függ semmilyen választástól): adott $\mathbb{Q}_\ell$ feletti centrális egyszerű algebrához tartozó $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ -beli elemet az algebra Hasse-invariánsának nevezünk. Továbbá vegyünk minden $\ell$ prímre egy $a_\ell\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ -beli (és $\ell=\infty$ -re egy $a_\infty\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ -beli) elemet úgy, hogy véges sok kivétellel mindegyik 0 legyen. Pontosan akkor létezik olyan $\mathbb{Q}$ feletti centrális egyszerű algebra, melynek lokális Hasse-invariánsai az $a_\ell$ számok, ha ezen számok összege 0. Másszóval a

$\displaystyle 0\to \operatorname{Br}(\mathbb{Q})\to \bigoplus_{\ell\leq \infty~... ...\operatorname{Br}(\mathbb{Q}_\ell)\overset{\sum}{\to}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to 0$

(4)

sorozat egzakt. Ez hasonló mélységű eredmény, mint maga az osztálytest-elmélet: a $\mathbb{Q}$ véges bővítéseire vonatkozó általánosításaiból következnek a főbb reciprocitási tételek. Ennek illusztrálásaként megmutatjuk a Gauss-féle kvadratikus reciprocitási tételt. Mivel $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ -ben egyetlen másodrendű elem van (jelesül az $1/2$ mellékosztálya), a Brauer-csoport $2$ -torziójában minden esetben egyetlen nemtriviális elem van lokálisan, mégpedig $\ell=\infty$ esetén $\mathbb{H}$ , páratlan $\ell$ esetén az $(\ell,u)$ kvaternióalgebra, ahol $u$ kvadratikus nemmaradék modulo $\ell$ , $\ell=2$ esetén pedig (ugyancsak) a $(-1,-1)$ kvaternióalgebra osztálya.¹⁰ Tehát a ([4]) sorozat egzaktsága a $2$ -torzióra nézve azt jelenti, hogy minden $\mathbb{Q}$ feletti kvaternióalgebra páros sok $\ell\leq \infty$ esetén nem hasad lokálisan $\ell$ -nél (hiszen páros sok $1/2$ összege van $\mathbb{Z}$ -ben, páratlan soké nem). Namármost, ha $p\neq q$ páratlan prímek, akkor a $(p,q)_\mathbb{Q}$ kvaternióalgebra hasad $\mathbb{R}$ felett (hiszen $p$ és $q$ pozitívak), és minden $\ell\neq 2$ $p$ -től és $q$ -tól különböző prímre $\mathbb{Q}_\ell$ felett is.¹¹ Továbbá $\mathbb{Q}_p$ (ill. $\mathbb{Q}_q$ ) fölött pontosan akkor hasad $(p,q)$ , ha $q$ (ill. $p$ ) kvadratikus maradék $\bmod~p$ (ill. $\bmod~q$ ), azaz ha $\left(\frac{q}{p}\right)=1$ (ill. ha $\left(\frac{p}{q}\right)=1$ ). $\mathbb{Q}_2$ fölött pedig pontosan akkor hasad, ha $p\equiv q\equiv -1\pmod{4}$ nem teljesül, azaz ha $(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}=1$ . Ezt összegezve adódik a jól ismert

$\displaystyle \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}=1$

kvadratikus reciprocitási tétel.

Nem meglepő, hogy ha a Brauer-csoport $2$ -torziója helyett $n$ -torzióját vizsgáljuk, magasabb fokú reciprocitási tételeket kapunk: Legyen most $K$ tetszőleges test, mely valamely $n\geq 2$ -re tartalmaz egy $\omega$ primitív $n$ -edik egységgyököt. Az $(a,b)_\omega$ ciklikus algebra Hasse-invariánsa $n$ -edrendű elem $\operatorname{Br}(K)\cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ -ben. Ez megad egy

$\displaystyle (\cdot,\cdot)\colon K^\times/(K^\times)^n\times K^\times/(K^\times)^n\to H^2(G_K,\mu_n)\cong \operatorname{Br}(K)[n]$

(5)

alternáló bilineáris leképezést. Ráadásul az $(a,b)$ ún. Galois-szimbólum értéke pontosan akkor $1$ , ha az $(a,b)_\omega$ ciklikus algebra hasad. Ezt az $a,b\in K$ elemekre lefordítva azt kapjuk, hogy $b$ pontosan akkor áll elő normaként a $K(\sqrt[n]{a})/K$ bővítésben, ha $a$ előáll normaként a $K(\sqrt[n]{b})$ bővítésben — ez is egy reciprocitási tétel. Amennyiben $K$ az $\ell$ -adikus számok $\mathbb{Q}_\ell$ testének egy véges bővítése (azaz egy nemarkhimédészi lokális test), akkor ennél többet is mondhatunk, mert a $H^2(G_K,\mu_n)$ csoportot azonosíthatjuk az $\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ ciklikus csoporttal. Ez esetben az ([5]) bilineáris forma nemelfajuló, melyet Hilbert-szimbólumnak neveznek. Vegyük észre, hogy ([5]) függ $\omega$ választásától, viszont ha $H^2(G_K,\mu_n)\cong\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ -t azonosítjuk $\mu_n$ -nel úgy, hogy $1/n$ -et $\omega$ -ba küldjük, akkor $\mu_n$ -értékű bilineáris leképezésként már lokális testek esetén a Hilbert-szimbólum nem függ semmilyen választástól.

A Merkurjev—Szuszlin-tételt ebben a kontextusban úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az ([5]) bilineáris leképezés képtere generálja $H^2(G_K,\mu_n)$ -et, hiszen a képtér elemei éppen a ciklikus algebrák Brauer-osztályai, az összeadás a kohomológiacsoporton pedig az algebrák tenzorszorzatának felel meg. Vagy még elegánsabban: ([5]) indukál egy

$\displaystyle h^2_{K,n}\colon K^\times/(K^\times)^n\otimes_\mathbb{Z} K^\times/(K^\times)^n\to H^2(G_K,\mu_n)$

csoporthomomorfizmust, és a Merkurjev—Szuszlin-tétel állítása nem más, mint $h^2_{K,n}$ szürjektivitása. Ennek messzemenő általánosítása az ún. motivikus Bloch—Kato-sejtés (Vojevodszkij¹² tétele a 2000-es évekből), mely szerint az analóg

$\displaystyle h^i_{K,n}\colon \underbrace{K^\times/(K^\times)^n\otimes_{\mathbb{Z}}\cdots\otimes_{\mathbb{Z}} K^\times/(K^\times)^n}_i\to H^i(G_K,\mu_n)$

leképezés szürjektív minden $n$ -re és $i$ -re. Vojevodszkij már korábban, 2002-ben megkapta az egyik legnagyobb matematikai elismerésnek számító Fields-érmet a Milnor-sejtés bizonyításáért, mely az $n=2$ speciális esete a Bloch—Kato-sejtésnek. Vojevodszkij ezekhez a Merkurjev—Szuszlin-tétel (mely az $i=2$ eset) igazolásához szükséges technikákat is használ, az általa kifejlesztett „motivikus” módszereken kívül.

Zábrádi Gergely

Zábrádi Gergely az ELTE-n végzett 2005-ben, Cambridge-ben doktorált matematikából John Coates témavezetésével. Posztdoktorként Németországban volt, 2010 óta adjunktus az ELTE Algebra és Számelmélet tanszékén. 2018-ban Gács András díjat kapott.

Lábjegyzetek

¹A tenzorszorzatot úgy képzelhetjük el, mint a bilineáris leképezések klasszifikáló terét: ez $x\otimes y$ alakú elemi tenzorok formális lineáris kombinációiból áll, melyek a szokásos „bilinearitási” relációkat teljesítik. Ha mindkét szorzandó $K$ -algebra, akkor a tenzorszorzat is az lesz: egy $x_1\otimes y_1$ és egy $x_2\otimes y_2$ elemi tenzor szorzata az $x_1x_2\otimes y_1y_2$ elemi tenzor lesz.

² Tehát az $L$ test azon automorfizmusainak (önmagával való művelettartó bijekcióinak) a csoportja, melyek $K$ elemeit pontonként fixálják.

³ Egy (Abel) csoportokból álló sorozatot egzaktnak hívunk, ha bármely két egymást követő homomorfizmus esetén az első képe megegyezik a második magjával. Pl. az $1\to A\overset{f}{\to} B$ sorozat pontosan akkor egzakt, ha $f$ injektív.

⁴ Lásd akár itt: https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_Theorem_90.

⁵ Itt $\overline{K}$ az algebrai lezártat jelöli, és feltesszük, hogy a $K$ test tökéletes. Ha $K$ nem tökéletes, akkor az algebrai lezárt helyett a $K^{\mathrm{sep}}$ szeparábilis lezártat kell venni.

⁶ Az injektivitás Hilbert $90$ -es tétele $\operatorname{GL}_n$ -re, miszerint $H^1(\operatorname{Gal}(L/K),\operatorname{GL}_n(L))=\{1\}$ . Persze ehhez be kell azt is látni, hogy $\delta$ csoporthomomorfizmus a $\operatorname{Br}(K)$ -ból örökölt csoportstruktúrában, hiszen enélkül a mag trivialitásából még nem következne az injektivitás. A szürjektivitáshoz viszont dolgozni kell.

⁷ A. S. Merkurjev, A. A. Suslin: K-Cohomology of Severi-Brauer varieties and the norm residue homomorphism, Izvestiya: Mathematics 21.2 (1983): 307—340.

⁸ Létezik tisztán kohomologikus érvelés is, de az egyik legelegánsabb bizonyítás centrális egyszerű algebrákon keresztül adható: a kulcs annak igazolása, hogy minden centrális egyszerű algebra felhasad egy alkalmas — az algebrától függő — elágazásmentes bővítés fölött.

⁹ Ez nem más, mint Frobenius tétele, mely szerint $\mathbb{R}$ -en, $\mathbb{C}$ -n és $\mathbb{H}$ -n kívül nincs további nullosztómentes végesdimenziós $\mathbb{R}$ -algebra. Itt $\mathbb{C}$ -nek a centruma nem $\mathbb{R}$ , ezért a Brauer-csoportban az egyetlen nemtriviális elem $\mathbb{H}$ osztálya.

¹⁰ Ezen kvaternióalgebrák valóban nem hasadnak, ugyanis ha $\ell\neq 2$ prím, akkor az $\ell x^2+uy^2=z^2$ egyenletnek már modulo $\ell$ sincs nemtriviális megoldása, ill. az $-x^2-y^2=z^2$ egyenletnek nincs $\bmod~4$ nemtriviális megoldása.

¹¹ Ugyanis $\ell\nmid p$ és $\ell\nmid q$ miatt modulo $\ell$ pontosan $\frac{\ell+1}{2}$ darab elem áll elő $px^2$ alakban és $1-qy^2$ alakban is, ezért ezen két halmaznak van egy nemüres metszete modulo $\ell$ , azaz van olyan $x,y\in\mathbb{F}_\ell$ , melyre $px^2+qy^2=1$ . Ezt a modulo $\ell$ megoldást pedig a Hensel-lemma miatt fel lehet emelni egy $\ell$ -adikus megoldássá, ha $\ell\neq 2$ .

¹² azaz angol írásmóddal Voevodsky, 2017 őszén fiatalon elhunyt orosz/amerikai matematikus

¹³ Ezt a leképezést valójában a kohomológiákon való csészeszorzás indukálja, mivel $K^\times/(K^\times)^n$ azonosítható $H^1(G_K,\mu_n)$ -nel. Amennyiben $K$ nem tartalmaz primitív $n$ -edik egységgyököt (de karakterisztikája nem osztja $n$ -et), akkor a jobb oldalon $H^i(G_K,\mu_n^{\otimes i})$ -t kell venni $H^i(G_K,\mu_n)$ helyett.