Egy feladat és ami róla az eszembe jutott...
Az idei Győr–Moson–Sopron Megyei Matematikaverseny egyik feladatát Árki Tamás (Révai Miklós Gimnázium és Kollégium, Győr) kollégám javasolta. A feladat a háromszögről szólt.
. Elgondolkodtam. Biztos lesz itt szép megoldás!
A következőkben 6 megoldást mutatok. Mind a hat a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ.
A feladat
Az háromszögben
és
. Az
oldal
-n túli meghosszabbításán vegyük fel a
pontot úgy, hogy
teljesüljön. Számítsuk ki az
nagyságát.
1. megoldás
Használjuk fel, hogy a feladatban szereplő szögekre .
Rajzoljuk az oldalra az
szabályos háromszöget az ábra szerint. Kössük össze a
és
pontokat.
1. ábra
![$ EAD\sphericalangle=100^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img13.png)
![$ ABC\sphericalangle$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img14.png)
![$ ABC$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img3.png)
![$ DEA$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img15.png)
![$ BC=AD$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img16.png)
![$ BA=AE$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img17.png)
![$ ADE\triangle\cong BCA\triangle$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img18.png)
Ezért , vagyis az
,
és
pontokra illeszkedő kör középpontja
. Mivel az
szakasz
-ből
alatt látszik, a
kerületi pontból
alatt. Tehát a keresett szög
-os.
2. megoldás
Most is felhasználjuk, hogy a feladatban szereplő szögekre , de máshol keressük ezt a szöget.
Rajzoljuk meg a feladatban szereplő háromszöggel egybevágó
háromszöget az ábrán látható módon úgy, hogy
legyen. Kössük össze a
és
pontokat.
Ekkor és
, valamint
![$\displaystyle DAE\sphericalangle=DAC\sphericalangle-EAC\sphericalangle=100^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ},
$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img28.png)
tehát a háromszög szabályos, így
is teljesül. Az
négyszög tehát deltoid, (
és
), amelynek szimmetria átlója a
szakasz, tehát felezi az
szöget.
Ebből következik, hogy a keresett szög .
3. megoldás
Ebben a megoldásban nem a szögek különbségét keressük, hanem a két szög összegét: .
Rajzoljunk szabályos háromszöget a
oldalra az ábra szerint. Kössük össze a
és
pontokat.
![Szoldatics 03](/images/2019-december/tanora/Szoldatics-03.png)
és
, tehát az
négyszög deltoid, amelynek
szimmetria átlója, így
.
, azaz
, és
, így az
négyszög szimmetrikus trapéz, tehát húrnégyszög.
A négyszög köré írható körben az szakasz az
pontból és a
pontból egyenlő szögben látszik, tehát
.
4. megoldás
Most keressük a szabályos háromszöget egy meglepő helyen.
Rajzoljunk az oldalra az eredetivel egybevágó
háromszöget az ábra szerint.
![Szoldatics 04](/images/2019-december/tanora/Szoldatics-04.png)
Legyen a
oldalnak azon pontja, amelyre
. Kössük össze az
pontot a
és az
csúcsokkal.
Számítsuk ki az négyszög szögeit!
,
, ami azt jelenti, hogy
. Mivel
is teljesül, az
négyszög rombusz, amelynek szögei
és
-osak.
Tekintsük most az háromszöget.
, és mivel
, az
háromszög szabályos, vagyis
. Innen
.
A háromszög egyenlő szárú, mert
.
, így
. Tehát
.
5. megoldás
Most nézzünk egy teljesen más megoldást, amely trigonometriára támaszkodik. A megoldás során felhasználjuk a
![$\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta = 2\cdot \cos \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)
$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img72.png)
és ennek egy másik formáját, a
![$\displaystyle 2\cdot \cos\alpha\cdot \cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)
$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img73.png)
azonosságot is.
Vegyük fel oldal meghosszabbításán azt az
pontot, amelyre
. (Mivel
, ez az
pont létezik.)
![Szoldatics 05](/images/2019-december/tanora/Szoldatics-05.png)
Az háromszögben a szárak hosszai
, válasszuk ezt egységnyinek, azaz
. Az
-ból induló magasság két olyan derékszögű háromszögre bontja az
háromszöget, amelyekben definíció szerint
, azaz
.
Mivel (hiszen így vettük fel a
pontot), továbbá
, ebből következik, hogy
![$\displaystyle EA=2b\cdot \sin10^\circ=4\cdot \sin 10^{\circ}\cdot\sin 50^{\circ}.
$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img81.png)
Mivel
![$\displaystyle 2\cdot \sin 10^{\circ}\cdot\sin 50^{\circ}=2\cdot \cos 80^{\circ}...
...cos 40^{\circ}=\cos 120^{\circ}+\cos 40^{\circ}=\sin 50^{\circ}-\dfrac{1}{2},
$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img82.png)
azért
![$\displaystyle EA=4\cdot \sin 10^{\circ}\cdot\sin 50^{\circ}=2\cdot\sin 50^{\circ}-1=b-a,
$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img83.png)
ami azt jelenti, hogy , azaz a
háromszög egyenlő szárú. Mivel
, ebből következik, hogy
.
A keresett szög:
![$\displaystyle ADC\sphericalangle=EDC\sphericalangle-EDA\sphericalangle=50^{\circ}-20^{\circ}=30^{\circ}.
$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img88.png)
6. megoldás
És végül mutatunk egy tisztán trigonometrikus gondolatmenetet. A megoldás során felhasználjuk a
![$\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta = 2\cdot \cos \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)
$](/images/stories/latex/c987ff4e8d468727db0355da35a84e17_szoldaticsjozsefutonmodon/img72.png)
azonosságot.
Legyen az háromszög szárainak hossza
; válasszuk ezt egységnyinek, azaz
. Ekkor az
-ból induló magasság két olyan derékszögű háromszögre bontja a háromszöget, amelyekben definíció szerint
, azaz
.
![Szoldatics 06](/images/2019-december/tanora/Szoldatics-06.png)
Felírva a szinusztételt az háromszög
és
oldalaira (
-val jelölve a keresett
szöget)
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
A kifejezést tovább alakítva
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
Eszerint , azaz
.
Zárszó
Kedves Olvasó! Ha egy másik „szép” megoldást talál, kérem küldje el nekem a Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. e-mail címre. Ezeket az újabb megoldásokat összegyűjtve időnként (terveim szerint) szintén megmutatnám.