ELTE Nyári iskola 2019

2019. június 24–28. között rendezték meg 7. alkalommal az ELTE hagyományos nyári iskoláját, ami idén különféle geometriai, topológiai, algebrai témakörökre és azok kapcsolatára fókuszált. Az egyhetes programon 36 egyetemista diák vett részt, közülük 12-en tanultak Magyarországon (ELTE, CEU), 9 az Egyesült Királyságban, 3 Szlovéniában, 2 Belgiumban, 2 Svájcban, 2 Németországban, és 1–1 diák érkezett Ukrajna, Finnország, Lengyelország, Franciaország, Hongkong, illetve Dél-Korea egyik egyeteméről. Még inkább sokszínű a helyzet, ha a diákok nemzetiségét nézzük: volt ezek mellett Szlovákia, Szerbia, Montenegró, Bosznia-Hercegovina, Hollandia, India, Kína, és a Fülöp-szigetek területéről származó hallgató is.

A program gerincét a délelőtti előadások alkották: öt előadó öt különböző témája került terítékre. Hétfőtől péntekig szétosztva mindegyik témakörből 3–3 60 perces előadást hallgathattunk meg. Délutánonként általában gyakorlatok voltak: az 5 témához tartozott 5 felelős (többnyire PhD hallgatók), akik vezetésével feladatokon gondolkodtunk, de az előadások közben felmerült kérdéseinket is feltehettük nekik kötetlen beszélgetés formájában. Csütörtök délután került sor egy önálló hatodik előadásra. Emellett hétfőn volt egy üdvözlő parti (közös pizzázás), szerdán pedig a Pál-völgyi-cseppkőbarlangba kirándultunk.

Csikós Balázs előadásaiban (Curvature and topology) a differenciálgeometria és a topológia meglepő kapcsolataira láttunk két példát. Beláttuk (bizonyos technikai részleteket mellőzve), hogy egy térbeli sima reguláris zárt görbe teljes abszolút görbülete mindig legalább $2\pi$ (Fenchel tétele), és amennyiben egy olyan egyszerű görbéről van szó, amely topologikusan nemtriviális csomót ad, akkor ez legalább $4\pi$ (Fáry–Milnor-tétel). A második ilyen kapcsolat a Gauss–Bonnet-formula volt: az előadássorozat maradék részében megmutattuk, hogy egy térbeli sima zárt felület szorzatgörbületének felszíni integrálja éppen a felület Euler-karakterisztikájának $2\pi$ -szerese.

Fehér Lászlóval (Enumerative geometry: classical and new problems) geometriai leszámlálási problémákat vizsgáltunk. Mint például: Adott a térben 4 általános helyzetű egyenes, hány olyan egyenes van, amely mind a 4-et metszi? A probléma klasszikus megoldása (egyköpenyű hiperboloid stb.) után átfogalmaztuk a kérdést a Grassmann-sokaságok nyelvére: a térbeli egyenesek halmaza tekinthető egy sima 4-dimenziós sokaságként, és ebben az egyik adott egyenest metsző egyenesek halmaza egy részvarietás. Az így kapott 4 részvarietás metszéspontjai adják a keresett egyeneseket. A metszéspontok száma pedig meghatározható a Grassmann-sokaság kohomológia-gyűrűjéből: ez ugyanis a 4 részvarietáshoz tartozó kohomológia-osztályok szorzata. Az effajta megoldás már könnyen általánosítható más leszámlálási problémákra – ez a Schubert-kalkulus.

Némethi András (Projective algebraic plane curves) az algebrai geometria néhány szépségére mutatott rá. Beláttuk például algebrai eszközökkel (Bézout-tétel) a húrhatszögekről szóló Pascal-tételt, vagy hogy egy sima harmadrendű görbe pontjain megadható egy összeadás, amely csoport-struktúrát ad. Megmutattuk egy trükkös indukciós gondolatmenettel, hogy egy sima harmadrendű $C$ és egy $m$ -edrendű $D$ görbe $3m$ metszéspontjának ezen csoportbeli összege $D$ -től függetlenül mindig ugyanaz. Végül bevezettük a szinguláris pontokhoz rendelt csomókat, és feltettünk egy nyitott kérdést: Adott $d$ -hez és $\Delta_1,\dots,\Delta_k$ polinomokhoz mikor létezik olyan $d$ -edrendű görbe, amelynek szinguláris pontjaihoz rendelt csomók Alexander-polinomjai éppen $\Delta_1,\dots,\Delta_k$ ? Már a legegyszerűbb speciális esetben is meglepően bonyolultnak bizonyult a válasz.

Stipsicz András (Invariants of knots: polynomials and homologies) a csomóelmélet néhány fontos invariánsát tárta elénk. Definiáltuk például egy csomóról készült diagram 3-színezhetőségét, majd beláttuk (Reidemeister tétele alapján), hogy a 3-színezhetőség csomó-invariáns (nem függ a diagramtól, csak a csomótól). Innen azonnal adódik például, hogy a háromlevelű és a triviális csomók különböznek, mert a háromlevelű 3-színezhető, a triviális nem. Definiáltuk emellett egy diagram Alexander-polinomját (kombinatorikus módon), Jones-polinomját, és Khovanov-kohomológiáját, melyek szintén csomó-invariánsok (és a Jones-polinomról ezt be is bizonyítottuk). Az egyre több invariáns bevezetésével egyre több csomót tudunk megkülönböztetni egymástól, ráadásul a Khovanov-kohomológia detektálja is a triviális csomót: ha a $K$ csomó Khovanov-kohomológiája triviális, akkor $K$ triviális csomó (Kronheimer–Mrowka, 2011).

Szűcs András (Three Fields medalists of Topology: Thom, Smale, Milnor) a Fields-érmek történetéből kiindulva mutatta be a modern topológia néhány kulcsfontosságú mozzanatát. Thom alapozta meg a sokaságok kobordizmus-elméletét, ennek apropóján szó volt vektormezők forgásáról, leképezések fokszámáról, a sündisznó-tételről, az öv-trükkről, a Pontrjagin- és a Thom-konstrukcióról, és beláttuk, hogy a parallelizálható sokaságok null-kobordánsak. Smale egyik tétele szerint az $S^n\to\mathbb{R}^q$ immerziók reguláris homotópiaosztályai bijekcióban állnak $\pi_n(V_n(\mathbb{R}^q))$ -val – ebből következik például, hogy az $S^2$ gömb immerziókon keresztül kifordítható $\mathbb{R}^3$ -ban. Milnor a 7-dimenziós egzotikus gömbök (azaz $S^7$ -tel homeomorf, de nem diffeomorf terek) felfedezéséért kapott Fields-érmet, ezen konstrukció és bizonyítás főbb lépéseit jártuk végig. Az előadássorozatok közül ehhez volt szükség a legtöbb előismeretre.

Moussong Gábor (From Poincaré to Thurston and Perelman: one hundred years of a conjecture) egyetlen kétórás előadásában a Poincaré-sejtés megoldásáról mesélt. A híres 1904-es sejtés szerint, ha egy 3-sokaság egyszeresen összefüggő ( $\pi_1(M)=1$ ), akkor homeomorf az $S^3$ gömbbel. Szó volt a probléma jelentőségéről, a főbb történelmi állomásokról, és néhány kudarcba fulladt megoldási kísérletről. Végül 2002-ben adott bizonyítást Perelman, ám a megoldáshoz vezető úton számos másik matematikus munkája is létfontosságú volt (R. Hamilton Ricci-folyam módszere, Thurston geometrizációs sejtése).

Összegezve a nyári iskola programját, igencsak színvonalas előadásokat kaptunk, átgondolt, jól felépített prezentálásban. Némely részhez komolyabb előismeretek kellettek, de egy elsőéves BSc hallgató számára is a legtöbb dolog befogadható volt, és a tapasztaltabbak számára sem volt egyik előadássorozat sem teljesen „lerágott csont”. Noha a geometria és a topológia volt a középpontban, a szerteágazó témák közt volt minden analízistől kezdve algebrán át kombinatorikáig, így mindenki megtalálhatta a maga kedvencét. Az előadások sokféle ötletet mutattak be, és sokféle témában keltették fel az érdeklődést, melyet teljes egészében nem is lehet egy hét alatt feldolgozni. Ezért akár több hétre elegendő elemózsia is lehet a nyári iskola anyaga, a hallottak rendes végiggondolása, továbbgondolása, vagy akár későbbi kutatás célja is lehet az egyik itt megismert témakör.

Az előadásokról készült teljes jegyzet letölthető innen.

Fehér Zsombor

PhD hallgató, University of Oxford