A dolgozatírás szót sokféle értelemben használjuk. Van röpdolgozat, írásbeli felelet, témazáró dolgozat, kompetenciamérés, kisérettségi, próbaérettségi, érettségi közép- és emelt szinten, egyetemi zárthelyi dolgozat. Körülbelül 10-15 éve egy új fogalom is megjelent a köztudatban: nulladik ZH, kritériumdolgozat, szintfelmérő. Ez utóbbiak abban az időben alakultak ki, amikor a felvételi vizsgák megszűntek, és a felsőoktatásba a hallgatók döntően középszintű érettségit téve jutottak be. Nyilvánvalóvá vált, hogy a felvettek egy része nem rendelkezik azzal a matematikai tudással és jártassággal, ami elég akár csak az első hetek matematika előadásainak megértéséhez, a gyakorlatokon való eredményes részvételhez. Ma sok egyetem megíratja azt a bizonyos nulladik ZH-t és ennek sikeres teljesítéséhez köti a megfelelő matematika-tantárgy felvételének lehetőségét, a rosszul teljesítő hallgatók számára pedig felzárkóztató kurzust szervez. És vannak olyan intézmények, ahol azt mondják, „hulljon a férgese”…
Középiskolai matematikatanárként érettségizett tanítványaimtól hallok az első sikerekről és kudarcokról. Az egyetemek honlapján meg tudom nézni a kritériumdolgozatok feladatait. Az Eötvös Loránd Tudományegyetem kritériumdolgozatairól és a Budapesti Műszaki Egyetem nulladik zh-iról az alábbi honlapokon olvashatunk:
http://mathdid.elte.hu/html/bscbevmat.html
http://www.ttk.bme.hu/altalanos/nyilt/NulladikZH/
Pár éve rám tört a kíváncsiság: szerettem volna megnézni ilyen megírt dolgozatokat, látni az előforduló hibákat és elgondolkozni azon, hogy lenne-e lehetőség ezt a tudásbeli hiányosságot még a középiskolában bizonyos mértékig orvosolni. Ha már az orvoslás szó kicsúszott a számon, hogyan lehetne a megelőzésre hangsúlyt fektetni.
2015 őszén lehetőségem volt belenézni az Eötvös Loránd Tudományegyetem (ELTE TTK) és a Pázmány Péter Katolikus Egyetem (PPKE ITK) elsőéves hallgatóinak dolgozatába. Ebben a cikkben az ekkor szerzett benyomásaimról fogok írni. Az előforduló hibák gazdag választékából párat kiválasztottam és ezekhez fűzöm gondolataimat. Néhány dolgozatrészletet szkenneltem, ezekből is bemutatok néhányat. A PPKE-en a hallgatók tesztet írnak, de a megoldást a javítók csak akkor fogadják el, ha a megoldáshoz vezető út látható a dolgozatban, az ELTE-n pedig a megoldásokat részletesen indokolni kell.
Válogatás a feleletválasztós feladatokból (PPKE ITK):
A dolgozat 1. feladata:
Ha a fenti indoklás alapján az (E) választ adta a hallgató, nem gondolt arra, hogy gyökteleníteni is lehetne a kifejezést. Előfordult az alábbi gondolat is, amiből a (C) megoldás adódik:
Ha valaki az (A) lehetőséget adta meg, nyilvánvalóan nem tudja a gyakorlatban, mi a reciprok és mi az ellentett. A jó megoldás természetesen a (B).
2. feladat:
A (D) válasz azt jelenti, hogy a hallgató tagonként von négyzetgyököt, de a -tel „óvatos”, a (B) válasz esetén ezt a gyökvonást is elvégzi. Aki a (C)-t választja, az szintén tagonként von négyzetgyököt, de tudja, hogy
, az (A) válasz azt mutatja, hogy
-nek két értéke is lehet a dolgozatot író szerint. Ezek a hibák valóban előfordultak, például az alábbi formában:
Jó válasz az (E).
13. feladat:
Az alábbi dolgozatrészlet azt mutatja, hogy a hallgató keveri a szélsőérték és a zérushely fogalmát és a megoldóképletet sem tudja jól használni:
A (D) válaszra az az „indok”, hogy a függvény a minimumát az helyen veszi fel. Találkoztam az
hibával is. Jó választ az adott, aki a (B) lehetőséget választotta.
A következő két feladat megoldása a szögfüggvények fogalmának pontos ismeretét igényelné:
A dolgozat 7. feladata:
Az (A) válasz „indoklása” itt látható, a hallgató úgy tudja, hogy az egyenesszög:
További előforduló hibák kommentár nélkül:
A feladatra adott jó válasz a (C).
A 14. feladat:
A megoldásokból kiderül, hogy sokan a egyenletet oldják meg, az sem kizárt, hogy az egyenlet mindkét oldalát 2-vel megszorozták. Kevesen tudják, hogy a
függvény periódusa és így a jó válasz (A).
Válogatás a részletes indoklást kérő feladatokból (ELTE TTK):
Tanár szakos hallgatók 2. feladata:
A dolgozatok egy részében az látható, hogy a hallgató nincs tisztában azzal. hogy mi a különbség az x és a p szerepe között, azaz nem tudja, hogy mi a paraméter.
Többen rosszul írják fel a diszkriminánst, két tag különbségét rosszul emelik négyzetre, zárójelfelbontásnál rosszul kezelik az előjeleket.
Gyakran elmarad az ellenőrzés vagy az „ekvivalens átalakításokat végeztem” szavak jelennek meg a hibás megoldás mellett is.
Tanár szakos hallgatók 4. feladata:
A hallgatók által elkövetett hibák ennél a feladatnál:
Az első egyenletnek csak a baloldalát emelik négyzetre. A második egyenletet x-el osztják anélkül, hogy az lehetőséget megvizsgálnák. Taktikai hibának mondanám, ha valaki nem a második egyenletet kezdi el alakítani először, ezzel megnehezítve a megoldást.
Matematikus hallgatók 1. feladata:
A helyes megoldás a következő lenne:
82% + 94% = 176%. A megkérdezettek 176% – 100% = 76%-a szereti mindkét gyümölcsfagylaltot. Így 76% annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott személy mindkét gyümölcsfagylaltot szereti.
Ezzel szemben egy dolgozatban ez olvasható: A valószínűség 0,82 · 0,94, mert a két esemény független.
Matematikus hallgatók 4. feladata:
A megoldás során fel kellett ismerni, hogy ez egy másodfokúra visszavezethető egyenlet, alkalmazni kellett a megoldóképletet, amiből az
vagy
lehetőség adódik. A továbblépésnél ismerni kellett a negatív- és a törtkitevő fogalmát és azt is, hogy ebben az esetben a hatvány értéke nem lehet negatív.
A legmegdöbbentőbb hiba ez:
de van, aki negatív hatványértékhez is meghatároz kitevőt, néhányan az -ra
új ismeretlent vezetnek be, és meghatározzák annak értékét, de elfelejtik az x értékét kiszámítani.
Matematikus hallgatók 7. feladata:
Bár ez a feladat a koordináta-geometria témakörébe tartozik, megoldásában elemi geometriai módszereket is használni kell. Előfordult, hogy a hallgató a háromszög köré írt kör középpontjának a magasságpontot tekinti. Kevesen gondolnak a szögfelezőre úgy, mint egy lehetséges tükörtengelyre. Többen elfogadják megoldási módszernek az ábráról való leolvasást.
Az előbbi feladatokat úgy válogattam, hogy érzékeltetni tudjam azt, hogy milyen jellegű problémákra kérdeznek rá ezekben a kritériumdolgozatokban az egyetemek és milyen mélységűek az elkövetett hibák. A feladatokból látható, hogy a felsőoktatás azt várja, hogy a tanulmányaikat elkezdő diákok az alapvető matematikai fogalmakat értsék, algebrai átalakításokat hatványok, gyökök, polinomok körében biztonságosan végezzenek el, tudjanak paraméteres kifejezéseket használni, függvények vizsgálatának elemi módszerével tisztában legyenek, és talán egy kevés geometriai ismeret is hasznos.
A kiválasztott példákban most a problémákra „vadásztam”. Megnyugtatom a leírtak után az olvasót, hogy a felsőoktatást kezdő hallgatók között sok jó képességű, biztos tudású diák is van.
A komoly gondokat is látjuk. Olyan okokat is fel tudunk sorolni, amelyek magyarázatot jelentenek a jelenlegi állapotokra: pl. a felsőoktatás tömegessé válása, a középszintű érettségi követelményrendszere, az iskolai fegyelem és ebben a tanulmányi fegyelem lazulása… És még sorolhatnám.
Írásom végén két olyan gondolatkörről írok, amely engem egy ideje foglalkoztat ebben a témakörben. Úgy tűnik számomra, hogy szándékosan vagy öntudatlanul, nem merjük felmérni a közoktatásban a diákok tudását kellő időben. Az a nézőpont vált uralkodóvá, hogy „alkalmazható tudáshoz juttassuk” a gyerekeket, ennek szellemében kompetenciát mérünk a 6. 8. 10. osztály végén 2001-től kezdve. Ezek a tesztfüzetek és az elvárt megoldások megnézhetők az Oktatási Hivatal honlapján:
http://www.oktatas.hu/kozneveles/meresek/kompetenciameres/feladatsorok
A feladatokat sok esetben ügyesnek, jónak tartom a maguk helyén. DE: a 6. évfolyam végén nem érdeklődünk arról, hogy tud-e a diák előjeles számokkal és törtekkel számolni, a 8. év végén nem vagyunk kíváncsiak arra, hogy egy betűket tartalmazó képletet, egyenletet megért-e a diák, a 10. évfolyam végén pedig „öncélú algebrai átalakításokat” nem kérdezünk, a függvények használatának területére csak egy-egy grafikon kapcsán tévedünk, a geometriai alapfogalmak tudását nem firtatjuk. Pedig talán jó lenne a nulladik ZH előtt is rendelkezni olyan információval, hogy hol kellene egy-két témát jobban megérteni, talán meg is tanulni, sőt használatát „begyakorolni” (remélem, ennek a szónak a leírása nem nagy szégyen). Jó lenne, ha az iskolák bizonyos körében, legalább a 10. évfolyamon a kompetenciamérés mellett a megtanult és megértett tudás mérése is megjelenne, jó lenne látni, hogy a matematika területén továbbtanulásra esélyes tanulók rendelkeznek-e megfelelő „matematikai kézügyességgel”. Ez tanárt és diákot is motiválhatna a kellő irányba.
A másik téma, amit megemlítek, nagyon hiányolom az érdemi párbeszédet a középiskolák, az egyetemek között és ennek ösztönzését és támogatását az oktatásügy irányítói részéről. Az elmúlt évtizedben megrekedtünk néhány sarkosan megfogalmazott véleménynél: a „középiskola nem tanítja meg”, „a felsőoktatás irreális követelményeket támaszt”, „miért nem kötelező az emelt szintű érettségi?”, „kevesen érettségiznek”, „sokan érettségiznek”, „sok a hallgató a felsőoktatásban”, „kevés a hallgató a felsőoktatásban”. És még sorolhatnám. Biztos vagyok benne, hogy mindegyik érintett szereplő tett és tesz lépéseket ezen a téren. Hosszú távú párbeszédre, ebből születő cselekvésre lenne szükség, a reformok előkészítésére és a hatásainak nyomon követésére pedig kellő időt kellene szánni. Segítséget jelenthet, ha mi, középiskolai tanárok tanulmányozzuk a korábbi évek nulladik zh-t, kritériumdolgozatait és információt gyűjtünk az egyetemek, főiskolák első éves matematika tematikáiról. Azoknak az oktatóknak, akik az első éves hallgatók felmérésével, felzárkóztatásával foglalkoznak, hasznos lehet a jelenlegi középszintű és emeltszintű érettségi feladatsorokba betekinteni. Ezt a határterületet kellene alaposan ismernünk, hogy segíteni tudjunk. Talán a kerettantervek, helyi tantervek tartalmára, az érettségi követelményekre is hatást gyakorolhat a középiskolából a felsőoktatásba való átmenet jobb ismerete.
Bízom benne, hogy az olvasóban nem a tehetetlenség érzését tápláltam írásommal, hanem bosszantottam annyira, hogy felébredjen benne a tenni akarás vágya is ott és olyan módon, ahol az élet a tanítás terén feladatot osztott rá. Merje átgondolni, hogy mely témákra – esetleg nem divatos témákra – tesz nagyobb hangsúlyt tanítási gyakorlatában.
Végül megköszönöm Rózsahegyiné Dr. Vásárhelyi Évának, az ELTE nyugalmazott központvezető egyetemi docensének és Várdainé Kollár Juditnak a PPKE oktatójának, hogy lehetőséget adtak a hallgatói dolgozatok megtekintésére. és értékes észrevételeikkel segítették ennek a cikknek a megszületését.
Horváth Eszter
Kempelen Farkas Gimnázium, Budapest