Róka Sándor: Zénón figyelmeztetése

Feladatok a matematika történetéből

A jó bornak se árt a cégér. Ahogy a Múzeumok éjszakáján megtelnek az üres épületek, vagy ahogyan az ilyen-olyan Maraton tömegeket vonz a komoly zene meghallgatására, úgy az olvasóink által nyilván nagyrabecsült matematikának is jót tesz, ha élvezetes formában tálalják. Erre kiváló példa Róka Sándor új könyve. A szerzőt tanárok és diákok jól ismerik, ha máshonnan nem, akkor a – maga nemében – Pólya és Szegő könyvéhez hasonlatos [6] feladatgyűjteményéről.

A serdületlen ifjúságot oly sok káros hatás érheti az iskolában manapság, szerzőnk nem akarja ezek számát azzal növelni, hogy elárulná: a geometria axiomatikus felépítése definiálatlan alapfogalmakkal és axiómáknak nevezett bizonyítatlan állításokkal indul, a definíciók, tételek és bizonyításuk csak ez után következik. Ez kétségtelenül megrendítő tény, de szerintem hasznosabb megemészteni, mit elkenni.

Ami a prímszámok számát illeti: Eukleidész azt bizonyította be, hogy nem lehet, hogy véges sok van belőlük. Hírneves könyvének [2] tárgymutatójában olyan tisztázatlan fogalom, mint a végtelen nem szerepel. Az állítás Róka Sándor által adott második megfogalmazása szerencsésebb: minden pozitív egésznél létezik nagyobb prímszám. Ez közelebb is áll az eredetihez [2, 271. oldal], amely Mayer Gyula magyar fordítása szerint így szól:

1. tétel. (IX. 20.) Prímszámból prímszámok bármely adott sokaságánál több van.

Püthagorasz tételével kapcsolatban érdekes  James Abraham Garfield amerikai elnök esete, aki szintén adott egy bizonyítást a tételre, ráadásul cikkének végén megjegyzi, hogy a leírtakkal pártállástól függetlenül mindenki egyetérthet… (36. oldal)

A szögharmadolás feladata (53. oldal) euklideszi szerkesztéssel nem végezhető el. A feladat a megkötéssel együtt teljesen értelmetlennek tűnik, Arkhimédész más módszerekkel sikeresen meg is oldotta. Kétezer évvel később kiderült, hogy a lehetetlenség bizonyításához új matematikai eszközök kellenek, amelyek önmagukban meglehetősen fontosak és hasznosak.

Nagyon jó, hogy Diophantoszról megtudunk valamit sokat emlegetett nevén túl is. Külön örültem a Descartes álma című fejezetnek, ami egy kis filozófiai kitérő. (Talán érdemes lett volna megemlíteni Pólya remek – éppen hogy az ajánlottak közt nem szereplő – könyveit, ha már a Módszerről esik itt szó.)

A – legújabbkori útjavításban jelentős szerepet játszó – négyszíntétel tárgyalásában az a szép, hogy számos egyszerűen bizonyítható analóg állítást tartalmaz, amelyek segíthetnek rámutatni az eredeti állítás bizonyításának nehézségeire. Talán érdemes lett volna megemlíteni vagy akár meg is mutatni, hogy olyan térkép is konstruálható, amelyiknek kiszínezéséhez 5, 6 vagy 18 szín kell [8, 178–179. oldal]. Ez a konstrukció rámutat arra, hogy a tételben pontosan mit is kell értenünk térképen és színezésen.

Talán irigyelhetjük Königsberg lakóit, hogy volt érkezésük a Pregel hídjainak bejárásával törődni. Fölmerül a kérdés, hogy kell-e ma irigyelnünk őket?

Ami a Gellérthegyről letekintő személyt illeti (105. oldal), a mi valószínűségszámítás-óránkat Rényi Alfréd azzal az állítással kezdte, hogy letekintve sztochasztikus folyamatokat látunk…

A Könyvről szóló könyvet szerzőnk is ajánlja, én is kiemelem: [1].

Bár a görög matematika legnagyobbja kétségtelenül Arkhimédész volt, éppen az igazán nagy újdonság, a határérték fogalmának kidolgozásában Eudoxosznak volt a legfontosabb szerepe [7, 2.6. szakasz].

Néhány érdekes állítás, feladat:

26. oldal. Gauss (1796): Bármely természetes szám előáll három háromszögszám összegeként.

74. oldal. Fermat tételére hivatkozva bizonyítsuk be, hogy esetén értéke irracionális szám.

A könyvet a feladatok megoldása zárja, legvégül pedig jegyzetek, további ajánlott olvasmányok szerepelnek. A kötet kiállítása szép.

A 31. oldal legutolsó sorában gépelési hiba található, ami kizárólag azért méltó az említésre, mert egyetlen továbbit sem találtam a könyvben.

Összefoglalva: tanároknak kötelező, okos diákoknak nagyon hasznos olvasmány, bár néhol valószínűleg túlmegy a jelenlegi középiskolai anyagon. A matematikát (részben történetén keresztül, mint [3,4,5,7]) népszerűsítő irodalom legújabb gyöngyszeme.

Róka Sándor: Zénón figyelmeztetése. Feladatok a matematika történetéből, Typotex, Budapest, 2021.

Irodalomjegyzék

[1] M. Aigner, G. M. Zigler: Bizonyítások a Könyvből, Typotex, Budapest, 2009.

[2] Eukleidész: Elemek, Gondolat, Budapest, 1983. Fordította: Mayer Gyula.

[3] Filep László: A tudományok királynője, Typotex, Budapest, 2012.

[4] B. A. Korgyemszkij: Piruett körzővel. Matematikai feladványok nem csak iskolásoknak, Typotex, Budapest, 2019. https://ematlap.hu/konyvespolc-2020-11/958-piruett-korzovel

[5] B. A. Korgyemszkij: A nyúl nem tanult matematikát. Mesés fejtörők nem csak iskolásoknak, Typotex, Budapest, 2018. https://ematlap.hu/konyvespolc-2020-10/942-a-nyul-nem-tanult-matematikat

[6] Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből, 7. kiadás, Typotex, Budapest, 2021.

[7] Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből, Typotex, Budapest, 2009.

[8] N. Ja. Vilenkin: A végtelen kutatása, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.

 Tóth János