Emlékfoszlányok Erdős Pálról

Zürich, 1994. augusztus 2−9. A matematikai kongresszuson ismerkedtem meg vele. Volt már két közös dolgozatunk, de ezek Joó Pista közreműködésével, levelezés útján születtek. Egy nagy terem közepén ült, körülvéve rengeteg baráttal és érdeklődővel. Nem mertem őt zavarni. Egyszer csak felállt és egyenesen felém indult:[1] „Szervusz! Ne haragudj, hogy nem jöttem előbb, hogy üdvözöljelek Téged, de tudod, nem jó az arcmemóriám. Ugye van már közös cikkünk? Hogy állnak a problémák?''  Majd elsüllyedtem szégyenemben. Néhány percig beszélgettünk, és felajánlotta, hogy kutassunk együtt tovább. 

Strasbourg, 1994. október 20−24. E-mail-ben üzent, hogy szívesen meglátogatna Strasbourgban, ha volna kedvem és időm vele dolgozni. Kaptam az alkalmon. Pali bácsi csütörtök délután érkezett Nancy-ból. A pályaudvar peronján várt mosolyogva egy kis bőrönddel és egy nejlon szatyorral. Hazavittem hozzánk. Röviden megismerkedett a családommal, majd rögtön dolgozni akart. Bementünk a számára fenntartott szobába. Becsukta az ajtót, beleült a fotelbe, elmondatott velem egy általam nemrégen talált bizonyítást. Én titokban büszke voltam rá, hogy jól tanítom a  matematikát. Ő máshogy vélekedett: „Nem értem. Egy szót sem értek. Magyaráztál már az életedben matematikát valakinek? Írd le a két lemmát, bizonyítás nélkül, és majd elolvasom.” Mit tehettem, nekiláttam. Ekkor megjelent a 11 éves lányom, aki nem tudta elviselni, hogy ki van zárva a szobából. Bekopogott, hogy nézzem át a német házi feladatát. Pali bácsi türelmetlenül félbeszakította: „Én majd megnézem, tudok németül, te csak írd a két lemmát.''  Fél perc alatt átfutotta a két oldalt, majd így szólt Tímeához: „Itt van egy hiba: nem der, hanem das. A többi jó, mehetsz.” A lányom sértődötten kiment, hogy biztosan maradtak benne hibák.[2] Közben leírtam a lemmákat. Pali bácsi elolvasta őket, igaznak tűntek neki, és megnyugodott. 

Addigra elkészült a vacsora. Evés közben megkérdezte a feleségemet, hogy mi a szakmája, és miből írta a szakdolgozatát. A válasza után („Miksa császár mexikói hadjáratának a visszhangja a magyar sajtóban”) el akarta magyarázni, mi is volt ez a hadjárat, amelyről ő sem tudott, mielőtt megkapta volna a szakdolgozati témát az egyetemen, de Erdős Pál leintette: „ismerem, III. Napóleon kineveztette császárnak, aztán 1867-ben kivégezték Mexicóban.

Másnap reggel a tanszéken dolgoztunk. Volt egy ötletem, hogyan javíthatnánk meg az eredményeinket a „két lemma” módosításával. „Az nem működik'' − vágta rá. „De én úgy érzem, igen” − erősködtem, és nekiálltam számolni. Egy fél óra múlva feladtam: „Sajnos, nem megy”. „Mondtam neked” − válaszolta nyugodtan. Délben haza kellett hoznom a fiamat az iskolából ebédszünetre, addig Pali bácsi az irodámban maradt. 

 Az iskola előtt egy másik apuka, gimnáziumi matematikatanár, elmondta nekem, hogy hetek óta hiába próbálják bebizonyítani a kollégáival, hogy minden valódi tört felírható egyiptomi törtek összegeként.

Én akkor hallottam először az egyiptomi törtekről. Visszatérve az irodába elismételtem a kérdést Pali bácsinak, aki egy papírlapot tett maga elé, és villámgyorsan leírta a bizonyítást: „Régebben írtam a témáról egy cikket, emlékszem rá”.

Hazamentünk ebédelni. Visszatérve bementünk a könyvtárba, mert Erdős Pál elfelejtette a nevét egy matematikusnak, aki egyszerű bizonyítást talált egy Szekeressel közös tételükre. Arra azért emlékezett, hogy a cikk a J. London Math. Soc. folyóiratban jelent meg 1959-ben, és így azonnal rátalált Seidenberg nevére. A könyvtárban megtaláltam az egyiptomi törtekről szóló cikkét is: 1950-ben írta, és a bizonyítás szóról-szóra egyezett.

Délután előadást tartott a tanszékünkön „Some of my favourite problems in number theory, in combinatorics and in geometry” (Néhány kedvenc számelméleti, kombinatorikai és geometriai problémám) címmel. Olyan sokan jöttek őt meghallgatni, hogy termet kellett váltani. Szerencsére a nagy terem szabad, bár fűtetlen volt. Erdős Pál kabátban tartotta meg előadását. Angolul beszélt, de az állításokat franciául is elismételte. Nagy hatással volt a hallgatóságra, akik addig szinte csak a gyökeresen eltérő Bourbaki stílust ismerték.

Szombaton a városban sétáltunk. Mutattam neki egy emléktáblát, hogy itt adták elő először a Marseillese-t. „Nehéz élete volt Rouget de l'Isle-nek, olvastam róla Stefan Zweig-től” − válaszolta. Én addig semmit sem tudtam Rouget de l'Isle életéről.

A katedrálishoz érkezve nem volt kedve felmenni a toronyba: „Voltam már ott 20 évvel ezelőtt, emlékszem rá”.

A téren kéregetők jöttek hozzá. Mindenkinek adott pénzt, mire azok visszajöttek, erre ismét adott. El kellett vezetnem onnan, mielőtt minden pénzét szétosztaná.

Felajánlottam, hogy nézzük meg a Szent Tamás templomban azt az orgonát, amelyiken annak idején Mozart is játszott. Ez érdekelte. Autóba ültünk, és 20 percet manővereztem, mire végre találtam egy közeli parkolóhelyet. A templomban viszont egy fél percet sem töltöttünk. Egyenesen az orgonához ment, rátekintett, elolvasta az ismertetőt, majd megfordult, és kiment: „Mehetünk vissza dolgozni”. Biztos voltam benne, hogy kívülről megtanulta az ismertető szövegét.

Esténként otthon szívesen hallgatott zenét, általában Bachtól a Brandenburgi koncerteket. Amikor hétfőn tovább utazott Lyonba, kölcsönkérte tőlünk Diószegi István: „Két világháború árnyékában” című diplomáciatörténeti munkáját, amit a könyvespolcunkon talált. Kicsit félve adtuk oda neki, mert nehéz lett volna újra beszerezni, de két hét múlva visszaküldte nekünk Sao Pauloból. (Ekkor, 81 évesen járt először és utoljára Dél-Amerikában.)

Budapest, 1995. augusztus 3. Erdős Pál a SZTAKI-ban tartott előadást. A kis terem zsúfolásig megtelt, de a kánikula ellenére minden ablakot becsuktak, hogy a kinti útjavítás zaja ne zavarja az előadást. Tuza Zsolttal közös egyik eredményükről beszélt, amikor Zsolt közbeszólt: „Ez a másik irányú bizonyítás''. „Ja, persze'', válaszolta, és el akarta kezdeni a másik bizonyítást, de hirtelen elhallgatott és szédülni kezdett. Kiürítették a termet, kinyitották az ablakokat, Pali bácsit végigfektették négy összetolt széken, és hívták a mentőket. A friss levegő hatására magához tért: „Itt van még a Tuza?'' − kérdezte elhaló hangon. Behívták Zsoltot. „Hogy is volt a bizonyítás?'' − kérdezte tőle. Zsolt elkezdte neki magyarázni, mire a székeken fekvő Pali bácsi egyre jobban felélénkült. A közben megérkező mentőknek azt mondta, most már egészen jól van, és nagyon nehéz volt őt rákényszeríteni, hogy velük menjen kivizsgálásra.

Strasbourg, 1995. szeptember 23−26. Szeptember elején telefonon keresett otthon, mialatt az egyetemen voltam. A feleségem meg akarta neki adni az irodai telefonszámomat. „Köszönöm, de emlékszem a telefonszámra'' − válaszolta neki, és máris hívott engem. Nem felejtette el tavaly óta.

Szombat délután érkezett. A lakásban a lányom azzal fogadta, hogy már tud németül. Pali bácsi azonnal németre váltott, úgy beszélt vele. Timi nehezen értette, mire ő csodálkozva kérdezte: „Miért mondod, hogy tudsz németül, ha nem tudsz?''

Pali bácsi nem találta a szandálját: vagy Nancy-ban maradt, vagy a vonaton hagyta el. Felhívta Tenenbaumot, aki megtalálta egy szék alatt. „Utánad küldjem?'' -- kérdezte. „Nem, csak tudni akartam, hol vesztettem el. Dobd ki, úgyis régi volt már.'' − felelte. Vacsora után dolgoztunk, majd este 11 után megkérdezte: „Igaz, hogy neked van kulcsod könyvtárhoz?''  Igaz, feleltem, és éjfél előtt 15 perccel már ott is voltunk. Pali bácsi akkurátusan végigböngészte a frissen érkezett folyóiratokat. Éjjel egykor elégedetten lépett ki a könyvtár ajtaján.

A vasárnap délelőttöt az irodámban töltöttük. Több levelet írt, azokat faxon vagy e-mail-en keresztül továbbítottam a megadott címekre. Egy munkatársát megkérte, küldjön a nevében a nála lévő pénzéből 25 dollárt az „American Friends Service Committee'' számára. Majdnem minden nap adott kisebb adományokat humanitárius célokra vagy a matematika népszerűsítésére.

Délután megtalálta nálam, és hosszasan olvasgatta Hajnal és Hamburger halmazelmélet könyvét, majd felkiáltott: „Jé, itt egy hiba van!'' Hitetlenkedtem: visszaemlékezve Hajnal András mintaszerűen precíz és elegáns egyetemi előadásaira, nem tudtam elképzelni, hogy hiba lehetne a könyvben. „Azt írják, Gödel 1939-ben bizonyította be, hogy a kontinuum hipotézis konzisztens a szokásos halmazelméleti axiómákkal. De az 1938-ban volt, nem 1939-ben: emlékszem rá, mert egy kávéházban ültem vele Bécsben, amikor mondta nekem, és az 1938-ban volt''.

Este együtt ünnepeltük vele a fiam születésnapját.

Hétfőn hármasban ebédeltünk egy német kolléganőmmel. Miután Pali bácsi megtudta, hogy Essenből való, németre váltott néhány percig (én nem beszélek németül). Később kérdésemre Petra elmondta, hogy Erdős Pál tökéletes németséggel Essen középkoráról mesélt neki érdekességeket. Ő pedig nagyon szégyellte magát, mert esseni létére szinte semmit sem tudott a szülővárosa történelméről. Délután Pali bácsi újabb nagy sikerű előadást tartott a tanszéken. A honoráriuma éppen elég volt, hogy megvegye  belőle a repülőjegyét másnapra Budapestre. Este elkísért bennünket Zsolt fiam pingpong klubjába, és ő is játszott vele.

Kedden délelőtt átmentünk Németországba, hogy új Birkenstock szandált vásároljon magának. Talált is egyet: nem volt igazán kényelmes, de megvette. Kifizettem márkában, ő pedig rögtön odaadta nekem frankban az összeget. Később utánaszámoltam, fillérre egyezett. Közben elmesélte, hogy Hajnal András egyszer így reagált az állandó panaszkodásaira: „Ha embereket tudtunk küldeni a Holdra, akkor a Te lábadra is tudunk kényelmes cipőt készíteni!''. „Ebben a Hajnal tévedett'' − kommentálta Pali bácsi.

Strasbourg, 1996. április 5−8. Április 3-án váratlanul telefonált, hogy nálunk tölthetné-e a húsvéti hétvégét, és két nap múlva meg is érkezett. Megmutattam neki az Erdős−Mordell tételre talált bizonyításomat: neki is újnak, és az eddigieknél egyszerűbbnek tűnt. Kazarinoff 1961-ben írt „Geometriai egyenlőtlenségek'' című könyvében azon meditált, hogyan fedezhette fel Erdős Pál ezt a tételt: „Valószínűleg Euler egyik tételét akarta élesíteni''. 

Kérdésemre Pali bácsi elmondta, hogy az Erdős−Mordell egyenlőtlenséget valójában 1932-ben fedezte fel, miután rengeteg háromszöget rajzolt, hogy azokból új törvényszerűségeket találjon.
Érdekes, hogy sem ő, sem más nem kérdezte meg ezt tőle korábban, a több mint 60 év alatt.
Mennyi mindent megtudhattunk volna tőle, ha többet kérdezzük!

„Hitt Einstein Istenben?'' -- kérdeztem egyszer. „Nem hitt'' -- válaszolta kategorikusan. „Honnan tudod?''− kérdeztem újra. „Megkérdeztem tőle egyszer.''

Vasárnap reggel indult a vonata Marseille-be. De amikor reggel bementem hozzá, azt mondta, hogy nem érzi jól magát, nem tud elutazni. Nem komoly a dolog, nyugodtan feküdjek én is vissza. Egy fél óra múlva, amikor már túl késő volt elérni a vonatot, hirtelen jobban lett, és felkelt. Viszont a reggeli után közölte, hogy van egy probléma: „Délután egykor érkezik a vonat Lyonba, és Sárközi András az előzetes tervek szerint ott csatlakozik hozzá. Ha nem fogja őt a vonaton találni, pánikba fog esni. 
Valahogyan értesíteni kellene őt, hogy nem tudott elutazni, de semmi komoly. Nyugodtan utazzon el Marseille-be, azután majd este hívják fel őt telefonon.'' Mobil telefon még nem volt, de sikerült felhívnom egy lyoni barátomat: „Ki kellene menned a Lyon Perrache pályaudvarra délben, ott megkeresni egy Sárközi András nevű matematikust, és átadni neki a következő üzenetet…''. Nem tudom, hogyan, de megoldotta.

Közben otthon megebédeltünk, és Pali bácsi kinézett az ablakon. „Azok ott hegyek? Messze vannak?'' 
„Igen, a Fekete Erdő Németországban, úgy 20-30-kilométerre.'' „Oda lehetne menni?'' Autóba ültünk, és elmentünk kirándulni.

Ezalatt a vonat befutott Marseille-be. Sárközi, aki öt órán keresztül idegeskedett tehetetlenül, odarohant az első telefonhoz, és felhívott minket. „Pali bácsi elment kirándulni Vilivel a Fekete Erdőbe'' − válaszolta neki a feleségem. Este, miután visszaérkeztünk, újból csörgött a telefon. T. Sós Vera, Sárközi András és Hajnal András egymás szavába vágva kapacitálták Pali bácsit, hogy ne vicceljen, itt mindenki őt várja. Másnap reggel mindenképpen utazzon oda az első repülőgéppel. Hétfőn kikísértem őt a repülőtérre. Jókedvű volt, jót tett neki a hétvégi pihenő a családunk körében és a vasárnapi kirándulás. Feladta a bőröndjét, benne egy pár bakanccsal és minden egyéb ingóságával: 9,4 kilogrammot nyomott.

Strasbourg, 1996. április 27−május 2. Két hét múlva Párizsból hívott, és a következő szombat délután érkezett újra Strasbourgba. Az egy éve elveszett szandálja volt rajta: Tenenbaum megőrizte neki.

Pali bácsi erkölcsi kérdésekben hajthatatlan volt. Levelet küldött a Waterloo Egyetemre egy munkatársa érdekében, akit szerinte aránytalanul büntettek egy kis hibáért. Felvetette, hogy ha nem találnak megfelelő megoldást, le fog mondani a díszdoktori címéről.[3]

Hétfőn a szívére panaszkodott, nem érkezett meg Amerikából a szokásos gyógyszere. Kihívtam a háziorvosunkat. Szerencsére a gyógyszer Franciaországban is kapható. Felírta neki, de azt tanácsolta, feltétlenül maradjon itt, és pihenjen legalább egy hétig a szíve miatt. „Azt nem lehet!'' − felelte Pali bácsi, „mindenütt várnak rám. A gyógyszereket köszönöm, beszedem őket, és nem lesz semmi baj.''
Utána négyszemközt is beszéltem a doktorral. „Ha nem engednénk tovább utazni, csak tovább romlana az állapota. Engedni kell, bár egyszer ebbe fog belehalni'' − mondta nekem.

Kedden újabb előadást tartott: „Sur mes problèmes préférés en théorie des nombres, combinatoire, géométrie et analyse''.[4] Este, vacsora közben a lányom elújságolta, hogy a francia tanárnője próbálta rábeszélni a diákokat, hogy jövőre tanuljanak nála ógörögöt is. „Az ókor híres matematikusai görögök voltak. Aki nem tanul meg görögül, abból nem válhat jó matematikus'' − mondta az osztály legjobb matekosának. „Micsoda hülyeség!'' − kommentálta Pali bácsi, és nyugodtan kanalazgatta tovább a levesét.

Csütörtökön tovább utazott Berlinbe.

Hónapokkal később megkeresett egy strasbourgi kolléganőm. Elmondta, hogy már több, mint 15 éve felhagyott a kutatással, de Erdős Pál előadása annyira tetszett neki, hogy gondolkozni kezdett az egyik, ott elhangzott megoldatlan kérdésen, és azt több hónapi munkával sikerült részben megoldania. Ha jól emlékszem, a dolgozatát a Studia. Math. Hungar. közölte.

Strasbourgi látogatásai alatt sokat beszélgettünk séta vagy kirándulás közben. Bármiyen témát fel lehetett hozni: család, politika, történelem.

Egy hétvégén elvittem őt a Sainte-Odile hegyre, az ottani régi kolostorból gyönyörű kilátás nyílik az elzászi síkságra. Az úton meglepően kevés autóval találkoztunk. A hegytetőn azonban sok száz kocsi parkolt egymás hegyén-hátán, alig találtunk helyet. „Egész Elzász idejött'' − állapította meg Pali bácsi lakonikusan.

Az őt régóta ismerők szerint Erdős Pál fiatalon sokkal gyorsabb volt, mint utolsó éveiben.
De nekem még mindig nagyon fel kellett készülnöm a látogatásaira. Néha azért tévedett. „Hülyül az öreg'' − mondogatta ilyenkor.

Egyszer a Rajna-parton régi magyar matematikusokról kérdezgettem őt. „Milyen ember volt Fejér Lipót?'' − kérdeztem. „Lassú'' -- válaszolta. Ez persze vicc is volt a részéről: Pali bácsi nagyon szeretett viccelődni, de sosem mások kárára. Úgy hallottam, hogy Fejér nehezen követte Erdős Pál gyors magyarázatait, neki pedig nem volt türelme végighallgatni Fejér lassú fejtegetéseit. 
Gyakran Turán Pál barátja tolmácsolt közöttük. „De a gyorsaság nem fontos, csak az, hogy bebizonyítsunk egy nagy tételt'' − tette hozzá. „Nem számít, hogy egy hónap vagy tíz év alatt, a fő, hogy találjunk egy fontos eredményt. Fejér kiváló matematikus volt, és nagyon-nagyon rendes ember'' − folytatta.

„És Riesz milyen volt?'' -- kérdeztem tovább kiváncsiskodva. „Óh,'' − gondolkodott el Pali bácsi, „Riesz kevésbé volt lassú…'' .

„Nem fájt Neked, hogy nem kaptál Fields-érmet?'' -- kérdeztem egy másik alkalommal. „Nem. Kaptam sok más díjat.  De nem a díjak a fontosak, hanem az, hogy próbáljunk olyan eredményt elérni, amire 500 év múlva is emlékezni fognak.”

„Volt olyan, hogy fizikailag is szenvedtél a háború alatt?'' -- kérdeztem utána. „Persze, hogy volt'' − vágta rá. „Amerikában 1942-ben a tengerparton sétáltam. Az elsötétítés miatt nekimentem egy lámpaoszlopnak, és még másnap is sajgott a térdem.''

Budapest, 1996. július 21−27. Az Európai Matematikai Kongresszuson találkoztam vele utoljára.

Meghívott ebédelni az Astoriába. Kérdeztem tőle, hogy van, történt-e vele valami különleges az utóbbi 2-3 hónapban. Semmi érdemleges, válaszolta, majd a matematikára fordította a szót. Ne várjunk tovább, küldjük el a készülő cikkünket publikálásra. Én szerettem volna megoldani előbb még egy függő kérdést, de megígértem, hogy az októberi látogatásakor befejezzük a cikket. Csak jóval később hallottam a júniusi rosszullétéről és pacemaker beültetéséről.

Este a Welcome party-ra mentünk a Nemzeti Galériába.

Másnap vagy harmadnap a szüleim meghívtak minket ebédelni.
Délben a konferenciaközpont melletti buszmegállóban várakoztunk, de Pali bácsi két perc után elveszítette a türelmét: „Úgy látszik, nem jár ez a busz. Menjünk taxival!''. A busszal csak 5-6 megállóra laktak a szüleim, nem volt kedvem taxit fizetni. „Mindjárt jön'' − válaszoltam. Erdős odament érdeklődni a megállóban várakozó két férfihoz. „Jár ez a busz?'' -- kérdezte. Miután kiderült, hogy nem magyarok, megismételte a kérdést más nyelveken is, de ők továbbra sem értették. Pali bácsi füstölögve jött vissza: „Ezek semmilyen nyelven nem beszélnek''. Láttam a kitűzőjükön, hogy orosz konferencia résztvevők, úgyhogy azt feleltem, ő sem tud oroszul, nincs mit a szemükre hánynia. „Ez igaz'', felelte, és megnyugodott, mert ebben a pillanatban megjelent a fordulóban a busz. Felszálltunk, leültünk egy kettős ülésre, a busz elindult. Egyszercsak Erdős felém fordult, és oroszul kezdett beszélni. Egészen hosszú szöveg volt, bár nem látszott az aktualitása. „Te tudsz oroszul?'', kérdeztem meglepetve. „Nem, de 1966-ban, amikor Moszkvában rendezték a Matematikai Kongresszust, úgy gondoltam, illene megtanulni egy kicsit, és akkor foglalkoztam az orosszal egy keveset''. A harminc évvel korábban olvasott szöveg még a fejében volt.

Gulyáslevest és palacsintát ettünk ebédre, és közben ő kellemesen elbeszélgetett mindenkivel. A szüleimet arról kérdezte, hogyan vészelték át a háborút.

A banketten sokáig kerülgetett egy kisbabát, amíg az elfogadta, hogy Pali bácsi a közelébe kerüljön.

 Az utolsó délután egy róla készült filmet vetítettek a kongresszuson. „Én is láttam már a filmet, meg te is, maradjunk inkább kint, és beszélgessünk'' − javasolta. Fel-alá sétálgattunk az üres folyosón, és mindenféléről társalogtunk. Egyszercsak megállt, és komolyan rám nézett: „Tudod, azt hiszem, hibát követtem el, hogy nem alapítottam családot'' − mondta. Aztán csendben álltunk ott egy darabig.

 Ekkor láttam őt utoljára. Másnap reggel elutazott Sárospatakra, háromszor is telefonált nekem onnan aznap. Egyedül érezte magát.

Augusztus végén a Rudin házaspárral találkozott Budapesten, onnan kaptam tőle e-mail-en keresztül az utolsó üdvözletét. Október elején jött volna legközelebb Strasbourg-ba. De a szíve nem bírta addig.

Miután minden újság szalagcímben közölte a hírt, az egyik titkárnő megkérdezte tőlem a tanszéken: „Tényleg ő volt az a kedves, idős bácsi, aki mindig olyan szerényen sétált itt a folyosón? Sose gondoltam volna róla, hogy híres ember''.

Október 21-én volt a temetése. Nagyon szép búcsúbeszédeket mondtak a kollégái és barátai, és távoli országok matematikai társaságai is képviseltették magukat koszorúval, sőt személyesen is. Később megemlítettem Császár Ákosnak a magyar állam távolmaradása feletti meglepetésemet. „Az szerintem nem volt zavaró,'' − felelte, „hiszen ő nem adott az ilyesmire. Nekem inkább az fájt, hogy az MTA Elnöksége sem képviseltette magát. Megkértem őket, de azt válaszolták, hogy Erdős Pál nem volt elnökségi tag, így az protokolláris szempontból nem szükséges.''

Komornik Vilmos