1. Bevezetés
A geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon sajátosan ötvözi mindazokat az előnyöket, amelyeket a vektoros, a trigonometriai és algebrai módszerek, illetve ezek egyidejű alkalmazásai szolgáltatnak. Oldja azt a geometriával szembeni – érzésem szerint egyre erősődő – fenntartást, amely a geometriára fordítható időkeret radikális csökkentésével kialakult tanulókban és tanárokban egyaránt. A bizonyítások tömörek, könnyen éthetőek. Az egész témának van egy belső eleganciája, harmóniája. Ez nagyon hamar magukkal ragadja a tehetséges gyerekeket. Tapasztalataim szerint a gyerekek nagyon megszeretik ezt a témakört.
Az alábbi tárgyalásból a csoport igényei, illetve a tanító tanár elképzelései szerint egyes részek el is hagyhatók, illetve mások részletesebben is tárgyalhatók.
2. Vektorok, geometriai transzformációk
Mindenképpen érdemes a tárgyalást ezzel a résszel kezdeni. Itt közvetlenül használhatók fel a komplex számokkal végzett műveletek tulajdonságai, az egységgyökök. A feladatok mindegyike megoldható tisztán geometriai módszerekkel vagy éppen hagyományosan vektorok forgatásával is. Ehhez a fejezethez tartozó feladatok rövid, diszkussziót nem igénylő, jól áttekinthető megoldásai már meg is mutatják a komplex számok használatának egyes előnyeit.
A legalapvetőbb módszereket egy ismert feladat két megoldásával mutatjuk be.
I. („vektoros”) megoldás.
Legyenek a háromszög csúcsai és
. Az
oldalra írt szabályos háromszög középpontja
, a
oldalra kifelé írt szabályos háromszög középpontja
, s végül a
-ra írt szabályos háromszög középpontja
pont. Legyen az
irányított szakasz az
,
a
, s
irányított szakasz a
komplex szám. Jelentse továbbá
az első hatodik egységgyököt. Ekkor a vektorok forgatásával - azaz a megfelelő komplex számok
-nal történő szorzásával kapjuk, hogy
,
,
.
Be kell látni, hogy
-os elforgatottja
, vagyis
![$\displaystyle (\varepsilon \cdot v +w)\cdot \varepsilon= -v-\varepsilon \cdot u.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img22.png)
Ehhez felhasználjuk a következőket:
Egyrészt a hat komplex szám (vektor) összege nulla:
![]() |
![]() |
mivel , így
![$\displaystyle u+v+w=0.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img26.png)
Másrészt, mivel hatodik egységgyök
, tehát
![$\displaystyle \varepsilon^{3}+1=(\varepsilon+1)(\varepsilon^{2}-\varepsilon+1)=0,
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img28.png)
Az nem nulla, emiatt
, illetve
.
Ezután a bizonyítandó egyenlőséget egy oldalra rendezve valóban látjuk, hogy
![$\displaystyle (\varepsilon^{2}+1)v+\varepsilon u+\varepsilon w=\varepsilon(u+v+w)=0.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img32.png)
A másik bizonyítás a későbbi alkalmazásoknál (pl. Newton érintőnégyszögekre vonatkozó tételének bizonyítása) szintén jól használható.
II. („algebra és forgatás egyszerre”) megoldás.
Most kiszámoljuk először a és
pontokhoz tartozó komplex számokat. A
komplex szám pozitív irányú
-os elforgatottja éppen
. Ezt az
segítségével fel tudjuk írni:
. Ebből
, és ezt követően ugyanígy
és
kifejezhetők:
![$\displaystyle d=\dfrac{b+\varepsilon a}{\varepsilon+1},\quad e=\dfrac{c+\varepsilon b}{\varepsilon+1},\quad g=\dfrac{a+\varepsilon c}{\varepsilon+1}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img40.png)
A háromszög szabályos, ha a
pont
körüli
-os elforgatottja éppen az
pont, azaz
.
![$\displaystyle \varepsilon(d-g)=\dfrac{\varepsilon b+\varepsilon^{2} a-\varepsil...
...}c}{\varepsilon+1}=\dfrac{\varepsilon b+c-a-\varepsilon c}{\varepsilon+1}=e-g.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img43.png)
Ezzel a módszerrel sok esetben lehet dolgozni. A teljesség igénye nélkül: pl. Newton érintőnégyszögekre vonatkozó tétele, különféle Ceva-típusú kérdések, háromszögek és négyszögek oldalaira rajzolt háromszögek, négyzetek, szabályos sokszögek kérdései.
3. Körök és húrjaik
3.1. Húrok párhuzamossága
![$ O$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img44.png)
![$ a_{1}, a_{2}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img45.png)
![$ b_{1}, b_{2}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img46.png)
Az ív egyenlő az
ívvel, tehát
-et ugyanaz az
középpontú forgatás viszi
-be, amely
-t
-be. A két komplex szám hányadosa ugyanaz az egységnyi hosszúságú komplex szám kell, hogy legyen.
![$\displaystyle \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}} \Leftrightarrow a_{1} a_{2}=b_{1} b_{2}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img53.png)
A bizonyítás oda-vissza olvasható, ez a párhuzamosság feltétele.
További fontos segédeszközökre is szükség van. Ezek bizonyítása megtalálható több, az irodalomjegyzékben felsorolt helyen is.
3.2. Kör húrjaival kapcsolatos segédeszközök
![$ O$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img44.png)
![$ a_{1}, a_{2}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img45.png)
![$ b_{1}, b_{2}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img46.png)
![$ a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=0$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img54.png)
![$ O$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img44.png)
![$ a_{1}, a_{2}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img45.png)
![$ b_{1}, b_{2}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img46.png)
![$\displaystyle m=\dfrac{a_{1} a_{2}(b_1+b_2)-b_{1} b_{2}(a_1+a_2)}{a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img55.png)
Ha a húrok merőlegesek, akkor ebből speciálisan:
![$\displaystyle m=\dfrac{a_1+a_2+b_1+b_2}{2}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img56.png)
(Ugyanezt az eredményt kapjuk közvetlenül akkor is, ha szakasz és a
szakasz felezőpontjaiba mutató vektorok összegét vesszük. )
Két feladat megoldásával itt is ízelítőt adunk a megoldási lehetőségekről.
3.3. Háromszögre vonatkozó ismert feladat
Legyen a háromszög köréírt körének középpontja ismét az pont, a csúcsok
és
. A három helyvektor összege a magasságpontba mutat, tehát
![$\displaystyle m=a+b+c.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img59.png)
A magasságpont oldalakra vonatkozó tükörképei a körülírt körön vannak. Két ilyen pontot összekötő szakasz párhuzamos a talpponti háromszög oldalával. A magasságpont oldalra vonatkozó
tükörképét az
csúccsal összekötve a
és
a kör egymásra merőleges húrjai, így
. Hasonlóan a magaságpont
-ra vonatkozó tükörképe
. Elegendő belátni, hogy az
és
csúcsokhoz tartozó magasságoknak a körrel vett metszéspontjait összekötő húr merőleges a
és
pontokat összekötő átmérőre. A merőlegesség feltételét újra felhasználva:
![$\displaystyle -\dfrac{bc}{a} \cdot -\dfrac{ac}{b} + c(-c)=c^2-c^2=0.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img69.png)
3.4. Húrnégyszög forgatása
![$ ABCD$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img70.png)
Ismét középpontú körrel dolgozunk. A négyszög csúcsai
, a forgatást generáló egység-komplex szám
. Ekkor pl.
és
elforgatottja
, illetve
. A két húr metszéspontja:
![$\displaystyle x=\dfrac{ab(a'+b')-a'b'(a+b)}{ab-a'b'}=\dfrac{ab\varepsilon(a+b)-...
...n^2(a+b)}{ab(1-\varepsilon^2)}=\dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon}(a+b)=t(a+b).
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img74.png)
Rendre kapjuk, hogy és
. Ebből
, a négyszög paralelogramma.
3.5. További lehetőségek, feladatok
Minden olyan geometriai feladat esetében érdemes ezeket a módszereket is megfontolni, amikor egy körnek közvetítő szerepe van. Például:
- A háromszög magasságvonalai a talpponti háromszög szögfelezői
- Síkbeli egyeneshalmaz talpponti alakzata és metszéspontalakzata
- Simson-egyenes
- Adott körbe írt két egybevágó, azonos körüljárású háromszög megfelelő oldalainak metszéspontjai az eredetihez hasonló háromszöget határoznak meg
- Ennek a háromszögnek a magasságpontja a kör középpontja
- Brocard-féle pontok
4. Köri pontnégyes – kettősviszony
Kicsit szűkebb tárgyalásnál ez a fejezet már el is hagyható. Speciális matematika osztályoknál azonban – véleményem szerint – érdemes ennek a tárgyalása, mert a vetítéseknél, a projektív geometria elemeinek tanulásánál is igen nagy hasznát vehetjük ezeknek az előzetes fogalmaknak,
4.1. Algebrai feltétel arra, hogy négy pont egy körön van
![](/images/2019-marcius/KISSG03-kori_pontnegyes.png)
, ezért
vektort ugyanolyan szögű forgatás viszi
-vel párhuzamos helyzetbe, mint
-t az
-vel párhuzamos helyzetbe. Azaz van olyan
egységvektor, hogy
és
, ahol
és
valós számok. Tehát
![$\displaystyle \dfrac{a-c}{a-d}:\dfrac{b-c}{b-d}=\dfrac{\mu}{\lambda}
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img87.png)
valós szám.
4.2. A kettősviszony
![$ \dfrac{a-c}{a-d}:\dfrac{b-c}{b-d}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img88.png)
![$ a, b, c, d$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img71.png)
![$ (abcd)$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img89.png)
Ha valós, akkor
. Az
és
vektorok szöge vagy egyenlő az
és
vektorok szögével, vagy azt
-ra egészíti ki. Így
A kettősviszonyra vonatkozó fenti tételnek a használatára remek lehetőséget kínál a háromszög Simson-egyenesére vonatkozó tétel tárgyalása.
4.3. Simson-egyenes
![](/images/2019-marcius/KISSG04-Simson.png)
Bizonyítás: Legyenek az középpontú körön a háromszög csúcsai
, továbbá
az a köri pont, ahonnan a merőlegeseket állítjuk. A
-ből
egyenesére állított merőleges a kört másodszor
pontban metszi. A két merőleges húr metszéspontja
![$\displaystyle x=\dfrac{a+b+p-\dfrac{ab}{p}}{2}=\dfrac{(a+b+p)p-ab}{2p}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img99.png)
A másik két talppont:
![$\displaystyle y=\dfrac{(b+c+p)p-bc}{2p}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img100.png)
![$\displaystyle \quad z=\dfrac{(c+a+p)p-ca}{2p}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img101.png)
Az egy egyenesen vannak, ha
valós szám.
![$\displaystyle \dfrac{x-z}{y-z}=\dfrac{p(b-c)-ab+ca}{p(b-a)-bc+ca}=\dfrac{p(b-c)-a(b-c)}{p(b-a)-c(b-a)}=\dfrac{(p-a)(b-c)}{(p-c)(b-a)}=(pbac).
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img104.png)
A köri pontnégyes kettősviszonya valós, tehát az
pontok valóban egy egyenesen vannak.
5. Trigonometriai alkalmazások
A nehezebb trigonometriai azonosságok bizonyításával gyakran nehézségek adódnak. A legtöbb bizonyítás nagyon egyedi ötletet, ügyes helyettesítést, és elsősorban a megfelelő sorrendben alkalmazott nevezetes trigonometriai azonosságok használatát követeli meg. Erre is kínálhatunk – sok esetben eredményesen használható – alternatív lehetőséget.
5.1. Trigonometriai számítás komplex számokkal
![$ \cos\dfrac{2\pi}{7} \cdot \cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7} \cdot \cos\dfrac{6\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7} \cdot \cos\dfrac{2\pi}{7}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img106.png)
Legyen most az első hetedik egységgyök:
, és emiatt
. Mivel az
egységnyi hosszúságú, ezért
![$\displaystyle \overline{\varepsilon}=\cos\dfrac{2\pi}{7} -i \cdot \sin\dfrac{2\pi}{7}=\dfrac{1}{\varepsilon.}
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img109.png)
Ebből már adódik is a sokszor használható formula:
![$\displaystyle \varepsilon+\overline{\varepsilon}=\varepsilon+\dfrac{1}{\varepsilon}=2\cdot \cos\dfrac{2\pi}{7}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img110.png)
Ezt felhasználva a kiszámítandó kifejezés átírható:
![$\displaystyle \dfrac{\varepsilon^{2}+1}{2\varepsilon}\cdot \dfrac{\varepsilon^{...
...epsilon^{6}+1}{2\varepsilon^{3}}\cdot \dfrac{\varepsilon^{2}+1}{2\varepsilon}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img111.png)
Közös nevezőre hozás után vegyük figyelembe, hogy , így
![]() |
mivel és
.
5.2. Szabályos sokszögre vonatkozó feladat
![$ P_{0},P_{1}, \ldots, P_{n-1}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img116.png)
![$ n$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img117.png)
![$\displaystyle P_{0}P_{1}\cdot P_{0}P_{2}\cdot P_{0}P_{3} \cdot \ldots \cdot P_{0}P_{n-1}=n.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img118.png)
Feltehetjük, hogy a sokszög éppen az -edik egységgyökök szerint helyezkedik el és
. Tekintsük az
polinomot, amelynek gyökei pontosan az n-edik egységgyökök. A gyöktényezős alakban
az első egységgyök,
:
![$\displaystyle f(z)=z^{n}-1=(z-1)(z-\varepsilon)(z-\varepsilon^{2}) \ldots (z-\varepsilon^{n-1}).
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img122.png)
Osszuk el mindkét oldalt -gyel:
![$\displaystyle g(z)=\dfrac{f(z)}{z-1}=\dfrac{z^n-1}{z-1}=z^{n-1}+z^{n-2}+ \ldots +z^2+z+1=(z-\varepsilon)(z-\varepsilon^{2}) \ldots (z-\varepsilon^{n-1}).
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img124.png)
Számoljuk ki kétféleképpen a -et:
![$\displaystyle g(1)=(1-\varepsilon)(1-\varepsilon^{2}) \ldots (1-\varepsilon^{n-1}),
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img126.png)
másrészt a polinom n tagból áll:
![$\displaystyle g(1)=1^{n-1}+1^{n-2}+ \ldots +1=n.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img128.png)
Mindkét oldal abszolút értékét véve a jobb oldali tényezők éppen a távolságok.
6. Néhány tétel bizonyítása
Ebben a fejezetben néhány olyan tételt mutatunk be, amelyek komplex számokkal is ragyogóan bizonyíthatóak. Egyes bizonyítások már a bevezető szakaszban, mások csak a kettősviszony tárgyalása után kerülhetnek sorra.
6.1. Heron-képlet
![](/images/2019-marcius/KISSG05-Heron1.png)
Az ábrán az pont a beírt kör középpontja,
a beírt kör érintési pontjai,
a beírt kör sugara. Az oldalakat és szögeket a szokásos módon jelöljük. Ismert, hogy az érintőszakaszok
,
és
.
Helyezzük el most az ,
és
háromszögeket úgy, hogy az
pont mindegyik háromszögre legyen a középpontban és a háromszögek
hosszúságú befogója a valós tengelyre essen.
![](/images/2019-marcius/KISSG06-Heron2.png)
Így az csúcsoknak megfelelő komplex számok:
![$\displaystyle A=r+(s-a)i, \qquad B=r+(s-b)i, \qquad C=r+(s-c)i.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img139.png)
A három komplex szám argumentumának összege .
Szorzásakor az argumentumok összeadódnak, ennek megfelelően a három szám szorzatának képzetes része nulla kell, hogy legyen.
![]() |
A képzetes rész nulla:
![$\displaystyle r^{2}(s-a+s-b+s-c)-(s-a)(s-b)(s-c)=0.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img142.png)
Átrendezve és -sel szorozva
![$\displaystyle r^{2}s^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c) \Rightarrow t=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img144.png)
6.2. Ptolemaios-tétel
![$\displaystyle (a-c)(b-d)=(a-d)(b-c)+(d-c)(b-a).
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img145.png)
A műveletek elvégzése után a két oldal pontosan megegyezik. Ez egy algebrai azonosság.
![](/images/2019-marcius/KISSG07-kori_pontnegyes.png)
Bizonyítás: Legyen és
. Osszuk végig az előző feladat azonosságát a
-vel.
![$\displaystyle \dfrac{z_1}{z_2}=1+\dfrac{z_3}{z_2}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img149.png)
A 4. fejezet 4.1. és 4.2. eredményeit felhasználva, továbbá ismerve, hogy a törtek köri pontnégyesek kettősviszonyai, biztosan valósak, sőt a rajz szerint pozitív számok. A három vektor egyező irányú, így az összeg abszolút értéke egyenlő az összeadandók abszolút értékének összegével.
6.3. Newton érintőnégyszögekre vonatkozó tétele
![](/images/2019-marcius/KISSG08-newton.png)
Bizonyítás: Válasszuk origónak a kör középpontját. Legyenek az oldalakon az érintési pontok rendre és
. Fejezzük ki a csúcsokat az érintési pontok segítségével.
-os pozitív forgatással az
elforgatottja párhuzamos lesz
-val, a
elforgatottja pedig
-vel. Tudjuk, hogy
, így az egyenletrendszerből:
és
,
![$\displaystyle \dfrac{u}{v}=\dfrac{b-u}{v-b} \Rightarrow b=\dfrac{2uv}{u+v}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img158.png)
A többi csúcs ugyanígy: ,
,
.
Be kell látni, hogy az átlók felezőpontjai, ,
és az origó egy egyenesen vannak. Az
valós számszorosa
-nek, arányuk valós.
![$\displaystyle \dfrac{f_1}{f_2}=\dfrac{\dfrac{2tu}{t+u}+\dfrac{2vw}{v+w}}{\dfrac...
...u+v)(w+t)}{(t+u)(v+w)}=\dfrac{(u+v)}{(u+t)}:\dfrac{(w+v)}{(w+t)}=(uw(-v)(-t)).
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img166.png)
Ez a négy pont is egy körön van, hiszen és
,
és
átellenes köri pontok. A négy pont kettősviszonya valós.
![$ z$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img169.png)
![$ \overline{z}=\dfrac{1}{z}$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img170.png)
A bizonyítás befejező sora:
![$\displaystyle \dfrac{\overline{f_1}}{\overline{f_2}}=\dfrac{(\overline{u}+\over...
...)(\overline{v}+\overline{w})}=\dfrac{(u+v)(w+t)}{(t+u)(v+w)}=\dfrac{f_1}{f_2}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img171.png)
Tehát az arány valós.
7. Versenyfeladatok megoldása komplex számokkal
7.1. Kürschak József Tanulóverseny 2003/1.
![$ EF$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img172.png)
![$ k$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img173.png)
![$ e$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img38.png)
![$ E$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img6.png)
![$ e$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img38.png)
![$ A, B$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img1.png)
![$ AB$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img3.png)
![$ E$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img6.png)
![$ AE\cdot EB$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img174.png)
![$ A'$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img175.png)
![$ B'$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img176.png)
![$ k$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img173.png)
![$ AF$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img177.png)
![$ BF$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img178.png)
![$ A'B'$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img179.png)
![](/images/2019-marcius/KISSG09-Kurschak.png)
Legyen a kör egységnyi sugarú, középpontja az pont. Az ábra jelölései szerint az átmérő végpontjai:
pont az
, az
pont pedig a
pont. Feleljen meg továbbá az
pontnak az
, a
pontnak az
, az
-nek a
, és végül a
-nek a
komplex szám. Számoljuk ki a
komplex számot. Egyrészt
,
és
egy egyenesen vannak,
![]() |
Másrészt tudjuk, hogy .
![$\displaystyle [\lambda(2+ai)-1][\lambda(2-ai)-1]=1 \Rightarrow \lambda=\dfrac{4}{4+a^2}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img190.png)
Ebből már számolható:
![$\displaystyle z=\dfrac{4(2+ai)}{4+a^2}-1=\dfrac{4(2+ai)}{(2+ai)(2-ai)}-1=\dfrac{4}{2-ai}-1=\dfrac{2+ai}{2-ai}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img191.png)
A másik metszéspontra: .
A négy köri pont. A
és
húrok metszéspontja
![$\displaystyle m=\dfrac{zv(-1+1)-(-1)1(z+v)}{zv-(-1)1}=\dfrac{z+v}{zv+1}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img196.png)
Behelyettesítés után
![$\displaystyle m=\dfrac{\dfrac{2+ai}{2-ai}+\dfrac{2+bi}{2-bi}}{\dfrac{2+ai}{2-ai}\dfrac{2+bi}{2-bi}+1}=\dfrac{8+2ab}{8-2ab}=\dfrac{4+ab}{4-ab}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img197.png)
A feladat szövege szerint rögzített, így ez a pont nem függ az
és
pontok választásától. Az
és
különböző előjelű valósak, így a nevező nem lesz nulla.
A feladat tárgyalását komplex számokkal, továbbá ezt a megoldást Szabó Kristóf 12. C. osztályos tanuló javasolta.
7.2. Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/18. Haladók III. kategória 2. feladat
![$ ABCD$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img70.png)
![$ AB$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img3.png)
![$ CD$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img199.png)
![$ (AB>CD)$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img200.png)
![$ AD$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img201.png)
![$ AB$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img3.png)
![$ P$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img202.png)
![$ CD$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img199.png)
![$ R$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img203.png)
![$ PR$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img204.png)
![$ M$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img205.png)
![$ A$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img183.png)
![$ M$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img205.png)
![$ C$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img2.png)
![](/images/2019-marcius/KISSG10-trapez.png)
Legyen a trapézba írt kör középpontja , sugara
, alapjai párhuzamosak a valós tengellyel,
szára párhuzamos a képzetes tengellyel. A kör érintési pontjai rendre
, az ábra szerint. A csúcsok:
. A
pontot a Newton-tétel bizonyításánál megismert módszerrel írhatjuk fel az érintési pontok segítségével.
pont a kör húrjainak metszéspontja:
.
Számoljuk ki a szög tangensét:
![$\displaystyle \dfrac{\dfrac{2zi}{z+i}-i}{\dfrac{i-\dfrac{z-1}{z+1}}{i}}=\dfrac{...
...c{iz-z+i+1}{z+1}}=\dfrac{(i-z)(z+1)}{(z+i)(i-z)(1-i)}=\dfrac{z+1}{(z+i)(1-i)}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img211.png)
Végül a szög tangense:
![$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{\dfrac{z-1}{z+1}+i}{i}}=\dfrac{i}{\dfrac{z-1}{z+1}+i}=\dfrac{i(z+1)}{iz+i+z-1}=\dfrac{z+1}{z+1+i-iz}=\dfrac{z+1}{(z+i)(1-i)}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img213.png)
Az ,
és
pontok egy egyenesbe esnek.
7.3. Egy feladat a KöMaL-ból
![](/images/2019-marcius/KISSG11-Feuerbach.png)
Legyenek a négyszög oldalainak és átlóinak felezőpontjai: . Az
pontot úgy válasszuk meg, hogy az
, illetve az
pontokon átmenő Feuerbach-körök az
-en kívül
-ban messék egymást. (Az
egybe is eshet
-gyel.) Elegendő azt megmutatni, hogy a két kör közös
metszéspontján pl. az
kör is átmegy. A bizonyítás az
körre hasonlóan menne.
Az kettősviszonyok valósak. Bizonyítandó, hogy az
kettősviszony is valós. Tudjuk, hogy
![$\displaystyle (o f_{6}f_{1}f_{2})=\dfrac{f_1}{f_2}:\dfrac{f_{6}-f_{1}}{f_{6}-f_...
..._{4}f_{5}f_{1})=\dfrac{f_5}{f_1}:\dfrac{f_{4}-f_{5}}{f_{4}-f_{1}}=\mu \in {R}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img222.png)
Szorozzuk össze a két egyenlőséget:
![$\displaystyle \dfrac{f_5}{f_2}:\dfrac{(f_{6}-f_{1})(f_{4}-f_{5})}{(f_{6}-f_{2})(f_{4}-f_{1})}=\lambda\mu.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img223.png)
Tudjuk, hogy , mivel közös alapú háromszögek középvonal-vektorai, és ugyanilyen okból
, továbbá
.
Ezeket behelyettesítve az egyszerűsítés után
![$\displaystyle \dfrac{f_5}{f_2} : \dfrac{f_{3}-f_{5}}{f_{3}-f_{2}}=\lambda \mu \in {R},
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img227.png)
ez éppen az .
8. További lehetőségek
8.1. Háromszögek hasonlósága
Az és
azonos irányítású háromszögek akkor és csak akkor hasonlók, ha az
vektort ugyanaz a forgatva nyújtás viszi át az
–be, mint amelyik
–t az
–be. Ez azt jelenti, hogy van olyan f komplex szám, amellyel
és
. Ebből pedig
![$\displaystyle \dfrac{x-z}{y-z}=\dfrac{x'-z'}{y'-z'}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img236.png)
11. feladat.Az egy közös csúccsal rendelkező egyező körüljárású hasonló háromszögek, továbbá az
csúcsok egy egyenesre illeszkednek. Mutassuk meg, hogy a
csúcsok is kollineárisak.
8.2. Szabályos háromszögre feltétel
![$ (abc)\triangle$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img240.png)
![$ a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img241.png)
Megoldás: Ha az háromszög szabályos, akkor egyben
és
háromszögek hasonlóak is. Használjuk az előző feltételt:
![$\displaystyle \dfrac{a-c}{b-c}=\dfrac{b-a}{c-a}.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img244.png)
Beszorzás és rendezés után
![]() |
Mivel az átalakítások oda-vissza elvégezhetők és az háromszög akkor és csak akkor hasonló a
háromszöghöz, ha a háromszög szabályos, kaptunk egy „kényelmes” algebrai feltételt.
8.3. Szabályos háromszögre vonatkozó feladat
![$ ABC$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img246.png)
![$ ABC$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img246.png)
Megoldás: Legyen az eredeti háromszög , a négyzetközéppontok által meghatározott pedig
. Ha
az
oldal fölé szerkesztett négyzet középpontja, akkor
merőleges
–re és vele egyenlő hosszúságú.
![$\displaystyle (x-a)i=b-x\quad\Rightarrow \quad x=\dfrac{b+ai}{1+i},
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img250.png)
és ugyanígy: ,
.
Annak feltétele, hogy szabályos legyen
![$\displaystyle x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img253.png)
Behelyettesítve és -nel beszorozva:
![]() |
Rendezve és -vel egyszerűsítve pontosan:
![$\displaystyle a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img257.png)
3. megjegyzés. Az háromszög szabályosságára ismert másik feltétel: ha
, az első harmadik egységgyök, a háromszög akkor és csak akkor pozitív körüljárású szabályos, ha
.
8.4. Egyenes egyenlete a komplex számsíkon
Legyen egy egyenes normálvektora , adott pontja
. A
pont az egyenesen van, ha
.
Vegyük mindkét oldal konjugáltját, majd küszöböljük ki a -t.
![]() |
A valós szám, mert konjugáltak összege. Az egyenes egyenlete:
.
Megfordítva, ha és
valós, akkor az
normálvektorú és
pontú egyenes egyenlete
![$\displaystyle \overline{n}z+n\overline{z}=\overline{n}a+n\overline{a}=\dfrac{\overline{n}t}{2\overline{n}}+\dfrac{nt}{2n}=\dfrac{t}{2}+ \dfrac{t}{2}=t.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img265.png)
8.5. Kör egyenlete a komplex számsíkon
A középpontú
sugarú kör egyenlete:
, amit így írhatunk
![]() |
Jelöljük a valós számot
-sel. A kör egyenlete így:
![$\displaystyle z\cdot \overline{z} -\overline{c}\cdot z-c\cdot \overline{z}+s=0.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img270.png)
Megfordítva, ha , akkor a fenti alakú egyenlet mindig kör egyenlete, mert
helyettesítéssel az egyenlet
alakra hozható. Ha
, akkor a kör átmegy az
ponton.
8.6. Az egyenes és a kör közös egyenlete
Összefoglalva: az egyenes és a kör „közös” egyenlete
![$\displaystyle pz\overline{z}-\overline{c}z-c\overline{z}+s=0
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img274.png)
alakban adható meg.
Az egyenes esetében és
.
A kör esetében a kör középpontja , sugara
.
8.7. Az inverzió
Ha a komplex számsík nullpontja és az alapkör sugara 1, akkor az inverzió
![$\displaystyle z'=\dfrac{1}{\overline{z}}
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img279.png)
alakban adható meg. A és
ugyanazon az
-ból induló félegyenesen vannak: ha
irányszöge
, akkor
irányszöge
és végül a
irányszöge ismét
. Milyen hatással van az inverzió a körre és az egyenesre? Induljunk ki a közös egyenletükből.
![$\displaystyle pz\overline{z}-\overline{c}z-c\overline{z}+s=0.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img285.png)
Az inverz pontokra
![$\displaystyle \dfrac{p}{z\overline{z}}-\dfrac{\overline{c}}{\overline{z}}-\dfrac{c}{z}+s=0,
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img286.png)
Beszorzás után:
![$\displaystyle sz\overline{z}-\overline{c}z-c\overline{z}+p=0.
$](/images/stories/latex/kissgezarlv/img287.png)
Következtetések:
a) az -n átmenő egyenes (
,
) képe önmaga;
b) az -n átmenő kör (
) képe az
-n át nem menő egyenes;
c) az -n át nem menő egyenes (
,
) egyenes képe az
-n átmenő kör;
d) az -n át nem menő kör (
,
) inverze az
-n át nem menő kör.
Irodalomjegyzék
- [1] Reiman István: Geometria és határterületei, Szalay Könyvkiadó, (1999)
- [2] Reiman István: Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon, Középiskolai szakköri füzet (1972)
- [3] I.M. Yaglom: Complex Numbers in Geometry, Academic Press, London, 1968, https://books.google.hu/books?id=LL_iBQAAQBAJ&pg=PR3&lpg=PR3&dq
- [4] Titu Andreescu–Dorin Andrica: Complex Numbers from A to ... Z, Birkhauser, 2006, https://books.google.hu/books?id=XZNCAAAAQBAJ&pg=PR4&dq
- [5] Fazekas M. Gimn. mat. munkaközösség: Matkönyv: Geometria 11.–12., Komplex számok a geomatriában fejezet, http://matek.fazekas.hu/
-
Megjegyzés
A 2018. évi Rátz László Vándorgyűlésen kértek fel a kollégák arra a megtisztelő feladatra hogy adjak egy vázlatos áttekintést arról, milyen fogalmakat és tételeket tanítok, milyen feladatokat dolgozok fel a komplex számok geomteriai alkalamazásairól a speciális matematika tagozaton. Ez a cikk ennek az előadásnak az anyagából született.