Járványok hálózatokon

Kiss Z. István, Joel C. Miller és Simon L. Péter: Mathematics of Epidemics on Networks

A különféle járványok folyamatosan végigkísérték az emberiséget a történelem során, gondoljunk csak például a már tízezer évvel ezelőtt felbukkant himlőre, de akár említhetnénk a középkorban több hullámban is lesújtó pestisjárványokat vagy a modern korból a spanyolnáthát, kolerát és az ebolát, amelyek mind milliónyi halálos áldozatot követeltek. A járványok vizsgálata a matematikusok figyelmét viszonylag hamar felkeltették. A himlő oltásának modellezésével az elsők között foglalkozott a svájci Daniel Bernoulli (1700–1782), aki egyszerre volt orvos, fizikus és matematikus, valamint kortársa, Jean Le Rond d’Alembert (1717–1783) francia filozófus, fizikus és matematikus. A manapság elterjedt bonyolultabb modellek William Ogilvy Kermack (1898–1970) skót biokémikus és Anderson Gray McKendrick (1876–1943) skót fizikus és járványtani kutató munkásságához köthetők. A 20. század végére a gráfelmélet rohamos fejlődésével a járványok modellezése egyre szorosabban összefonódott a napjainkban virágkorát élő hálózatkutatás témakörével.

A hálózatokon zajló folyamatok tanulmányozása az utóbbi években egyre inkább az alkalmazott matematikai kutatások homlokterébe került, amit mi sem bizonyít jobban, mint hogy számos ismeretterjesztő és tudományos könyv jelent meg a témában [1]-[5]. A szűkebb témakörről, azaz a járványterjedési folyamatok matematikai vizsgálatáról azonban – fiatal tudományterületről lévén szó – egyelőre jóval kevesebb szakmai könyv áll rendelkezésre [6]-[8]. Ezért is örvendetes Kiss Z. István (Brighton), Miller C. Joel (Bellevue) és Simon L. Péter (Budapest) Mathematics of Epidemics on Networks című 423 oldalas monográfiájának megjelenése, amely elektronikus és nyomtatott formában egyaránt elérhető a Springer kiadó gondozásában. Mindhárom szerző a hálózati folyamatok nemzetközileg is elismert kutatója és az utóbbi években számos cikkük jelent meg a témakörben, a könyv bizonyára ennek eredményeképpen született.

A könyv a járványterjedés leírására szolgáló legújabb modelleket mutatja be, és elemzi azokat matematikai precizitással. Tökéletes modell természetesen nem létezik, George Box szavaival élve: „Minden modell rossz, de néhány hasznos”, ahogy ez a monográfiában is olvasható. Azonban a kezdetleges modellekhez képest az újabbak már sokkal pontosabban próbálják meg leírni a valóságot, viszont ezzel egyidejűleg a komplexitásuk is nő. Rendszerint az adott vizsgálandó problémától függ, hogy éppen melyik modell alkalmazható jól, akár több is, ennek eldöntése általában a kutatómunka egyik feladata. A komplex modellek megértése a matematika több ágában való jártasságot is megkövetel, mint például gráfelmélet, sztochasztikus folyamatok és dinamikai rendszerek. Az egyes kutatók eltérő háttérismeretének és az alkalmazások sokszínűségének köszönhetően egymástól különböző modellezési megközelítések alakultak ki. A monográfiában egyaránt találhatunk egzakt, sztochasztikus és közelítő modelleket is. A mű úttörő abból a szempontból, hogy nemcsak ismerteti az egyes modelleket, hanem azok egymáshoz való viszonyára is megpróbál rávilágítani.

A monográfia 11 fejezetből áll, a szakmai fejezeteket megelőzi egy rövid bevezető, amely a tárgyalt modellek megértéséhez szükséges definíciókat és összefüggéseket foglalja össze a hálózatok és járványterjedési folyamatok elméletéből. A könyv felépítése következetes, a témakörben kevésbé jártas olvasók számára is gördülékenyen olvasható. Mindehhez hozzájárulnak még a körültekintően megszerkesztett ábrák, példák és diagramok, továbbá a szürkével kiemelt részek, amelyek az egyszerűen implementálható modellekre mutatnak példákat. A művet haszonnal forgathatják mind a témakörrel most ismerkedők, mind pedig a területet már aktívan kutatók. A témában való elmélyülést nagyban elősegítik az egyes fejezetekben kitűzött feladatok, amelyek megoldását a könyvet használó oktatók számára elérhetővé tesznek majd a szerzők. A mű erényei között említendők ezenkívül az Appendixben lévő pszeudokódok és a [9] honlapon elérhető, Python programozási nyelven megírt implementációk, amelyek segítségével a leírt jelenségek lefolyását magunk is megszemlélhetjük, sőt akár ezek alapján tovább is fejleszthetjük a modelleket. A könyvet 331 művet felsoroló irodalomjegyzék és egy szószedet zárja.

Összegezve, Kiss Z. István, Miller C. Joel és Simon L. Péter monográfiája kiváló stílusban, matematikailag igényesen és jó angolsággal megírt munka. Bátran ajánlom a szakterület iránt érdeklődő olvasók számára.

Bodó Ágnes

Kiss Z. István, Joel C. Miller, Simon L. Péter: Mathematics of Epidemics on Networks, Springer, 2017

http://www.springer.com/gp/book/9783319508047

Járvány-szonettek

A szerzők közzétettek egy felhívást, amely versírásra buzdítja a téma iránt mélyebben érdeklődő irodalmi hajlamú olvasóit: https://github.com/springer-math/Mathematics-of-Epidemics-on-Networks/blob/master/EpidemicSonnetWorks.md

Egyikük, Joel Miller műve összegzi az első hat fejezetet:

When partnerships endure so long that to
Disease they are like frozen ties that bind,
Mass action fails us till new paradigms
Emerge; and networks then are useful tools.

Equation counts are exponential till
Reduced --- through automorphic symmetries
Or caref'ly cutting out some vertices.
But yet complexity is too high still.

And so our mod'ler must approximate
And close equations --- but not too simply.
For she must doubly count a high degree.
Or, she may watch diseases percolate.

With these techniques our mod'ler has new keys
To learn how partnerships affect disease.

Müller Viktor szonettje:

How clever your scheme, to put readers on the hook
By the lure of poetry, to spread word of your book.

Your challenge infects a web of minds who
See the trick, but do not mind.
In the love of maths we unite
And in your networks we find delight.

There is beauty in the fact that we use
Networks of neurons in our head to conceive
Ideas that then spread like diseases on a net.
And upon the nets of cells and minds imposed
There looms above the Internet, and this I use
To send you back this feeble piece of poetry
To win your book in paperback.

Végül egy neve elhallgatását kérő matematikus:

There was a young man from Chatsworth

Who studied epidemics on networks.

He got fed up with that,

Did sociology instead,

But then he found out that's worse.

Egész életemben arra vágytam,

Hogy valahogyan majd hasznos legyek,

És segíthessem az embereket:

De hogy is tudhatná ezt a számtan?

Hiszen matematikussá váltam,

Így ami hasznosat én tehetek:

A differenciálegyenletek,

S a matematikai járványtan.

Felállítok majd új modelleket,

Az összes egyensúlyi helyzetet,

S stabilitást meghatározván ott.

Backward bifurkációt keresek

És amit a leginkább szeretek:

Az alap-reprodukciósszámot.

Irodalomjegyzék

1: Barabási Albert-László: A hálózatok tudománya, Libri Könyvkiadó, Budapest, 2016.
2: Barabási Albert-László: Behálózva - a hálózatok új tudománya, Magyar Könyvklub, Budapest, 2003.
3: Barabási Albert-László: Villanások - a jövő kiszámítható, Nyitott Könyvműhely, Budapest, 2010.
4: A. Barrat, M. Barthelemy, A. Vespignani: Dynamical processes on complex networks, Cambridge University Press, Cambridge, 2008.
5: M. E. J. Newman: Networks: An Introduction, Oxford University Press, Oxford, 2010.
6: R. M. Anderson, R.M May: Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Control, Oxford University Press, Oxford, 1991.
7: M. Draief, L. Massoluié: Epidemics and rumours in complex networks, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
8: F. Brauer, C. Castillo-Chavez: Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Springer, New York, 2012.
9: https://springer-math.github.io/Mathematics-of-Epidemics-on-Networks/