Ördögi körök

Ha az olvasó különösen érdeklődő a matematika iránt, örömmel konstatálhatja, hogy a könyv mintegy felében matematikai tárgyú paradoxonokról van szó. Ilyenek a Russell-paradoxon, a Cantor-paradoxon vagy az érdekes filozófiai következményekre vezető Gödel-féle nemteljességi tétel. E három közös gondolata az átlós eljárás (ezt a példák ismertetése után vázolom is). Az említett paradoxonok és furcsaságok rendre a következőket fogalmazzák meg.

Russell-paradoxon − Ha akármilyen módon összetartozó dolgokat halmaznak mondhatunk, akkor tekintsük azoknak a halmazoknak a halmazát, melyek nem elemeik saját maguknak. Vajon ez a halmaz eleme-e saját magának?

Cantor-tétel − Tegyük fel, hogy van egy párhuzamos univerzum, amely végtelen kiterjedésű és ahol végtelen sok intelligens lény lakik. Ezek a lények nagyon szeretnek bizottságokat létrehozni, például még az a bizottság is létezik, melynek egy tagja sincs (ebben a bizottságban biztosan nem kerül sor éles vitákra). Az univerzumnak van egy jegyzője, aki megkísérel rendet rakni a bizottságok között és elhatározza, hogy minden bizottságot elnevez egy lényről, két bizottságot sosem ugyanarról a lényről. Nevezzük a szerények bizottságának azt a bizottságot, melyek azokból a lényekből áll, akik nem tagjai a saját magukról elnevezett bizottságnak (ilyen biztos van, mert minden módon alkotnak bizottságokat). Vajon szerény-e a szerények bizottságának névadója?

Gödel első nemteljességi tétele − A természetes számok elméletét tartalmazó minden olyan formális-axiomatikus rendszer, amely ellentmondásmentes és axiómái rekurzívan felsorolhatók, teljesíti azt a tulajdonságot, hogy megfogalmazható benne olyan állítás, melyet sem levezetni, sem cáfolni nem lehet az axiómák és a levezetési szabályok segítségével. Ha a rekurzív felsorolhatóság definíciójával nem akarják terhelni a hallgatóságot, akkor néha úgy fogalmaznak, hogy az axiómarendszer az emberi elme számára jól áttekinthető. Lényegében tehát a következőkről van szó. Adott egy rendszer, mely tartalmazza a természetes számok elméletét és egy jól áttekinthető axiómarendszer alapján eldöntendő kérdésekre válaszol (abban az értelemben, hogy cáfolja, vagy igazolja a benne foglalt állítást). Ha egy ilyen rendszer annyira okos, hogy minden eldöntendő kérdésre tudja a választ, akkor az csak úgy lehetséges, ha minden kérdésre (tehát az állítás ellenkezőjére is) azt válaszolja, hogy igen, igaz.

Most  képzeljük el, a Cantor-paradoxonra irányítva a figyelmünket, hogy a jegyző egy végtelen nagy táblázat címsorába fel tudja sorolni az univerzum lényeinek nevét, a táblázat első (cím)oszlopába pedig ugyanezt a listát sorolja fel lefelé, azzal a céllal, hogy ezáltal azonosítsa a bizottságokat. 1-et ír azokba a cellákba, amelyeknél az adott cella oszlopának tetején lévő név olyan lényt nevez meg, aki tagja a cella sorának elején olvasható nevű bizottságnak, és 0-t ír a  cellába, ha ez nem teljesül. Nyilván olyan bizottság is van (a szerényeké), ami azokból a lényekből áll, akiknek az oszlopában a főátlóban 0 áll. Ezek nem tagjai a saját magukról elnevezett bizottságnak. De az első oszlopban szerepelő nevek valamelyike ezt a bizottságot is megnevezi. A kérdés, hogy ebben a sorban a főátlóbeli cella az 1 vagy a 0 jelet tartalmazza. Ha az 1-et, akkor a szerények bizottságának névadója szerény, ami viszont éppen azt jelenti, hogy nem eleme a saját magáról elnevezett bizottságnak, azaz nem szerény. Ha pedig 0 áll a szóban forgó cellában, akkor a szerények bizottságának névadója nem eleme a szerények bizottságának, azaz mégis csak szerény. A jegyző tehát nem lesz képes kitölteni a táblázatot és így azonosítani minden bizottságot, a sikeres táblázatkitöltés logikai ellentmondást eredményez.

Aki szívesen gondolkodna ezeken az érdekes matematikai jelenségeken anélkül, hogy elmerülne a matematikai részletekben, annak bátran ajánlhatom Ron Aharoni gördülékeny és szakmailag korrekt módon lefordított szövegének olvasását. Elenyésző a fordításban a matematikus olvasó számára furcsa fordulat. A fordító hétköznapi természetességgel megválasztott szóhasználatában bizonyára mindenki kedvét leli.

Aharoni könyvének szellemes példái sokban hasonlítanak Raymond Smullyan lebilincselő ismeretterjesztő köteteinek kiváló, irodalmi ihletettségű feladataihoz.[1]  A szerző Smullyanhoz hasonlóképpen az ellen is küzd, hogy a logikai paradoxonok mondanivalóját félreértelmezzék. Sokan látnak bele ugyanis ezekbe az érdekes példákba olyan dolgokat, amelyek valójában nincsenek benne. A szerző helyesen rámutat arra, hogy többen, főként nem matematikusok, a Gödel-tétel következményeit illetően olyan messzire mentek, ami már racionálisan sehogy sem követhető:

A filozófusok nagy lelkesedéssel vetették rá magukat Gödel felfedezésére, pedig többnyire egy szót sem értettek belőle. Talán egyetlen tudományos gondolatból sem származott még ennyi sületlenség.[2]

Említi példaként, hogy a Gödel-tétellel indokolták egyesek, hogy Lenint miért kell bebalzsamozni. De emlékezhetünk magyar példára is, amikor egy politikai szereplő azzal indokolta, hogy az alkotmányban nem érdemes hibákat keresni, mert Gödel is megmondta, hogy nincs tökéletes axiómarendszer.

Sajnos ebbe a hibába Aharoni is beleesik. A Gödel-tételek értelmezésében és a Hilbert-program értékelésénél olyan állításokat tesz, amelyek nem állják ki a tudományosság próbáját. Az a terv, hogy a formális elemi számelmélet (Peano-aritmetika) ellentmondásmentességét belássa, valóban naiv kezdeményezés volt David Hilbert és csoportja részéről. Nem matematikailag volt naiv, hanem tudománymódszertanilag. Nem láthatták előre, hogy születni fog egy eredmény, Gödel nemteljességi tétele, ami ennek a törekvésnek gátat fog szabni, de a tervről attól még tudható volt, hogy túl optimista, és nem matematikai sejtéseken alapul. Matematikán kívüli céljai is voltak: megmutatni L. E. J. Brouwernek, hogy a matematikafilozófiája helytelen. Mindazonáltal azt állítani, hogy

 [...] Hilbert valami sokkal finomabb dologra kérdezett rá: be tudjuk-e bizonyítani [a Peano-aritmetika] ellentmondásmentességet kizárólag Frege levezetési szabályai és a Peano-axiómák alapján?[3]

valójában Hilbert programjának félreértése. Egy matematikus sem gondolhatja komolyan, így Hilbert se, hogy a Peano-aritmetika ellentmondásmentességét a Peano-aritmetika alapján kéne belátni. Ez olyan, mintha egy csalót kérdeznénk meg, hogy becsapott-e már valakit életében.[4] Természetesen Hilbert sem ezt tette. A szerző félreértése olyan makacs, hogy meg is ismétli. Továbbá ezzel együtt azt is állítja, hogy

 [vagyis] pusztán szintaktikai eszközökkel lehetetlen bebizonyítani, hogy ezen axiómák alapján nem lehet egyszerre bizonyítani egy állítást és a tagadását.[5]

Dehogynem: Gentzen pusztán szintaktikai alapon bebizonyította a Peano-aritmetika ellentmondásmentességét. Ugyanis ez az értelmezés hibás, nem erről van szó. Hilbert másképpen járt el.[6] A Gentzen-bizonyítással kapcsolatban pedig ajánlanám az ugyanezt a témát feldolgozó, ám matematikailag és történetileg korrekt There's Something About Gödel: The Complete Guide to the Incompleteness Theorem c. könyvet Francesco Berto tollából.[7]  

El kell, hogy oszlassak egy másik tévképzetet is. Egyhelyütt a szerző azt írja:

Ha kezünkben van egy algoritmus, rögtön tudjuk, hogy arról van szó. És miután Hilbert hitt benne, hogy lehetséges ilyen eldöntési algoritmust találni, a definícióval nem is vesződött.[8]

Nos, nem tudjuk, miben hitt Hilbert, de valószínűsíthetjük, hogy abban nem, hogy minden problémára létezik eldöntési algoritmus. Gondoljunk bele! Éppen Hilbert az, aki a bizonyosság keresése érdekében a matematika alapjainak vizsgálatára az úgy nevezett finit érveléseket javasolta. Pont ő ne értette volna, hogy adott probléma nem oldható meg feltétlenül egy adott módon, de más módon esetleg mégis? Az, hogy felszólít keresésre, nem jelenti azt, hogy ne találhatnánk negatív eredményt. Ez a tévhit valószínűleg Hilbert híres kijelentésére vezethető vissza: „Tudnunk kell! Tudni fogjuk!'', ezt nem szabad abból a diskurzusból kiemelni és más vonatkozásban bizonyítékként elsütni, mint amelyben elhangzott. Hilbert ebben a felkiáltásban parafrazeálja Emil du Bois-Reymond kijelentését, aki a tudományos megismerésre vonatkozóan használta a latin maximát: „nem tudjuk és nem is fogjuk tudni.'' Szemben Georg Cantorral, akinek az esetén valóban bizonyítható, hogy úgy tekintett a megoldatlan problémákra, mint amiket csak azért nem tudunk megoldani, mert nincs hozzá meg az elég ügyes technikánk és az elméleti tudásunk, de idővel meg fogjuk tudni őket oldani. A jó definícióról például ezt mondja:

Általában ezek a követelmények lehetőségeink és módszereink elégtelensége miatt precíz és egzakt módon nem ellenőrizhetők az adott pillanatban. Ám, nem is ebben vagyunk érdekeltek. Itt ugyanis belső meghatározottságról van szó, amely alapjául szolgál annak, hogy a későbbiekben kifejlesszük a konkrét esetekre a megfelelő módszereket, amik a konkrét (külső, externális elkülönítést lehetővé teszik.[9]

Hilbert viszont tudománymódszertanában redukcionista volt. A matematika alapjait illetően visszavonult azoknak az érveléseknek a körébe, melyek evidens módon a legbiztosabb alapját adhatják az matematikának és amire az összetettebb fogalmak és elméletek építhetők. Ezeknek a biztos érveléseknek a köre a finit matematika. Éppen ezért elég kétséges, hogy Hilbert ne értette volna, hogy valamit valamilyen módon bizonyítani nem mindig sikerül. Hilbert az optimizmusával egyszerűen azt akarta tudtunkra adni, hogy szerinte a tudomány mozgatórugója a tudni vágyás.

Nem szabad hinnünk azoknak, akik ma filozófus modorossággal és okoskodó hangon prófétálnak a kultúra bukásáról és a megismerhetetlenség [ignorabimus] elfogadásáról. Számunkra nincs olyan, hogy  megismerhetetlenség, és véleményem szerint a természettudományban sincs semmi ilyesmi. Épp ellenkezőleg, a megismerhetetlenség ostoba szlogenje helyett a miénk legyen: Wir müssen wissen – wir werden wissen.[10]

(Hilbert 1930-as rádióbeszéde, melynek végén saját hangján hallható a híres „lózung”:
https://www.youtube.com/watch?v=EbgAu_X2mm4 )

Nyilvánvaló, hogy itt Hilbert egyáltalán nem arról beszél, hogy egy problémának ne lehetne az a megoldása, hogy valamilyen módon nem megoldható, amilyen jellegű állítást a Gödel-tétel is tesz.

A könyv szabad szóhasználata ismert mindenki számára, aki laikusoknak valamely tudományterületről szeretne beszélni. Ilyenkor mindannyian próbálunk olyan hasonlatokat, leegyszerűsítő kijelentéseket tenni, amelyek átadják a jelenség lényegét a hallgatóságnak, anélkül, hogy a részletekkel terhelnénk őket. Nos, a könyv stílusa alapján ily módon belesorolható azon XIX. századi vagy legkésőbb XX. század közepi történetírási munkák közé, amelyek hivatkozások nélkül, de színesen, olvasmányosan, a szerzők jó szándékával kikövezett úton kalauzolják végig az olvasót a matematikatörténet rögös vándorútján. A magyar nyelven is megjelent könyvek közül talán az egyik legismertebb ilyen próbálkozás Egmont Colerus matematikatörténeti sorozata, ami a 30-as évek óta sok generációnak nyújtott életre szóló élményt, pl. Az egyszeregytől az integrálig vagy a Pithagorasztól Hilbertig c. műveivel. Nincs könnyű helyzetben egy szerző sem, amikor át szeretné adni a matematika élményét is és közben meg kell felelnie a matematikai történetírás kritériumainak. Ez utóbbi ugyanis egy külön szakma.

A könyv nem csak a magukra hivatkozó kijelentéseken alapuló, szokásos módon tárgyalt ördögi körökről beszél, azaz a hazug paradoxonáról, a borbélyparadoxonról, a Cantor-paradoxonról vagy Gödel nemteljességi eredményeiről. Olyan, a körkörösségből eredő problémákat is bemutat, mint azt a jól ismert példát, amelyben az elme saját magán gondolkodik. A III. fejezetben a test – elme problémáról olvashatunk, azaz arról, hogy az ember vajon nem egyéb-e mint saját teste és ennek funkciói vagy van valami, a testtől különböző, más jellegű dolog, nevezzük elmének, mely a testtel együtt közösen alkotja magát az embert. Zavarba ejtő, ha belegondolunk, hogy olyan hatalmas filozófusok járultak hozzá a téma megértéséhez, mint Descartes, Popper vagy Putnam, akikről a szerző említést is tesz. Éppen ezért megnyugtató, hogy milyen könnyed, olvasmányos stílusban tárulnak a szemünk elé ezek elméletek, ahogy a szerző is írja:

A filozófiai tanszékeken a leghalványabb mosoly nélkül adják elő [a szóban forgó megoldásokat], szerintem azonban az Olvasónak nem kell egészen komolyan vennie őket. Inkább csak azt szerettem volna bemutatni, milyen kétségbeesett erőfeszítéseket tettek a filozófusok ennek a kérdésnek a kezelésére.[11]

Arra bíztat tehát minket, hogy ne féljünk utánanézni ezeknek a témáknak, hiszen, mint minden tudománynak, a filozófiának is megvan a maga szakzsargonja, amit nem nehezítésként, hanem éppen a fogalmak jobb körülhatárolása és elemezhetősége céljából használnak.

Egészen figyelemre méltó és nagyon derék analitikus filozófusi munkát találunk a II. fejezetben, mely a szabad akarat problémáját veszi szemügyre. Mint az közismert angolszász nyelvterületen, a filozófiai tanszékek döntő része olyan munkamódszert alkalmaz a filozófiai problémák feldolgozásakor, amelynek jellegzetessége, hogy jól megfogalmazott érvekre és logikai következtetésekre alapul. Általában egy probléma esetén megfogalmaznak két álláspontot, és kimutatják, hogy ezek együttesen nem állhatnak fenn, vagy csak az egyiket, vagy csak a másikat fogadhatjuk el. Feltéve, hogy az érvelésben nem találunk más olyan logikai hézagot, amely lehetőséget ad a probléma új tálalására és új logikai vizsgálat elvégzésére.

A szerző a II. fejezetben William Newcomb paradoxonát fogalmazza meg a következő formában. Adott egy mindentudó bölcs, aki előre látja döntéseinket. Ez a bölcs arra kér minket, hogy a zsebünkben lapuló 100 dollár sorsáról döntsünk. Dobjuk a szemközti kútba vagy sem. Nem mondja meg nekünk hogyan fogunk dönteni, de tudja. Azt azonban megmondja, hogy ő attól függően cselekedett, hogy mit látott előre a mi tevékenységünk kapcsán. Amennyiben azt látta, hogy bedobjuk a kútba a pénzt, ő elhelyezett a bankszámlánkon 1000 dollárt, ha pedig azt látta, hogy nem dobtuk a kútba a pénzt, ő sem tett semmit. Aharoni a Newcomb-paradoxon általa megfogalmazott formájával kapcsolatban amellett érvel, hogy ez valóban egy paradoxon, és az oka, hogy a rejtvény szövegében a feltételek önmagukra hivatkoznak, tehát itt is, mint az eddigiekben is, ördögi körrel állunk szemben.

Magam is találkoztam olyan matematikussal, aki kijelentette: „Sosem értettem, hogy lehet valamiről azt mondani, hogy nem bizonyítható. Mi korlátozhatná annyira a matematikus elméjét, hogy már most azt állíthassuk, lehetetlen, hogy valamikor, valaki találjon bizonyítást egy ma még bizonyítatlan, de igaz állításra.'' Nyilván erre a kérdésre megvan az akadémiai világban szocializálódott matematikai logikus korrekt válasza. Éspedig az, hogy nem azt mondjuk, hogy a szóban forgó állításoknak nem lehet semmilyen bizonyításuk, a limitációs tételek csak meghatározott jellegű bizonyítások létezésének lehetetlenségét állítják, például a finit vagy bizonyos értelemben konstruktív bizonyítások létének lehetetlenségét mondják ki. Ám ez a válasz sokak számára még akkor sem megnyugtató, ha magát a választ megértették. Nincs senki sem egyedül, aki zavarba jön a logikai paradoxonok hallatán. Ez természetes és erős érzés bennünk, ami mellett nem mehetünk el úgy, mintha a racionális válaszok megoldást kínálnának a dolog pszichológiájára. A paradoxonokat, a magyar szóhasználatban ,,látszólagos ellentmondásokat'' fel szokás oldani. Ám, olyankor ott állunk leforrázva, vagy üresen, mint akihez nem jöttek el a megbeszélt randevúra. Mintha elvettek volna tőlünk egy könyvet, amibe még csak most tekintettünk bele, és amit azzal vettek ki a kezünkből, hogy nincs abban az égvilágon semmi, de semmi érdekes. De mi tudjuk, hogy van. A paradoxonok által okozott élmény emléke mindig velünk lesz, és delejesen vonzani fog minket, hogy még foglalkozzunk velük, még tovább és tovább foglalkozzunk velük, újra és újra, a racionális érvelés bűvésztrükkjei után is. A könyv elolvasása éppen ennek a rossz érzésnek a leküzdésére ad jó módszert, éppen erre ajánl terápiás foglalkozást.

Molnár Zoltán Gábor

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Matematikai Intézet, Algebra Tanszék

Ördögi körök

Az abszurd vicctől a Gödel-tételig

Ron Aharoni

Fordította Kepes János,

TypoTeX, 2016, 206 oldal.

https://www.typotex.hu/book/8593/ron_aharoni_ordogi_korok