Kiss Emil: Bevezetés az algebrába

Az emberek mindig is kedvelték és idézték híres személyek vagy irodalmi művek frappáns mondatait, rövid szövegeit, bölcsességeit. A régi szép időkben ilyen idézetek felkutatása és összegyűjtése komoly szellemi erőfeszítést igényelt. Ma már erre nincs szükség, az internet telis-tele van ezekkel, sokszor persze pontatlan, vagy éppen meghamisított formában. Kiss Emil könyve kapcsán a Hermann Weylnek tulajdonított mondat jutott eszembe: „Manapság a topológia angyala és az absztrakt algebra ördöge csatát vív minden egyes matematikai tudományterület lelkéért.” Mivel a neves matematikus, elméleti fizikus és filozófus Weyl 1955-ben meghalt, a mondás nyilván sok évtizeddel ezelőttről származik, mégis felkutatható: Weyl, Hermann: Invariants, Duke Mathematical Journal, 5 (3) (1939): 489–502; 500. oldal.

Szeretném világossá tenni, hogy véleményem szerint ez a mű nem tankönyv. Igaz, hogy egy tanító-kutató ember írta, és a rendszeresen megszólított Olvasót leginkább egy érdeklődő diákként tudjuk elképzelni. Az is igaz, hogy rendkívül jól használható tankönyvként, hiszen az anyag feldolgozását rengeteg feladat és kérdés segíti. És az is igaz, hogy Kiss Emil pályájához és kutatói munkájához elválaszthatatlanul hozzátartozik az oktatás, ugyanúgy, mint a tanulás, az általános műveltség és a matematikai kultúra élvezete és továbbadása egyaránt. Mindez benne van ebben a könyvben, de ennél jóval több is. A nagy monográfiák magukban hordozzák a szerzőik világképét, szakmai habitusát, viszonyulásaikat a a szakma fontos történéseihez és személyiségeihez. Ez különösen jelen van ebben a műben, mivel a szerző szinte középpontba állítja a bemutatott fogalmak és eredmények motivációját, keletkezésük történeti hátterét.

Engem szakmabeliként egészen lenyűgöz, ahogy a könyv legelején elmeséli a harmadfokú egyenlet megoldásának sztoriját, ami a modern matematika kialakulásának egyik mérföldköve volt nem csak annyiban, hogy lényegesen meghaladta az ókori matematikát, hanem új irányokat is adott a további robbanásszerű fejlődéshez. A következő két fejezetben a polinomokat tárgyalja, majd a csoportelmélet és a gyűrűelmélet alapjait tekinti át. Nagy hozzáadott értéket jelentenek a rövid utalások arra, hogy sok esetben a számításokat komputeralgebrai eszközökkel is hatékonyan el lehet végezni. A csoport fogalmának motiválását nagyon helyesen a geometriai transzformációk tárgyalásán keresztül végzi el. (Ennek persze a matematikai precizitásban meg kell fizetnünk az árát. Például a „két metsző tengelyre vett tükrözés szorzata forgatás” kijelentés a síkgeometria axiomatikus felépítésében nem tétel, hanem a forgatás fogalmának definíciója.) A 6. fejezetben a testelméletet tárgyalja, precízen felépítve a testbővítésektől kezdve eljutván a Galois-elmélet főtételéig és annak következményeiig, a geometriai szerkeszthetőségek problémáiig. Külön alfejezetet szentel a véges testeknek, amik később a kódelméleti alkalmazásoknál lesznek hasznosak. A fejezetben bebizonyítja Wedderburn véges ferdetestekről szóló tételét is. Csak egyetérteni tudok a bizonyítás végén tett megjegyzésével, ami ennek a bizonyításnak a szépségét hangsúlyozza. A 7. és a 8. fejezetben elérünk a felsőbb algebra legfelsőbb régióiba: modulusok, általános algebrák és hálók. A modulusok elmélete a modern algebrai geometria és algebrai topológia alapját képezi, a bemutatásuk két szempontból is jól sikerült. Egyrészt nem túl mély, a fejezet szinte önmagában is olvasható, tanulható, tanítható. Másrészt bemutatja a moduluselmélet néhány alkalmazását a matematika más területein: véges Abel-csoportok, Jordan-féle normálalak, Wedderburn–Artin-tétel. Az univerzális algebrák tárgyalását szükségtelen külön dicsérnem, mivel a szerző a szűkebb tématerület nemzetközileg elismert vezető kutatója. Az utolsó számozott fejezet a hibajavító kódok elméletébe kalauzolja el az olvasót, ami nem kizárólag a gyakorlati hasznossága miatt lényeges, hanem a matematikai szépsége és érdekessége miatt is, hiszen itt az algebra a kombinatorikával összefonódva fogalmaz meg izgalmas és nehéz matematikai problémákat. Ezzel a fejezettel nem ér véget a könyv. Az Utószóban a szerző explicit programban adja meg saját válaszát az univerzum egyik legfontosabb kérdésére: „Mi az algebra?” A függelékek sorát Szabó Endre csoportelméleti kalandozásai nyitják meg, majd útmutatások, ötletek, megoldások és táblázatok következnek, kiegészülve a néhány lényeges matematikai előismeret összefoglalásával.

Recenzióm végén a könyvet nagy örömmel és bátorsággal ajánlom minden érdeklődő, a matematikával hivatásként vagy csak hobbi szinten foglalkozó személy figyelmébe. Különösen, hogy a Weyli gondolathoz visszatérve megengedjek egy rövid záró megjegyzést: sokszor az „ördög” nyeri azt a bizonyos csatát.

Kiss Emil: Bevezetés az algebrába (Második kiadás, Typotex, Budapest, 2017)

(Elektronikusan: https://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001-526_kiss_emil/index.html)