Kálmán Rudolf emlékére
2016. július 2-án, életének 86. évében, a rákbetegséggel folytatott többéves küzdelme után elhunyt Kálmán Rudolf, a rendszertudomány matematikai alapjainak megalkotója, aki a legmagasabb amerikai kitüntetések és nemzetközi elismerések mellett is büszke volt magyar akadémiai tiszteleti tagságára, valamint az MTA SZTAKI-val való kapcsolatára, ahol haláláig szobája volt.
Kálmán a második világháború elől családjával gyerekként az Egyesült Államokba menekült, és ott telepedett le, így ott tanulhatott az akkori matematikai-műszaki világ nyugati úttörői között. 1953-ban végzett az MIT-n, majd a Stanfordi és a Floridai Egyetemeken tanított. 1973 óta a Svájci Szövetségi Műszaki Főiskola professzora volt.
A navigációs rendszerek matematikai tervezésének fejlesztése során dolgozta ki a ma már a nevét viselő Kálmán-szűrőt, amelyet 1963-ban az ember nélküli amerikai Hold-szondánál alkalmazták először, és azóta is az űreszközök irányításának általánosan használt eleme. Napjainkban használatos a meteorológiai előrejelzések, a GPS, a célkövető radarok, és közgazdasági idősorok elemzésénél is.
1985-ben elsőként kapta meg a Kyoto Díjat. 2008-ban megkapta az amerikai mérnöki akadémia Charles Stark Draper-díját, amelyet mérnöki Nobel-díjként tartanak számon. 2009-ben Barack Obama amerikai elnöktől vehette át az Egyesült Államok legfontosabb tudományos elismerését, a Nemzeti Tudományos Érmet.
A Kálmán-szűrő alapgondolata
A Kálmán-szűrő komplex, zajos (sztochasztikus) rendszerek belső állapotainak a becslésére ad hatékony, valós időben alkalmazható eljárást külső, mért, zajos jelek alapján. A probléma maga a telekommunikációban már a II. világháború idején megfogalmazódott, de az akkor született eredmények integrálegyenletek megoldását kívánták meg, emiatt alkalmazásuk nehézkes.
A Kálmán-szűrő kifejlesztése szorosan összefügg Kálmán Rudolfnak a lineáris rendszerek elméletében végzett úttörő jelentőségű munkájával, amelyet a villamos áramkörök vizsgálata inspirált. Az elmélet kiindulópontja az az egyszerű felismerés, hogy az RLC áramkörök dinamikája leírható egy lineáris rendszerrel az alábbi módon:
{jatex}\dot{x}_{t}=Ax_{t}+Bu_{t}{/jatex}
{jatex}y_{t}=Cx_{t},{/jatex}
ahol az {jatex}x_t{/jatex} vektor a rendszer állapotváltozója, az {jatex}u_t{/jatex} vektor a rendszer bemenete, az {jatex}y_t{/jatex} vektor pedig a rendszer kimenete, {jatex}A,B,C{/jatex} pedig alkalmas méretű mátrixok. A fenti modellben {jatex}t{/jatex} folytonos időt, {jatex}{\dot x}_t{/jatex} pedig az idő szerinti deriváltat jelöli. Kézenfekvő módosítással a fenti modell diszkrét idejű változata is könnyen felírható.
Kálmán alapvető felismerése volt, hogy a lineáris rendszerek elmélete véletlen (sztochasztikus) folyamatok modellezésében addig nem ismert új utakat nyit a szűrési probléma megoldására. Nevezetesen, tekintsük a fenti modell sztochasztikus, diszkrét idejű változatát:
{jatex}x_{n+1}=Ax_{n}+u_{n},{/jatex}
{jatex}y_{n}=Cx_{n}+v_{n},{/jatex}
minden egész {jatex}n{/jatex}-re, ahol az {jatex}(u_n, v_n){/jatex} egy alkalmas dimenziójú, {jatex}0{/jatex}-várható értékű ortogonális folyamat, vagyis pl. {jatex}{\rm E} u_n u^T_m = 0{/jatex} ha {jatex}n \neq m,{/jatex} egyébként {jatex}{\rm E} u_n u^T_n = \Sigma = {\rm const.}{/jatex}
A (prediktív) szűrési probléma ekkor matematikailag így fogalmazható meg: keressük az {jatex} x_{n+1}{/jatex} állapot legkisebb négyzetes becslését az {jatex}y_n ,y_{n-1},...{/jatex} mért értékek birtokában. Ezt jelöljük {jatex}{\hat x}_{n+1}{/jatex}-gyel. Kálmán zseniális észrevétele az volt, hogy az általános szűrési problémát a fenti feladatosztályra megszorítva {jatex}{\hat x}_{n+1}{/jatex} eleget tesz az
,
állapottéregyenletnek, ahol az állapotegyenletben és a megfigyelésben egy közös {jatex}\nu_n{/jatex} folyamat jelenik meg, ezt innovációs folyamatnak hívjuk. A {jatex}K{/jatex} mátrix angolul és magyarul az ún. Kalman-gain. A fenti egyenlet egyszerű átrendezésével kapjuk az {jatex}{\hat x}_{n+1}{/jatex} keresett értékét, éspedig rekurzív alakban:
A {jatex}K{/jatex} mátrix meghatározása nem triviális feladat, ehhez többek között meg kell oldani egy mátrix-egyenletet, egy ún. algebrai Riccati-egyenletet, amelyben az ismeretlen mátrix másodfokú függvényei is szerepelnek. A fenti témakör legteljesebb és legmodernebb kifejtését az alábbi könyv tartalmazza:
Lindquist, A. and Picci,G., Linear Stochastic Systems: A Geometric Approach to Modeling, Estimation and Identification. Springer, 2015.
Gerencsér László, MTA SZTAKI