1. Bevezető
Mielőtt rátérünk a cikk tartalmi részére – nevezetesen a mértékelmélet egyik alaptételének egy olyan bizonyítására, amely a lineáris altérre vett zárlat tulajdonságaival operál – röviden felidézünk néhány alapfogalmat.
Egy halmaz részhalmazaiból álló
halmazrendszer
-algebra, ha zárt a komplementer és a megszámlálható unió képzésére. Egy
halmaz karakterisztikus függvényét
-val jelöljük, azaz

Egy halmazfüggvényt nemnegatív véges mértéknek nevezünk, ha az alábbi két feltételt teljesíti:
(i) ,
(ii) ha egy olyan
-ban haladó halmazsorozat, hogy tetszőleges
esetén
, akkor

Az
-algebrához természetes módon asszociálódik a valós
-lépcsős függvények
-vel jelölt vektortere. Emlékeztetünk, hogy egy
függvényt
-lépcsős függvénynek nevezünk, ha
-beli halmazok karaktersztikus függvényeinek véges lineáris kombinációja. Azaz ha van olyan
véges
-beli halmazrendszer és
valós szám
-es, amelyre

Hasonlóan természetes módon adódik egy egyszerű integrálfogalom az -lépcsős függvények vektorterén. A fenti felírású
függvény
szerinti integrálján az

számot értjük. Az így kapott integrál jóldefiniált, azaz az integrál értéke nem függ előállításától. Megjegyezzük, hogy két
-lépcsős függvény szorzata is
-lépcsős függvény, így ha
, akkor
továbbra is egy véges összeget jelöl, tehát a fentinél bonyolultabb integrálfogalomra nem lesz szükségünk. Végül bevezetünk egy jelölést: az
-lépcsős függvény tartóját, azaz az
halmazt röviden
-val jelöljük.
2. Abszolút folytonosság és altérre vonatkozó zárlat
Mostantól és
mindig két nemnegatív véges mértéket jelöl. Azt mondjuk, hogy
abszolút folytonos a
-re nézve (jelekkel:
, ha

Megjegyezzük, hogy ez a folytonosság fogalom azért képes ilyen egyszerű, ránézésre meglehetősen algebrai alakot ölteni, mert a -additivitás rásegít a

definícióra. Az abszolút folytonosság fogalmának jelentőségére a Radon-Nikodym tétel világít rá: a mértéknek pontosan akkor létezik sűrűségfüggvénye a
-re vonatkozóan, ha
.
De mi köze van a mértékek abszolút folytonosságának a mátrixok alterekre vonatkozó zárlatához? Pozitív szemidefinit (és így önadjungált) mátrixok esetén a képtér és a magtér, azaz a


alterek egymásra merőlegesek, és így a tartalmazás ekvivalens azzal, hogy
. Ez utóbbit másképp felírva azt kapjuk, hogy

ami pedig az abszolút folytonosság fogalmára legalábbis formailag nagyon hasonlít. Két tetszőlegesen választott és
pozitív szemidefinit mátrixra a
tartalmazás természetesen nem teljesül. De az altérre vonatkozó zárlat fogalma (az
választással) épp azt garantálja, hogy az


halmaznak van legnagyobb eleme, nevezetesen . Más szóval,
-nak van egy olyan extremális tulajdonságokkal bíró része, amelynek képtere része
képterének. Könnyű megmutatni, hogy a maradék, azaz az
mátrix képtere a
mátrix képterétől már amennyire csak lehet, diszjunkt:

Ez a képterekre vonatkozó állítás (a Douglas majorizációs és faktorizációs tétel értelmében) ekvivalens azzal, hogy ha egy mátrixra
és
egyidejűleg teljesül, akkor
a nulla mátrix.
Ezt a sémát akarjuk tehát követni nemnegatív véges mértékek esetén is. Igaz-e, hogy ha maga nem is abszolút folytonos
-re nézve, akkor is le lehet választani belőle egy lehető legnagyobb
-abszolút folytonos részt? Milyen értelemben lesz a maradék a
-től diszjunkt?
Először is, ahhoz hogy beszélhessünk legnagyobb elemről, be kell vezetnünk egy részbenrendezést a nemnegatív mértékek halmazán:

Azt mondjuk, hogy és
szingulárisak (jelekkel:
), ha van olyan
halmaz, amelyre
. Ez a tulajdonság ekvivalens azzal, hogy ha
egy olyan nemnegatív véges mérték, amelyre
és
egyszerre teljesül, akkor
szükségképpen a nulla mérték. Világos tehát az analógia, az a kérdés, hogy hogyan profitáljunk belőle. Természetes ötlet, hogy valahogy fogalmazzuk át a mértékek nyelvére a

formulát. Az első kérdés, hogy mivel helyettesítsük a skalárszorzatot? Ha az mátrixot
-re, az
vektort
-re akarjuk fordítani, akkor az
kifejezés átírására az
a kézenfekvő választás. Ha a
mátrixot a
-re akarjuk lefordítani, akkor a
lineárisaltér megfelelője
-ben

Ezek után már könnyű kiokoskodni, hogy az mátrix megfelelője a

halmazfüggvény. Mint azt a következő fejezetben látni fogjuk, azzal hogy a fordítás kész, lényegében minden munkát elvégeztünk. Mielőtt rátérnénk a bizonyításra, teszünk még egy megjegyzést. Ahogy arra az abszolút folytonosság definíciójánál utaltunk, az egyszerűség hátterében ott munkálkodik a -additivitás. Az olvasóban felébredhet a gyanú, hogy valami a mátrixokra vonatkozó fogalom hátterében is munkálkodik, hiszen ott tényleg csak egy lineáris algebrai definícióról van szó, topológiának semmi nyoma. Való igaz, az hogy ez a fogalom ilyen egyszerű alakot öltött, az annak köszönhető, hogy
véges dimenziós volt, és így a
képtér automatikusan zárt. Ha
nem véges dimenziós, akkor a
-ről külön fel kell tenni, hogy zárt képterű.
3. A Lebesgue-felbontás
Tétel: Legyen és
két tetszőleges nemnegatív véges mérték az
-algebrán. Ekkor
-nek létezik egy és csak egy olyan
felbontása, ahol
és
.
Bizonyítás: Mivel egy nemnegatív függvény integrálja nemnegatív, , és
esetén
, ezért a
definícióra ránézve világos, hogy
nemnegatív,
, és hogy
. Azt is könnyű ellenőrizni, hogy
végesen additív, mert ha
és
diszjunkt
-beli halmazok, akkor
![$\displaystyle \Big\{\psi\in\mathscr{N}~\Big\vert~[\psi\neq0]\subseteq A_1\cup A...
...psi_1+\psi_2\in\mathscr{N}~\Big\vert~[\psi_i\neq0]\subseteq A_i,~i=1,2\Big\}.
$](/images/stories/latex/abe3ff95000a65ac3db9eb9c64462fe4_ujszaszititkosiii/img77.png)
Ebből viszont már következik
-additivitása, ugyanis

teljesül minden olyan halmazsorozatra, amelynek tagjai páronként diszjuntak. Már csak azt kell megmutatnunk, hogy a és
mértékek szingulárisak, és hogy a felbontás egyértelmű. Mindkét állítás könnyen következik majd abból, hogy
a legnagyobb elem azon
nemnegatív véges mértékek között, amelyekre
és
egyszerre teljesül. Ahhoz hogy ezt belássuk, válasszunk egy
függvényt, és vegyük észre, hogy

Az elemeire infimumot véve azt kapjuk, hogy
.
Ezek után legyen egy olyan nemnegatív véges mérték, amelyre
és
. Ekkor
és
, következésképp
, ami épp azt jelenti, hogy
.
Ha , a
-nek egy olyan felbontása, amelyre
és
teljesül, akkor
egy olyan nemnegatív véges mérték, amely egyszerre abszolút folytonos és szinguláris
-re nézve. Ebből pedig az következik, hogy
, és így
. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
A cikk az Emberi Erőforrások Minisztériumának ÚNKP-18-4-BGE-3 kódszámú „Új Nemzeti Kiválóság Program” pályázatának támogatásával készült.
A fénykép Henri Louis Lebesgue-et ábrázolja, forrás: https://dka.oszk.hu/021400/021493 (OSZK MEK)