...nem kell valamilyen problémát megoldani
Van egy különös nép Dél-Amerika esőerdeiben, és az ő világukban egyáltalán nem létezik a matematika. De mielőtt szinte minden iskolás gyerek ebbe a matekmentes paradicsomba vágyna, nézzük meg, hogy miért léteznek Földünkön olyan civilizációk, ahol nincsen matematika, és miért alakult ki mégis a legtöbb kultúrában…
A vadászó-gyűjtögető életmódot folytató dél-amerikai piraháknak a számolásra vonatkozóan mindössze négy szavuk van, az egy, a kettő, a néhány és a sok. Nemcsak arról van szó, hogy nem alakultak ki a nyelvükben olyan szavak, amelyek nagyobb mennyiségeket tudnának kifejezni, hanem egyáltalán nincsenek is tisztában a nagyobb mennyiségek jelentésével. Amikor arra kérték őket, hogy tegyenek le a földre annyi kavicsot, ahányan éppen jelen vannak a törzs tagjai közül, akkor 4-5 résztvevő estén még sikerült végrehajtaniuk a feladatot, de 8-10 résztvevőnél a teljesítményük már jelentősen romlott. A kutatások kimutatták, hogy a törzs tagjai szellemileg nem visszamaradottak, életmódjuk és nyelvük nagyfokú kreativitásra utal. A pirahák a jelenben élnek, és gondolkodásuk is mindig a jelenben lévő dolgok konkrét szintjén zajlik. Végsősoron azért nem rendelkeznek a számok absztrakt fogalmával, mert sosem volt rá szükségük. Vidáman élik az életüket, esznek, isznak, alszanak, mindig is jól megvoltak a szervezett mezőgazdaság és állattartás nélkül, szokásaikra egyáltalán nem gyakorolt hatást az évszakok váltakozása, az évek múlása.
Fölmerül a kérdés, hogy ha van egy nép, akik még háromig sem tudnak elszámolni és mégis boldogan élik világukat, akkor nálunk miért kell a másodfokú egyenletet meg a Pitagorasz-tételt és más rémségeket tanítani az iskolában?
Ahhoz, hogy csak úgy gondtalanul éljük az életünket, valóban nincsen szükség matematikára. Ha viszont megjelennek problémák, amiket valahogyan meg kell oldani, ott hirtelen megszületik a matematika. És itt most ne a matekdolgozatra gondoljunk (ami persze probléma), hanem bármilyen problémára. A matematikai gondolkodás ugyanis a problémák megoldására lett kitalálva. Nézzük is meg, hogyan.
Az emberiség történetének hajnalán a számfogalom kialakulása, és ezzel együtt a matematika megjelenése elsősorban két dologhoz volt köthető. Az egyik az idő múlásának és ciklikusságának kimutatására alkalmas órák és naptárak készítése, a másik pedig a különböző javak nyilvántartása és a szervezett mezőgazdaság megjelenése. Ezek vezettek el a mennyiségeket leíró számjegyek feltalálásához, és az absztrakt számfogalom megszületéséhez.
Izgalmas régészeti feltárások kutatták, hogy vajon mi történt időszámításunk előtt pár ezer évvel a Tigris és az Eufrátesz folyók vidékén. A kutatások egyik vezetője egy bizonyos Edgar James Banks volt, a keleti nyelvek professzora, egyben régész, író és diplomata. Banks gyakran keveredett különböző kalandokba, és előszeretettel kereskedett az ásatásokon előkerülő kincsekkel. Olyan volt, mint a filmekből ismert Indiana Jones, ami nem is csoda, ugyanis Banksről mintázta Indiana Jones karakterét George Lucas. A legenda szerint az ásatások során előkerült számtalan agyagtábla közül Banks 10 dollárért adta el az egyiket George Arthur Plimptonnak, aki aztán később a Columbia Egyetemre bízta a tábla őrzését. A Columbia Egyetem gyűjteményében őrzött Plimpton 322 nevű babiloni agyagtáblát közelítőleg 1800 évvel időszámításunk előtt készítették, és a rajta látható táblázatok pitagoraszi számhármasokat tartalmaznak. Vagyis a Pitagorasz-tételt ismerték már több mint 1000 évvel Püthagorasz születése előtt. De a tábla a pitagoraszi számhármasokon kívül trigonometrikus értékeket, a szinuszhoz és koszinuszhoz hasonló mennyiségeket is tartalmazott. Ez a Krisztus előtt 1800 évvel készített agyagtábla bizonyítja, hogy a matematika egyidős az emberiséggel, és a matematika története szétválaszthatatlanul összefonódott az emberiség sorsának fonalával. A Plimpton 322 agyagtábla idősebb Mózes kőtábláinál, a rajta szereplő trigonometrikus kifejezések pedig hamarabb hirdették a matematika törvényeit, mint Isten törvényeit a Tízparancsolat.
Krisztus előtt négy-ötezer évvel már elkezdtek különböző matematikák kialakulni a Föld felszínén egymástól elszigetelve élő civilizációkban. A számokat kezdetben a napok és hónapok nyilvántartására használták, innen tudták, hogy hány napig tart még a nyár, vagy éppen meddig kell kihúzni a téli hidegeket. De ugyanilyen fontos volt az idő számítása azokon a területeken is, ahol az egyenlítő közelsége miatt viszonylag egyenletes a klíma. Itt a folyók termékenységet hozó áradásának időpontja foglalkoztatta az embereket. És persze számokat használtak állataik és egyéb javaik nyilvántartására is. A számolás mellett hamar előkerültek geometriai jellegű problémák is. Az emberek elkezdtek házakat, templomokat, városokat építeni, hidakra és csatornákra volt szükség. Ezekhez az építkezésekhez bizony már komoly matematikai számításokat kellett végezniük és minden ilyen egymástól elszigetelten a Föld különböző pontjain élő civilizáció kitalálta a maga Pitagorasz-tételét és felfedezte a szögfüggvényeknek, vagyis a szinusznak és a koszinusznak különböző változatait. A pirahák közben ették a gyümölcsöket és halásztak.
Az emberiség történetében hosszú-hosszú évszázadok teltek el nagyobb izgalmak nélkül, hogy aztán egyszer történjen valami, ami mindent megváltoztat. A mindent felforgató változások új felfedezésekhez, új problémákhoz és új sikerekhez vezettek el. Ezeknek köszönhetően lassan fölfedeztük a bolygót, amin élünk, térképeket és naptárakat készítettünk, erdőségeket és hegyeket alakítottunk át. Hatalmas templomokat, piramisokat, óriási városokat emeltünk – és romboltunk le. A pirahák közben ették a gyümölcsöket és halásztak.
Pár száz évvel ezelőtt az ipari forradalom, és az azt követő technikai forradalom az egész világot felforgatta. Olyan elképesztően nagy dolgok történtek, melyekhez képest a korábban elért eredmények csak szelíd domboknak látszódnak az égbe törő havas hegycsúcsok árnyékában.
Ahhoz, hogy Kolumbusz útnak induljon és felfedezze Amerikát, hatalmas bátorság és rettenetes kitartás kellett. Sok pénzre, megfelelő hajókra, térképészeti és csillagászati ismeretekre volt szükség. Nem kevés szerencse is segítette útját, a siker pedig, amely vállalkozását koronázta, az egész világot felforgatta. De lépjünk egyet hátrébb, hogy lássuk az egész képet. Ez a felfedezés gazdasági és geopolitikai értelemben is az emberiség történetének talán eddigi legnagyobb felfedezése volt, technikai értelemben viszont nem több egy jól kivitelezett hajóútnál, ami ráadásul kisebb félreértéssel végződött, hiszen Kolumbusz Indiába keresett egy rövidebb utat és Amerikát fedezte föl helyette. Vagyis ez a hajóút hosszabb, merészebb, kockázatosabb, mint az ezt megelőző számtalan másik, de mégis csak egy hajóút. Ha összehasonlítjuk ezt a felfedezést azzal, hogy egy robbanóanyaggal megrakott fémdobozban néhány ember elhagyja azt a bolygót, amelyen élünk, és a légüres téren keresztül átkelve leszállnak egy idegen égitestre, egy fénylő foltra az égbolton, mely az emberiség hajnala óta mítoszok és legendák főszereplője, akkor megértjük, hogy itt valami elképesztően nagy változás történt a technika fejlődésében néhány száz év leforgása alatt. Egy olyan ugrás, melyhez képest minden addigi csak bátortalan lépésnek tűnik. A pirahák közben ették a gyümölcsöket és halásztak.
Vajon mi lehet az oka, hogy az emberiség hosszú évezredeken keresztül hajókkal és lovas kocsival közlekedett, most pedig itt az autó, a vonat vagy a repülő? Korábban ennyire ráértek?
Vajon mi lehet az oka, hogy az emberek több ezer éven át csak füstjelekkel vagy kürtjelekkel tudtak egymással nagyobb távolságra kommunikálni, most pedig telefonon fel tudunk hívni valakit, aki egy olyan kontinensen él, amelynek még a létezéséről sem tudtunk 600 évvel ezelőtt?
Vajon mi lehet az oka, hogy évezredek óta hatalmas könyvtárakban emberfeletti küzdelmek árán tűzvészekkel és háborúkkal dacolva gyűjtötték és tárolták az emberiség minden tudását őrző könyveket, ahelyett, hogy egy 256 GB-os pendrive-on zsebre vágták volna?
Mi történhetett az elmúlt pár száz évben, ami ezt a hihetetlenül nagy fejlődést okozta?
A válasz az, hogy az 1600-as évek végétől az emberiség okosabban kezdett problémákat megoldani. Ahhoz, hogy egy problémát meg tudjunk oldani először is le kell tudnunk írni magát a problémát, aztán pedig ki kell fejlesztenünk egy eszközt, ami ezt a problémát megoldja. A matematika sosem a hétköznapi problémákkal foglalkozik, hanem absztrakt problémákkal. Végül is kijelenthetjük, hogy a matematika a valóságban nem létező dolgokkal foglalkozik, és ezért jogosan föl is tehetjük a kérdést, hogy akkor mégis mi értelme. A mindennapi élet problémái azonban sokszor annyira összetettek és bonyolultak, a különböző részletek miatt annyira átláthatatlanok, hogy ez a kuszaság sokszor lehetetlenné teszi a megoldásukat. Ahhoz, hogy mégis megoldjuk őket, kénytelenek vagyunk leegyszerűsíteni és absztrakttá tenni őket. Vagyis átvisszük a problémát a matematika világába, ahol egy steril környezetben képesek vagyunk csak a lényegre koncentrálni. És amikor a matematika absztrakt világában megoldottuk a problémát, akkor a kapott megoldást visszahozzuk a mindennapi élet világába. Vagyis a matematika nem más, mint a problémák leírásának és megoldásának a tudománya. Ez persze nem azt jelenti, hogy mindenkinek matematikusnak kéne lenni. Mindössze azt, hogy aki fejleszti a matematikai képességeit, az egyúttal fejleszti a problémák helyes megragadásának és könnyebb megoldásának képességét. És ahogyan olvasni is megtanulhatunk a Harry Potteren, Shakespeare drámáin vagy éppen a bulvársajtó cikkein keresztül is, a problémamegoldó képességünket is fejleszthetjük sakkozással, a másodfokú egyenlet megoldásával, vagy éppen a vektormezők felületi integráljának kiszámolásával. Az olvasás megtanulásánál is a legfontosabb az, hogy sokat olvassunk, és csak ezután jön az, hogy mit. Ez éppen így igaz a matematikára is. A matematika amellett, hogy megtanít gondolkodni, egyben a tudományok univerzális nyelve is. Hogyha például valaki pilóta akar lenni, akkor tudnia kell angolul, mert a légiirányítás nyelve az angol. Ha valaki orvosnak tanul, akkor tudnia kell kezdő szinten latinul, mert az orvosi szaknyelv a latin. Hogyha pedig valaki mérnök vagy kutató szeretne lenni, akkor tudnia kell a matematikát, mert a tudományok nyelve a matematika. Kis túlzással tehát kijelenthetjük, hogy a matematika az iskolában tanult első idegen nyelv. És mielőtt még valaki rávágná, ez nem a kínai… „Kínai” csak akkor lesz belőle, ha nem logikusan és nem játékosan tanítják a matematikát.
Ahhoz, hogy megérthessük mennyire fontos az emberiség történetében és a mi életünkben is a matematika, először vegyünk egy nagy levegőt és tegyünk félre minden rossz tapasztalatot, és felejtsük el minden rémálmunkat, ami a matematikával kapcsolatos. Gondoljuk csak el, hogy mi is történt itt a bolygónkon pár ezer évvel ezelőtt és azóta, ami az egész emberiség történetét megváltoztatta. Nézzük meg, hogy mi köze ennek a matematikához. Nagyon is sok! A pirahák közben eszik a gyümölcsöket és halásznak…
Mosóczi András
Mosóczi András az egyik legnépszerűbb magyar matematikaoktató weboldal, a 140 ezernél is több regisztrált felhasználóval rendelkező mateking.hu alapító-vezetője. A fenti téma iránt érdeklődőknek ajánljuk nemrég megjelent könyvét, A gondolkodás forradalmát. A szerk.