1. Bevezető
Mielőtt rátérünk a cikk tartalmi részére – nevezetesen a mértékelmélet egyik alaptételének egy olyan bizonyítására, amely a lineáris altérre vett zárlat tulajdonságaival operál – röviden felidézünk néhány alapfogalmat.
Egy halmaz részhalmazaiból álló
halmazrendszer
-algebra, ha zárt a komplementer és a megszámlálható unió képzésére. Egy
halmaz karakterisztikus függvényét
-val jelöljük, azaz
![$\displaystyle \mathds{1}_A(x)=\begin{cases}1 & \text{ha } x \in A,\\
0 & \text{ha } x \notin A.
\end{cases}
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img7.png)
Egy halmazfüggvényt nemnegatív véges mértéknek nevezünk, ha az alábbi két feltételt teljesíti:
(i) ,
(ii) ha egy olyan
-ban haladó halmazsorozat, hogy tetszőleges
esetén
, akkor
![$\displaystyle \mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j).
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img14.png)
Az
-algebrához természetes módon asszociálódik a valós
-lépcsős függvények
-vel jelölt vektortere. Emlékeztetünk, hogy egy
függvényt
-lépcsős függvénynek nevezünk, ha
-beli halmazok karaktersztikus függvényeinek véges lineáris kombinációja. Azaz ha van olyan
véges
-beli halmazrendszer és
valós szám
-es, amelyre
![$\displaystyle f=\sum_{j=1}^n c_j\cdot\mathds{1}_{A_j}.
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img19.png)
Hasonlóan természetes módon adódik egy egyszerű integrálfogalom az -lépcsős függvények vektorterén. A fenti felírású
függvény
szerinti integrálján az
![$\displaystyle \int_X f~\mathrm{d}\mu:=\sum_{j=1}^n c_j\cdot\mu(A_j)
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img22.png)
számot értjük. Az így kapott integrál jóldefiniált, azaz az integrál értéke nem függ előállításától. Megjegyezzük, hogy két
-lépcsős függvény szorzata is
-lépcsős függvény, így ha
, akkor
továbbra is egy véges összeget jelöl, tehát a fentinél bonyolultabb integrálfogalomra nem lesz szükségünk. Végül bevezetünk egy jelölést: az
-lépcsős függvény tartóját, azaz az
halmazt röviden
-val jelöljük.
2. Abszolút folytonosság és altérre vonatkozó zárlat
Mostantól és
mindig két nemnegatív véges mértéket jelöl. Azt mondjuk, hogy
abszolút folytonos a
-re nézve (jelekkel:
, ha
![$\displaystyle \forall A\in\mathcal{A}\colon \nu(A)=0\Longrightarrow\mu(A)=0.
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img29.png)
Megjegyezzük, hogy ez a folytonosság fogalom azért képes ilyen egyszerű, ránézésre meglehetősen algebrai alakot ölteni, mert a -additivitás rásegít a
![$\displaystyle \forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall A\in\mathcal{A}\colon\nu(A)<\delta \Longrightarrow \mu(A)<\varepsilon
$](/images/stories/latex/ujszaszititkosiiijavitas/img1.png)
definícióra. Az abszolút folytonosság fogalmának jelentőségére a Radon-Nikodym tétel világít rá: a mértéknek pontosan akkor létezik sűrűségfüggvénye a
-re vonatkozóan, ha
.
De mi köze van a mértékek abszolút folytonosságának a mátrixok alterekre vonatkozó zárlatához? Pozitív szemidefinit (és így önadjungált) mátrixok esetén a képtér és a magtér, azaz a
![$\displaystyle \operatorname{ran}A=\{Ax\mid x\in H\}$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img32.png)
![$\displaystyle \quad\ker A=\{x\in H\mid Ax=0\}
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img33.png)
alterek egymásra merőlegesek, és így a tartalmazás ekvivalens azzal, hogy
. Ez utóbbit másképp felírva azt kapjuk, hogy
![$\displaystyle \forall x\in H\colon Bx=0 \Longrightarrow Ax=0,
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img36.png)
ami pedig az abszolút folytonosság fogalmára legalábbis formailag nagyon hasonlít. Két tetszőlegesen választott és
pozitív szemidefinit mátrixra a
tartalmazás természetesen nem teljesül. De az altérre vonatkozó zárlat fogalma (az
választással) épp azt garantálja, hogy az
![$\displaystyle M(A,\operatorname{ran}B):=\big\{C\in\mathbf{B}_+(H)\mid C\leq A$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img40.png)
![$\displaystyle \operatorname{ran}C\subseteq\operatorname{ran}B\big\}
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img41.png)
halmaznak van legnagyobb eleme, nevezetesen . Más szóval,
-nak van egy olyan extremális tulajdonságokkal bíró része, amelynek képtere része
képterének. Könnyű megmutatni, hogy a maradék, azaz az
mátrix képtere a
mátrix képterétől már amennyire csak lehet, diszjunkt:
![$\displaystyle \operatorname{ran}(A-A_{/\operatorname{ran}B})\cap\operatorname{ran}B=\{0\}.
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img44.png)
Ez a képterekre vonatkozó állítás (a Douglas majorizációs és faktorizációs tétel értelmében) ekvivalens azzal, hogy ha egy mátrixra
és
egyidejűleg teljesül, akkor
a nulla mátrix.
Ezt a sémát akarjuk tehát követni nemnegatív véges mértékek esetén is. Igaz-e, hogy ha maga nem is abszolút folytonos
-re nézve, akkor is le lehet választani belőle egy lehető legnagyobb
-abszolút folytonos részt? Milyen értelemben lesz a maradék a
-től diszjunkt?
Először is, ahhoz hogy beszélhessünk legnagyobb elemről, be kell vezetnünk egy részbenrendezést a nemnegatív mértékek halmazán:
![$\displaystyle \mu_1\leq\mu_2\Leftrightarrow\forall A\in\mathcal{A}\colon \mu_1(A)\leq\mu_2(A).
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img49.png)
Azt mondjuk, hogy és
szingulárisak (jelekkel:
), ha van olyan
halmaz, amelyre
. Ez a tulajdonság ekvivalens azzal, hogy ha
egy olyan nemnegatív véges mérték, amelyre
és
egyszerre teljesül, akkor
szükségképpen a nulla mérték. Világos tehát az analógia, az a kérdés, hogy hogyan profitáljunk belőle. Természetes ötlet, hogy valahogy fogalmazzuk át a mértékek nyelvére a
![$\displaystyle \forall x\in H\colon(A_{/\operatorname{ran}B}x,x)=\inf\limits_{y\in\ker B}(A(x-y),x-y)
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img56.png)
formulát. Az első kérdés, hogy mivel helyettesítsük a skalárszorzatot? Ha az mátrixot
-re, az
vektort
-re akarjuk fordítani, akkor az
kifejezés átírására az
a kézenfekvő választás. Ha a
mátrixot a
-re akarjuk lefordítani, akkor a
lineárisaltér megfelelője
-ben
![$\displaystyle \mathscr{N}=\left\{\varphi\in\mathcal{E}\ \Big\vert\ \int_X\vert\varphi\vert^2~\mathrm{d}\nu=0\right\}.
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img62.png)
Ezek után már könnyű kiokoskodni, hogy az mátrix megfelelője a
![$\displaystyle \mu_{\mathrm{ac}}(A):=\inf\limits_{\psi\in\mathscr{N}}\int_X\vert...
... A}} \int_X\vert\mathds{1}_A-\psi\vert^2~\mathrm{d}\mu\qquad(A\in\mathcal{A})
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img63.png)
halmazfüggvény. Mint azt a következő fejezetben látni fogjuk, azzal hogy a fordítás kész, lényegében minden munkát elvégeztünk. Mielőtt rátérnénk a bizonyításra, teszünk még egy megjegyzést. Ahogy arra az abszolút folytonosság definíciójánál utaltunk, az egyszerűség hátterében ott munkálkodik a -additivitás. Az olvasóban felébredhet a gyanú, hogy valami a mátrixokra vonatkozó fogalom hátterében is munkálkodik, hiszen ott tényleg csak egy lineáris algebrai definícióról van szó, topológiának semmi nyoma. Való igaz, az hogy ez a fogalom ilyen egyszerű alakot öltött, az annak köszönhető, hogy
véges dimenziós volt, és így a
képtér automatikusan zárt. Ha
nem véges dimenziós, akkor a
-ről külön fel kell tenni, hogy zárt képterű.
3. A Lebesgue-felbontás
Tétel: Legyen és
két tetszőleges nemnegatív véges mérték az
-algebrán. Ekkor
-nek létezik egy és csak egy olyan
felbontása, ahol
és
.
Bizonyítás: Mivel egy nemnegatív függvény integrálja nemnegatív, , és
esetén
, ezért a
definícióra ránézve világos, hogy
nemnegatív,
, és hogy
. Azt is könnyű ellenőrizni, hogy
végesen additív, mert ha
és
diszjunkt
-beli halmazok, akkor
![$\displaystyle \Big\{\psi\in\mathscr{N}~\Big\vert~[\psi\neq0]\subseteq A_1\cup A...
...psi_1+\psi_2\in\mathscr{N}~\Big\vert~[\psi_i\neq0]\subseteq A_i,~i=1,2\Big\}.
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img77.png)
Ebből viszont már következik
-additivitása, ugyanis
![$\displaystyle \mu_{\mathrm{ac}}\Big(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\Big)-\sum\...
...\Big(\bigcup\limits_{k>n}A_k\Big)\leq\mu\Big(\bigcup\limits_{k>n}A_k\Big)\to0
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img78.png)
teljesül minden olyan halmazsorozatra, amelynek tagjai páronként diszjuntak. Már csak azt kell megmutatnunk, hogy a és
mértékek szingulárisak, és hogy a felbontás egyértelmű. Mindkét állítás könnyen következik majd abból, hogy
a legnagyobb elem azon
nemnegatív véges mértékek között, amelyekre
és
egyszerre teljesül. Ahhoz hogy ezt belássuk, válasszunk egy
függvényt, és vegyük észre, hogy
![$\displaystyle \vartheta(A)=\int_X\vert\mathds{1}_A\vert^2~\mathrm{d}\vartheta=\...
...t^2~\mathrm{d}\vartheta\leq\int_X\vert\mathds{1}_A-\psi\vert^2~\mathrm{d}\mu.
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img84.png)
Az elemeire infimumot véve azt kapjuk, hogy
.
Ezek után legyen egy olyan nemnegatív véges mérték, amelyre
és
. Ekkor
és
, következésképp
, ami épp azt jelenti, hogy
.
Ha , a
-nek egy olyan felbontása, amelyre
és
teljesül, akkor
egy olyan nemnegatív véges mérték, amely egyszerre abszolút folytonos és szinguláris
-re nézve. Ebből pedig az következik, hogy
, és így
. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
A cikk az Emberi Erőforrások Minisztériumának ÚNKP-18-4-BGE-3 kódszámú „Új Nemzeti Kiválóság Program” pályázatának támogatásával készült.
A fénykép Henri Louis Lebesgue-et ábrázolja, forrás: https://dka.oszk.hu/021400/021493 (OSZK MEK)