Egy feladat és ami róla az eszembe jutott...
A 2019 évi Nemzetközi Magyar Matematikaverseny egyik, 9. osztályosoknak szóló feladatát Erdős Gábor (Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa) javasolta. A feladatra matematika tanárok egy csoportja 20 elemi megoldást adott. A teljes anyag megtalálható a https://matek.fazekas.hu/ portálon a cikkek között, amit Erdős Gábor kollégám jegyez. Most ezek közül 7 megoldást mutatok. Mind a hét a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. A megoldások közül az első három Erdős Gáboré; az utolsó négy megoldást én adtam.
A feladat
Az szabályos háromszög
oldalának felezőpontja
. A
szakasz azon belső pontja a
pont, amelyre az
szög 90 fokos. A
szakasz azon belső pontja az
pont, amelyre a
és a
szakaszok hossza egyenlő. Hány fokos az
szög?
1. megoldás
Legyen a háromszög oldalának hossza 2 egység.
Legyen az szakasz felezőpontja
.
középvonal az
háromszögben, így

Az háromszög egyenlő szárú és derékszögű, így

Az háromszög egyenlő szárú, mivel


hiszen egyállású szögek, ezért

A Thalész-tétel megfordítása miatt az háromszög köré írt kör középpontja
, így az
háromszög is egyenlő szárú, azaz

A kérdezett szög tehát:

2. megoldás
Legyen a háromszög oldala 2 egység. Használjuk az ábra jelöléseit.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt

az háromszög egyenlő szárú, így

ezért

és

az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt

legyen az -ből az
-re bocsátott merőleges talppontja
.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt

vagyis

De akkor az derékszögű háromszögben

ez tehát egy félszabályos háromszög, amiből következik, hogy

Ekkor viszont

így

A kérdezett szög tehát:

3. megoldás
Legyen a háromszög oldala 2 egység. Használjuk az ábra jelöléseit.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt

Az háromszög egyenlő szárú, így


Legyen -ből az
-re bocsátott merőleges talppontja
. Ekkor
félszabályos háromszög, így



Azt kaptuk, hogy az derékszögű háromszögben

tehát ez a háromszög egyenlő szárú is, ezért alapon fekvő szöge

Az háromszög
csúcsnál lévő külső szöge ezért

A kérdezett szög tehát:

4. megoldás
Tükrözzük az háromszöget a
pontra. Ekkor az
tükörképe
.
Az így kapott négyszög egy négyzet, hiszen átlói merőlegesek és egyenlő hosszúak. A négyzet belsejében pedig az
szabályos háromszög – ismert feladathoz jutottunk!

továbbá az háromszög egyenlő szárú, így

de akkor

Szimmetria-okokból a háromszög egyenlő szárú, így

ezért

A keresett szög ennek a szögnek a tükörképe a pontra nézve, így

5. megoldás
Legyen a háromszög oldala 2 egység. Használjuk az ábra jelöléseit.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt

az háromszög egyenlő szárú, így



az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt

Legyen az pont tükörképe az
oldalra nézve
.
Az háromszög szabályos,

Az háromszögben

ezért ez a háromszög a Pitagorasz-tétel megfordítása miatt derékszögű. Mivel egyenlő szárú is, ezért

Mivel az

ezért az

A kérdezett szög tehát:

6. megoldás
Legyen a háromszög oldala 2 egység. Használjuk az ábra jelöléseit.
Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt

az háromszög egyenlő szárú, így

ezért


Az háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt

Forgassuk el az háromszöget 60 fokkal az
pont körül.
Legyen az pont elforgatottja
. Az
háromszög szabályos,

A háromszögben

ezért ez a háromszög a Pitagorasz-tétel megfordítása miatt derékszögű. Mivel ez a háromszög egyenlő szárú is, ezért

Mivel az , ezért az
. A kérdezett szög tehát:

7. megoldás
Tekintsük az szabályos sokszöget, amelynek középpontja
pont.
Az szakasz
körüli 90 fokos elforgatottja az
szakasz, így ez a két szakasz merőleges. Mivel az említett két szakasz egymás tükörképe az
egyenesre, így
metszéspontjuk illeszkedik a tükörtengelyre, tehát

Hasonlóan az szakasz
körüli 30 fokos elforgatottja az
szakasz, így ennek a két szakasznak a hajlásszöge
. Mivel az említett két szakasz egymás tükörképe az
egyenesre, így
metszéspontjuk illeszkedik a tükörtengelyre, tehát
, azaz

Mivel egy szabályos hatszög, ezért minden oldala egyenlő a köré írt kör sugarával (
), továbbá belső szögei 120 fokosak, tehát az
háromszög szabályos, ezért

Az négyszög rombusz, mivel minden oldala
hosszúságú, ezért szemközti oldalai,
és
párhuzamosak. Ez viszont azt jelenti, hogy egy
középpontú kicsinyítéssel az
szakasz képe lehet az
szakasz, akkor a vele egyenlő hosszú
szakasz képe ugyanezen kicsinyítés során az
szakasz, így

Mivel , így megjelent az ábrán a feladatban szereplő valamennyi pont és vonal: legyen
,
,
,
,
.
A kérdezett szög tehát:

Megjegyzés: Természetesen a megoldás során tett állítások kerületi és középponti szögek tételére való hivatkozással is indokolhatók.
Zárszó
Kedves Olvasó! Ha egy másik „szép” megoldást talál, kérem küldje el nekem a Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. e-mail címre. Ezeket az újabb megoldásokat összegyűjtve időnként (terveim szerint) szintén megmutatnám.
Szoldatics József
Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium